Coordenadas. Francisco J. García Capitán

Transcripción

1 oordenadas Francisco J. García apitán 1. oordenadas trilineales onsideramos la notación usual para el triángulo en la que, y representan tanto los vértices como los ángulos y a, b, c son las medidas de los lados, y respectivamente. Si P es cualquier punto del plano, su posición queda perfectamente determinada por las ratios de las distancias con signo del punto a los lados. En efecto, si α, β, γ son conocidos y las distancias son a = kα, b = kβ, c = kγ, podemos determinar el valor de k teniendo en cuenta que, llamando al área del triángulo, =(P ) + (P ) + (P ) = c c a b = 1 2 c(kγ) a(kα) b(kβ) k = 2 aα + bβ + cγ. los números α, β, γ, proporcionales a las distancias del punto P a los lados del triángulo, se les llama coordenadas trilineales del punto P referidas a ese triángulo. Las escribiremos α : β : γ. Hagamos los cálculos necesarios para hallar las coordenadas cartesianas (x, y) de un punto P con coordenadas trilineales α : β : γ. En el triángulo de la figura consideremos dos vectores unitarios u = (u 1, u 2 ) y v = (v 1, v 2 ) en las direcciones y respectivamente. Sean m y n las longitudes de los segmentos M y N, respectivamente. 1 N c P M b b a

2 Entonces, la igualdad vectorial M + MP = P = N + NP se escribe m(u 1, u 2 ) + kβ( u 2, u 1 ) = (x a 1, y a 2 ) = n(v 1, v 2 ) + kγ(v 2, v 1 ). Resolviendo en m y n obtenemos m = k(u 1v 1 + u 2 v 2 )β + k(v v 2 2)γ, n = k(u2 1 + u 2 2)β + k(u 1 v 1 + u 2 v 2 )γ, que por ser u y v unitarios se reducen a m = k(u 1v 1 + u 2 v 2 )β + kγ, n = kβ + k(u 1v 1 + u 2 v 2 )γ. Usando estas fórmulas, el siguiente módulo de Matemathica, calcula las coordenadas cartesianas equivalentes a las coordenadas trilineales α : β : γ. dist x1_, y1_, x2_, y2_ : x1 x2 2 y1 y2 2 ; Trilineales a1_, a2_, b1_, b2_, c1_, c2_, Α_, Β_, Γ_ : Module, u1, u2, v1, v2, k, m, n, bs Det 1, a1, a2, 1, b1, b2, 1, c1, c2 2; a : dist b1, b2, c1, c2 ; b : dist c1, c2, a1, a2 ; c : dist a1, a2, b1, b2 ; u1 : c1 a1 b; u2 : c2 a2 b; v1 : b1 a1 c; v2 : b2 a2 c; k : 2 Α a Β b Γ c ; k u1 v1 u2 v2 Β k Γ m : ; u1 v2 u2 v1 a1 m u1 k Β u2, a2 m u2 k Β u1 ; 2. El baricentro Supongamos que asignamos pesos t 1,..., t n a los puntos 1,..., n, donde t 1,..., t n son números reales cualesquiera. Si t t n = 0, el vector u = t 1O1 + + t non no depende de O ya que si u = t 1O1 + + t 1O1 y v = t 1 O t 1 O 1, entonces ( u v =t 1 O1 O ) ( t n On ) O n =(t t n )OO = O. 2

3 Es más interesante el caso en el que t t n 0. Entonces, tenemos t 1O1 + + t non = (t t n ) OP, siendo P un punto que no depende de O. En efecto, supongamos que { t1o1 + + t non = (t t n ) OP, t 1 O t n O n = (t t n ). O P Restando ambas igualdades, (t t n ) ( ) OO 1 = (t t n ) OP O P, es decir, OP = OO + O P = OP y P coincide con P. l punto P se le llama baricentro del sistema formado por los puntos 1,..., n con los pesos t 1,..., t n. Tomando O = P, el baricentro cumple la relación t 1P t np n = O. Si sólo hay dos puntos, tenemos t 1P 1 = t 2P 2, por lo que P divide al segmento 1 2 en la razón t 2 : t 1. En particular, si t 1 = t 2, P es el punto medio de 1 2. Para un triángulo tenemos (t 1 + t 2 + t 3 ) OP =t 1O1 + t 1O2 + t 3O1 = =t 1O1 + (t 2 + t 3 ) OQ. donde Q es el baricentro de 2 y 3 con pesos t 2 y t 3. sí, para encontrar el baricentro de tres puntos, podemos sustituir dos de ellos por su baricentro. En particular, cuando t 1 = t 2 = t 3 = 1, Q es el punto medio de 2 3, y P divide a 1 Q en la razón 2 : 1, es decir, el concepto de baricentro que damos aquí coincide con el concepto geométrico de baricentro de un triángulo, el punto de intersección de sus medianas. 3. oordenadas baricéntricas Si t 1 + t 2 0, las masas t 1 y t 2 sobre dos puntos fijos y determinan un único baricentro P, como se ve en la figura: 3

