Análisis de una propuesta de evaluación en relación con la estructura conceptual de la proporcionalidad

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1 Análisis de una propuesta de evaluación en relación con la estructura conceptual de la proporcionalidad Alvarado,L;Cortés,J;Hoyos,N UniversidaddelValle,InstitutodeEducción ypedagogía,áreadeeducaciónmatemática RESUMEN Lapresentepropuestaesunaaproximaciónreflexivaycriticadelasprácticasevaluativasquese vienendesarrollandoenlaenseñanzabásicaymediaenlasinstitucionesdecarácterprivadodela ciudad de Cali, sustentada desde nuestra propia experiencia como docentes en ejercicio y estudiantesdeúltimosemestreenlicenciaturadematemáticasyfísicadelauniversidaddelvalle,y apoyadaenelanálisisdeunasactividadespilotodeintervenciónyevaluaciónmatemática,entornoa diferentesnocionesyconceptosrelacionadosconlaestructuraconceptualdeltópicodeproporcióny proporcionalidadenlosgradosdeséptimodeeducaciónbásicaydécimodeeducaciónmediaquese realizaronafindeplantearunaseriedeinterrogantescrucialesentornoalaevaluación,dadosu carácterorganizador,dinamizadorypotencializadordelcurrículo.estapropuestaseapoyaráenel marcometodológicodelosorganizadoresdelcurrículo,dondelaevaluaciónesunejefundamentalen elanálisisdidácticoquepermitelaarticulaciónyorganizacióndeuncurrículosignificativoparalos interesesdeloseducandos. PALABRAS CLAVES: Evaluación, Currículo, Análisis didáctico, organizadores del currículo, conocimientodidáctico,proporción,proporcionalidad,educaciónmatemáticas. I.Introducción Yonopuedoenseñarlenadaalhombre,yosolopuedoayudaradescubrir lasabiduríaquetieneensuinterior GalileoGalilei Laevaluaciónhasidoyseguirásiéndolo,untemacentraldeinterésypreocupaciónparalosdocentese investigadoreseneducaciónmatemática,debidoasuimportantepapelarticulador,dinamizadory motivadorenelcurrículoylosprocesosdeenseñanzayaprendizajedelasmatemáticasentodoslos niveles de la educación escolar. Por estas razones, pero también por otras no tan positivaspero igualmenteproblematizadoras,comoporejemplo,elpapelselectivoydiscriminadorquefrecuentey subjetivamenteleatribuyenmuchosdocentesdematemáticasyotrosagentesdelsistemaeducativo, laevaluaciónmatemáticasehaconvertidoenunimportantetemadereflexión,discusión,investigación ypropuestacurricularydidácticaentrelacomunidadeducativa,enparticularcuandosetratadedar cumplimiento a los procesos de promoción y estímulos académicos de los educandos. Más precisamente,dadasugrantrascendencia,laevaluaciónmatemáticasehaconstituidoenunverdadero ysignificativocampoproblemáticoydereflexiónparalosdocenteseinvestigadoresendidácticadelas

2 Matemáticas(DM)(Romberg,1993;Giménez,1997;Rico,1997). Docentes e investigadores en Educación Matemática se plantean y reflexionan con propósitos didácticosycurriculares,yenrelacióncondistintoscontenidosmatemáticos,preguntascomo: Quéesevaluar? Paraquéseevalúa? Qué,cómoycuándosedebeevaluar? Quéusosseledayselesdebedaralosresultadosdelprocesodeevaluación? Cuálesson los conocimientos,habilidades y competencias que deben tener los profesores y estudiantesenrelaciónconlosprocesosdeevaluaciónmatemática? Cuáleslaformacióninicialycontinuadamásadecuadaquesedebeproponeralosprofesoresde matemáticasdelosdiferentesniveleseducativosparaquerealicenunaevaluaciónefectivaycon calidad? Cuáleslaeficaciarealdelosmodelos,estrategiaseinstrumentosqueseutilizanparaevaluaren matemáticas? LosautoresdeesteTrabajodeGradonosproponemosreflexionarsobrealgunasdeestaspreguntas, conpropósitosformativosyconlaintencióndeformularyanalizarunapropuestaalrespecto.nuestro interésenlaproblemáticaevaluativasurgedenuestrapropiaexperiencia,tantocomodocentesde matemáticasenejercicioenenseñanzabásicaymedia,asícomoestudiantesparaprofesoresdel programadelicenciaturaenmatemáticayfísicadeláreadeeducaciónmatemáticadelinstitutode EducaciónyPedagogíadelaUniversidaddelValle.Enestesentido,hemospropuestointegrarde manerareflexivaycríticalasdistintasprácticaslaboralesyacadémicasquerealizamosencadaunode estoscontextos.alfinyalcabo,enelcontextodeladisciplinadidácticadelasmatemáticas,se proponequelaformaciónprofesionaldelosprofesoresdematemáticasesdecarácterteóricopráctica. Deestaforma,desdehacemásdeunañoyconpropósitode(i)reflexionardemaneraarticuladasobre