Álgebra y Geometría Analítica

Transcripción

1 Álgebra. y G.A II Como cursar y estudiar la materia. Álgebra y Geometría Analítica ORIENTACION GENERAL SOBRE LA MATERIA: 1) Las clases son de dos tipos: a) TEORICAS: horas semanales. 1 cuatrimestre. b) PRACTICAS: horas semanales. 1 cuatrimestre. ) APROBACION DE LA MATERIA: La materia se considera aprobada cuando se ha rendido el EXAMEN FINAL con una NOTA 4 (mayor o igual a 4). ) REGLAMENTACION SOBRE EXAMENES: Ver reglamento sobre alumnos en la página de la universidad. Tomando como prioritario el reglamento y en cuanto no se oponga al mismo se establece: EXAMEN FINAL: Para poder presentarse a rendir el examen final se debe APROBAR LA CURSADA DE LA MATERIA. La UNNOBA actualmente permite rendir hasta 5 veces el examen final de una materia. Si las 5 veces se desaprueba se debe volver a cursar la materia. EXAMENES PARCIALES: Permiten aprobar la CURSADA DE LA MATERIA. Los estudiantes deberán tener en cuenta las reglamentaciones sobre asistencia a clases fijadas por la Universidad y controladas por personal administrativo. Durante el dictado actual de la materia se tomara un examen parcial. Deberá ser aprobado para aprobar la CURSADA DE LA MATERIA. Se incluirán en el mismo hasta los temas vistos en la clase práctica anterior a la fecha del parcial. RECUPERATORIOS: El examen parcial podrá volver a ser rendido en dos fechas en caso de ser desaprobado o de no haberse presentado en la fecha fijada por la cátedra. Se incluyen hasta los temas vistos en la clase práctica anterior a la fecha del recuperatorio. CALENDARIO (sede Junín): Fechas Inicio Clases: Teóricas 11 de agosto. Prácticas 18 agosto Parcial: Sábado 1 de noviembre de hs. - Primer Recuperatorio: Sábado 7 de noviembre de hs. - Segundo Recuperatorio: Sábado 11 de diciembre de hs. - Fecha Límite de comunicación cursadas a Oficina de Alumnos: martes 14 de diciembre de 010. En caso de haber cambios los mismos serán comunicados en la cartelera de Sarmiento y Newbery. Fechas de Finales: son publicadas por la Universidad. Inscripción a los Exámenes Finales: Debe hacerse a través de la página de la Unnoba: con una anticipación de al menos 48 hs. hábiles a la fecha y hora del examen. Se debe tener cuidado de no confundir la sede (Junín o Pergamino) en la cual se anotan a rendir el examen. Imprimir o tomar nota del número de transación y verificar que la inscripción haya quedado efectuada. Las cancelaciones de inscripción deben realizarse también al menos con 48 hs. hábiles de anticipación. Si estando inscriptos no se presentan al examen se pierde la posibilidad de anotarse en el próximo llamado. 1

