Lección 23: Extremos relativos para funciones de dos o más variables. Introducción al Cálculo Infinitesimal I.T.I. Gestión

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1 Lección 23: Extremos relativos para funciones de dos o más variables Introducción al Cálculo Infinitesimal I.T.I. Gestión

2 Extremos relativos f : R 2 R función, R 2 f tiene un mínimo relativo en si f f(x, y), para todo (x, y) en un entorno B ε

3 Extremos relativos f : R 2 R función, R 2 f tiene un mínimo relativo en si f f(x, y), para todo (x, y) en un entorno B ε f tiene un máximo relativo en si f f(x, y), para todo (x, y) en un entorno B ε

4 Extremos relativos f : R 2 R función, R 2 f tiene un mínimo relativo en si f f(x, y), para todo (x, y) en un entorno B ε f tiene un máximo relativo en si f f(x, y), para todo (x, y) en un entorno B ε - archivo de Maple: optimizacion.mws

5 Figure 1: Máximo relativo

6 Z P(a,b,f(a,b)) O Y (a,b) X Figure 2: Mínimo relativo

7 Cálculo de extremos relativos: f : R 2 R función

8 Cálculo de extremos relativos: f : R 2 R función 1. Hallar los puntos críticos: - puntos donde f no es diferenciable ( ) f f - puntos donde f(x, y) = (x, y), (x, y) x x Sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas = (0, 0)

9 C alculo de extremos relativos: f : R2 R funci on 1. Hallar los puntos cr ıticos: - puntos donde f no es diferenciable f f (x, y), (x, y) = (0, 0) - puntos donde f (x, y) = x x ±0.2 ±20 ±40 ±0.4 ±2 4 y x ±1 ±2 0 x ±4 2 0 y ±2 ±4 Plano tangente horizontal en los puntos cr ıticos

10 - archivo Maple: optimizacion.mws

11 Cálculo de extremos relativos: f : R 2 R función 1. Hallar los puntos críticos 2. Estudiamos los puntos críticos donde f admita derivadas parciales segundas (continuas)

12 Cálculo de extremos relativos: f : R 2 R función, R 2 punto crítico donde f admite derivadas parciales segundas continuas Sea H = 2 f 2 f x 2 x y 2 f y x 2 f y 2 Criterio:

13 Cálculo de extremos relativos: f : R 2 R función, R 2 punto crítico donde f admite derivadas parciales segundas continuas Sea H = 2 f 2 f x 2 x y 2 f y x 2 f y 2 Criterio: Si det(h)> 0, 2 f x 2 > 0 mínimo local de f

14 Cálculo de extremos relativos: f : R 2 R función, R 2 punto crítico donde f admite derivadas parciales segundas continuas Sea H = 2 f 2 f x 2 x y 2 f y x 2 f y 2 Criterio: Si det(h)> 0, 2 f x 2 > 0 mínimo local de f Si det(h)> 0, 2 f x 2 < 0 máximo local de f

15 Cálculo de extremos relativos: f : R 2 R función, R 2 punto crítico donde f admite derivadas parciales segundas continuas Sea H = 2 f 2 f x 2 x y 2 f y x 2 f y 2 Criterio: Si det(h)> 0, 2 f x 2 > 0 mínimo local de f Si det(h)> 0, 2 f x 2 < 0 máximo local de f Si det(h)< 0 punto de silla de f

16 Cálculo de extremos relativos: f : R 2 R función, R 2 punto crítico donde f admite derivadas parciales segundas continuas Sea H = 2 f 2 f x 2 x y 2 f y x 2 f y 2 Criterio: Si det(h)> 0, 2 f x 2 > 0 mínimo local de f Si det(h)> 0, 2 f x 2 < 0 máximo local de f Si det(h)< 0 punto de silla de f Resto de situaciones Sin información

17 ±0.2 ±0.4 ±0.6 ±0.8 ±1 ±1 ±0.5 y x ±0.4 ±1 ± ±0.4 ± y ±0.4 ±0.2 0x Dos ejemplos de puntos de silla - archivo Maple: optimizacion.mws

18 Ejercicios: 1. f(x, y) = x 2 y 2. f(x, y) = xye x+2y 3. f(x, y) = xy + x + y 4. f(x, y) = xy + 2 x + 4 y

19 Extremos relativos para funciones de tres o más variables: f : R n R función de n variables

20 Extremos relativos para funciones de tres o más variables: f : R n R función de n variables Puntos críticos: - puntos donde f no es diferenciable - puntos donde f(x 1,..., x n ) = (0,..., 0)

21 Extremos relativos para funciones de tres o más variables: f : R n R función de n variables Puntos críticos: - puntos donde f no es diferenciable - puntos donde f(x 1,..., x n ) = (0,..., 0) Criterio: Para a = (a 1,..., a n ) punto crítico, donde f admite derivadas parciales segundas continuas 2 f (a)... x 2 1 Sea H =. 2 f x n x 1 (a)... 2 f x 1 x n (a). 2 f x 2 n (a)

22 Extremos relativos para funciones de tres o más variables: f : R n R función de n variables Criterio: Para a = (a 1,..., a n ) punto crítico, donde f admite derivadas parciales segundas continuas 2 f (a)... x 2 1 Sea H =. 2 f x n x 1 (a)... 2 f x 1 x n (a). 2 f x 2 n (a) - Sean d i determinantes de las submatrices principales de H, para i = 1,..., n secuencia (1, d 1,..., d n )

23 Extremos relativos para funciones de tres o más variables: f : R n R función de n variables Criterio: Para a = (a 1,..., a n ) punto crítico, donde f admite derivadas parciales segundas continuas - Sean d i determinantes de las submatrices principales de H, para i = 1,..., n secuencia (1, d 1,..., d n ) Signos (+, +, +,..., +) Mínimo relativo Signos (+,, +,,... ) Máximo relativo Anteriores secuencias, con algún cero Sin información Otra secuencia distinta Sin extremo en a