4 t 1 t 2 t 2 P t 1 Este punto es el mismo si t 2 = 0, y si t 1 = 0. P pertenece al segmento si t 1 y t 2 son las dos positivas o las dos negativas. Si nos referimos a la figura, el punto P estará a la derecha de si t 1 > t 2 > 0, y a la izquierda de si t 2 > t 1 > 0. Recíprocamente, dada un punto P de la recta, podremos encontrar números t 1 y t 2 tales que t 2 = P t 1 P t 1 = P t 2 P, con lo que P será el baricentro de los puntos y con masas t 1 y t 2. omo los pesos µt 1 y µt 2 (siendo µ 0) determinan el mismo punto que t 1 y t 2 estas coordenadas baricéntricas son homogéneas: (t 1, t 2 ) = (µt 1, µt 2 ) (µ 0). De forma parecida podemos definir unas coordenadas baricéntricas en el plano de un triángulo de referencia. Si t 1 + t 2 + t 3 0, los pesos t 1, t 2, t 3 sobre los vértices,, determinan un punto P, el baricentro, cuyas coordenadas son (t 1, t 2, t 3 ). En particular, las coordenadas de, y son (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1), respectivamente, y (0, t 2, t 3 ) es el punto sobre cuyas coordenadas respecto de son (t 2, t 3 ). Para hallar las coordenadas baricéntricas de un un punto cualquiera P, hallaremos las coordenadas t 2 y t 3 de un punto Q sobre P como el de la figura (a) y después hallaremos t 1 como el peso sobre que equilibre un peso t 2 + t 3 sobre Q y haga de P el baricentro de. P t 3 t 2 t 1 Q (a) (b) 4

5 quí, como en el caso caso de unidimensional, estas coordenadas son homogéneas: (t 1, t 2, t 3 ) = (µt 1, µt 2, µt 3 ) (µ 0). Uniendo P con, y descomponemos en tres triángulos que con P como vértice común. Las áreas de estos triángulos son proporcionales a las coordenadas baricéntricas de P, como muestra la figura (b). En efecto: t 3 = Q t 2 Q = Q Q = P Q P Q = Q P Q Q P Q = P P, y análogamente para t 1 /t 3 y t 2 /t 1. Las posiciones de P fuera del triángulo se solucionan con el convenio del área con signo de un triángulo dirigido. La desigualdad t 1 + t 2 + t 3 0 nos permite normalizar las coordenadas de manera que t 1 + t 2 + t 3 = 1. (asta con que dividamos cada coordenada por la suma de las tres.) Estas coordenadas baricéntricas normalizadas se conocen como coordenadas area, ya que expresan exactamente el área de los triángulos P, P y P tomando como unidad el área del triángulo. Las coordenadas área no son homogéneas, pero sí son redundantes ya que la posición de un punto queda determinada por dos de ellas. Sin embargo, cualquier expresión en la que aparezcan estas coordenadas puede hacerse homogénea insertando potencias adecuadas de t 1 + t 2 + t 3 en el lugar adecuado. ualquier recta tiene una ecuación linear homogénea de la forma at 1 + bt 2 + ct 3 = 0. En particular las rectas, y tienen ecuaciones t 1 = 0, t 2 = 0, t 3 = 0. Si (r) y (s) son los puntos con coordenadas (r 1, r 2, r 3 ) y (s 1, s 2, s 3 ), la recta que une (r) y (s) viene dada por r 1 r 2 r 3 s 1 s 2 s 3 t 1 t 2 t 3 = 0, y el área del triángulo (r)(s)(t) viene dada por este determinante dividido por (r 1 + r 2 + r 3 )(s 1 + s 2 + s 3 )(t 1 + t 2 + t 3 ). 5

6 Referencias [1] Eric W. Weisstein. Trilinear oordinates. MathWorld. Wolfram Web Resource. [2] oxeter, H. S. M. Introduction to Geometry. Segunda edición. Nueva York: Wiley,