Problemas resueltos de Trigonometría PROBLEMAS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA

Transcripción

1 PROBLEMAS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA ) Sabiendo que > 90º y que tg /, calcular el resto de razones trigonométricas de sin usar lalculadora. Posteriormente, decir el valor de en grados, minutos y segundos, ayudándose de lalculadora. En este tipo de problemas es importante tener en cuenta el cuadrante en el que está el ángulo, para decidir los signos correctos. Si > 90º y tg > 0 está en el tercer cuadrante. Pues bien: Como tg 0 9 cos cos 9 cos 9 cos cos estamos en el tercer cuadrante. Por otra parte, sen tg cos Las otras tres razones son: cosec sen 0 sec cotg cos tg 0 0 sen , donde el signo se debe a que sen Por último, como tg /, con lalculadora obtenemos que: 8,º. Trasladándolo al tercer cuadrante: 80º + 8,º 98,º 98º 6 5,8 (Ver figura). ) Empleando las fórmulas que relacionan las distintas razones trigonométricas entre si, y sin usar calculadora, hallar las restantes razones de, sabiendo que tg 5/, 90º80º. Después, decir el valor de con ayuda de lalculadora. es del segundo cuadrante. +tg cos cos sen. Por otra parte: tg sen tg cos cos tanto: cotg, sec 5, cosec cos 5. Por Con lalculadora, usando que tg 5/, obtenemos que 59,0º. Pero tratándose de un ángulo del segundo cuadrante, el verdadero valor es 80º 59,0º: 0,97º. ) Conociendo que cos / y que está en el cuarto cuadrante, hallar, sin usar calculadora, el resto de las razones trigonométricas de dicho ángulo. Posteriormente, con ayuda de lalculadora, decir cuánto vale el ángulo. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 8

2 Como sen + cos sen cos sen 9 8 8, donde el signo negativo es por ser del cuarto cuadrante. Por tanto, tg sen cos. Con lo que: cotg ; sec cosec ; / Como cos / 70,5º. Pero considerando que es del º cuadrante, el resultado real es: 60º 70,5º 89,7º 89º 8 6. ) Empleando las fórmulas que relacionan las distintas razones trigonométricas entre si, y sin usar calculadora, hallar las restantes razones de a, sabiendo que tg a /, 70º a 60º. Después, decir el valor de on ayuda de lalculadora. es del cuarto cuadrante + tg cos. cos cos sen Por otra parte: tg sen tg cos. cos 5 5 Por tanto: cotg, sec 5 5, cosec. Con lalculadora, usando que tg /, obtenemos que: 6,87º 6,87º + 60º,º º 7 8,. 5) Sin usar lalculadora, decir el valor de: a) tg 90º; b) sen ( 765º). Dividiendo 90 entre 60 se obtiene 5 de cociente y 0 de resto. Es decir: 90º 60º 5 + 0º. Luego 90º coincide, sobre lircunferencia, con 0º, después de dar 5 vueltas. Por tanto, tg 90º tg 0º. Además tg 90º tg 0º tg (80 60º) tg 60º De la misma forma, º 765º coincide con 5º, después de dos vueltas en sentido negativo. Y además, por tratarse de un ángulo del º cuadrante: sen( 765º) sen( 5º) sen(5º). IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 8

3 6) a) Calcular cos 05º sin utilizar lalculadora, epresando 05º en función de otros ángulos cuyas razones trigonométricas sean conocidas. cos 05º cos (60º+5º) cos 60º cos 5º sen 60º sen 5º 6. b) Sin usar lalculadora, hallar cos 70º. Dividiendo 70º entre 60º, se tiene que 70º 6 60º + 0º. Es decir, que tras 6 vueltas completas, 70º se sitúa en el mismo lugar de lircunferencia que 0º. Razonando sobre lircunferencia trigonométrica, tendremos, por tanto: cos 70º cos 0º cos (0º 80º) cos 0º cosec 7) Demostrar la siguiente identidad: sen cotg Para demostrar identidades se puede proceder de varias formas: Desarrollar el primer miembro hasta llegar al segundo. Al contrario, del segundo al primero. Desarrollar ambos por separado hastonseguir la misma epresión. Cambiar la identidad a demostrar por otra equivalente, más sencilla. En nuestro caso, usando que cosec y que cotg, tenemos: sen sen cosec sen sen sen cotg sen sen 8) Demostrar que tg cos sen tg tg cos cos sen tg sen tg ( + cos ) sen sen tg + tg cos sen tg + cos sen tg + sen sen tg cos 9) Demostrar que tg (5º ) tg (5º ) tg tg 5º tg tg 5º tg tg (5º ) tg (5º ) tg 5º tg tg 5º tg ( tg ) ( tg ) ( tg )( tg ) tg tg tg tg tg tg tg tg tg ( tg tg tg tg tg tg tg tg tg ) tg IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 8

