Conjuntos Abiertos y Conjuntos Cerrados

Transcripción

1 El espacio R n 1 Conjuntos Abiertos y Conjuntos Cerrados Definición. Un conjunto V R n se dice que es abierto si para cada x V existe una bola abierta B( x, r) contenida en V. Es decir si para cada x V existe r > 0 tal que B( x, r) V. Definición. Un conjunto F R n se dice que es cerrado si su complemento F c = R n F es un conjunto abierto. Ejemplo: El espacio R n es un conjunto abierto, pues dado cualquier x R n, toda bola abierta B( x, r) esta contenida en R n. Ejemplo: Mostraremos que el es abierto. Demostración: Suponemos que el no es abierto x para el cual no es posible hallar una bola abierta B( x, r) contenida en. Pero esto no es posible ya que el no tiene elementos. Entonces debemos suponer que el no es abierto! es abierto. Un conjunto x R n no es abierto, si existe un punto x 0 X tal que no existe bola abierta alguna B( x 0, r) contenida en X. Un conjunto X R n no es abierto, si existe x 0 X tal que r > 0 B( x, r) X c. Ejemplo: Los conjuntos R n y son cerrados. En efecto R n es cerrado pues su complemento es abierto. Similarmente es cerrado pues su complemento R n es abierto. Proposición: Toda bola abierta en R n es un conjunto abierto. Demostración: Sea x 0 R n y r > 0. Mostraremos que B( x 0, r) es un conjunto abierto. Debemos probar que para cada x B( x 0, r), existe una bola abierta B( x, r) contenida a su vez en la bola abierta B( x 0, r). Sea pues x B( x 0, r) y consideremos R = r x x 0. Como x B( x 0, r) se tiene entonces que x x 0 < r R > 0. Mostraremos que la bola abierta B( x, R) esta contenida en B( x 0, r). esto prueba que ȳ B( x 0, r).

2 El espacio R n 2 Proposición: Toda bola cerrada en R n es un conjunto cerrado. Demostración: Sea x 0 R n y r 0. Probaremos que la bola cerrada B(x 0, r) es un conjunto cerrado, es decir, que su complemento R n B(x 0, r) es un conjunto abierto. Sea pues x R n B(x 0, r). Mostraremos que existe una bola abierta B( x, R) contenida en R n B(x 0, r). Como x no está en la bola cerrada B(x 0, r), se tiene entonces que x x 0 > r. Definamos R = x x 0 r > 0, esto equivale a r = x x 0 R. Veamos que B( x, R) R n B(x 0, r) luego x x 0 < R + ȳ x 0 x x 0 R < ȳ x 0, es decir, r < ȳ x 0. Esto significa que ȳ B( x 0, r), es decir, ȳ R n B( x 0, R). Proposición: Toda esfera en R n es un conjunto cerrado. Demostración: Sea x 0 R n y r 0. Mostraremos que la esfera S(x 0, r) es un conjunto cerrado mostrando que su complemento R n S(x 0, r) es un conjunto abierto. Sea x R n S(x 0, r), debemos mostrar que existe una bola B( x, R) contenida en R n S(x 0, r). Como x S(x 0, r) entonces x x 0 r tenemos dos casos: i) x x 0 < r ii) x x 0 > r Para el primer caso tenemos que x B(x 0, r) como esta bola es un conjunto abierto, hay una bola abierta con centro en xb( x, R) contenida en B( x 0, r). Asi que z B( x 0, R) satisface z x < r. Luego z no puede ser elemento de la esfera S(x 0, r), es decir, z R n S(x 0, r). Para el segundo caso la desigualdad significa que x esta en el complemento de la bola cerrada B( x 0, r) y como esta bola es un conjunto cerrado entonces su complemento es abierto una bola abierta B( x, R) contenida en R n B(x 0, r). Los elementos z de B( x, R) no estan en la bola cerrada B( x 0, r), es decir, todo elemento z de la bola B( x, R) satisfacen z x > r. Esto quiere decir B( x, R) R n S(x 0, r).

3 El espacio R n 3 Ejemplo : Un conjunto con un solo punto { 0} es cerrado ya que R n { 0} es abierto. Ejemplo: Mostraremos que en R 2, el semiplano superior v = {(x, y) R 2 y > 0}, es un conjunto abierto respecto a la norma 1 Sea v = y 0 y consideremos la bola B 1 ( v 0, y 0 ) y sea v = (x, y) B 1 ( v 0, y 0 ) se tiene que v v 0 1 < y 0, es decir, x x 0 + y y 0 < y 0. Debemos probar que y > 0 (1) y no puede ser cero pues si y = 0 x x 0 + y y 0 < y 0 x x 0 + y 0 < y 0! (2) y no puede ser negativa pues x x 0 + y y 0 = x x 0 + y + y 0 < y 0! }{{} * y < y 0 y y 0 = y + y 0 = y + y 0 y tiene que ser y > 0 B 1 ( v 0, y 0 ) esta en el semiplano superior.

4 El espacio R n 4 Ejemplo Sea V = {(x, y) R 2 a < x < b, c < y < d}. Demuestre que V es un conjunto abierto Demostración Sea X = (x 1, y 1 ) V entonces a < x 1 < b y c < y 1 < d. Definimos ɛ = min{x 1 a, b x 1, y 1 c, d y 1 } por tanto si (x, y) B(X, ɛ) debe ocurrir a < x 1 ɛ < x < x 1 +ɛ < b y c < y 1 ɛ < y < y 1 +ɛ < d por lo tanto (x, y) V B(X, ɛ) V Puntos Interiores, Exteriores y Frontera y en consecuencia V es un conjunto abierto (1) Un elemento ā A se dice que es un punto interior de A, si existe una bola abierta con centro en ā contenida en A es decir si r > 0 tal que B(ā, r) A. Al conjunto de puntos interiores de A se le denomina interior de A y se le denota por cualquiera de los simbolos o A, A o, int(a). (2) Un elemento ā R n se dice que es un punto exterior de A si existe una bola abierta con centro ā contenida en A c es decir si r > 0 tal que B(ā, r) A c. Al conjunto de puntos exteriores de A se le denomina exterior de A y se le denota por ext(a). (3) Un elemento ā R n se dice que es un punto frontera de A si para toda bola abierta con centro ā se tiene r > 0 B(ā, r) A c y B(ā, r) A. Al conjunto de puntos frontera de A se le denomina frontera de A y se le denota por Fr(A). (4) Un elemento ā R n se dice que es un punto adherente de A si toda bola abierta con centro ā tiene puntos de A. Al conjunto de puntos adherentes de A se le denomina adherencia (o cerradura de A) y se le denota por cualquiera de los simbolos Ā, A, adha.

5 El espacio R n 5 Proposición: Para todo subconjunto A de R n (1) A o es un conjunto abierto. Demostración: Sea x A o. Por definición B( x, r) A como la bola es un conjunto abierto, B( x, r) A o. A o es un conjunto abierto. (2) Ā es un conjunto cerrado. Demostración: Mostraremos que Āc es un conjunto abierto. Sea x Āc como x no es punto adherente de A, existe r > 0 tal que B( x, r) A = es decir A [B( x, r)] c, como [B( x, r)] c es un conjunto cerrado Ā [B( x, r)]c. (2) F ra es un conjunto cerrado. Demostración: Mostraremos que (F ra) c es un conjunto abierto. Si x / F r(a) entonces x int(a) o x ext(a) en ambos casos r > 0 tal que B(x, r) int(a) o B(x, r) ext(a) (F ra) c es abierto F r(a) es cerrado