Rudimentos 10: Algebra del Cuerpo de Números Complejos Profesor Ricardo Santander

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1 Rudimentos 10: Algebra del Cuerpo de Números Complejos Profesor Ricardo Santander 1. Construcción intuitiva del Cuerpo de Números Complejos Lo desarrollado entorno al homomorfismo evaluación en el capitulo anterior, nos permite dar una nueva mirada el concepto de raíz de un polinomio en el siguiente sentido: Si r R, r se llamará una raíz o cero de un polinomio px) R[x] si px) kerϕr)) o equivalentemente pr) = 0 1) Aplicando esta idea al polinomio qx) = ax +bx+c R[x] tenemos para r R que qx) kerϕr)) ϕr)qx)) = 0 ar +br +c = 0 r = b± b 4ac a b 4ac 0 ) Si b 4ac < 0 entonces qx) = ax +bx+c kerϕr)) r;r R) y entonces los posibles gráficos para la función qx) son las siguientes: R Figura 1 : a > 0 b 4ac) < 0 Figura : a < 0 b 4ac) < 0 Por tanto, en este caso, la situación algebraica qx) = ax +bx+c kerϕr)) r;r R), significa geométricamente que el gráfico de qx) no intersecta al Eje x 3) Si b 4ac < 0 entonces b 4ac) > 0. Así que, en ese caso nos gustaría tener que: r = b± b 4ac a = b± 4ac b ) a = b± 4ac b 1 a = b }{{} a R 4ac b ± 1 } a {{} R 1 )

2 Así Donde r 1 = c+d 1 R r = c d 1 R c = b 4ac b a R d = a 4) En ) encima hemos operado sin fundamento matemático, pues; a) En los números reales se verifica: a 0) b 0) = ab = a b b) Nada sabemos en otros casos posibles, como por ejemplo:? a 0) b 0) = ab = a b Pues, en este caso ni a / R, ni tampoco b R) c) En particular no podemos asegurar que 1 =? 1 1 d) En cualquier caso el punto a observar es el siguiente, basta definir un conjunto donde exista 1, y en ese conjunto deberían tener solución las ecuaciones del tipo ax +bx+c = 0. R En efecto ax +bx+c = 0 = x = b 4ac R a Si b 4ac) 0 x = b 4ac b a ± ) 1 R+R 1 a Si b 4ac) < 0 Definición 1.1. Llamaremos números complejos al conjunto C = {u = a+bi a R b R i = 1} Análisis Estudiemos este nuevo conjunto, en particular su operatoria, pues si no existe ésta, es que el conjunto es equivalente a ser vacío. 1) C es un conjunto no vacío, es decir C, pues u = 0+1 i = i C ) Si definimos la función ϕ : R C tal que ϕx,y) = x+iy entonces ϕ es una biyección, porque es posible definir la función ϕ 1 : C R, tal que ϕ 1 x+iy) = x,y). En efecto, por una parte vemos que, R ϕ ϕ C 1 R x,y) x+iy x,y) } = ϕ 1 ϕ)x,y) = x,y) Y por otra ϕ 1 C R C x+iy x,y) x+iy ϕ } = ϕ ϕ 1 )z +iy) = x+iy Así que ϕ es invertible y por tanto es una biyección.

3 1. CONSTRUCCIÓN INTUITIVA DEL CUERPO DE NÚMEROS COMPLEJOS 3 3) Como R es un grupo con la adición, entonces usando la biyección construida podemos dotar a C de una operatoria que lo transforme también en un grupo. La idea es la siguiente, si u 1 = x 1,y 1 ) z 1 = ϕx 1,y 1 ) = x 1 +iy 1 entonces definimos: u = x,y ) z = ϕx,y ) = x +iy z 1 +z := x 1 +x )+iy 1 +y ) Pues, u 1 +u = x 1 +x,y 1 +y ) Como resultado de la gestión anterior tenemos el siguiente resultado Teorema C, +) es un grupo abeliano, donde: 0 C = 0+0 i es el neutro aditivo. Si z = x+iy entonces z = x iy es el inverso aditivo de z La acción geométrica del isomorfismo es: ϕ x,y) z = x+iy Figura 3: Isomorfismo entre R y C En particular, tenemos que: 1) 0,1) R ϕ i C ) Si z = x+iy entonces llamaremos parte real de z a Rez) = x y parte imaginaria de z a Imz) = y Ejemplo Si z = 3i entonces Rez) = e Imz) = 3