2 Álgebra. y G.A II Como cursar y estudiar la materia. 4) OBJETIVOS GENERALES LA MATERIA: Más allá de los objetivos específicos propios de la materia lo que se busca es AYUDAR A CADA ESTUDIANTE A DESARROLLAR SU PROPIA CAPACIDAD DE RAZONAMIENTO (Abstracto y Práctico). 5) INDOLE DE LOS EXAMENES-DISPOSICIONES SOBRE LOS MISMOS: Los exámenes a criterio de la cátedra podrán ser orales y/o escritos y/o por sistemas de elección múltiple. En razón del elevado número de alumnos que rinden, usualmente los exámenes se toman escritos. No escribir con lápiz. Escribir con letra suficientemente grande y clara. Los datos de nombre y apellido escribirlos además en letra imprenta mayúscula. No se tomarán en cuenta las partes de un examen que resulten de difícil lectura. Los errores de cálculo hacen perder un mínimo de puntaje, salvo que sean errores de concepto o cambien el sentido del ejercicio. Los resultados no justificados no se toman en cuenta salvo que en el examen ello se permita expresamente debido al método utilizado). Los exámenes parciales consisten en cuatro o cinco ejercicios prácticos. Para aprobar el parcial se debe tener la mitad bien. Para que un ejercicio o punto de un ejercicio sea computado con puntaje se debe tener bien al menos un 0 % del mismo y no tener errores de concepto. Los exámenes finales se califican con una escala de 0 a 10 considerándose aprobado con nota igual o superior a cuatro. EXAMEN FINAL: ES MUY IMPORTANTE RECORDAR QUE EN LOS EXAMENES FINALES SE EXPONE FUNDAMENTALMENTE LA TEORIA DE LA MATERIA. Las preguntas de los exámenes finales son de tipo conceptual incluyendo: símbolos, axiomas, reglas, definiciones, propiedades, teoremas y demostraciones. Aplicaciones. A título aclaratorio se pueden preguntar temas prácticos incluyendo ejemplos y gráficos. 6) SUGERENCIAS DE TIPO GENERAL PARA EL ESTUDIO DE LA MATERIA Y LA RENDICION DE LOS EXAMENES: Las aclaraciones dadas a continuación serán útiles a medida que se vaya estudiando la materia y cuando se rindan exámenes. En esos momentos será conveniente volver a leerlas. a) Los ejemplos no sirven como demostraciones. b) Se puede probar en general que algo no se cumple dando un ejemplo en el cual no se cumpla. Pero un ejemplo (o varios) no sirve para demostrar que algo se cumple siempre. c) Las definiciones deben darse para casos generales y no para casos particulares. Lo mismo ocurre con las demostraciones. Ello significa que si algún tipo de entidad matemática puede presentar muchos elementos distintos no es válido como demostración general hacerlo para 1,, u otro número fijo de elementos (se debe tomar " n ", " m " o alguna otra cantidad genérica).

3 Álgebra. y G.A II Como cursar y estudiar la materia. d) Hay una gran diferencia entre una DEMOSTRACION que debe hacerse en general y no sirven los ejemplos y una VERIFICACIÓN que sí se hace para un caso particular mediante un ejemplo. En los exámenes parciales se suelen pedir verificaciones. En los finales, demostraciones. e) No se debe confundir entre la DEFINICION que se puede dar para algún tipo de elemento matemático y el METODO DE CALCULO para construir tales tipos de elementos. De manera intuitiva podemos considerar que una DEFINICION es una especie de explicación sobre como es algo y un METODO DE CALCULO una serie de pasos para fabricarlo. Ejemplos de definiciones: " Automóvil " = " Vehículo terrestre autopropulsado que puede ser conducido en distintas direcciones ". " Locomotora" = " Vehículo terrestre autopropulsado que puede ser conducido guiado por rieles ". " Avión " = " Vehículo aéreo autopropulsado que puede ser conducido en distintas direcciones y que posee un peso mayor que un volumen igual de aire". Hemos visto en Introducción al Álgebra la definición de raíz n-ésima de un número complejo: Un número complejo w es raíz n-ésima de otro número complejo z si elevando w a la potencia n da como resultado z. Pero como dado z no siempre es sencillo hallar w se utiliza un método de cálculo que es una fórmula que permite calcular todas las raíces n-ésimas de un número complejo z. En Algebra y Geometría Analítica veremos la: Definición de matriz inversa: Una matriz cuadra es la matriz inversa de otra de igual dimensión si multiplicando la primera por la segunda y la segunda por la primera en ambos casos da como resultado la matriz identidad ". Métodos de cálculo para matrices inversas, veremos tres: - Construir la matriz adjunta, transponerla y dividirla por el determinante. - Por transformaciones (este método admite variantes) - Usando el teorema de Cayley-Hamilton. No se debe confundir entonces una definición de una entidad matemática con un método de cálculo para hallarla. Para el caso del " automóvil " el equivalente al " método de cálculo " sería el sistema para fabricarlo: una línea de producción y montaje. A partir de los ejemplos anteriores el lector puede imaginar otras definiciones y métodos. Convendrá recordar estos ejemplos cuando se vean definiciones abstractas y pensar dichas definiciones a la luz de los mismos.