nuestrasdistintasactividadesprofesionalesyacadémicas;(ii)mejorarydesarrollarnuestraformación académicayprofesionalalrespecto;y(iii)desarrollarideasparaformularnuestrapropuesta(proyecto) detrabajodegradoenlauniversidad,diseñamoscuatroactividadesdidácticasdeintervencióny evaluación matemática en nuestras aulas de trabajo, en torno a diferentes nociones y conceptos relacionadosconlaestructuraconceptualdeltópicodeproporciónyproporcionalidad.dosdeestas actividadesseaplicaronengradoséptimodeeducaciónbásicaydosparagradodécimodeeducación media,específicamenteenproporcionalidaddirecta,inversaylaresolucióndesituacionesproblema haciendousodelaleydesenos,conestasactividadessepretendíaevidenciarlosniveldellogro alcanzado,elprocesodelestudianteparaconstruirelconcepto,relacionesysignificadosquesehan construido,comoloqueelestudiantenohapodidoconstruirconreferenciaalconceptodeproporción, estareflexiónserealizoapoyadoseneldiseñoderejillasdeanálisisparacadaactividadconuna intencionalidadcoherentealconceptomatemáticoquesequeríaevaluar. En este sentido este estudio lo concebimos enmarcados, conceptual y metodológicamente en la propuestadelosorganizadoresdelcurrículoelaboradaenelsenodelgrupodeinvestigaciónsobre PensamientoNuméricoyAlgebraico(PNA)delDepartamentodeDidácticadelaMatemáticadela UniversidaddeGranada(Rico,1997a)yapoyadosenlapropuestadeestándaresdeevaluacióndel NCTM. lapresentacióndelaexperienciaseplanteaninterrogantescentralesqueincluyen:cómolaevaluación regula los procesos de enseñanza y aprendizaje en el aula de matemáticas, cómo se podría

3 potencializarelestudiodenocionesmatemáticastalescomolaproporciónapartirdeladiscusiónsobre laevaluacióndeldesempeñomatemáticodelosestudiantes,cómoapartirdelaevaluacióneldocente puedehacerinferenciasvalidasyrealesdelprocesocognitivoenqueseencuentransusestudiantesy cómopuedereconocerobstáculosepistemológicosydidácticos. II.Elproblemaainvestigar Elpropósitocentraldelaenseñanzadecualquiertemaesquelosalumnoscomprendanyaprendan determinadosconceptosyprocedimientosdelsistemaconceptualquesesuponecaracterizanaltema. Sinembargo,estosprocesos enseñanzayaprendizaje nosiemprearrojanlosresultadosesperados, enelsentidoquelosalumnoslogrenlosobjetivosdeaprendizajesobrelosconceptosqueelprofesor lesenseña.precisamente,laevaluacióneselprocesomedianteelcualsepretendedeterminarsiel alumnorealmentehaaprendidoocomprendidoloqueselehaenseñado. Naturalmente,estostresprocesosdidácticos aprendizaje,enseñanzayevaluación soncentralesy estánestrechamenterelacionados.sinembargo,nosonlosúnicosprocesosqueestánrelacionados directamentecon la evaluación. Otros procesos, como el de formación de los profesores y elde desarrollocurriculartambiénsondeterminantesparaelprocesoyresultadofinaldelaevaluaciónen matemáticas. En este trabajo consideramos que una propuesta de análisis e innovación sobre el procesodeevaluaciónenmatemáticasdebeconsiderarlacomplejidadsistémicadelosprincipales procesosimplicados,máximesilapropuestayenparticularelmodeloenqueestasebasa,seconcibey fundamentadesdeunpuntodevistasocioconstructivista. Esta concepción permite ver la evaluación en la actualidad como un campo problemático de la educaciónmatemática,puesenellaconvergendiferentescuestionamientos,reflexiones,criticas,y vivenciaspropiasdelascomunidadeseducativasademásdeunaseriedereformaspolíticasquepoco consideralaparticipacióny/oformacióndelosmaestros.deahíelinterésdelosinvestigadoresen matemáticasdeindagarfrentealpapeldelaevaluaciónenelcurrículo,ycomoatravésdeellasepuede potencializar la movilización de los objetos matemáticos en el aula y poner de manifiesto una perspectivadelaevaluaciónqueseapertinenteanuestrocontextocientífico,socialyculturalen nuestropaís. Enestesentidoplanteamostresinteresesporloscualesnosmovemospararealizarestainvestigación: Posibilitarenlacomunidaddeeducadoresmatemáticoslareflexiónentornoasilaevaluación debeserconcebidacomounprocesoestandarizado,entendidocomosituacionespreestablecidas, ounmanualdeacciónqueelmaestroefectúasobrecadaestudiante,oporelcontrariosedebever laevaluacióncomounprocesoconstanteycoherentequeprivilegielamovilizacióndelosobjetos