Diferencias divididas de primer orden
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- Francisco Javier Sevilla Soto
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1 Diferencias divididas de primer orden Egor Maximenko Instituto Politécnico Nacional, ESFM, México 1 de septiembre de 2016
2 Diferencias divididas de primer orden Significado geométrico Forma simétrica Aplicaciones
3 Definición de la diferencia dividida de primer orden Sean X un subconjunto de R, f : X R una función, x 1, x 2 X tales que x 1 x 2.
4 Definición de la diferencia dividida de primer orden Sean X un subconjunto de R, f : X R una función, x 1, x 2 X tales que x 1 x 2. f [x 1, x 2 ] := f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1.
5 Definición de la diferencia dividida de primer orden Sean X un subconjunto de R, f : X R una función, x 1, x 2 X tales que x 1 x 2. f [x 1, x 2 ] := f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1. incremento de la función incremento del argumento
6 Definición de la diferencia dividida de primer orden Sean X un subconjunto de R, f : X R una función, x 1, x 2 X tales que x 1 x 2. f [x 1, x 2 ] := f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1. incremento de la función incremento del argumento Otra notación: f (x 1, x 2 ), D(f, x 1, x 2 ), [x 1, x 2 ]f, [x 1, x 2 ; f ], D[x 1, x 2 ]f,...
7 Ejemplo 1. exp[0.4, 0.7] = exp(0.7) exp(0.4)
8 Ejemplo 1. exp[0.4, 0.7] = exp(0.7) exp(0.4)
9 Ejemplo 1. exp[0.4, 0.7] = exp(0.7) exp(0.4) Ejemplo 2. f : R R, f (x) := x 3, a, b R, a b. f [a, b] = b3 a 3 b a
10 Ejemplo 1. exp[0.4, 0.7] = exp(0.7) exp(0.4) Ejemplo 2. f : R R, f (x) := x 3, a, b R, a b. f [a, b] = b3 a 3 b a = a3 b 3 a b
11 Ejemplo 1. exp[0.4, 0.7] = exp(0.7) exp(0.4) Ejemplo 2. f : R R, f (x) := x 3, a, b R, a b. f [a, b] = b3 a 3 b a = a3 b 3 a b = (a b)(a2 + ab + b 2 ) a b
12 Ejemplo 1. exp[0.4, 0.7] = exp(0.7) exp(0.4) Ejemplo 2. f : R R, f (x) := x 3, a, b R, a b. f [a, b] = b3 a 3 b a = a3 b 3 a b = (a b)(a2 + ab + b 2 ) = a 2 + ab + b 2 a b
13 Ejemplo 1. exp[0.4, 0.7] = exp(0.7) exp(0.4) Ejemplo 2. f : R R, f (x) := x 3, a, b R, a b. f [a, b] = b3 a 3 b a = a3 b 3 a b = (a b)(a2 + ab + b 2 ) = a 2 + ab + b 2 = a b 2 a 2 k b k. k=0
14 Ejemplo 3. Sea x R \ {0}. sin[0, x] = sin(x) sin(0) x 0
15 Ejemplo 3. Sea x R \ {0}. sin[0, x] = sin(x) sin(0) x 0 = sin(x) x
16 Ejemplo 3. Sea x R \ {0}. sin[0, x] = sin(x) sin(0) x 0 = sin(x) x = sinc(x). la función seno cardinal
17 Ejemplo 3. Sea x R \ {0}. sin[0, x] = sin(x) sin(0) x 0 = sin(x) x = sinc(x). la función seno cardinal Ejemplo 4. Sean a, b R, a b. cos[a, b] = cos(b) cos(a) b a
18 Ejemplo 3. Sea x R \ {0}. sin[0, x] = sin(x) sin(0) x 0 = sin(x) x = sinc(x). la función seno cardinal Ejemplo 4. Sean a, b R, a b. cos[a, b] = cos(b) cos(a) b a = 2 sin a b 2 sin a+b 2 b a
19 Ejemplo 3. Sea x R \ {0}. sin[0, x] = sin(x) sin(0) x 0 = sin(x) x = sinc(x). la función seno cardinal Ejemplo 4. Sean a, b R, a b. cos[a, b] = = cos(b) cos(a) b a sin a b 2 a b 2 = sin a + b 2 a b 2 sin 2 sin a+b 2 b a
20 Ejemplo 3. Sea x R \ {0}. sin[0, x] = sin(x) sin(0) x 0 = sin(x) x = sinc(x). la función seno cardinal Ejemplo 4. Sean a, b R, a b. cos[a, b] = = cos(b) cos(a) b a sin a b 2 a b 2 = sin a + b 2 a b 2 sin 2 sin a+b 2 b a = sinc a b 2 sin a + b. 2
