Marcel Goic

Transcripción

1 IN5602 Marketing II Modelos de Comportamiento: Estimación y Heterogeneidad Marcel Goic (mgoic@dii.uchile.cl) Semestre Otoño

2 Ejemplo Proyección de Retención de Clientes 2

3 Motivación Año #Clientes %Activo Consideremos un cohorte de 1000 clientes capturados en el mismo periodo % % % % % % % % Data Mining Techniques (Berry and Linoff, 2004) 3

4 % Activo Objetivo de la Modelación 100% Queremos desarrollar un modelos que nos permita proyectar las curvas de sobrevivencia (y por tanto las tasas de retención) en los próximos 5 años (es decir hasta el periodo 12). 80% 60% 40% 20% 0% Año 4

5 % Retencion Tasas de Retención 100% La tasa de retención para el periodo t se define como la proporción de clientes que renueva su contrato al final del periodo t-1 y que renueva su contrato al final del periodo t 90% 80% 70% 60% 50% Año 5

6 Punto de partida natural/típico Modelo de regresión usando el tiempo como variable explicativa. Sea y la proporción de clientes que siguen activos en el periodo t. y t lineal y y t 0.12t ln t 2 cuadrática exponencial 6

7 %Activo Ajuste del Modelo Año % Activo Lineal Cuadratica Exponencial 7

8 %Activo Proyección Año % Activo Lineal Cuadratica Exponencial 8

9 Mejorando el modelo Premisa: describir un proceso (historia) que pueda generar los datos que observamos. El proceso dependerá de uno o mas parámetros que debemos estimar. Un modelo sencillo: Al final de cada periodo, cada cliente abandona la compañía con una probabilidad q (y renueva con probabilidad 1-q). Partiremos asumiendo que todos los clientes tienen la misma probabilidad q. 9

10 Formalmente Sea T la variable la duración de la relación del cliente con la compañía. De acuerdo a nuestra descripción, la variable aleatoria T sigue una distribución geométrica desplazada (sg) con parámetro q. t1 Pr T t 1 t 1,2,3,... t Pr T t 1 t 1,2,3,... 10

11 Estimación del Modelo Estimamos los parámetros del modelo usando el método de la máxima verosimilitud : La función de verosimilitud se define como la probabilidad de observar la muestra de datos para un conjunto (desconocido) de parámetros dado. Esta probabilidad se calcula condicional en el modelo y por tanto es una función de los parámetros. L(parámetros data) = p(data parámetr0s) Para un conjunto de datos dado, los estimadores máximoverosímiles son los que maximizan L( ) 11

12 Función de Verosimilitud La probabilidad de observar un determinado numero de abandonos cada año como función de θ se deriva directamente. La función de verosimilitud resulta de considerar la probabilidad conjunta de todos los abandonos por año. Año #Clientes #Abandonos Pr q ((1-q) 1 q) ((1-q) 2 q) ((1-q) 3 q) ((1-q) 4 q) ((1-q) 5 q) ((1-q) 6 q) 21 >7 ((1-q) 7 )

13 ln[pr(data)] Estimación del Parámetro q q q Ln[Pr(data)] * arg max ln Pr data Problema de programación continua (convexa) 13

14 % Activo Resultados: Modelo Homogéneo 100% 90% El máximo de la logverosimilitud es LL= que ocurre q= % 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% Año Real Geometrica 14

15 Heterogeneidad Un concepto fundamental en marketing es que los clientes son diferentes. Necesitamos un modelo de heterogeneidad: Discreta (grupos de clientes) o Continua (cada cliente es diferente) Modelo mas sencillo: Hay solo dos tipos de clientes con distintas probabilidades de abandonar. Segment Pr. Abandonar Tamaño 1 q 1 p 2 q 2 1-p 15

16 Modelo de Mezcla Finita Calculamos la distribución de la duración usando la ley de probabilidades totales (Pr(x)=Pr(x a)pr(a)+pr(x b)pr(b)) Formalmente: t 1 t Pr T t,, t 1,2,3,... t t Pr T t,, t 1,2,3,... A este modelo le llamamos una mezcla finita de distribuciones geométricas. 16

17 % Activo Resultados: sg - 2 segmentos 100% El máximo de la logverosimilitud es LL= que ocurre en q 1 =0.083, q 2 =0.586 y p= % 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% Real Año Geometrica 17

18 Heterogeneidad Discreta y Continua En el modelo de heterogeneidad discreta asumimos que la probabilidad de abandono q sigue una distribución discreta (e.g. bernoulli(p)) En el modelo de heterogeneidad continua asumimos que la probabilidad de abandono q sigue una distribución continua (e.g. beta(a,b)) f 1 p p ,1, 0,1 1 1, 0, 0, 0,1 B, 18

19 Heterogeneidad Discreta y Continua Distribución Discreta Distribución Continua f Con suficientes segmentos podemos aproximar una distribución continua. 19

20 Modelo de Mezcla Continua Calculamos la distribución de la duración puede calcularse usando la siguiente recursión: Pr T t, t 1 t 2 Pr T t 1, t 2,3,... t 1 Este modelo le llamamos una mezcla continua de distribuciones geométricas. Como usamos una distribución Beta para la heterogeneidad, nombramos este modelo Beta- Geométrica desplazada (sbg). 20

21 % Activo Resultados: beta-geométrica 100% El máximo de la logverosimilitud es LL= que ocurre en a=0.7041, y b= % 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% Año Real BG 21

22 Conceptos y Herramientas Introducidas Modelos probabilísticos. Estimador Máximo Verosímil. Heterogeneidad. Modelos de mezcla discreta (sg-2seg) Modelos de mezcla continua. (sbg) 22

23 IN5602 Marketing II Modelos de Comportamiento: Estimación y Heterogeneidad Marcel Goic (mgoic@dii.uchile.cl) Semestre Otoño