4 Álgebra. y G.A II Como cursar y estudiar la materia. 7) Horarios Teorías: 1 Alberto Serritella: Miércoles Alberto Serritella: Miércoles 19- Prácticas: 1 Ricardo Galeazzi: Lunes Vanesa Bergonzi. Silvana Balestrasse Martes 1-16 Ricardo Galeazzi: Martes Ricardo Galeazzi Miércoles 16 a 19 5 Ricardo Galeazzi Miércoles 19 a 6 Silvana Balestrasse Viernes 7 a 10 7 Silvana Balestrasse Viernes 10 a 1 8) Se podrá consultar a los profesores y auxiliares docentes en los horarios que se fijen con tal fin individualmente o en conjunto. Horario permanente: Alberto Serritella: Martes 19 hs. En la página de la Unnoba se puede ingresar a un aula virtual dedicada a la materia. Se ingresa a la misma a través del sistema Moodle. No hace falta clave de acceso. Alberto SERRITELLA PROFESOR TITULAR alberto_serritella@yahoo.com.ar 4

5 Álgebra y G.A II Práctica 1. UNIDAD 1: ESPACIOS VECTORIALES. Revisión sobre estructuras algebraicas: grupos, anillos, cuerpos, módulos y espacios vectoriales. Combinaciones lineales. Independencia y dependencia lineal. Bases y dimensión. Subespacios. Propiedades. Espacios vectoriales de n-uplas. Rⁿ y Cⁿ. Módulos de vectores. Versores. Producto escalar. Propiedades. Angulo entre dos vectores. Bases ortogonales y ortonormales. Bases canónicas. Producto vectorial en R³. Producto mixto. Propiedades. Transformaciones lineales entre espacios vectoriales y en un espacio vectorial. Isomorfismos entre espacios. TRABAJO PRACTICO Nº 1 0) Probar que R = {( x, y; z); x R y R z R} con las operaciones usuales definidas en él es un espacio vectorial sobre el cuerpo R. 1) Graficar los siguientes vectores a partir de sus componentes: a) En el plano: v r 1 = (, ) v r = (5, ) v r r ( = (- 5, ) v = 5i b) En el espacio: v r 1 = (,, 4) v r = (5,, ) v r = 5 i ( ( + j 4 k ( ) Calcular la suma de los siguientes vectores y graficarlos: a) a r = (,) b r = (, -) b) a r = ( 1, 1, 0) b r = (1,, ) ) Calcular las componentes del vector a b y graficar: a) a r = (1,) b r = (, 1) b) a r = (, 1, ) b r = (0,,1) 4) Dados los vectores u r = (,5) v r = (4, -6) w r = (1, 1) calcular y representar: a) v r + ¼ w r b) v r 1/ (u r + v r ) 5) Obtener los valores de a y b para que u r = a v r + b w r siendou r = (,1); v r = (,0); w r = (1, ) 6) Encontrar los escalares c 1 y c tales que c 1 u r + c v r = 4 j (, siendo: u r = (1,) y v r = (, 1) 4 ( j 5