matemáticosteniendoencuentalasparticularidades,potencialidades,dificultades,habilidadesde cadaestudiante,comopersonaautónomayconundesarrollopropioeindividual, QuelosestudiantesaprendanmatemáticasdebeserelinterésylaintencióndecualquierMaestro dematemáticas.portalrazónlaevaluaciónnodebeserunelementoquegenereuncalificativoo descalificativoenlosestudiantes(estratificarlasaulasdeclases),sinoquedebeconvertirseenun elementoquepermitarealizarinferenciasentornoalasdificultades,potencialidades,habilidades quesepuedendesarrollaryfomentarenelauladeclase. Elcurrículodebeserconcebidocomoalgovivoysusceptibledesermodificado,esportalrazón quesedebereflexionarentornoalpapeldelaevaluacióncomounarticuladordelcurrículo, teniendoencuentaqueéstanosdarálosinsumosnecesariosparaplantearloscambios,ajustesy mejorasquesedebenrealizar,

4 III.Marcoteórico AcordeconlasdoscuestionescentralesytransversalesdeesteProyectodeTrabajodeGrado:el contenidomatemáticoescolar elsistemaoestructuraconceptualsobreproporcionalidad yla evaluación en matemáticas; y con las tres dimensiones y categorías generales de análisis que consideramos para el desarrollo del trabajo: institucionalcurricular, formación de profesores y estudiantes,ydidácticadelasmatemáticas,enesteapartadorealizaremosunaaproximaciónalos distintoscontenidosconceptualesymetodológicosque,desdenuestropuntodevista,resultanmás apropiadosyrelevantesparaelanálisisydesarrollodenuestrotrabajodegrado. 3.1.Marcoinstitucionalcurricular Enestetrabajovamosaconsiderarcomoreferentes,tantoparalareflexiónyanálisis,comoparala fundamentaciónconceptualymetodológica,porlomenoscuatropropuestascurricularesenrelación conlosdistintoscontenidosycuestionesdeinterés.cadaunadeestaspropuestas,lasconsideraremos desdeelpuntodevistadelosdiferentesnivelesdeconcreción Internacional,Nacional,Institucionaly Aula queproceda.estascuatropropuestascurricularessonnominalmentelassiguientes: 3.1.1LapropuestacurricularoficialdeColombia:LineamientosCurriculares:ÁreaMatemáticas (MEN,1998);EstándaresCurricularesydeEvaluaciónparaelÁreadeMatemáticas(MEN,2002). Enesteapartadoanalizaremosyreflexionaremosentornoalaperspectivadeevaluaciónqueplanteael MEN,atravésdelosLineamientosCurriculares,ylosEstándaresBásicosdeMatemáticas. LosLineamientosseenmarcanenunapolíticadedescentralizaciónyparticipación,paraserevidentela LeyGeneraldeEducación,propiciandoconellolageneracióndedirectrices.(GarciaG.2003). Apartirdeunareflexiónydiscusióndediferentesinvestigadoreseneducaciónmatemática,yconel sentidodedarrespuestaalasdificultadesquesedebenenfrentarlosestudiantestalescomo:la complejidad del símbolo (algebra), la complejidad del cambio y de la causalidad determinística (cálculo), la complejidad proveniente de la incertidumbre en la causalidad múltiple incontrolable (probabilidad,estadística),lacomplejidaddelaestructuraformaldelpensamiento(lógicamatemática), deacuerdoconloanteriorsefundamentanloscincotiposdepensamientomatemático: PensamientoNumérico:LosLineamientosCurricularesdeMatemáticasplanteaneldesarrollode losprocesoscurricularesylaorganizacióndeactividadescentradasenlacomprensióndelusoyde lossignificadosdelosnúmerosydelanumeración;lacomprensióndelsentidoysignificadodelas operacionesydelasrelacionesentrenúmeros,yeldesarrollodediferentestécnicasdecálculoy estimación.(estándaresbásicosdecalidad,áreadematemáticasmen2003). El pensamiento espacial y los sistemas geométricos: El pensamiento espacial contempla las actuaciones del sujeto en todas sus dimensiones y relaciones espaciales para interactuar de diversasmanerasconlosobjetossituadosenelespacio,desarrollarvariadasrepresentacionesy,a travésdelacoordinaciónentreellas,haceracercamientosconceptualesquefavorezcanlacreación ymanipulacióndenuevasrepresentacionesmentales.(estándaresbásicosdecalidad,áreade MatemáticasMEN2003). ElpensamientométricoylossistemasmétricosodemedidasLosconceptosyprocedimientos propiosdeestepensamientohacenreferenciaalacomprensióngeneralquetieneunapersona sobrelasmagnitudesylascantidades,sumediciónyelusoflexibledelossistemasmétricosode medidasendiferentessituaciones.(estándaresbásicosdecalidad,áreadematemáticasmen 2003).