21 Ejercicio 1. f : R R, f (x) = x 2, a, b R, a b. f [a, b] = Ejercicio 2. f : R R, f (x) = x 4, a, b, R, a b. f [a, b] = Ejercicio 3. a, b R, a b. sin[a, b] = Ejercicio 4. f : [0, + ) R, f (x) = x, a, b 0, a b. f [a, b] =
22 Ejercicio 1. f : R R, f (x) = x 2, a, b R, a b. f [a, b] = Ejercicio 2. f : R R, f (x) = x 4, a, b, R, a b. f [a, b] = Sugiero poner una pausa y resolver los ejercicios Ejercicio 3. a, b R, a b. sin[a, b] = Ejercicio 4. f : [0, + ) R, f (x) = x, a, b 0, a b. f [a, b] =
23 Ejercicio 1. f : R R, f (x) = x 2, a, b R, a b. f [a, b] = a + b. Ejercicio 2. f : R R, f (x) = x 4, a, b, R, a b. 3 f [a, b] = a 3 + a 2 b + ab 2 + b 3 = a 3 k b k. k=0 Ejercicio 3. a, b R, a b. sin[a, b] = sinc a b 2 cos a + b. 2 Ejercicio 4. f : [0, + ) R, f (x) = x, a, b 0, a b. f [a, b] = 1 a + b.
24 Ejercicio 5. f (x) = x n. f [a, b] = Ejercicio 6. tg[a, b] = Ejercicio 7. f (x) = 3 x. f [a, b] =
25 Ejercicio de programación Programar la función dd1 en algún lenguaje de programación. Entrada: f, a, b. Salida: el valor de la diferencia dividida f [a, b].
26 Ejercicio de programación Programar la función dd1 en algún lenguaje de programación. Entrada: f, a, b. Salida: el valor de la diferencia dividida f [a, b]. Realización en el lenguaje GNU Octave (similar a MATLAB) Archivo dd1.m: function result = dd1(f, a, b), result = (f(b) - f(a)) / (b - a); endfunction
27 Ejercicio de programación Programar la función dd1 en algún lenguaje de programación. Entrada: f, a, b. Salida: el valor de la diferencia dividida f [a, b]. Realización en el lenguaje GNU Octave (similar a MATLAB) Archivo dd1.m: function result = dd1(f, a, b), result = (f(b) - f(a)) / (b - a); endfunction Pruebas (en el intérprete de GNU Octave): > dd1(@exp, 0.4, 0.7)
28 Ejercicio de programación Programar la función dd1 en algún lenguaje de programación. Entrada: f, a, b. Salida: el valor de la diferencia dividida f [a, b]. Realización en el lenguaje GNU Octave (similar a MATLAB) Archivo dd1.m: function result = dd1(f, a, b), result = (f(b) - f(a)) / (b - a); endfunction Pruebas (en el intérprete de GNU Octave): > dd1(@exp, 0.4, 0.7) ans =
29 Ejercicio de programación Programar la función dd1 en algún lenguaje de programación. Entrada: f, a, b. Salida: el valor de la diferencia dividida f [a, b]. Realización en el lenguaje GNU Octave (similar a MATLAB) Archivo dd1.m: function result = dd1(f, a, b), result = (f(b) - f(a)) / (b - a); endfunction Pruebas (en el intérprete de GNU Octave): > dd1(@exp, 0.4, 0.7) ans = > h cos(x) + x;
30 Ejercicio de programación Programar la función dd1 en algún lenguaje de programación. Entrada: f, a, b. Salida: el valor de la diferencia dividida f [a, b]. Realización en el lenguaje GNU Octave (similar a MATLAB) Archivo dd1.m: function result = dd1(f, a, b), result = (f(b) - f(a)) / (b - a); endfunction Pruebas (en el intérprete de GNU Octave): > dd1(@exp, 0.4, 0.7) ans = > h cos(x) + x; > dd1(h, 2, 3)
31 Ejercicio de programación Programar la función dd1 en algún lenguaje de programación. Entrada: f, a, b. Salida: el valor de la diferencia dividida f [a, b]. Realización en el lenguaje GNU Octave (similar a MATLAB) Archivo dd1.m: function result = dd1(f, a, b), result = (f(b) - f(a)) / (b - a); endfunction Pruebas (en el intérprete de GNU Octave): > dd1(@exp, 0.4, 0.7) ans = > h cos(x) + x; > dd1(h, 2, 3) ans =