6 Álgebra y G.A II Práctica 1. 7) Determinar si los vectores w r = (0, 1, 0) y u r = (4,, -8) se pueden escribir como combinación lineal de: v r 1 = (1, 0,) v r = (, 1, 4) y v r = (0, 1, 0) ) Decidir si los siguientes conjuntos de vectores: (, 1);(,), en R i) { } i) {(, );( 6,9) }, en R ii) {( 1,1,);(1,0, 1);(0,1,1) }, en R iii) {( 1, 1,);(1,, 1);(0,1, 1) }, en iv) {(,);(1,);(,1) }, en R - v) { 1, 1,1);(0,1,1);(0,0,1);(1,,1) } R (, en a) Son o no linealmente independientes b) Generan el espacio vectorial correspondiente c) Forman base del espacio vectorial correspondiente R ) Analizar si { (1, 1, 0), (1, 0, 1) } es base de R. 4) Dados los siguientes vectores v r 1 = (1,,0), v r = ( 1,, 1), v r = (-, 1, 1), v r 4 = ( 1, 0, 1) Decidir si A y / o B son bases de R. A = { v r 1, v r, v r } B = { v r 1, v r, v r 4 } 8) Calcular el módulo de u r = (, 1, ) y v r = (8, 4) 9) Dados los puntos P 1 (, 4) y P (5, 9) a) Hallar las componentes y la expresión cartesiana del vector b) Hallar el módulo de p p 1 c) Ídem para P 1 ( 1, 0, ) y P (,, 5) p p 1 10) Encontrar: a) Un vector unitario que forme un ángulo de π con el eje x positivo. 4π b) Un vector de módulo 4 que forme un ángulo de con el eje x positivo. ( ( ( 11) Encontrar un vector de módulo 1 que tenga la misma dirección de i + 4 j k 6

7 Álgebra y G.A II Práctica 1. 1) Determinar el valor de x para que el vector u r = (, x, -) tenga módulo 5. 1) Hallar los productos escalares de los vectores u r y v r a) u r = (1, ) ; v r = (, 4) b) u r = (. 0, 1) ; v r = (, 4, 1) c) u r = (1, 0, 1, ) ; v r = (,,, 4) d) u r = v r = (, 4) 14) Calcular el ángulo formado por los vectores u r = (1,, ) y v r = ( 1, 0, ) 15) Determinar el valor de la constante a para que los vectores u r = (, ) y v r = ( 1, a) formen un ángulo de π / 4 16) Determinar si los siguientes vectores son ortogonales a) v r = (1, ) w r = (, 1) b) v r = (0,, 1) w r = (1,, ) c) v r = (1,, ) w r = (, 0, 1) 17) Sean u r = (1, 0, 1) v r = (, 1, ) w r = (, 1, 1) Calcular u r r v r ; u r r w r ; u r r v r r w r ; u r r ( v r + w r ) ; v r r u r ; u r r v r 18) Hallar un vector c que sea ortogonal a los vectores a = (, 0, 1) y b r = (1, 1, 0) simultáneamente y verificarlo. 19) Hallar el valor de x para que los vectores: u r = (, 4, 1) v r = (1, 0, 5) w r = (1, x, 11) sean coplanares. 0) Determinar cuáles de los siguientes subconjuntos de R son subespacios y representarlos en el plano. a) A 1 = { (x 1, x ) R ; x 1 = x } b) A = { (x 1, x ) R ; x 1 0 } c) A 4 = { (x 1, x ) R ; x 1 x = 0 } d) A 5 = { (x 1, x ) R ; x = x 1 +1 } 1) Determinar cuales de los siguientes subconjuntos de R³ son subespacios. a) A = { (x, y, z ) є R ³ ; x + z =0 } b) B = { (x, y, z ) є R³ ; x = y } c) C = { (x, y, z ) є R ³ ; z = x + y } d) D = { (x, y, z ) є R³ ; x + y +z = 4 } 7

8 Álgebra y G.A II Práctica 1. 5) Sea la transformación T: R R dada por: u = ( u1, u ) R ; T( u1, u ) = (u1 + u ; 4u ) a) Hallar: i) T (, 4) ii) T (0, 0) iii) T (-, 4) b) Verificar que se cumple: T ( ( 1,) + 5 (, 1)) = T ( 1,) + 5 T (,-1) 6) Sea la transformación T: R R dada por: ( x, y) R ; T ( x, y) = (x + y;x; x + y) Verificar que se cumple: T (5 (1, ) (, 1)) = 5 T (1, ) T (, 1) 7) Determinar si las siguientes transformaciones son lineales: a) T: R R : (x ; y) R : T ( x, y) = ( y; x ) b) T: R R : (x ; y) R : T ( x, y) = ( x + y;x) c) T: R R : (x ; y) R ; T(x ; x) = ( x+ y ; x ; x+ y) Determinar si son o no isomorfismos. 8