ESCUELA DE INGENIERÍA AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO EXPRESIÓN GRÁFICA Examen Ordinario Fecha: 11/06/2013

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1 EXPRESIÓN GRÁFICA Examen Ordinario Fecha: 11/06/2013 EXAMEN ORDINARIO DE EXPRESIÓN GRÁFICA. NORMAS E INFORMACIÓN 1º El carnet de la Escuela se debe situar en lugar visible. 2º El alumno debe cumplimentar los casilleros de identificación y sus correspondientes marcas con DNI, 1 er apellido, 2º apellido y nombre en TODAS las hojas. 3º Valoración Cada ejercicio se valorará sobre 10 puntos (8 puntos parte gráfica y 2 puntos explicación geométrica razonada), siendo la nota final la media aritmética de los tres ejercicios. 4º Tiempo: 105 minutos 5º Las calificaciones provisionales se pretenden publicar aproximadamente en 15 días, tal y como establece la normativa vigente. 6º Esta hoja podrá utilizarse como hoja de borrador. Esta hoja se desprenderá en el último momento del examen y no se entregará. Madrid, 11 de junio de 2013 HOJA DE BORRADOR

2 EXPLICACIÓN GEOMÉTRICA RAZONADA 20% de la nota 1.- Se ha definido una proyectividad parabólica entre series de primer orden donde D es punto doble y L punto límite. Determinar el homólogo del punto A. El ejercicio se deberá resolver mediante tres métodos distintos. Cada uno de ellos en hojas distintas. MÉTODO 1 MÉTODO 2 MÉTODO 3

3 s 1 s 1 DNI EXPLICACIÓN GEOMÉTRICA RAZONADA 20% de la nota 1.- Se ha definido una proyectividad parabólica entre series superpuestas de primer orden donde D es el punto doble y L punto límite. Determinar el homólogo del punto A. A d d A L V=V s s EXPLICACIÓN RAZONADA: proponemos la siguiente transformación, las series superpuestas se proyectan desde un vértice, V=V, sobre una nueva serie, s 1 =s 1, dispuestos de tal modo que el único punto doble de la proyectividad parabólica se proyecte en el infinito de la nueva serie (el rayo que une V con el punto doble es paralelo a la nueva serie s 1 =s 1 ). La nueva proyectividad entre series superpuestas, al tener como único punto doble el punto impropio, es una traslación, que está determinada por L-L, en la que se obtiene el punto A que da por trasladado el ya conocido punto A, pudiendo devolver a la proyectividad original entre s y s este último resultado. CRITERIO DE CORRECCIÓN: ejecución con notación, cotas, signos y símbolos acordes con razonamiento 8 puntos explicación razonada 2 puntos

4 EXPLICACIÓN GEOMÉTRICA RAZONADA 20% de la nota 1.- Se ha definido una proyectividad parabólica entre series superpuestas de primer orden donde D es el punto doble y L punto límite. Determinar el homólogo del punto A. s s 1º Una proyectividad parabólica se caracteriza por tener dos puntos dobles y coincidentes. 2º Proyectamos la serie superpuesta desde un vértice V cualquiera, obteniendo dos haces proyectivos superpuestos. 3º Seccionamos éstos por una circunferencia que pase por el vértice V obteniendo una serie circular superpuesta. 4º El eje proyectivo en esta serie de segundo grado pasará por los dos puntos dobles, como éstos coinciden en un mismo punto, este eje será la tangente a la circunferencia por el punto doble. 5º Elegimos como vértices de dos haces perspectivos dos puntos homólogos de la serie superpuesta circular, L1 y L y desde ellos proyectamos los puntos de las series contrarias obtenindo dos haces perspectivos. 6º La intersección de rayos homólogos nos definen el eje perspectivo que coincide con el eje proyectivo de la serie circular anteriormente obtenido, donde se corte la proyección de A1 desde L1 con el eje nos dará el punto de intersección con el eje del rayo L con el punto A1 buscado. 7º La intersección de este rayo con la circunferencia nos dará el punto A1 en la serie de segundo grado y proyectando desde V este punto, cortará a la serie rectilínea superpuesta en el punto A, solución del problema.