32 Diferencias divididas de primer orden Significado geométrico Forma simétrica Aplicaciones
33 Significado geométrico: la pendiente de la secante f (x) = x 2, x 1 = 0.5, x 2 = 1, f (x 2 ) f [x 1, x 2 ] = f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 = = = 1.5. f (x 1 ) x 1 x 2
34 Significado geométrico: la pendiente de la secante f (x) = x 2, x 1 = 0.5, x 2 = 1, f (x 2 ) f [x 1, x 2 ] = f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 = = = 1.5. f (x 1 ) α x 2 x 1 f (x 2 ) f (x 1 ) La pendiente de la secante es la tangente del ángulo α: tg α = f [x 1, x 2 ]. x 1 x 2 Ecuación de la secante: y f (x 1 ) = f [x 1, x 2 ] (x x 1 ).
35 Diferencias divididas de primer orden Significado geométrico Forma simétrica Aplicaciones
36 Propiedad simétrica f [x 2, x 1 ] = f [x 1, x 2 ]. Demostración. f [x 2, x 1 ] = f (x 1) f (x 2 ) x 1 x 2 = f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 = f [x 1, x 2 ].
37 Forma expandida (simétrica) f [x 1, x 2 ] = f (x 1) x 1 x 2 + f (x 2) x 2 x 1.
38 Forma expandida (simétrica) f [x 1, x 2 ] = f (x 1) x 1 x 2 + f (x 2) x 2 x 1. Buen momento para detener la presentación y demostrar la fórmula
39 Forma expandida (simétrica) f [x 1, x 2 ] = f (x 1) x 1 x 2 + f (x 2) x 2 x 1. Demostración. f [x 1, x 2 ] = f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 = f (x 2) x 2 x 1 f (x 1) x 2 x 1 = f (x 2) x 2 x 1 + f (x 1) x 1 x 2.
40 Diferencias divididas de primer orden Significado geométrico Forma simétrica Aplicaciones Monotonía Definición de la derivada Teorema del valor medio
41 Monotonía en términos de las diferencias divididas de primer orden Sean X un subconjunto de R, f : X R una función. Se dice que f es creciente en X (en el sentido no estricto) si
42 Monotonía en términos de las diferencias divididas de primer orden Sean X un subconjunto de R, f : X R una función. Se dice que f es creciente en X (en el sentido no estricto) si x 1, x 2 X ( ) x 1 < x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ).
43 Monotonía en términos de las diferencias divididas de primer orden Sean X un subconjunto de R, f : X R una función. Se dice que f es creciente en X (en el sentido no estricto) si x 1, x 2 X ( ) x 1 < x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ). Criterio de función creciente en términos de las diferencias divididas de primer orden: f es creciente en X
44 Monotonía en términos de las diferencias divididas de primer orden Sean X un subconjunto de R, f : X R una función. Se dice que f es creciente en X (en el sentido no estricto) si x 1, x 2 X ( ) x 1 < x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ). Criterio de función creciente en términos de las diferencias divididas de primer orden: f es creciente en X Buen momento para detener la presentación y escribir el criterio
45 Monotonía en términos de las diferencias divididas de primer orden Sean X un subconjunto de R, f : X R una función. Se dice que f es creciente en X (en el sentido no estricto) si x 1, x 2 X ( ) x 1 < x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ). Criterio de función creciente en términos de las diferencias divididas de primer orden: f es creciente en X x 1, x 2 X ( ) x 1 x 2 = f [x 1, x 2 ] 0.