5 Elpensamientoaleatorioylossistemasdedatos:Estetipodepensamiento,llamadotambién probabilísticaoestocástico,ayudaatomardecisionesensituacionesdeincertidumbre,deazar,de riesgoodeambigüedadporfaltadeinformaciónconfiable,enlasquenoesposiblepredecircon seguridadloquevaapasar.elpensamientoaleatorioseapoyadirectamenteenconceptosy procedimientosdelateoríadeprobabilidadesydelaestadísticainferencial,eindirectamenteenla estadísticadescriptivayenlacombinatoria.(estándaresbásicosdecalidad,áreadematemáticas MEN2003). DeestamaneraelMENgeneraunmarcogeneralenelcuallosdocentes,lasinstitucionesdeben renovarsusplanesdeestudio,planesdeárea,dondepromuevanfundamentalmentelossiguientes aspectosconlosestudiantes: Formularyresolverproblemas Lamodelación,entendidacomoelcambiodelenguajenaturalenelcualsepresentanlos problemas,presentarloenlenguajematemático,respondiendoaunospatrones. Comunicaryrazonarenmatemáticas. Porotroladolosestándaressecreancomounrequerimientomínimoentérminosdesaberesquelos estudiantescolombianosdebenadquirirencadaniveldeescolaridad,elmenlodefinecomo: Los estándares se definen como criterios claros y públicos que permiten conocer cual es la enseñanzaquedebenrecibirlosestudiantes.sonelpuntodereferenciadeloqueunestudiante puedeestarencapacidaddesaberysaberhace,endeterminadaáreayendeterminadonivel.son guíareferencialparaquetodaslasescuelasyloscolegiosyaseanurbanosorural,,privadoso públicos de todos los lugares del país, ofrezcan la misma calidad de educación a todos los estudiantescolombianos. LosestándaresdeacuerdoconloestablecidoporelMEN,estosseconviertenenelejedireccionalde lasacciones,ylaspracticasformativas,ydeevaluaciónenelaula LapropuestadelNCTM LapropuestadelNCTM,seenmarcaenunaconcepcióndeevaluaciónconsideradacomoparteintegral delcurrículo,delosprocesosdeformacióndelosestudiantes,ycaracterizadacomounproblemade investigación. Laevaluaciónsedefinecomoelprocesoderecoleccióndeevidenciassobreelconocimientodeun estudiante acerca de la aptitud para aplicar, y la disposición hacia las matemáticas, y la elaboración de inferencias con base en tales evidencias para una variedad de propósitos. (TomadodeNCTM1995,NormasyEstándares). Entenderestadefiniciónnosobligaaanalizaryreplantearelsentidodeevaluaciónquesehapermeado enlaescuelayenlaorganizacióncurricular,laexperienciaarrojaquelaconcepcióndeloseducadores matemáticosesverlaevaluacióncomounprocesoterminado,estandarizandoelprocesoconpruebas cuantitativasquemidendeunamanerageneralizantecomoelestudianteseapropiadelosconceptos matemáticossintenerencuentalasindividualidadesenlosritmosdeaprendizajesymidiéndolaconun valornuméricodividiendolaevaluaciónenperiodosescolarespuntuales,elcualevidenciaensesgarla evaluacióncomounexamenoralyescrito,quedeunauotramaneracortaelprocesosecuencialy coherentequedebetenerlaenseñanzayaprendizaje. Ademásseplanteaqueelprocesodeevaluaciónpuedeconsiderarseporcuatrofasesinterrelacionadas delasiguientemanera:

6 Planeacióndelaevaluación Quéobjetotienelaevaluación? Quémarcodereferenciaseaplicaparaenfocaryequilibrarlasactividades? Quémétodosseusanparareunireinterpretarevidencias? Reunióndeevidencias Cómosoncreadasyseleccionadaslasactividadesylastareas? Cómoseseleccionanlosprocedimientosparacomprometeralosestudiantesenlasactividades? Cómodebejuzgarselosmétodosparacrearypreservarlasevidenciasdelosdesempeños? Interpretacióndeevidencias Cómosedeterminalacalidaddelasevidencias? Cómodebeinferirseunacomprensióndelosdesempeñosapartirdelasevidencias? Quécriteriosespecíficosseaplicanparajuzgarlasactividadesylosdesempeños? Usoderesultados Cómodebenreportarselosresultados? Cómodebenhacerselasinferenciasapartirdelosresultados? Quéaccióndebeemprenderseconbasealasinferencias? Losautoresproponenademásseisestándaresparaguiarelprocesodevaloración. EstándardeMatemáticas:lavaloracióndebereflejarlasmatemáticasquelosestudiantesdeben conoceryusar. EstándardeAprendizaje:lavaloracióndebeaumentarelaprendizajedelasmatemáticas. EstándardeEquidad:lavaloraciónpromuevelaequidad.Sedebeentenderlavaloracióncomoun procesoindividuallacualdebetenerencuentalascaracterísticasparticularesdecadaestudiante. EstándardeApertura:Lavaloracióndebeserunprocesoabiertoyeficaz. Estándardeinferencia:Laevaluacióndebepromoverinferenciasvalidasacercadelaprendizajedelas matemáticas. Estándar de coherencia: La evaluación debe ser un proceso coherente. En todo el proceso de evaluacióndebeexistirunejeconductorquepermitalacorrespondenciaentrelospropósitosdela evaluación. 