Cómo es este libro? Conozcan a quienes los acompañarán durante todo el año: Luna. Martín. Juan. María. Pablo. Belén. Milagros. Micaela. Paz.

Transcripción

1 Cómo es este libro? En él los acompañan varios chicos como ustedes, que también van a la escuela, que también tienen clase de Matemática y tienen una maestra que escribe en el pizarrón, que explica y les pide que piensen, observen, identifiquen, analicen, comparen, ordenen, clasifiquen, saquen conclusiones, justifiquen sus respuestas Estos chicos, igual que ustedes, a veces trabajan individualmente, a veces de a dos, a veces de a más o todos juntos; en el pizarrón, en hojitas borrador que luego se descartan; en la carpeta o solo en la cabeza, sin escribir nada, nada. Eso sí: cuando les piden que hagan esto y aquello, ellos no refunfuñan, porque son de papel. Conozcan a quienes los acompañarán durante todo el año: Luna María Martín Juan Pablo Milagros Belén Micaela Lorena Paz Gastón Con ellos, y por ocho capítulos, aprenderán: Siempre hay espacios para cotejar con lo que hicieron otros y, así, aprender más y mejor. Cada capítulo cierra con Más problemas para pensar, una propuesta para que revisen todo lo que aprendieron, y también una oportunidad para los que todavía necesitan un empujoncito.

2 1 8 Números de 5 cifras y más Trabajamos con números grandes Lenguaje matemático. Para saber más Diálogos numéricos. Más sobre numeración Números con pistas Cuestiones de números Números en fichas Sistema sexagesimal Números romanos Números de la Antigüedad Más problemas para pensar Grupos de Grupos de Grupos de Múltiplos Divisores Divisor común mayor Múltiplo común menor Números y más números Situaciones con números Números perfectos Más situaciones con números Diagramas Cifras y números Más problemas para pensar Matemática 5

3 3 48 Cálculos exactos y aproximados Otras formas de resolver Números en tablas Cálculo aproximado y cálculo exacto Cálculos con calculadora Operaciones con números naturales Decimales: dinero y medidas Compras organizadas Algoritmos con números decimales Investigación de resultados Análisis de precios Problemas con decimales Sectores con puntajes Los números decimales en la recta numérica Más problemas para pensar Polígonos regulares El cuadrado y el triángulo equilátero Perímetro Investigación sobre triángulos Construcciones con cuadrados y triángulos Cuadriláteros La medida de la superficie Hexágonos y triángulos Figuras circulares Más problemas para pensar índice 5

4 5 86 Materiales para pensar Fracciones equivalentes El entero Comparación de fracciones Fracciones y gráficos Las fracciones en la recta numérica Reparto en partes iguales Cien partes: Porcentajes Suma de fracciones Fracciones en forma gráfica Operaciones con fracciones División de fracciones Más problemas para pensar Tabla pitagórica Proporcionalidad directa. Tablas Tablas y gráficos Constante de proporcionalidad Situaciones con tablas y gráficos Enunciados, tablas y gráficos Gráficos circulares Gráficos de barras Lectura de gráficos Más problemas para pensar Matemática 5

5 7 126 Características de los cuerpos geométricos Construcciones Construcciones en cartulina Construcciones con cubos Los paquetes Medidas de longitud Medidas de peso Medidas de capacidad: los líquidos Situaciones para resolver Más problemas para pensar Medidas de longitud Uso de medidas en tablas Medidas de peso Toneladas Medidas de capacidad Velocidad: relación distancia/tiempo Cálculos de compras Más problemas para pensar índice 7

6 Los números en el diario La maestra trajo al aula dos periódicos: Economía Tucumán Sociedad / Buenos Aires SE AMPLIÓ EL PRESUPUESTO En 2004, el presupuesto de la gestión del gobernador actual ascendió a $ millones de pesos. Teniendo en cuenta que se estimaba que la población era entonces de 1,4 millones de habitantes, el gasto por persona era de $ 954,10. Seis años después, el presupuesto para 2010 es de $ millones para una población de aproximadamente 1,52 millón de tucumanos. O sea, $ per cápita. Es decir, cinco veces más que en el inicio del primer período. Diario La Gaceta, Tucumán. EL PLANETA TIENE, DESDE HOY, MILLONES DE HABITANTES La expectativa de vida pasó de 46 a 66 años, pero persisten serias amenazas. A partir de hoy, cada habitante de la Tierra compartirá el planeta con otras personas, según los cálculos de las Naciones Unidas. El secretario general de la ONU proclamó a un bebé de Sarajevo como el ser humano número millones. La madre del niño dio a luz dos minutos después de la medianoche a un bebé de 3,550 kilos. Diario La Nación. 1. Transcriban 10 números de los recortes de diario. 2. Ordenen los 10 números de mayor a menor. 3. Respondan. a. Cuántos son mayores que ? b. Hay números comprendidos entre y ? c. Hay mayores que ? 8 Matemática 5 Capítulo 1