4 4 1.. Anillo de Números Complejos. Iniciamos esta sección definiendo un producto de números complejos, Definición Si z 1 = x 1 + iy 1 C y z = x + iy C entonces definimos el producto de números complejos z 1 z = x 1 x y 1 y )+ix 1 y +x y 1 ) Ejemplo 1... Si z 1 = +3i y z = 1 4i entonces z 1 z = +3i)1 4i) = 1))+i3+ 8)) = 14 5i Teorema C, +, ) es un anillo conmutativo con identidad 1. Más aún C {0}, ) es un grupo abeliano. Para verificar este resultado hacemos las siguientes etapas: 1) Mostramos la propiedad asociativa, es decir que z 1 z z 3 ) = z 1 z )z 3 z j ;z j C;j = 1,,3) En efecto Si tomamos z j = a j +ib j C para j = 1,,3 entonces aplicando la definición de producto obtenemos: z 1 z z 3 ) = a 1 +ib 1 )a +ib )a 3 +ib 3 )) = a 1 +ib 1 )a a 3 b b 3 )+ia b 3 +a 3 b ) = a 1 a a 3 b b 3 ) b 1 a b 3 +a 3 b ))+ia 1 a b 3 +a 3 b )+b 1 a a 3 b b 3 )) = a 1 a b 1 b )a 3 b 1 a +a 1 b )b 3 )+ia 1 b +b 1 a )a 3 +a 1 a b 1 b )b 3 ) = z 1 z )z 3 ) A seguir mostramos que el complejo 1 = 1+0i es el neutro multiplicativo En efecto Si z = a+ib C entonces z 1 = a+ib)1+i 0) = a 0)+i0+b) = a+ib = z Análogamente, 1 z = z. Así que 1+0i es el neutro para el producto de complejos. 3) Para la distributividad, z 1 z +z 3 ) = z 1 z +z 1 z 3 z i : z i C;i = 1,,3). Calculamos directamente z 1 z +z 3 ) = a 1 +ib 1 )a +ib )+a 3 +ib 3 )) = a 1 +ib 1 )a +a 3 )+ib +b 3 )) = a 1 a +a 3 ) b 1 b +b 3 )+ia 1 b +b 3 )+b 1 a +a 3 )) = a 1 a b 1 b )+a 1 a 3 b 1 b 3 )+ia 1 b +a b 1 )+a 1 b 3 +b 1 a 3 )) = a 1 a b 1 b )+ia 1 b +a b 1 )+a 1 a 3 b 1 b 3 )+ia 1 b 3 +b 1 a 3 ) = z 1 z +z 1 z 3 4) Para la conmutatividad z 1 z = z z 1 z i : z i C;i = 1,) procedemos como antes, y obtenemos que z 1 z = a 1 +ib 1 )a +ib ) = a 1 b 1 a b )+ia 1 b +a b 1 ) = b 1 a 1 b a )+ib 1 a +b a 1 ) = z z 1

5 5) Finalmente, si z = x+iy C {0} entonces z 1 x = x +y i y x +y es el inverso multiplicativo de z. En efecto. CONSTRUCCIÓN ALGEBRAICA DE C 5 ) x z z 1 = x+iy) x +y i y x +y = x +y ) xy+xy x +y +i x +y = 1+0i Análogamente, z 1 z = Así que UC) = C {0+0i} x x +y i y )x+iy) x +y = x +y ) xy xy x +y +i x +y = 1+0i Luego, C,+, ) es un anillo conmutativo con identidad 1. Más aún C {0}, ) es un grupo abeliano. Definición Sea A un conjunto no vacío. Diremos que A es un cuerpo conmutativo con identidad 1 si A,, ) es un anillo conmutativo con identidad 1 y todo elemento no nulo tiene inverso multiplicativo, es decir UA) = A {0} Ejemplo ) C es el cuerpo de números complejos ) R es el cuerpo de números reales 3) Q es el cuerpo de números racionales 4) Z p es el cuerpo de enteros módulo p, si p es un número primo. Construcción algebraica de C Para esta construcción usaremos las ideas desarrolladas en el proyecto de integración??). Así que iniciamos definiendo en el anillo de polinomios R[x] la siguiente relación px) qx) x +1) px) qx)) cx);cx) R[x]) : px) qx) = x +1)cx) Y concluiremos, después de pasar las siguientes etapas: Etapa 1. es una relación de equivalencia Etapa. 0 = {px) R[x] x +1) px)} Etapa 3. Si definimos i = 1 entonces px) 0 pi) = 0 Etapa 4. px) = {a+bi a R b R} px) R[x] Etapa 1. es una relación de equivalencia

