Geometría de Curvas y Superficies

Transcripción

1 Geometría de Curvas y Superficies Primera Práctica -3 de Noviembre de 005 Comenzamos aprendiendo a utilizar un programa informático, muy fácil de usar, que permite dibujar curvas en el plano y en el espacio. También permite calcular y visualizar algunos de los elementos y objetos que hemos asociado a la curvas en su estudio geométrico y analítico, por ejemplo, el diedro o el triedro de Frénet, la curvatura y la torsión, la circunferencia osculatriz, la curva evoluta, etc. Incluso permite ver que el Teorema Fundamental de la Teoría de Curvas es efectivamente cierto, y que se puede usar para construir gráficamente las curvas a partir de sus curvaturas. Este programa se llama Estelas y ha sido diseñado por Ángel Montesinos, de la Universidad de Valencia, y Javier Lafuente, de la Universidad Complutense de Madrid. En esta primera práctica sólo trabajaremos con curvas planas. De las dos opciones que se permiten para curvas planas elegimos paramétricas en el cuadro superior y diedro de Frénet en el inferior.. Estudiamos la curva plana definida por α(t) =(x(t),y(t)) = (,t). Hay que fijar en cada caso, antes de introducir los datos de x(t) ey(t), pulsando la opción Ver funciones, el intervalo en que vamos a permitir variar el parámetro t. Por ejemplo, ponemos <t<. Aceptando estos datos se consigue la traza de la curva ( una recta vertical!). Los ejes de coordenadas se ven en gris con unidades señaladas. Arrastrando el

2 cursor de la izquierda con el ratón se ve desplazarse sobre la curva el diedro de Frénet. El vector tangente unitario es verde y el normal es rojo, excepto cuando se solapan con la traza de la curva, en cuyo caso cambian de color. Al mover el cursor se ven los valores del parámetro t en uno de los cuadros. Qué significa Cur? Qué esh?. Ponemos ahora α(t) =(x(t), y(t)) = (cos t, sin t) con el mismo rango de t. Observa lo que pasa con la curvatura y con h al mover el cursor. 3. Quizás para acabar de averiguar lo que es h será mejor ampliar el rango del parámetro a 4 <t<4 y volver a mover el cursor para observar los valores que va tomando. 4. Elige ahora las funciones coordenadas de la curva así α(t) =(x(t),y(t)) = (t 3 4t, t 4), pero elige el rango.5 <t<.5. Date cuenta de que la traza de una curva puede cortarse a sí misma porque ella no tiene por qué ser una aplicación inyectiva. 5. La siguiente elección α(t) =(x(t),y(t)) = (t 3,t ), con el mismo rango de variación de t, nos da una traza que tiene un pico en el origen. Cómo se concilia esto con la muy repetida afirmación de que la diferenciabilidad de las funciones se nota en que sus gráficas no tengan picos? Usa el cursor y observa lo que ocurre con el diedro de Frénet en ese pico. Explícalo. Explica también qué pasa con la curvatura. 6. Ahora vamos a introducir como datos, no funciones polinómicas, sino funciones un poco más complicadas, funciones racionales ( ) t t α(t) =(x(t),y(t)) = +t 3,. +t 3 Está claro que no están definidas en t = y, por tanto, habrá que evitar el en el dominio de t. Pero para no perdernos lo que pasa en t = elegimos un intervalo como, por ejemplo, 0.8 <t<0.