3.3.PerspectivaDidáctica Apartedelasconcepcionessobreevaluaciónqueseproponenenlasdiferentespropuestascurriculares, son varias las perspectivas didácticas que de forma complementaria consideraremos para conceptualizarlanociónyprocesodeevaluaciónenmatemáticas. Romberg,T.A.(1993)(Cómounoaprende:Modelosyteoríasdelaprendizajedelasmatemáticas.En Sigma,No.15.(Howonecomestoknow:Modelsandtheoriesofthelearningofmathematics,in InvestigationintoAssessmentinMathematicsEducation,Dordrech:Kluwer),planteaquelaformade evaluarenmatemáticasdependedelamaneracomoseconcibaelaprendizajedeestaasignatura,y

7 proponeunmodelode evaluacióndelogrosauténticos basadoenunenfoqueconstructivista.este modelosebasaenelanálisisdetareasrelacionadasconlaresolucióndeproblemas,yapartirdelocual se espera que los alumnos razonen y argumenten lógicomatemáticamente, haciendo conjeturas, desarrollandomúltiplesestrategiasyformulandoargumentosyjustificaciones. Porsuparte,Giménez,J.(1997),basándoseenColl,C.(1987)ydesdeunaperspectivaconstructivista, proponelasiguientedefinicióndeevaluación: Conjuntodeactuacionesmediantelascualessereconocenlascaracterísticadelosestudiantes,se establecelaayudanecesariaparaquepuedanrealizarsuaprendizajedelasmatemáticasyse reacomodanlascondicioneseintencioneseducativasqueposibilitantalproceso;enotronivelse analizanyregulanlosmodelosimplícitosdeprofesor,alumno,materialeseinstituciónescolaren losquetienelugarlaenseñanzadelasmatemáticas. Talcomopodemosobservar,estadefiniciónampliaeintegradoradeGiménez,complementadaconla propuestaderomberg,nosproveendeunaconceptualizaciónapropiadaparanuestrosintereses,en relaciónconcadaunadelastresdimensionesycategoríasdeanálisis. Elanálisisdidáctico Enestetrabajopretendemosnosolorealizarunanálisisdelaevaluaciónenelaulasinotambién plantearunapropuestadeevaluación.porestarazónsehacenecesariorealizarunanálisisdidácticoen profundidadafindecomprenderlasrelacionespresentesenlosdistintosnivelesdelcurrículoysu posibleconcreciónenelaulateniendoencuentaelconocimientodidácticonecesariopararealizareste tipodeanálisis.segúnrico(gómezyrico,2002),elconocimientodidáctico(cd)constituyelaprincipal fuentedeinformaciónyelinstrumentoquepermitealprofesordematemáticasdesarrollarlasdistintas actividadesprofesionalesdeplanificacióncurricularydiseñodeunidadesdidácticasquelecompeten, clasificandolosdiferentestiposdeconocimientospresentesenel(cd)enlassiguientescategorías: (i) nociónycontenidosdelcurrículo;(ii)nocionesdedidácticadelamatemáticarelevantesparaeltópico, situaciónoproblema;(iii)integraciónde(i)y(ii)enunaestructuramatemáticaparticularparaefectosde realizarelanálisisdidáctico. Desdeestepuntodevistaelanálisisdidáctico(AD)debeentendersecomo:unconstructopluridisciplinar queconsisteen ladescripcióndelamanera ideal derealizarlasactividadesdediseñocurricularanivellocal permitiendorealizareldiseñodeestructurascurriculares,comosonlasunidadesdidácticas,teniendoen cuentalasdiferentesdimensionesdelcurrículoysusdistintosnivelesdeconcreción.(fig.1). YesqueenelanálisisdidácticosedancitadiferentesnocionesycuestionesqueRico(GómezyRico, 2002)presentaesquemáticamentedelasiguientemanera: Sin embargo este análisis didáctico no es posible realizarlo sin introducir el concepto de los organizadoresdelcurrículo,rico(1997a)definelosorganizadoresdelcurrículodelasiguientemanera: Vamos a llamar organizadores a aquellos conocimientos que adoptamos como componentes fundamentales para articular el diseño, desarrollo y evaluación del currículo. Hablamos así de organizadores del currículo. Una condición exigida para aceptar un tipo de conocimientos como organizadordelcurrículodematemáticasdebesersucarácterobjetivoyladiversidaddeopcionesque genere.unorganizadordebeofrecerunmarcoconceptualparalaenseñanzadelasmatemáticas,un espaciodereflexiónquemuestrelacomplejidaddelosprocesosdetransmisiónycomprensióndel conocimientomatemáticoyunoscriteriosparaabordarycontrolaresacomplejidad.losorganizadores debenmostrarsupotencialidadparaestablecerdistintosmarcosdeestructuracióndelasunidades