46 Monotonía en términos de las diferencias divididas de primer orden Sean X un subconjunto de R, f : X R una función. Se dice que f es creciente en X (en el sentido no estricto) si x 1, x 2 X ( ) x 1 < x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ). Criterio de función creciente en términos de las diferencias divididas de primer orden: f es creciente en X x 1, x 2 X Idea de demostración: ( ) x 1 x 2 = f [x 1, x 2 ] 0. Para x 1 < x 2, la condición f (x 1 ) f (x 2 ) es equivalente a f [x 1, x 2 ] 0. Para x 1 > x 2, usar la simetría: f [x 1, x 2 ] = f [x 2, x 1 ].
47 Definición de la derivada en términos de las diferencias divididas de primer orden Sean X un intervalo de R, f : X R una función, a X. Entonces la derivada de f en el punto a se define como el siguiente ĺımite:
48 Definición de la derivada en términos de las diferencias divididas de primer orden Sean X un intervalo de R, f : X R una función, a X. Entonces la derivada de f en el punto a se define como el siguiente ĺımite: f (a) = Buen momento para detener la presentación y escribir la fórmula
49 Definición de la derivada en términos de las diferencias divididas de primer orden Sean X un intervalo de R, f : X R una función, a X. Entonces la derivada de f en el punto a se define como el siguiente ĺımite: f (a) = lim f [a, x]. x a x a
50 Definición de la derivada en términos de las diferencias divididas de primer orden Sean X un intervalo de R, f : X R una función, a X. Entonces la derivada de f en el punto a se define como el siguiente ĺımite: f (a) = lim f [a, x]. x a x a Ejercicio. Recordar el sentido geométrico. Qué pasa con las pendientes de las secantes cuando x se acerca al punto a?
51 Teorema del valor medio (de Lagrange) en términos de las diferencias divididas de primer orden Sean a < b y sea f : [a, b] R tal que f es continua en [a, b], f es derivable en (a, b). Entonces existe c (a, b) tal que
52 Teorema del valor medio (de Lagrange) en términos de las diferencias divididas de primer orden Sean a < b y sea f : [a, b] R tal que f es continua en [a, b], f es derivable en (a, b). Entonces existe c (a, b) tal que Buen momento para detener la presentación y escribir la fórmula
53 Teorema del valor medio (de Lagrange) en términos de las diferencias divididas de primer orden Sean a < b y sea f : [a, b] R tal que f es continua en [a, b], f es derivable en (a, b). Entonces existe c (a, b) tal que f [a, b] = f (c).
54 Teorema del valor medio (de Lagrange) en términos de las diferencias divididas de primer orden Sean a < b y sea f : [a, b] R tal que f es continua en [a, b], f es derivable en (a, b). Entonces existe c (a, b) tal que f [a, b] = f (c). Ejercicio. Recordar el sentido geométrico.
55 Tareas creativas: diferencias divididas de segundo orden f [x 1, x 2, x 3 ] := f [x 2, x 3 ] f [x 1, x 2 ] x 3 x 1. Escribir f [x 1, x 2, x 3 ] en una forma expandida simétrica: f [x 1, x 2, x 3 ] = f (x 1)? + f (x 2)? + f (x 3).? Suponiendo que f es dos veces derivable en un punto a, calcular el ĺımite lim x 1,x 2,x 3 a, x 1 <x 2 <x 3 f [x 1, x 2, x 3 ]. Suponiendo que f es bastante suave y x 1 < x 2 < x 3, expresar f [x 1, x 2, x 3 ] a través de f (c), donde c (x 1, x 3 ).
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