6 6 En efecto px) px) = 0 = 0 x +1). Así que px) px) y es una relación reflexiva. Si px) qx) entonces cx);cx) R[x]) : px) qx) = x +1)cx), Pero qx) px) = px) qx)) = [x +1)cx)] = qx) px) = x +1) cx)) Así que qx) px) y es una relación simétrica Si suponemos que px) qx) y qx) hx) entonces r 1 x);r 1 x) R[x]) y r x);r x) R[x] tal que px) qx) = x +1)r 1 x) y qx) hx) = x +1)r x). Luego tenemos que px) qx)+qx) hx) = x +1)r 1 x)+x +1)r x) = px) hx) = x +1)[r 1 x)+r x)] Así que px) hx) y es una relación transitiva, y en consecuencia es una relación de equivalencia. Etapa. 0 = {px) R[x] x +1) px)} En efecto px) 0 px) R[x] px) 0 px) R[x] x +1) px) 0) px) R[x] cx);cx) R[x] px) = x +1)cx)) Por tanto, 0 = {x +1)cx) cx) R[x]} Etapa 3. Si definimos i = 1 entonces px) 0 pi) = 0 En efecto Etapa 4. px) 0 px) R[x] cx);cx) R[x]) : px) = x +1)cx) px) R[x] cx);cx) R[x]) : pi) = i +1)ri) px) R[x] pi) = 0 px) = {a+bi a R b R} px) R[x] En efecto Sea px) R[x] entonces px) = x +1)sx)+rx), donde px)) 1 px) = x +1)sx)+rx) = pi) = i +1)si)+ri) = pi) = ri) Concluimos que: 0 = x +1 = x = i

7 3. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE C 7 px) = x +1)sx)+rx) : px)) 1 = px) = rx) = a+bx px) = a+bx = px) = a+bx = a+bi px) = px) = pi) = {a+bi a R b R} px) R[x] px) R[x] px) R[x] 3. Interpretación Geométrica de C Inicialmente asociemos a un complejo z un ángulo α, según la figura: z = x+iy y α x Figura 4 : Un complejo y su ángulo Y si llamamos módulo del complejo z, a z = x +y entonces aplicando ideas básicas de trigonometría obtenemos que x = z cosα y = z senα Definición 3.1. Llamaremos forma polar o trigonométrica de z a z = z cosα+isenα) Ejemplo Si z = 1+i entonces ϕ1,1) = 1+i. Así que 1+i cos π 4 1+i sen π 4 = 1+i) = cos π 4 +isen π ) Raíces de la Unidad. En lo que sigue estaremos interesados en resolver la ecuación x n = 1, es decir en determinar el conjunto Rn) = {u C u n = 1} Definición u C se llamará una raíz n ésima, n N) de la unidad si u Rn), equivalentemente si satisface la ecuación x n = 1, es decir, si verifica que u n = 1 Para determinar el conjunto Rn) = {u C u n = 1} usaremos una estrategia, basada esencialmente en las propiedades que se desprenden de la forma polar de un complejo z. 1) Aplicamos el método de Inducción para mostrar la fórmula de Abraham de Moivre cosα+isenα) n = cosnα+isennα) n;n N) 1)

8 8 Si n = entonces cosα+isenα) = cos α+icosαsenα sen α = cos α sen α+icosαsenα = cosα+isenα Ahora para n = k suponemos verdadero que cosα+isenα) k = coskα+isenkα Finalmente mostramos que 1) se verifica para n = k+1 cosα+isenα) k+1 = cosα+isenα) k cosα+isenα) = coskα+isenkα)cosα+isenα) = coskαcosα+icoskαsenα+senkαcosα) senkαsenα = coskαcosα senkαsenα+icoskαsenα+senkαcosα) = coskα+α)+isenkα+α) = cosk +1)α+isenk +1)α) Así que cosα+isenα) n = cosnα+isennα n;n N) ) Aplicando el resultado obtenido en 1) tenemos que z n = 1 z n cosnα+isennα) = 1+0i z cosnα = 1 z sennα = 0 = z cos nα = 1 z sen nα = 0 Luego, = z cos nα+sen nα) = 1 = z = 1 = z = 1 z n = 1 cosnα = 1 sennα = 0 = nα = kπ k Z) = α = kπ n k Z) Finalmente, haciendo las respectivas sustituciones tenemos que z n = 1 z = cos kπ n Por tanto las soluciones de la ecuación z n 1 = 0 son Rn) = ±isen kπ n { z = cos kπ } kπ ±isen n n k Z 3) Faltan aún algunas importantes precisiones. Si notamos por ω n = cos π n isen π n ) entonces a) ω n n = cos nπ n isen nπ n b) ω k n) n = ω n n) k = 1 k;k Z) = cosπ isenπ = 1