8 didácticas,conunabaseobjetivadeinterpretaciónydiscusión,paraproducirnuevossignificados.los organizadoreshandeubicarlasdistintasopcionesdelosprofesoresparalaplanificación,gestióny evaluacióndeunidadesdidácticasyhandesituarestasopcionesenunasreferenciascomunesque permitan precisar las coincidencias y las discrepancias. Los organizadores deben tener una base disciplinaradecuadaquepermitasutratamientoobjetivo.elconocimientodidácticosobrecadaunode loscontenidosdelcurrículodematemáticashadequedarestructuradomediantelaaportaciónque hacencadaunodelosorganizadoresadichocontenido (Rico,1997a,p.45). Fig.1.Estructuradelanálisisdidáctico.

9 3.4.Contenidomatemáticoescolar:proporcionalidad estructuraconceptual Acontinuaciónenelsiguienteesquemasemuestrademanerageneralcomoseorganizaelconcepto de proporcionalidad, inicialmente como una función, y posteriormente la definición formal de proporcionalidadinversaydirecta. Ahoraobservaremoscomoelconceptodeproporciónentendidocomolanociónpracticaespuestoen situaciónenlaescuelayloscambiosqueestesufreenlosprocesosdetransposición: Iv.Marcoydiseñometodológico 4.1.Marcometodológicogeneral Teniendoencuentaqueelmarcogeneralyeldiseñometodológicosqueadoptamosparanuestro trabajodebensercoherentesconlasorientacionesconceptualesymetodológicassobrelaevaluación, quehemosexpuestoenelcapítuloanteriorydeacuerdoconlosresultadosdelasexperienciasprevias (estudiospilotos),lamodalidadinvestigativaqueconsideramosmásapropiadaparaeldesarrollode nuestrotrabajodegradoconsisteeneldiseñodeunametodologíaqueintegradiferentespropuestas (paradigmas)deinvestigacióneducativaydidáctica.concretamente,elmarcometodológicogeneral se basa en las metodologías de investigación cualitativa, investigación acción e investigación evaluativa.másespecíficamente,lainvestigaciónquenosproponemosrealizaryqueseencuentraenla etapa de experiencias y estudios pilotos es de carácter observacionalparticipativa, descriptiva y evaluativa. 4.2.Diseñometodológico Coherentemente con las características generales que imponen el marco metodológico, las característicasparticularesdeltrabajoysusdistintoscontextosydimensionesocategoríasdeanálisis, eldiseñometodológicoproponeintegrarmúltiplesmétodos,técnicaseinstrumentosdeobservación, recogida y análisis de la información pertinentes para el estudio. Algunos de estos ya han sido

10 implementadosenlafaseinicialdeestudiopiloto.apartirdeestaexperienciaprevia,seanalizarán, diseñaran, aplicarán y evaluarán otros métodos, técnicas directas e indirectas, e instrumentos característicosdelamodalidaddetrabajoadoptada,talescomolaobservaciónparticipativa,encuestas yentrevistassemiestructuradasyestructuradasdegruposeindividuales,rejillasderecogidayanálisis deinformación,etc. Contextos Deacuerdoconlaliteraturasobreinvestigacióncualitativayeducativa(Buendíaetal,1999;Bedoya, 2002),lascuestionesgeneralesdeinvestigaciónylasdimensionesocategoríasgeneralesdeanálisis, consideramosdostiposdecontextosinterrelacionados:subjetivoyobjetivo. Elcontextosubjetivoserefierealossujetosoagentespersonalesinvolucradoseneltrabajo,tales comolospropiosestudiantesinvestigadores;eldirectoryasesor;lamuestradedocentesyestudiantes seleccionados;yotrosagentescomoespecialistasyasesores.enparticular,estecontextoloasumimos integradoyrelacionadoconladimensiónycategoríageneraldeanálisisquedenominamoscomo Formacióndeprofesoresyestudiantes. Losestudiantesinvestigadoresprincipalesson:LisbethAlvarado,NelsonHoyosyJaimeCortés, estudiantes de Licenciatura en Matemáticas y Física de la Universidad del Valle y el director del ProyectoeselDr.EvelioBedoyaMoreno,MagisteryPh.D.enDidácticadelasMatemáticasdelas