4 0) Demostrar que tg a sen a + tg a tg a sen a cosa + tg a tg a ( cos a) + tg a tg os a + tg a tg a + tg a cosa + tg a + cos a cos a + tg cosec ) Demostrar que cotg tg sen tg cosec cos sen cos sen tg cos cos cos cos sen cos sen cotg ) Demostrar que cos + sen tg sec sen cos + sen tg cos + sen cos cos cos + sec sen cos cos sen cos ) Demostrar la siguiente identidad: ( + tg α) sen α tg α ( + tg sen α) sen α sen cos tg α cos cos ) Demostrar que, para los valores para los cuales tiene sentido la igualdad, es cierto que: sen sen tg sen sen sen sen sen sen cos sen ( cos ) cos sen sen sen sen cos sen ( cos ) cos cos cos tg sen 5a 5) Demostrar que, si tiene sentido: cos a Transformando sumas en productos en numerador y denominador: 5a a 5a a sen cos sen 5a cosa a a a osa cos sen sen (a a) cosa cosa cos os a (cos a ) IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de 8

5 cos a cos a sen a ( cos cos a sen a a cos a sen a) 6) Demostrar que, para los valores para los cuales tiene sentido, es cierto que: cos sen cos sen Mirando el numerador, podemos estar tentados de usar la fórmula de cos. Pero eso nos introduciría en la epresión un nuevo ángulo no eistente:, lo que complicaría la epresión (siempre es más fácil tener un solo ángulo y, mejor, una sola epresión trigonométrica del mismo). Pero hay otro camino, que es usar que a b (a b)(a + b), de donde c d (c ) (d ) (c d )(c + d ). Así: cos sen cos sen cos sen (cos sen )(cos sen ) cos sen 7) Resolver la ecuación sen cos Para resolver una ecuación trigonométrica, lo habitual es intentar llegar a una ecuación en la que sólo aparece una única razón trigonométrica de un único ángulo igual a un resultado. sen cos sen cos cos sen cos cos 0 (cos )(sen ) 0 Como un producto vale cero si, y sólo si alguno de los factores es cero (siempre que el otro factor eista para el resultado conseguido), se tienen dos posibilidades: a) cos 0 90º + 60ºk ó 70º + 60ºk (que pueden escribirse en una sola fórmulomo 90º + 80ºk), kz. 0º 60º k ó b) sen 0 sen sen ½ kz. 50º 60º k 8) Resolver la ecuación cos 5cos 6 cos 5cos 6 cos sen + 5 cos 6 6 cos ( cos ) 6 7 cos 6 7 cos 7 cos cos ±. En consecuencia: Si cos 80º + 60ºk, kz Si cos 0º + 60ºk, kz 9) Resolver la ecuación: sen + cos + cos 0 ( cos ) + cos + cos 0 cos + cos + cos 0 cos + cos + 0 cos cos 0 que es una ecuación de segundo grado cuya incógnita es cos : cos 5 80º 60º k, k 5 5 6,5 que no es posible Z IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página 5 de 8