9 3. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE C 9 c) De los resultados anteriores, sigue que las soluciones de la ecuación z n = 1 son Rn) = {ω 0 n,ω 1 n,ω n,...,ω n 1 n } = {1,ω n,ω n,...,ω n 1 n } 3) Ejemplo 3... Si n= entonces R) = {1,ω } = { 1,cos π isen π } = {1, 1} Gráficamente tenemos: ω 1,0) Figura5 : R) Si n=3 entonces Gráficamente tenemos: R3) = {1,ω 3,ω3 { } = 1,cos π 3 isen π 3,cos 4π 3 isen 4π } 3 = {1,cos10 isen10,cos40 isen40} ω 3 1,0) ω 3 Figura 6 : R3)

10 10 Concluimos esta sección, en primer lugar observando que Rn) divide en n partes iguales al círculo unitario, y para identificar estas raíces de ahora en adelante haremos la siguiente definición. Definición ω n se llamará una raíz n-ésima primitiva de la unidad y ω k n se llamará una raíz n-ésima de la unidad. 4. Aplicaciones 4.1. Solución de la ecuación z n = u. Este caso lo solucionamos aplicando los resultados obtenidos en la sección anterior. 1) z n = u zn u = 1 z n u ) n = 1 ) Si llamamos q = z n u entonces las soluciones de la ecuación q n = 1 son dadas por Rn), así que la solución final debe ser del tipo, z k = n u ω k n, para k = 0,1,,...,n 1. 3) Por otra parte, como u = u cosα+isenα) entonces 1 n u = u ncosα+isenα) 1 n = u 1 n cos α n +isen α ) n 4) Finalmente las soluciones son del tipo: z k = n u ωn k = u 1 n cos α n +isen α ) cos kπ ) kπ isen n n n = u 1 n [ cos α kπ +isen α kπ ] n n k = 0,1,,...,n 1 Ejemplo Si z 3 = 1+i determinamos en primer lugar, la forma polar del complejo 1+i. Es decir 4) 1+i = 1+i cosα+isenα) = cosα = 1 senα = 1 = α = π 4 Por tanto 1+i = cos π 4 +isen π ) 4 Luego aplicando 4) a la ecuación z 3 = 1+i tenemos que las soluciones son del tipo z k = 1 6 Es decir, z 0 = 1 6cos15+isen15) z 1 = 1 6cos315 isen315) z = 1 6cos675 isen675) cos 45 kπ +isen 45 kπ ) 3 3 k = 0,1,

11 4. APLICACIONES La Matriz de Fourier. Dada la periodicidad de ω n, es decir una raíz primitiva n-ésima de la unidad satisface las propiedades: 1) ω n n = 1 ) Si s Z y s > n como s = rn+t, con t < n entonces ω s n = ωrn+t n = ω rn n ωt = ω t Podemos construir una matriz de orden n sobre C. Definición Llamaremos matriz de Fourier de orden n a la matriz, F n = ω n ) i j M C n); tal que 0 i n 1) 0 j n 1) Es decir, F n = ωn 0 0 ωn 0 1 ωn 0 ωn 0 n 1) ωn 1 0 ωn 1 1 ωn 1 ωn 1 n 1) ωn 0 ωn 1 ωn ωn n 1). ω n 1) 0 n. ω n 1) 1 n. ω n 1) n.. ω n n 1) n 1) = ωn 1 1 ωn 1 ωn 1 n 1) 1 ωn 1 ωn ωn n 1).. 1 ω n n 1) 1. ω n 1) n.. ω n n 1) n 1) Ejemplo 4... i) F = ) ii) F 3 = ω 3 ω 3 1 ω 3 ω 3 iii) F 4 = i 1 i i 1 i Observación Si consideramos la ecuación F n X = X, donde X = x 0 x 1. X = x 0 x 1. x n 1) } {{ } Datos x n 1) }{{} Transformados Entonces de acuerdo al producto de matrices y a la igualdad de matrices tenemos que cada dato transformado se calcula de la forma: x k = n 1 x s ωn ks s=0 k = 0,1,,...,n 1)

12 1 Para n = tenemos x k = = 1 x n w kn k = 0,1) 1 x n 1) kn k = 0,1) = x 0 1) k 0 +x 1 1) k 1 k = 0,1) x 0 = x 0 +x 1 x 1 = x 0 x 1 Es decir, ) ) ) ) x0 x0 x0 +x = = 1 x 1 x 1 x 0 x 1 Para n = tenemos para k = 0,1,,3) que Ahora como ω 4 = x k = cos π 4 isen π 4 1 x n ω kn 4 = x 0 ω4 k 0 +x 1 ω4 k 1 +x ω4 k +x 3 ω4 k 3 = x 0 +x 1 ω4 k +x ω4 k +x 3ω4 3k = x 0 +x 1 ω4 k +x ω4) k +x 3 ω4) k 3 ) entonces tenemos la siguiente útil fórmula de reducción ω 4 = = = ) cos π 4 isen π 4 cos π isen π ) 4 4 cos π isen π ) = ω Así que reordenamos la expresión de x k, para posteriormente aplicar la fórmula, Para cada k = 0,1,,3 obtenemos x k = x 0 +x 1 ω k 4 +x ω 4 )k +x 3 ω 3 4 )k = x 0 +x 1 ω k 4 +x ω 4) k +x 3 ω 4ω 4 ) k = x 0 +x 1 ω k 4 +x ω 4 )k +x 3 ω 4 )k ω k 4 = x 0 +x 1 ω k 4 +x ω k +x 3ω ) k ω k 4 = x 0 +x ω k +x 1 +x 3 ω k )ω k 4 = x 0 +x 1) k +x 1 +x 3 1) k )ω k 4 recordar que ω = 1))