UniversidadesdeGranadayBarcelona(España);profesordelÁreadeEducaciónMatemática(AEM)del InstitutodeEducaciónyPedagogía(IEP)delaUniversidaddelValle. Por otra parte como contextos objetivos consideramos básicamente dos tipos: contexto institucionalcurricular;ycontextodidácticoodeladidácticadelamatemática. Técnicaseinstrumentosderecogidadeinformación Apartedelatécnicaespecíficademuestreo,paralocualhemostenidoencuentalostiposdemuestreo porconvenienciaeintencional(buendíaetal,1999),paralarecogidadeinformaciónenlasdistintas fasesdedesarrollodelproyectoproponemosutilizardemaneraintegradaycomplementariamúltiples instrumentosytécnicasdirectasointeractivaseindirectas. Lastécnicasdirectasointeractivassonaquellasquecontemplanlapresenciadelosinvestigadoresen los procesos de recogida de la información, como por ejemplo, la observación participativa, las entrevistasdirectas,historiasdevidaprofesional,etc.;lastécnicasindirectassonlasquenorequieren delainteracciónentreinvestigadoresyotrosagentesparalarecogidadeinformación,comolareferida alanálisisdedocumentos. Entrelastécnicaseinstrumentosquehemosutilizadoenelestudiopilotoinicial,asícomolasque proponemosparalassiguientesfasesdelproyecto,estánlaobservaciónparticipativa,laencuesta,la entrevistacualitativa,análisisdedocumentosoficiales,institucionalesypersonales. Enparticular,paralarecogidayanálisisdelainformaciónenlaexperienciapilotoinicial,utilizamos ademásdelaobservaciónparticipativaylaentrevistacualitativa,comoinstrumentosderecogidade información,eldiseñodeactividadesdeintervenciónyevaluación;ycomotécnicaeinstrumentode análisisutilizamosrejillasdeevaluacióncomolaquesemuestraenlasiguientefigura:

11 CLAVE A B C D AB BC BD ABC BCD INFERENCIA Elestudianterelacionalaproporcionalidaddirectaconunalínearectasinteneren cuentalarelacióndevariaciónproporcionalentrelasmagnitudes. Reconoce la relación de proporcionalidad directa entre las magnitudes estableciendolarelacióndevariaciónentrelasdosmagnitudes. Reconocelarelacióndeproporcionalidaddirectaentrelasmagnitudeseidentifica quelaconstantedeproporcionalidadpuedeserunnúmeroracional. No reconoce que en este grafico no se establece ninguna relación de proporcionalidaddirectaentrelasmagnitudes. Elestudiantenotieneclaroelconceptodeproporcionalidaddirectadebidoaque solorelacionamagnitudesdirectamenteproporcionalesconunalínearecta. Elestudiantereconocelarelacióndeproporcionalidaddirectapresenteenestas graficasysabequelaconstantedeproporcionalidadpuedeserunenteropositivo ounracionalpositivo. El estudiante no reconoce que en la grafica d n o existe ningún tipo de proporcionalidaddirecta,porelcontrarioestablecequeenlaproporcionalidad directamientrasunamagnitudaumentalaotratambiénaumenta,sinteneren cuenta la función de la constante de proporcionalidad en la variación de las magnitudesqueserelacionandirectamentedemaneraproporcional. Elestudianterelacionalaproporcionalidaddirectaconunalínearecta. Elestudiantenotieneclaroelconceptodeproporcionalidaddebido aqueél estableceunarelaciónentreelaumentodelasmagnitudesylaubicacióndela graficaenelicuadrante. Fig.4.Rejilladeanálisisdelasactividadespiloto Estasactividades(AG7yAG10)queseaplicaronaestudiantesdeGradoSéptimodeEducación BásicaydeGradoDécimodeEducaciónMedia,teníancomofindeterminarelniveldelogrodelos estudiantesensituacionesdidácticasrelacionadasconlasnocionesoconceptosasociadosconla estructura conceptual del tópico de proporcionalidad. En el caso de las actividades AG7, las pruebas pretendían fundamentalmente movilizar nociones, conceptos y procedimientos sobre proporcióndirectaeinversa,ensusdiferentesmanerasderepresentar,apartirdesituaciones problema,graficasdondeidentifiqueneltipodeproporción,tablasquemuestranlarelaciónentre dosvariables.porotraparte,lasactividadesag10,buscabaninferirelniveldedesarrollodel concepto ya desde una aplicación propia como lo es la Ley de Senos. Las instituciones participantesfueron:instituciónfranciscanadelcolegiofraydamiángonzálezdelaciudadde CaliyelLiceoMontessoridelaciudaddePalmira,conunamuestrade15estudiantes,dondeel mododeescogenciadelamuestrafuealeatoriosimple.