7 4. En el pizarrón, los chicos anotaron números que encontraron en otros recortes de diarios y para cada uno escribieron pistas en fichas para reconocerlos A Es un número par. No termina en 0. Comienza con 5. B Es un número mayor que No termina en 7. Si suman sus cifras, da como resultado 19. C Es un número que al multiplicarlo por da como resultado D Es el mayor número de cinco cifras diferentes. E F Es el menor número de seis cifras diferentes y pueden usar el 0. Es el menor número de cuatro cifras diferentes pares. G H Es un número de 5 cifras distintas que es divisible por 3. Es el mayor número de cinco cifras diferentes impares. a. Descubran qué pista corresponde a cada número del pizarrón. b. Escriban pistas para los números no usados del pizarrón. Los números en el diario 9

8 Números de 5 cifras y más 1. Los chicos prepararon un juego con fichas. Hay nueve de cada clase Milagros dijo un número, y Pablo lo formó con fichas. Seiscientos treinta y dos mil quinientos veinte Martín anotó: = a. Conversen acerca del registro de Martín. b. Formen con las fichas los siguientes números c. Indiquen en cada caso qué número corresponde: = = = 10 Matemática 5 Capítulo 1

9 2. Organicen un juego en el aula utilizando las fichas. Redacten las reglas. En el aula los chicos están jugando con las fichas: El es diez veces más grande que el 500. El es diez veces más grande que el Escriban en el pizarrón el número que formó Milagros y el que formó María. Respondan. a. Quién formó el número mayor? b. Qué diferencia hay entre ellos? c. Si Milagros quisiera formar el número , qué otras fichas debería agregar? d. Qué diferencia hay entre el número y el que formó María? 4. Martín dice que tiene 8 fichas, 7 de ellas de distinto valor. a. Qué número formó? La solución es única? Escriban en el pizarrón diez números que se puedan formar con 6 fichas de distinto valor. 5. Belén dice que tiene 10 fichas y de todos los valores. Cuáles de los siguientes números puede formar? Completen el cuadro. un millón más mil más uno más número uno menos diez mil menos un millón menos a b Los números en el diario 11

10 7. Respondan sin escribir los números: cuántas cifras tiene cada número? a. ciento veinte mil cuarenta y ocho b. cien mil c. doscientos setenta mil ocho d. sesenta mil veinticuatro e. quinientos cuarenta mil dieciséis f. trescientos mil cantidad de cifras números 8. Ahora, escriban los números en la tabla y verifiquen las respuestas verbales. a. Ordenen en su carpeta los números de mayor a menor. b. Busquen relaciones entre los números del ejercicio anterior y analicen lo que dicen los chicos. 9. Escriban en una hoja, en letras, cinco números de 5 cifras que se relacionen entre sí. Cópienlos en el pizarrón. Desafíen a sus compañeros para que descubran las relaciones que hay entre ellos. Controlen las respuestas entre todos. 50 es diez veces más grande que es diez veces más grande que De a dos, completen el cuadro. a. + + = b. + + = c. + + = d = Cómo completaron los otros grupos? 12 Matemática 5 Capítulo 1

11 Trabajamos con números grandes La maestra escribió números en el pizarrón; algunos son mayores que cien mil: (mil) 1 unidad de mil (diez mil) 1 decena de mil (cien mil) 1 centena de mil (un millón) 1 unidad de millón (diez millones) 1 decena de millón (cien millones) 1 centena de millón (mil millones) 1 unidad de mil de millón 1. Respondan oralmente: cuántas cifras tiene el número un millón? Y el número diez millones? 2. De a dos, marquen con una cruz cuáles de los siguientes números están entre un millón y diez millones. Escriban en cada caso cómo los leen. número nombre entre un millón y diez millones a Tres millones quinientos mil x b c d Escriban los números, hagan el cálculo propuesto y comparen con sus compañeros. Número Cálculo propuesto Resultado en números a. b. diez mil quinientos quince veinte mil cuatrocientos dos c. treinta mil doscientos d. un millón trescientos cuatro Dividan por 3 Súmenle la mitad de Réstenle y dividan por 100 Dividan por 4 y súmenle Al utilizar números grandes para abreviar la escritura se usa la denominación con coma. Por ejemplo: se puede decir 5,7 millones. Los números en el diario 13