13 5. EJERCICIOS PROPUESTOS 13 x 0 = x 0 +x )+x 1 +x 3 ) x 0 = x 0 +x )+x 1 +x 3 ) x 1 = x 0 x )+x 1 x 3 )ω 4 x x = x 0 +x )+x 1 +x 3 )ω4 1 = x 0 x )+x 1 x 3 )ω 4 x = x 0 +x ) x 1 +x 3 ) x 3 = x 0 x )+x 1 x 3 )ω4 3 x 3 = x 0 x ) x 1 x 3 )ω 4 Luego, tenemos para calcular la transformada de orden 4, el siguiente algoritmo. x k = 1 x n ω kn 4 = 1 x n ω kn +ω k 4 Podemos esquematizar para n = este procedimiento como sigue: 1 x n+1 ω kn x 0 x 0 x 1 x 1 Para n = 4 Etapa de Permutación Aplicación de F Aplicación de F alterada x 0 x 0 x 0 +x x 0 x 1 x x 0 x x 1 x x 1 x 1 +x 3 ω 4 x x 3 Datos x 3 x 1 x 3 ω 4 x 3 Datos Originales transformados Finalmente, si n = s obtenemos la fórmula de reducción: 1 x k = s x n ω kn s 1 +ω k s s x n+1 ω kn s 1 1) Resuelva las siguientes ecuaciones: i) x 3 7 = 0 ii) x 5 +3 = 0 iii) x 6 i = 0 iv) x 6 1 = 0 5. Ejercicios Propuestos ) Si definimos e ix = cosx+isenx, fórmula de Euler) entonces: 1 Todo lo anterior es descrito por el famoso y popular Algoritmo de Cooley - Tukey

14 14 i) Demuestre que ii) Demuestre que cosx = eix +e ix senx = eix e ix i iii) Demuestre que 3) Si z C y r R entonces demuestre que: 4) Demuestre que cos y sen y = 1 8 cos4y i = 5 e iarctan1 ) z = i r 1+ir = z 3 4 i = 1 4 ) i 1 i 3) cos π 5 +isen π 10n = i 5) 5) Si x 1 = α α 4 y x = α α 3 entonces demuestre que 6) Demuestre que 7) Calcule 8) Determine el conjunto 9) Si z C {0} demuestre que α 5 = 1 = x 1 +x = 5 ) 1 e ix i 1+e ix 1+itanα 1 itanα = tan x S = {z C z = z } z + 1 z R = Imz) = 0 z = 1 10) Si z C {0} y z ±i entonces demuestre que z z z = 1 = 1+z R 11) Demuestre que las raíces cúbicas de la unidad son los vertices de un triángulo equilátero. 1) Demuestre que z z R7) {1} = 1+z + z 1+z 4 + z3 1+z 6 = 13) Si z = n!+in 1)! y w = n+i entonces demuestre que z = n 1)! w 14) Si z = cosθ +isenθ entonces demuestre que z n + 1 z n = cosnθ 15) Demuestre que [ 3 i) n = n cos nπ nπ ] isen i 16) Si z = 6. Determine Rez) e Imz) 3+i

15 17) Si x n +iy n = i 3 5. EJERCICIOS PROPUESTOS 15 ) n entonces demuestre que x 10 x 8 + y 10 y 8 = 0 18) Si x n +iy n = 3+i) 6n entonces demuestre que x n + 6 x n 1 = 0 ) 1+i n 19) Si x n +iy n = entonces demuestre que x n y n 1 x n 1 y n = 1 0) Determine el conjunto S = 1) si ρ = a+bi entonces demuestre que { x,y) R a+bi = ± [ ρ+a 1 x+iy + } x iy = 1+i +i ] ρ a ) Si pz) = z 6 +z 5 +z 4 +z 3 +z +z +1 C[z]. Determine el conjunto Ayuda: Observe que p 1) = 0 S = {u C pu) = 0} 3) Descomponga en fracciones parciales ux) = 3x+1 x 6 1 4) Para el sistema lineal Determine el conjunto 1+i)z iw = +i +i)z + i)w = i ) S = {z,w) C ) tiene solución}