5 EXPLICACIÓN GEOMÉTRICA RAZONADA 20% de la nota 1.- Se ha definido una proyectividad parabólica entre series superpuestas de primer orden donde D es el punto doble y L punto límite. Determinar el homólogo del punto A. s s 1º Una proyectividad parabólica se caracteriza por tener dos puntos dobles y coincidentes. 2º Proyectamos la serie superpuesta desde dos vértices V y V alineados con el punto doble de forma que los convertimos en perspectivos por tener un rayo doble (VD y V D ). 3º Los puntos de intersección de rayos homólogos de estos dos haces nos determinarán el eje perspectivo, que deberá pasar por el punto doble D,D. Obtenemos la intersección de rayo V L con VL y uniendo este punto con D,D obtenemos el eje perspectivo. 4º Otro punto del eje será la intersección del rayo V A con el rayo VA, el cual no conocemos pero éste deberá cortar al V A en la intersección con el eje. Uniendo este punto con V obtenemos el rayo buscado y donde corte con la serie obtendremos el punto A homólogo de A.

6 EXPLICACIÓN GEOMÉTRICA RAZONADA 20% de la nota 1.- Se ha definido una proyectividad parabólica entre series superpuestas de primer orden donde D es el punto doble y L punto límite. Determinar el homólogo del punto A. s s 1º Una proyectividad parabólica se caracteriza por tener dos puntos dobles y coincidentes. 2º Sabemos que los puntos dobles equidistan respecto al punto medio de los puntos límite, por lo tanto podemos obtener el L simétrico de L respecto a D,D. 3º Separamos las series superpuestas en dos series separadas s y s proyectando ortogonalmente los puntos A, D y L desde un vértice impropio sobre esta recta s como A, D, L. 4º Tomamos dos puntos homólogos en ambas series como vértices de dos hace perspectivos, por ejemplo D y D. La intersección de rayos homólogos de estos dos haces estará en el eje perspectivo de los haces, que coincide con el eje proyectivo de las series rectilineas, el cual podemos dibujar puesto que debe pasar por los puntos límite L y L, que los conocemos. 5º Con el eje perspectivo buscaremos la teórica intersección de los rayos homólogos DA que conocemos y D A que no conocemos. Este último tendrá que pasar por la intersección de DA con el eje, luego proyectando este punto desde D obtendremos A homólogo de A en la intersección con la recta soporte de la serie rectilinea superpuesta.

7 EXPLICACIÓN GEOMÉTRICA RAZONADA 20% de la nota 2.- Determinar las proyecciones y la verdadera magnitud del segmento (M)(N), mínima distancia entre las rectas determinadas por los segmentos (A)(B) y (C)(D). Datos: z V = l y z C = 0.

8 EXPLICACIÓN GEOMÉTRICA RAZONADA 20% de la nota 2.- Determinar las proyecciones y la verdadera magnitud del segmento (M)(N), mínima distancia entre las rectas determinadas por los segmentos (A)(B) y (C)(D). Datos: z V = l y z C = 0.

9 EXPLICACIÓN GEOMÉTRICA RAZONADA 3.- Determinar la circunferencia c s tangente a c 1, c 2 y r, sabiendo que el centro de homotecia H + de c 1 y c 2 pertenece a la recta r. En este ejercicio se valorará especialmente tanto la explicación razonada (50%) como el análisis y procedimiento de resolución (optimización de la solución).

10 EXPLICACIÓN GEOMÉTRICA RAZONADA 3.- Determinar la circunferencia c s tangente a c 1, c 2 y r, sabiendo que el centro de homotecia H + de c 1 y c 2 pertenece a la recta r. En este ejercicio se valorará especialmente tanto la explicación razonada (50%) como el análisis y procedimiento de resolución (optimización de la solución). Tomando como centro de inversión el centro de homotecia H + el conjunto doblemente infinito de circunferencias isogonales a c 1 c 2 y a c 2 c 1 constituye una red de circunferencias dobles en la inversión definida. Al imponer la condición de tangencia con r r (recta doble en la inversión) la red pasa a ser un haz parabólico de eje radical e r y recta base r b. Por tanto, el problema se reduce a determinar la circunferencia del haz tangente a c 1 o c 2. Tomando una circunferencia c aux de radio cualquiera se obtiene el punto P, uno de los dos centros radicales que permiten obtener el otro punto doble T 2 T 2 de la circunferencia solución c s.

11 Esta hoja no se entregará 4.- Croquizar y acotar la siguiente pieza dada su posición de funcionamiento. Posición de funcionamiento Vista de ayuda Vista de ayuda

12 4.- Croquizar y acotar la siguiente pieza dada su posición de funcionamiento.

13 5.- Representar los cortes A-A y B-B.

14 5.- Representar los cortes A-A y B-B.