3 Mira cómo evoluciona la curvatura al aumentar t. Para tener una idea de lo que pasa al hacerse t muy grande, amplía el rango de t por la derecha hasta 00. Date cuenta de que la curva es inyectiva como aplicación. Por eso la traza no se corta a sí misma. Pero, su traza es homeomorfa a una recta? 7. Vamos a probar ahora con alguna curva plana cuyas funciones coordenadas sean trascendentes. Por ejemplo α(t) =(x(t),y(t)) = ( e t cos t, e t sin t ) y para empezar ponemos un rango simétrico para el parámetro <t<. Está claro que hay que aumentar el intervalo por la derecha si se quiere ver mejor la forma de la traza de la curva. Pongamos <t<0. Si usas el cursor de la izquierda verás que el diedro de Frénet da muchas vueltas cerca del origen. Qué pasa con la curvatura cerca del origen? Para tener una visión clara de lo que pasa por el origen vamos a retardar un poco la exponencial, es decir, vamos a cambiar ligeramente las funciones coordenadas de la curva α(t) =(x(t),y(t)) = ( e (0.)t cos t, e (0.)t sin t ). Ahora está claro por qué esta curva se llama espiral logarítmica. Si ampliamos el intervalo en donde se mueve t a podremos ver algo mejor la curva. <t<00 Vamos a trabajar ahora con la opción Evoluta que nos permite elegir el cuadro inferior. Ante todo vamos a recordar lo que es la evoluta de una curva α. Se define como la curva cuya traza está formada por los centros de curvatura de α. El centro de curvatura de α en el instante t es el centro de la circunferencia osculatriz de α en el instante t. Se llama osculatriz (de la palabra latina osculum que significa beso) porque tiene en común con la curva en ese instante la recta tangente y la curvatura. Para que exista es necesario entonces que la curvatura de α no se anule en ese punto, 3

4 o sea, que k(t) 0. Además su centro debe estar en la recta normal de α en t. Con esas dos indicaciones se ve rápidamente que la evoluta ɛ de α está dada por ɛ(t) =α(t)+ N(t) t I, k(t) donde I es el intervalo donde está definida α y N es su vector normal unitario. Vamos a retomar los mismos ejemplos de curvas que hemos visto antes y estudiar sus evolutas.. Qué ocurrirá con la recta α(t) =(x(t),y(t)) = (,t) del Ejemplo? Está claro que una recta tiene curvatura nula en cada punto. Por tanto no hay circunferencia osculatriz en ningún punto, ni radio de curvatura. No tiene sentido por tanto hablar de su evoluta. Intenta usar el programa para ver que esto es así.. La circunferencia de radio uno de los Ejemplos y 3 tiene curvatura constante (uno, en este caso). Por esa razón está claro que la circunferencia osculatriz de una circunferencia en un punto es ella misma. Por tanto, los centros de curvatura en cada punto coinciden con el centro geométrico de la circunferencia. La evoluta de una circunferencia debe ser por tanto una curva constante. Qué ocurre si intentamos ver esto con Estelas? Date cuenta de que el programa dibuja la circunferencia osculatriz (en verde claro) y el radio (en rojo) que va desde el punto de la curva al centro de curvatura y que el extremo de ese radio traza (en verde oscuro o azul) la evoluta. Analíticamente está claro que el vector tangente de la evoluta en cada instante está dado por ( ) ɛ (t) =α (t)+ N(t)+ k(t) k(t) N (t). Pensemos que α está p.p.a. para que los cálculos sean más fáciles. Entonces N (t) = k(t)α (t), ya que α (t) es el tangente unitario. Por tanto ( ) ɛ (t) = N(t). () k(t) Si k(t) es constante y no nula, tenemos ɛ (t) = 0 para cada t y ɛ es una curva constante. 3. Idem. 4. Volvamos a nuestro Ejemplo 4 de curva polinómica con una auto-intersección α(t) =(x(t),y(t)) = (t 3 4t, t 4) 4