12 Lenguaje matemático. Para saber más Si al número ciento veintisiete mil trescientos catorce le restan el número mil trescientos quince, qué número obtienen? = 2. Tres números sumados dan como resultado novecientos mil. Escriban por lo menos tres cálculos diferentes que respondan a esa condición: a. + + = b. + + = c. + + = Dos números de tres cifras, sumados entre sí, dan como resultado veintiocho mil ochocientos. Uno de los factores es el doble del otro. Resuelvan y analicen los procedimientos que utilizaron para encontrar los factores. + = Un número dividido por veintisiete da como resultado quince mil. Cuál es ese número? : 27 = De a dos, elijan dos números de seis cifras, resten el menor al mayor. Sumen al resultado el menor. Qué sucede? Realicen lo mismo con otros números y saquen conclusiones. 6. Si al doble de doscientos cinco se le suman quinientos diez, qué número se obtiene? Escriban en forma de cálculo y respondan. Escriban otros cálculos y desafíen a sus compañeros a resolverlos. Comparen los resultados. 14 Matemática 5 Capítulo 1

13 7. En pequeños grupos, completen. a. El triple de cien mil es b. La mitad de cuarenta mil es c. La quinta parte de doscientos cincuenta mil es d. El doble de cien mil más la mitad de veinticinco mil es e. La mitad de cien mil más el cuádruple de doce mil quinientos es 8. Busquen: a. Dos números que, sumados, den como resultado novecientos mil noventa. b. Dos números que, restados, den como resultado ochocientos veinte mil. c. Dos números que, multiplicados entre sí, den como resultado seiscientos mil. d. Dos números que, divididos entre sí, den como resultado doscientos cincuenta mil. Comparen su trabajo con el de los compañeros y, en el pizarrón, organicen por grupos los cálculos que den el mismo resultado. 9. Completen el cuadro Escriban en cálculos y resuelvan. a. El doble de dos millones b. El triple de ciento diez mil c. La mitad de ochocientos cuarenta mil d. La décima parte de setecientos mil resultados El número que no se conoce se denomina incógnita, que quiere decir no conocido. Los números en el diario 15

14 Diálogos numéricos. Más sobre numeración Este número es mayor que un millón Está más cerca de dos millones que de un millón. Está entre un millón y dos millones. 1. Conversen acerca de las afirmaciones de los chicos. 2. Observen el número que está en el pizarrón y respondan oralmente. a. Cuánto más grande es que un millón? b. Cuánto más chico es que dos millones? 3. Marquen con una X cuáles de los siguientes cálculos corresponden al número del pizarrón. a b c d Escriban los siguientes números en la carpeta. un millón quinientos treinta mil veintiocho un millón cincuenta y tres mil doscientos ochenta un millón cincuenta y tres mil doscientos ocho un millón quinientos tres mil doscientos ocho a. En qué se parecen y en qué se diferencian los números que escribieron? b. Ordénenlos de menor a mayor. c. Escriban diez números de 7 cifras y ordénenlos de mayor a menor. Comparen su trabajo con el de sus compañeros para estar seguros de que está correcto. 16 Matemática 5 Capítulo 1

15 Números con pistas Los chicos juegan a adivinar números. Estoy pensando en un número de 5 cifras impares y no repetidas. El número es mayor que ? Sí, es mayor que Cuántos números de cinco cifras mayores que y menores que cumplen con esa condición? Escríbanlos Sigamos jugando. Ahora estoy en el pizarrón. pensando en un número posible que cumpla con esas características. a. Cuáles son los números de la actividad 1 que cumplen con esas condiciones? b. Pongan dos ejemplos de números capicúa de 5 cifras. 2. De a dos, escriban los números que correspondan a las siguientes pistas. a. El menor número de siete cifras impares b. El mayor número de siete cifras impares c. d. El mayor número capicúa o palíndromo de siete cifras, con seis cifras impares El menor número capicúa o palíndromo de siete cifras, con solo una cifra par Comparen con los números que escribieron otros grupos y corrijan si fuera necesario. 3. Escriban pistas para los números. a b c Todos tienen tres nueves y los demás dígitos son ceros... Capicúa: un capicúa es un número especial. Se lee igual al derecho que al revés. Su origen es catalán: cap = cabeza y cua = cola. Además, Capicúa fue un personaje famoso de historietas a partir de Los números en el diario 17