16 16 6. Situaciones de Desempeño: Números Complejos 6.1. El objetivo de esta sección es presentar al Estudiante Situaciones Problemáticas que le permitan: ) Estimular la comprensión de lectura en problemas matemáticos. ) Clasificar después de leer el problema, entre información y resultado pedido. ) Estimular el uso de una sintaxis adecuada en la resolución de problemas que envuelven conceptos matemáticos. ) Aprender a generar un algoritmo eficaz ojalá eficiente), para responder al problema planteado. ) Verificar el estado de aprendizaje de los contenidos específicamente relacionados con las propiedades básicas que debe conocer, y en lo posible haber aprehendido de los tópicos analizados. 6.. Algunas sugerencias para enfrentar las situaciones problemáticas son las siguientes: ) Lea cuidadosamente el problema. ) Reconozca lo que es información dato), de lo que es incognita, o lo que a usted se le consulta. ) Trate de entender en la forma más clara para usted, lo que se le pide, en particular si puede usar sinónimos matemáticos, que le permitan facilitar su respuesta, cuanto mejor!!! Este acto nunca esta de más. ) Analice sus datos extrayendo la información que corresponde, orientado por su entendimiento de lo que debe probar Situaciones de Desempeño Propuestas: 1) Si z = 1 i) entonces demuestre que Imz16 ) = 0 ) Si z = 1+i)n 1 i) n, para n N. Determine Rez) e Imz). 3) Determine el conjunto S = {z C z 4 +8i = 0} 4) Si w C tal que w 3 = i Rew) < 0 entonces calcule w i 5) Si a+bi = ±α+iβ). Determine a bi 6) Dado n N) tal que n > 1. Demuestre que: a) ω k kn = ω n para cada k N) b) Demuestre que 7) Demuestre que n wn i = 1 i=0 z n z n cosnα = 1 = [z n = cosnα+i sen nα) z n = cosnα i sen nα)]

17 8) Demuestre que 6. SITUACIONES DE DESEMPEÑO: NÚMEROS COMPLEJOS 17 cosα+i sen α) n = cosnα+isennα n;n N) 9) Si x 1 = α α 4 y x = α α 3 y α 1 entonces demuestre que α 5 = 1 = x 1 +x = 5 10) Si α es una raíz cúbica de la unidad, α 1 pruebe que 11) Demuestre que 1+ω 3 )3 +1 = 0 1) Si z = 1+ω n 3 +ωn 3 entonces demuestre que a) n divisible por 3 = z = 3 b) n no divisible por 3 = z = 0 13) Si consideramos la ecuación F 8 X = X, donde 1 α)1 α )1 α 4 )1 α 5 ) = 9 X = x 0 x 1. x 7) X = }{{} Datos entonces para cada k = 0,1,,...,7) se tiene que: x 0 x 1. x 7) }{{} Transformados x k = 3 x n ω kn 4 +ω k 8 3 x n+1 ω kn 4

18 18 7. Solución de Situaciones de Desempeño: Números Complejos 1) Si z = 1 i) entonces demuestre que Imz16 ) = 0 Solución La técnica será usar la representación en la forma polar del complejo z <<con la única intención de usar la formula de Demoivre>> entonces con esto en mente procedemos, z = 1 i) = z = cos5π/4)+isen5π/4)) Forma polar de z) = z 16 = cos5π/4) +isen5π/4)) 16 = z 16 = cos0π)+i sen0π) Fórmula de De Moivre) = z 16 = cos0)+isen0) = z 16 = 1+i 0 entonces Imz 16 ) = 0 ) Si z = 1+i)n 1 i) n, para n N. Determine Rez) e Imz). Procedemos directamente buscando la forma binomial del complejo, para leer su parte real e imaginaria. z = 1+i)n 1 i) n 1+i) n = 1 i) n 1 i) ) 1+i) n = 1 i) 1 i) ) 1+i)1+i) n = 1 i) 1 i)1+i) 1+i) ) n = 1 i) = 1 n 1+i)n 1 i) = 1 [cos π n 4 +i sen π ]) n [ cos π 4 4 i sen π ]) 4 = cos π 4 +i sen π ) n cos π 4 4 i sen π ) 4 = cos π +i sen π ) n cos π i sen π ) = i n i) = i n+1 Luego, tenemos dos casos: n = k +1 n = k n = k +1 = z = i) k+ = i) k i) = 1) k 1) = Rez) = 1) k e Imz) = 0