6 0) Resolver: cos sen cos sen (cos sen ) sen 0 cos sen sen 0 ( sen ) sen sen 0 sen sen sen 0 8 sen sen sen + sen º 60º k ó 0,5 8() 6 sen 50º 60º k ,59º 60º k ó 0,75 6,º 60º k ) Resolver la ecuación: tg sec tg 0 tg sec tg 0 tg (sec ) 0 tg 0 ó sec 0 tg 0 0º + 80ºk, k Z sec 0 sec / cos cos, sin solución ) El punto más alto de una elevación se ve, desde un punto del suelo, bajo un ángulo de 60º. Alejándose 0 m en línea recton la base de dicha elevación, se ve bajo un ángulo de 0º. Averiguar la altura de la elevación. En el triángulo rectángulo cuyos catetos son e y, deducimos: tg 60º y tg 60º () y 0º 60º En el triángulo rectángulo cuyos catetos son y 0+y, se 0 y tiene: 0º 0 y Igualando: y tg 60º (0 + y) tg 0º 0 tg 0º + y tg 0º y tg 60º y tg 0º 0 tg 0º 0 tg 0º y(tg 60º tg 0º) 0 tg 0º y tg 60º tg 0º 0 Sustituyendo en (): 0 tg 60º 7, m ) Resolver un triángulo, del que conocemos a m, b 7 m y A 0º. Como conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, usamos el Teorema del Seno: a b b sen A 7 sen 0 sen B sen A sen B a B 6,0º ó B 80º 6,0º 8,96º. Si B 6,0º C 80º 6,0º 0º 88,96º. Y además: a sen C sen 88,96º c 8,00 m sen A sen C sen A sen 0º Si B 8,96º C 80º 8,96º 0º,0º. De modo que: a sen C sen,0º c, m sen A sen C sen A sen 0º IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página 6 de 8

7 ) Resolver un triángulo sabiendo que a 5 cm, b cm y C 7º (ángulo comprendido) Por los datos que tenemos, hemos de utilizar el teorema del coseno: c a + b ab cos C cos 7º c,70 m Según el T. del seno: a sen C 5 sen 7º sen A A 80,8º ó A 80º 80,8º 99,7º. sen A sen C c,70 En principio, ambas soluciones serían válidas, porque sumadas con el ángulo C no llegan a 80º, por lo que podría eistir B en ambos casos. Sin embargo, cuando un problema de este tipo se puede comenzar con el Teorema del coseno, sólo hay una solución válida. Como no tenemos forma de saber cuál de las dos es lorrecta, desechamos el procedimiento y recalculamos A usando el teorema del coseno: a b + c bc cos A 5 6 +,70,70 cos A 5 6,70 cos A A 80,8º 80º 50.8.,70 Por tanto, B 80º A C 5,7º 5º 9 55,8. 5) Resolver un triángulo sabiendo que a 0, b y c 7. Como conocemos los tres lados, empezamos aplicando el Teorema del coseno: a b + c b c a 7 0 bc cos A cos A bc 7 A 5,87º Con lalculadora, las operaciones son: SHIFT cos - ( ( ) ( 7 ) ) SHIFT STO A, donde la última operación es guardar el resultado en la memoria A para su uso posterior. Para no tener problemas con los dos resultados que produce el uso del Teorema del Seno, aplicamos directamente el del Coseno para el cálculo de otro de los ángulos: c a + b a b c 0 7 ab cos C cos C ab 0 C 7,89º El uso de lalculadora es similar, salvo que guardamos el resultado en la memoria C. Por último, B 80º (A + C) 06,º Que, con calculadora, es así: 80 ( ALPHA A + ALPHA C ). 6) Resolver un triángulo del que se conocen: a, c 0 y A 0º. Por el T. de los senos: c sen A 0 sen 0 sen C sen A sen C a C 58,76º ó C 80º 58,76º,º. Si C 58,76º B 80º A C 0,º. Y además: b a c accos B cos0,º,7 Si C,º B 80º A C 8,76º. De modo que: b a c accos B cos8,76º 7, IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página 7 de 8

8 7) Resolver un triángulo sabiendo que a cm y b 5 cm y C 00º Como tenemos dos lados y el ángulo comprendido, aplicamos el T. del Coseno, que nos proporcionará una solución única: c a b abcos C cos00,7 cm b a + c ac cos B ac cos B a + c b a c b cos B ac B 9,55º 9º ' 5," A 80º 00º B 60,5º 60º 7' 7,75" 8) Resolver un triángulo sabiendo que A96º, a m y b9 m Por el T. de los senos: a b b sen A 9 sen 96º sen B sen A sen B a B 8,º ó B 80º 8,º,76º. Pero esta segunda solución no es válida, porque A + B > 80º, con lo que no puede completarse el triángulo. Entonces: C 80º A B 5,76º. Y además: a sen C sen 5,76º c 7,05 m sen A sen C sen A sen 96º IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página 8 de 8