5 que dibujamos en el intervalo.5 <t<.5. Si marcamos la opción Evoluta y hacemos correr el cursor obtendremos una curva simétrica con forma de punta de lanza. Tiene tres picos. Por qué? Observa bien qué ocurre con los valores que toma la curvatura antes y después de que se produzca un pico de la evoluta. Te ayuda mirar la ecuación ()? 5. Nuestro quinto ejemplo era de una curva que tenía un pico a pesar de ser diferenciable. De hecho era el grafo de una función que no es diferenciable. Era α(t) =(x(t),y(t)) = (t 3,t ). Por qué no tiene picos la evoluta de esta curva? 6. Qué puedes decir acerca de la evoluta del folium de Descartes que estudiamos en el Ejemplo 7 y que estaba dado por ( ) t t α(t) =(x(t),y(t)) = +t 3, +t 3 y donde t varía en ] 0.8, 0[? 7. Traza la evoluta de la espiral logarítmica α(t) =(x(t),y(t)) = ( e t cos t, e t sin t ) en el primer intervalo que la dibujamos <t<. Te atreves a hacer una predicción? Amplía el intervalo por la derecha hasta ], 0[ y repite el experimento. Qué dices ahora? 8. Ejercicio: Calcula la evoluta de la espiral logarítmica dada por α(t) =(x(t),y(t)) = ( e at cos t, e at sin t ) donde a es un número real positivo, y demuestra que coincide con ella misma después de hacer un giro de noventa grados en el sentido de las agujas del reloj y de hacer una homotecia de razón a. Eso explica lo que viste en Estelas. 9. Ejercicio: Le ocurre lo anterior a alguna otra curva además de la a la espiral logarítmica? Supón que α es una curva p.p.a. definida en I cuya curvatura es 5

6 creciente (así su evoluta será una curva regular) y demuestra que su curvatura está dada por k ɛ (t) = k3 (t) t I, () k (t) donde k es la curvatura de α. Si la evoluta ɛ coincide, salvo una homotecia de razón a>0 y un giro, con α, se tiene que k ɛ = ak. Por tanto la curvatura de la curva original cumple De aquí se deduce que donde c es constante. ( ) = k k k = a. k(s) = as + c s, 3 El último ejercicio anterior nos deja con una gran inquietud. Hemos determinado el comportamiento de la función curvatura de una curva (con curvatura creciente) cuya evoluta sea semejante a sí misma, como le ocurría a la espiral logarítmica. Pero esa función curvatura es la inversa de una lineal y la función curvatura de la espiral era una exponencial. Esa aparente contradicción desparece si uno recuerda que la espiral no estaba p.p.a. y en el ejercicio hemos considerado la curva p.p.a. De hecho, para nuestra espiral α(t) =(x(t),y(t)) = ( e at cos t, e at sin t ) tenemos que α (t) = +a e at k(t) = eat. +a Por tanto la función longitud de arco cumple +a s(t) =b a e at para cierta constante b. Entonces es fácil comprobar que k(t) = eat = +a as(t)+c con c = ab. O sea, la curvatura de una espiral logarítmica y la curvatura de las curvas del ejercicio anterior se expresan de la misma forma en función de la longitud de 6

7 arco. El Teorema Fundamental de Curvas Planas nos dice entonces que ambas curvas difieren por un movimiento rígido del plano. Es decir, que las curvas que buscábamos eran también espirales logarítmicas. De otra forma, las espirales logarítmicas son las únicas curvas planas (con curvatura monótona) que coinciden con su evoluta salvo dilataciones. Visto lo anterior es difícil resistir las ganas de preguntarse lo siguiente: Ejercicio: Existen curvas cuya evoluta sea una circunferencia? En caso afirmativo, cuál es su forma? Si suponemos que α es una curva p.p.a. con esa propiedad, usando la ecuación (, deducimos que la curvatura k de α ha de cumplir k 3 = r>0. k r (Hemos supuesto que la evoluta recorre la circunferencia en el sentido contrario a las agijas del reloj.) Por tanto, integrando la ecuación que queda, de existir, las curvas que buscamos han de tener curvatura k(t) = s, c r s para cierta constante c. Pero sólo este calculo garantiza que existen, porque dado c R cualquiera, la función anterior está bien definida y es diferenciable en el intervalo ], [. El Teorema Fundamental de la Teoría de Curvas Planas nos dice que c r c existe una curva p.p.a. α :], [ R con esa curvatura y que es única salvo r movimientos rígidos directos. Pero cómo es? Se puede dibujar? El programa Estelas nos va a ayudar otra vez. Tomamos en el cuadro superior, en vez de Paramétricas, la opción Cur(t).. Pinchamos Ver funciones y ponemos Cur(t) una función del tipo de las que acabamos de calcular. Por ejemplo, ponemos k(t) = t. Los valores de t que admite el programa son sólo positivos ( por qué?, es significativa esta restricción?). Fijamos el extremo de la derecha del intervalo, por ejemplo, para que 0 <t<. Si aceptamos esos datos la curva aparece. Elegimos la opción Evoluta en el cuadro inferior y hacemos correr el cursor. Efectivamente, el programa traza un arco de circunferencia. De qué radio? Para conseguir una evoluta de radio menor y que, por tanto, se vea mejor, podemos cambiar la curvatura y poner k(t) = (0.)t 7