16 Cuestiones de números Cada persona tiene su Documento Nacional de Identidad o DNI, con un número que le corresponde solo a ella. 1. Averigüen el número de DNI de cinco personas de la familia que hayan nacido en la Argentina, transcríbanlos en la carpeta y ordénenlos de menor a mayor. Luego, respondan: a. Qué edad tiene la persona cuyo número es el menor? b. Qué edad tiene la persona cuyo número es el mayor? c. Pueden enunciar algunas conclusiones respecto de esos números? Cuáles? Comparen las respuestas entre todos. 2. Formen pequeños grupos y busquen los números a los que se refieren las tarjetas: Números que indiquen la población de cinco ciudades de la República Argentina. Números que indiquen la superficie de cinco provincias argentinas. Números que indiquen las distancias entre la Ciudad Autónoma de Buenos Aires y cinco ciudades de la República Argentina. Números telefónicos de cinco compañeros del curso. 3. Transcriban los números buscados en la actividad 2 e indiquen lo siguiente: a. Cuál de ellos está más cerca del millón? b. Cuál está más cerca de diez millones? c. Cuál es el menor? d. Cuántos hay entre cien mil y cincuenta mil? Comparen sus respuestas con las de sus compañeros. 18 Matemática 5 Capítulo 1

17 Números en fi chas La maestra recuerda a los chicos cuáles son los diez símbolos de nuestro sistema de numeración. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 1. Preparen 9 fichas del 0 al 9 para formar números. Por ejemplo: Respondan. noventa y siete mil quinientos veintiuno a. Cuál es el número más cercano a un millón que pueden formar? b. Cuál es el número menor de ocho cifras posible de formar? c. Cuál es el mayor número de nueve cifras que pueden formar? d. Cuál es el número más cercano a cien millones posible de formar? 3. Escriban en la carpeta todos los números formados y comparen su trabajo con el de sus compañeros. 4. Formen con las fichas por lo menos cinco números que respondan a las condiciones que pensó Luna. Yo formé un número de nueve cifras distintas que comienza con nueve y termina con cero. Yo ya pensé en cinco posibles... Sistema de numeración decimal Es un conjunto de base 10. Es decir, que agrupa de a 10 unidades; diez elementos de un orden corresponden a una unidad del orden inmediato superior. Tiene 10 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. El sistema decimal es posicional, debido a que cada símbolo tiene un valor distinto según el lugar que ocupa: unidades 7 centenas Los números en el diario 19

18 Sistema sexagesimal Hay unidades que se utilizan para medir el tiempo. No se agrupan de a 10, sino de sesenta en sesenta. 1 hora = 60 minutos 1 minuto = 60 segundos 1. Respondan oralmente. a. Cuántos segundos hay en una hora? b. Cuántos minutos hay en un cuarto de hora? Y en media hora? c. Cuántos minutos hay en dos horas? d. Cuántos minutos hay en tres horas y media? e. Cuántos minutos pasaron desde las cuatro y cuarto hasta las seis y media? 2. Martín salió de su casa a las siete menos cuarto y llegó a la escuela a las siete y treinta y cinco. Cuánto tardó en llegar? 3. De a dos, completen el cuadro indicando cuánto tiempo pasó entre el primer y el segundo registro del reloj: 1º registro 2º registro tiempo transcurrido a. b. c. 7 y 35 d. Comparen sus respuestas con las de sus compañeros. 20 Matemática 5 Capítulo 1

19 Números romanos Los romanos utilizaban un sistema de numeración que aún se emplea en algunos lugares del mundo. Los números se representan con siete letras del alfabeto latino: I V X L C D M Transcriban los números romanos del reloj en el cuadro. I V X Belén y Micaela anotan los siguientes números: XL 40 CCV 205 CMXX Escriban en números romanos Los signos I, X, C y M, se pueden repetir hasta tres veces para sumar su valor... a. 326 c. 306 b. 545 d Escriban los números arábigos que corresponden a a. XXIV b. CCCIL c. MMCMLXX Esos mismos símbolos se pueden colocar una vez a la izquierda del otro signo y se restan. 4. Analicen lo que dice Micaela. Cómo escribirían 6.000? Yo sé que se escribe así: V. Los números en el diario 21