19 7. SOLUCIÓN DE SITUACIONES DE DESEMPEÑO: NÚMEROS COMPLEJOS 19 n = k = z = i) k+1 = i) k i) = 1) k i) = Rez) = 0 e Imz) = 1) k+1 3) Determine el conjunto S = {z C z 4 +8i = 0} Etapa 1. Determinamos los elementos de S z S z C z 4 +8i = 0 z C z 4 = 8i Etapa. Para determinar los elementos de S debemos resolver la ecuación z n = u. ) z k = u 1 n cos α+kπ +isen α+kπ ) n n k = 0,1,,...,n 1 Partimos determinando la forma polar del complejo 8i. 8i = 8cos π/)+isen π/)) Y reemplazando en nuestra fórmula obtenemos que, z k = 4 π 8 cos +kπ ) 4 π +i sen De donde las soluciones de la ecuación dada son: +kπ 4 )) k {0,1,,3} z 0 = 4 8 cos π ) +isen π )) 8 8 z 1 = 4 8 cos 3 π ) +isen 3 π )) 8 8 z = 4 8 cos 7 π ) +isen 7 π )) 8 8 z 3 = 4 8 cos 11 π ) +isen 11 π )) 8 8 Así S = {z 0,z 1,z,z 3 } 4) Si w C tal que w 3 = i Rew) < 0 entonces calcule w i En efecto a) Como w 3 = i entonces w es raíz cúbica de i entonces w 3 = i = cos π +i sen π b) Las soluciones de esa ecuación cúbica son de la forma, π w k = cos +kπ ) π +isen +kπ ), k {0,1,} 3 3

20 0 Es decir, π π w 0 = cos +isen 6) ) 6) 5π 5π w 1 = cos +isen w = cos 6 9π 6 ) +isen 9π 6 ) 6 ) c) Finalmente como, para k = 0,Rew) > 0 y para k =,Rew) = 0 entonces w i = 5) Si a+bi = ±α+iβ). Determine a bi 3 + i i = 1 Este es un cálculo directo, buscando como aplicar la única hipótesis que existe, es decir, a bi = 1)a+bi) = 1) a+bi) = i ±α+iβ)) = ±iα+i β) = ±iα β) = ± 1)β iα) = β iα) 6) Dado n N) tal que n > 1. Demuestre que: a) ω k kn = ω n para cada k N) Solución ω k kn = cos π ) π k i sen kn kn = cos k π kn i sen k π kn = cos π n i sen π n = ω n b) Demuestre que n wn i = 1 i=0 En efecto i) wn n = 1, pues w n = cos π n +isen π n y entonces πn πn wn n = cos +isen n n = 1 ii) wn n 1 w n 1 = 1+w n +wn + +wn n 1 = 1+w n +wn + +wn n 1 = 0

21 7. SOLUCIÓN DE SITUACIONES DE DESEMPEÑO: NÚMEROS COMPLEJOS 1 Así que n wn i = 1 = 1+w n +wn + +wn 1 n +wn n }{{} = wn n = 1 0 i=0 7) Demuestre que z n z n cosnα = 1 = [z n = cosnα+i sen nα) z n = cosnα i sen nα)] Solución z n z n cosnα+1 = 0 z n ) z n cosnα+1 = 0 = z n = cosnα± cosnα) 4 = z n = cosnα± 4cos nα 4 = z n = cosnα± 4cos nα 1) = z n = cosnα± 4 1)1 cos nα) = z n = cosnα±i sen nα = z n = cosnα±i sen nα = [z n = cosnα+i sen nα] [z n = cosnα i sen nα] 8) Demuestre que cosα+i sen α) n = cosnα+isennα n;n N) Solución: Usaremos la técnica de Inducción Matemática) Si n = entonces cosα+i sen α) = cos α+icosα sen α sen α = cos α sen α+icosα sen α = cosα+i sen α Ahora si suponemos que cosα+i sen α) k = cosα+i sen α) n entonces

22 cosα+i sen α) k+1 = cosα+i sen α) k cosα+i sen α) = coskα+i sen kα)cosα+i sen α) = coskαcosα+icoskα sen α+ sen kαcosα) sen kα sen α = coskαcosα sen kα sen α+icoskα sen α+ sen kαcosα) = coskα+α)+isen kα+α) = cosk +1)α+isen k +1)α) Así que cosα+i sen α) n = cosnα+i sen nα 9) Si x 1 = α α 4 y x = α α 3 y α 1 entonces demuestre que α 5 = 1 = x 1 +x = 5 Etapa 1. Reemplazamos directamente los valores de x 1 y x y obtenemos, x 1 +x = α α 4 ) +α α 3 ) = α α 5 +α 8 +α 4 α 5 +α 6 = α +α 3 +α 4 +α = 4+α+α +α 3 +α 4 ) Etapa. Aplicando nuestra información tenemos que α5 1 α 1 = 1+α+α +α 3 +α 4 α 5 1 = 0 entonces 1+α+α +α 3 +α 4 = 0 α+α +α 3 +α 4 = 1 Finalmente sustituyendo en ) obtenemos el resultado x 1 +x = 5 10) Si α es una raíz cúbica de la unidad, α 1 pruebe que En efecto 1 α)1 α )1 α 4 )1 α 5 ) = 9 1 α)1 α )1 α 4 )1 α 5 ) = 1 α)1 α )1 α)1 α ) Pues, α 3 = 1) = 1 α) 1 α ) = 1 α+α )1 α ) ) Observamos además que como α 3 1 α 1 = 1+α+α