8 y hacer correr el parámetro t en el intervalo ]0, 0[. Si repetimos el proceso anterior veremos dos cosas: la curva que buscamos parece una espiral (pero no logarítmica) y se llama evolvente o desarrollante de la circunferencia, y su evoluta es una pequeña circunferencia. De qué radio?. Cambia el signo menos de la curvatura anterior y pon ahora k(t) = +(0.)t y deja moverse a t en el mismo intervalo anterior. Dibuja la curva y traza su evoluta. Qué observas? Cómo lo explicas? 3. Los ejercicios 7 y de la Relación de problemas del libro Curvas y Superficies pueden servir para aclarar algo lo que hemos estado haciendo. Es bueno resolverlos. Ejercicio: Dada una curva α : I R p.p.a., demostrar que todas las rectas normales de α equidistan de un punto si y sólo si existen a, b R tales que k(s) =± as + b para cada s I. Ejercicio: Sea α : I R una curva p.p.a. con k(s) > 0 para cada s I. Probar que todas las rectas normales de α equidistan de un punto si y sólo si la evoluta de α es una circunferencia. 4. Podemos continuar usando gráficamente el Teorema Fundamental. Un buen ejercicio es probar con funciones curvatura que no sean complicadas. Por ejemplo k(t) =. Ya sabíamos que el programa dibujaría una circunferencia de radio uno. Si ponemos constantes más pequeñas, por ejemplo k(t) =0. k(t) =0.0 k(t) =0.00 obtendremos arcos de circunferencias que cada vez son más parecidas a rectas. Qué pasa si se pone k(t) =0? 5. Después de las constantes las funciones más simples son las lineales. Probamos con k(t) =t 8

9 y con intervalos cada vez más largos. Cómo es la curva resultante? Qué le pasa a la curva cuando t tiende a infinito? Por qué? Cambia el signo de la función curvatura, pinta la curva y explica lo que ha pasado. 6. Damos un paso adelante en la complicación de la curvatura y ponemos polinomios de grado más alto k(t) =t k(t) =t 4 k(t) =t 3 6t + k(t) =t 3 0t +. Es conveniente poner 0 <t<0 en todos esos ejemplos. Podrías dar una explicación de lo que ves al dibujar las curvas correspondientes? 7. Se obtienen curvas algo más exóticas si uno introduce periodicidades en la curvatura. Así k(t) =t sin t k(t) =t sin t + e (0.)t. Tú mismo puedes poner otras funciones y hacerte preguntas sobre lo que ves. 8. Sería bueno intentar resolver los ejercicios y 3 de la Relación final del capítulo de Curvas y Superficies. Si lo haces podrás explicarte que pasaba con los bucles de las curvas en los ejemplos que viste antes. Ejercicio: Supongamos que una curva plana α : I R p.p.a. tiene curvatura positiva y no decreciente. Sea ɛ : I R su evoluta. Probar que L s a(ɛ) = k(a) k(s) para a I arbitrario y s I con s a. Ejercicio: Sea α : I R una curva p.p.a. con curvatura positiva y no decreciente. Si a I, probar que α(s) ɛ(a) k(a) para cada s I con s a, o sea, α([a, + [ I) está contenido en el círculo osculador de α en a. 9