20 Números de la Antigüedad En la Antigüedad, muchas civilizaciones desarrollaron diversos sistemas de numeración. Los chicos encontraron en libros de historia símbolos diferentes utilizados en cada pueblo para designar los números Así escribían los números hasta el 50 los babilónicos, pueblo que habitaba donde hoy es Irak. Los egipcios utilizaban los siguientes símbolos: Los griegos tenían un sistema que consistía en atribuir un número a cada letra de su alfabeto En general, estos sistemas eran aditivos, no posicionales. Esto significa que el valor de los símbolos no dependía del lugar donde estaban ubicados. 22 Matemática 5 Capítulo 1

21 1. En pequeños grupos, inventen un sistema similar a los que utilizaban los pueblos de la Antigüedad. Recuerden que deben ponerse de acuerdo no solo en los símbolos y en el valor de cada uno, sino en las reglas para su escritura. Números Símbolos Se puede repetir SÍ NO Veces que se puede repetir a. Intercambien los sistemas que inventaron con otro grupo y escriban números con el sistema que recibieron. 2. Escriban el número palíndromo o capicúa 696 en los sistemas egipcio, romano y griego. Observen el resultado y saquen conclusiones. Sistema egipcio Sistema romano Sistema griego Los números en el diario 23

22 Más problemas para pensar 1. Escriban en el pizarrón en forma convencional los números que aparecen en las noticias. 2,7 millones de habitantes de la India... El accidente generó una pérdida de 5,4 millones 2. De a dos, escriban el número que queda formado con las siguientes fichas Comparen con lo que anotó otro grupo. 3. Formen con fichas los siguientes números: a b c En pequeños grupos, contesten la pregunta que la maestra escribió en el pizarrón: Con cuál de los siguientes cálculos se obtiene el número ? = = = = 5. Escriban estos números en forma de cálculo. a : b : c : Comparen sus cálculos con los de otro compañero. 24 Matemática 5 Capítulo 1

23 6. Escriban cálculos para representar los siguientes números: Qué cálculos realizarían para que se transforme en ? Y en ? 8. Escriban con letras los números de la actividad Escriban con números: a. siete mil millones y mil siete: b. doce mil millones y un millón doce mil: c. novecientos millones y ciento nueve mil nueve: d. cuatrocientos ocho millones ochocientos cuatro mil ochocientos cuatro: 10. Escriban el número anterior y el posterior: a b c d e f g Respondan. a. Cuál es el mayor número de siete cifras que se puede formar eligiendo solo entre los dígitos 1, 2, 9, 7, 8, 4 y 3? b. Cuál es el menor número de siete cifras que se puede formar eligiendo entre los mismos dígitos? 12. Para ir a visitar a su abuela, Martín toma un tren a las 9.18 y llega a las En cuánto tiempo hace el recorrido? 13. Un mayorista de golosinas vende caramelos. La mitad de los caramelos los vendió en bolsas de 10 y la otra en bolsas de 100. Cuántas bolsas vendió en total? Los números en el diario 25

24 14. Escriban los números romanos hasta completar la tabla. Número anterior Número Número posterior a. MMMIII b. DCCLXIII c. DCCLX d. VCD 15. Escriban en sistema arábigo. a. MMMIII b. MCCXLVIII c. DCCLXIII d. VCD 16. Escriban en cálculos y resuelvan: a. la décima parte de cuarenta mil; b. la cuarta parte de cien mil cuarenta y cuatro; c. la quinta parte de cinco millones quinientos mil; d. la mitad de un millón más el triple de veintidós mil; e. ordenen los números que obtuvieron de menor a mayor. 17. Este año se estima que van a ingresar aproximadamente de turistas extranjeros. Si el año pasado ingresaron , en cuánto se incrementó el ingreso? 18. Marquen con V o F las opciones para expresar el número a b c En el inicio de la temporada de verano agasajan al primer turista que llega a Mar del Plata en auto a la hora 0. Si ingresan 650 autos por hora, a qué hora se estima el ingreso del turista N ? 20. La suma de las edades de dos hermanos es de 34 años. Si el mayor tiene 8 años más que su hermano, qué edad tiene cada uno? 26 Matemática 5 Capítulo 1

25 21. En la siguiente recta, con la ayuda de la regla, completen con los números: ; ; ; La cajera de un banco tiene que hacer 3 pagos. Cómo realizará cada pago utilizando la menor cantidad posible de billetes? a. pago 1: $ b. pago 2: $ c. pago 3: $ Completen la tabla. Un millón menos Quinientos mil menos Uno menos Número Cincuenta mil más Un millón más a b c d Partiendo de los números de la 1.ª columna, indiquen qué cálculos pueden realizar para obtener los de la otra columna. Número Cálculo Resultado a b c Partiendo del número escriban tres números mayores y tres menores sumando o restando Los números en el diario 27