23 7. SOLUCIÓN DE SITUACIONES DE DESEMPEÑO: NÚMEROS COMPLEJOS 3 Entonces Así que sustituyendo en ) tenemos que α 3 = 1 = 1+α+α = 0 = α = 1 α 11) Demuestre que 1+ω 3 )3 +1 = 0 Solución 1 α)1 α )1 α 4 )1 α 5 ) = 1 α 1 α)1+1+α) Directamente calculamos 1+ω 3 )3 +1. = 3α)+α) = 3α)4+4α+α ) = 3α)3+1+3α+α+α ) = 3α)3+3α) = 9α 9α = 9α+α ) = 9 1) = 9 1) Si z = 1+ω n 3 +ωn 3 entonces demuestre que 1+ω 3 )3 +1 = 1+3ω 3 +3ω4 3 +ω = 1+3ω 3 +3ω = 31+ω 3 +ω 3 ) = 3 0 = 0 a) n divisible por 3 = z = 3 Solución Si n divisible por 3 entonces n = 3k, para algún k N entonces sustituyendo en z tenemos que b) n no divisible por 3 = z = 0 z = 1+ω3 3k +ω3 6k = 1+ω3 3 )k +ω3 3 )k = = 3 Solución Si n no es divisible por 3 entonces n = 3k+1 o n = 3k+ para algún k N entonces sutituyendo en z tenemos que z = 1+ω 3k+1 3 +ω 6k+ 3 = 1+ω 3 +ω 3 = 0

24 4 O bien, z = 1+ω3 3k+ +ω3 6k+4 = 1+ω3 +ω 3 = 0 13) Si consideramos la ecuación F 8 X = X, donde X = x 0 x 1. x 7) X = }{{} Datos entonces para cada k = 0,1,,...,7) se tiene que: x 0 x 1. x 7) }{{} Transformados x k = 3 x n ω kn 4 +ω k 8 3 x n+1 ω kn 4 En efecto Si n = 3 tenemos para k = 0,1,,...,7) por definición que x k = 3 1 x n ω kn 8 = x 0 ω8 0 +x 1 ω8 k +x ω8 k +x 3 ω8 3k +x 4 ω8 4k +x 5 ω8 5k +x 6 ω8 6k +x 7 ω8 7k = x 0 ω8 0 +x 1ω8 k +x ω4 k +x 3ω4 k ωk 8 +x 4ω4 k +x 5ω4 k ωk 8 +x 6ω4 3k +x 7ω4 3k ωk 8 = x 0 +x ω4 k +x 4 ω4 k +x 6 ω4 3k +x 1 ω8 k +x 3 ω4ω k 8 k +x 5 ω4 k ω8 k +x 7 ω4 3k ω8 k = x 0 +x ω4 k +x 4ω4 k +x 6ω4 3k +x 1 +x 3 ω4 k +x 5ω4 k +x 7ω4 3k )ωk 8 = 3 x n ω kn 4 +ω k 8 3 x n+1 ω kn 4

25 Indice Alfabético Algoritmo para determinar la matriz inversa, 3 Anillo conmutativo con identidad, 1 Anillo de matrices, 3 Anillos, 1 Determinante de orden, 6 Determinante de orden n, 7 Método de Laplace, 7 Matrices equivalentes por filas, 17 Matriz adjunta, 13 Matriz de cofactores, 13 Matriz elemental, 19 Matriz escalonada reducida por filas, 18 Matriz escalonada por filas, 18 Matriz invertible o no singular, 13 Propiedades del determinante, 7 Rango de una matriz, 18 Situaciones de Desempeño: Estructura de Anillo, 7 Solución de situaciones de desempeño: Estructura de Anillo, 30 Unidad de un anillo, 1 5

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27 Contenidos 1. Construcción intuitiva del Cuerpo de Números Complejos 1. Construcción algebraica de C 5 3. Interpretación Geométrica de C 7 4. Aplicaciones Ejercicios Propuestos Situaciones de Desempeño: Números Complejos Solución de Situaciones de Desempeño: Números Complejos 18 Indice Alfabético 5 7