12 Paralaorganizaciónyanálisisdelosresultadossediseñaronrejillasqueposibilitanponerdemanifiesto laintencionalidaddecadaunadelasposiblesrespuestas,brindándonoslaposibilidaddeinferirlas relaciones,losalgoritmosylossignificadosqueelestudiantehaconstruidoonohapodidoconstruiren relaciónconlaestructuraconceptualsobreproporcionalidad,asícomoelniveldelogroenelcualse encuentraelestudiante,mostrandoconellolaimportanciadediseñaractividadesquepuedanbrindar descripcionesapropiadassobreelprocesodeaprendizajeporpartedelosestudiantes,yapartirde esto,proponercambiospertinentesyfundamentadosenelcurrículoyenlosprocesosdeenseñanzay evaluación. Sedebetenerencuentaqueestaesunaprimerafasedeltrabajo,enlacuálloquesequeríarealizarera unaaproximacióninicialalproblema Análisisderesultadosydiscusión DespuésdellevaracaboelestudiopilotoenlosdiferentesgradosdeSéptimoydécimohemosllegado a una serie de reflexiones en torno a la evaluación en educación matemática y el tópico: la proporcionalidadconbaseenanálisisestadísticos(veranexo1). EnlaactividadAG101(veranexos2)losresultadosfueronmuyhomogéneos,inclinándoselos estudiantes solo por dos opciones, entre las cuales la que obtuvo un mayor porcentaje fue mientrasqueenlapruebaag102hubounavariedadmayorderespuestasenelsegundopuntode laactividad. EnlasactividadesAG71yAG72seevidenciaunamayordiferenciaentrelasrespuestasdelos estudiantes,yunmayortratamientoprocedimental,debidoalasdiferentesrepresentacionesque debíanutilizarylostiposdeproblemaspropuestosenestegrado. Deestosanálisisestadísticosrealizados(veranexo3)segeneraronalgunasreflexionesoconclusiones parcialesquepermitencaracterizarunpocomáselproblemaainvestigar. Elaboraractividadesdeaularequiereelreconocimientodelsabermatemáticodadodesdela cienciaylacorrespondientemodificaciónoadaptaciónparalaescuela,ademásdeunanálisis delosrequerimientoscurricularesdadosdesdeelmenquepermitanqueesaactividadevalué noloqueelprofesorenseñasinoloqueelestudiantehaaprendido. Se debe reconocer unos elementos didácticos que fortalezcan la actividad matemática y permitanincluirvariablesrelevantesenlaevaluación. Losresultadosquearrojanlasactividadesdeaulasonunreferenteinicialdelniveldelogro alcanzadoporlosestudiantesalrespectodelconceptodeproporciónentremagnitudes,el proceso del estudiante para construir este concepto, las relaciones y significados que el estudianteconstruyóconrelaciónalaproporcionalidad,comotambiénpermitenmostrarloque nosehalogradoconstruirdelconceptodeproporción,lasrelacionesquenosehanestablecido en relación con este concepto, que significados no se han elaborado y las habilidades y algoritmosquenosehanconstruido. Bibliografía Bedoya,E.(2002).Formacióninicialdeprofesoresdematemáticas:enseñanzadefunciones,sistemasde representaciónycalculadorasgraficadoras.granada.tesisdoctoral. Coll,C.(1988).Psicologíaycurriculum.Barcelona:Laia. Coll,C.,Pozo,J.I.,Sarabia,B.,Valls,E.(1992).Loscontenidosenlareforma:Enseñanzayaprendizajede conceptos,procedimientosyactitudes.madrid:santillana.

13 GarciaG.(2003)(Curriculoyevaluaciónenmatemáticas:unestudioentresdecadasdecambioenla educciónbasica)bógota.magisterio Gimenéz,J.(1998).Evaluaciónenmatemáticas:unaintegracióndeperspectivas.Madrid:Sintesis. NCTM (1991). Estándares curriculares y de evaluación para la Educación Matemática. Edición en Castellano.Sevilla:SAEMTHALES. Rico,L.(Ed.)(1997b).BasesteóricasdelCurrículodeMatemáticasenEducaciónSecundaria.Madrid: Síntesis. Romberg,T.A.(1993)(Cómounoaprende:Modelosyteoríasdelaprendizajedelasmatemáticas).En Sigma,No.15.(Howonecomestoknow:Modelsandtheoriesofthelearningofmathematics,in InvestigationintoAssessmentinMathematicsEducation,Dordrech:Kluwer).