UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS, ADMINISTRATIVAS Y CONTABLES DEPARTAMENTO DE METODOS CUANTITATIVOS

Transcripción

1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS, ADMINISTRATIVAS Y CONTABLES DEPARTAMENTO DE METODOS CUANTITATIVOS METODOS CUANTITATIVOS IV DIFERENCIAL TOTAL La diferencial oal de una funcion w = f(x, y, z) se define como dw= w x dx+ y + z dz Si z=2 x 3 4 xy 2 +3 y 3 Enonces, dz=(6 x 2 4 y 2 )dx+( 8 xy+9 y 2 ) Si u=(x+ y)() 2, calcular du cuando x = 6, y = 2, dx = ½ y = -1 Ejercicios: du=[1() 2 +(x+ y) 2( )(1)]dx+[1() 2 +(x+ y) 2()( 1)] du=[()(+2(x+ y))]dx+[()( 2(x+ y ))] du=[()(+2 x+2 y)]dx +[()( 2x 2 y )] du=[()(3 x+ y )] dx+[ ()( x+3 y)] du=[(6 2)(3(6)+2)](1 /2)+[ (6 2)(6+3 (2))]( 1) du=( 4)(20)(1/2)+( 4)(12)=40+ 48=88 1. Si z=x 3 + x 2 y y 3, encuenre dz 2. Si z=2 x 3 4 x y 2 +3 y 3, encuenre dz 3. Si u=ln(x 2 + y 2 +z 2 ) 1/ 2, encuenre du 4. Si u=e xyz, encuenre du 5. Si u=xy 2 z 3, encuenre du 6. Si z=2 x 3 xy 2 +3 y 3, encuenre dz si x = 1, y = 1, dx = -2 y = ¾ 7. Si u=() (x+ y), calcule du cuando x = 5, y = 1, dx = ¼ y = Si u=(x+ y)() 1/2, calcule du cuando x = 6, y = 2, dx = ½ y = Si w= (x 2 + y 2 + z 2 ), calcule dw cuando x = 1, y = 2, z = 3, dx = ½, = ¼ y dz = 1/8

2 En general, la diferencial oal de una funcion w=f (x 1, x 2,...,x n ) es la suma de sus derivadas parciales n dw= i=1 x i d x i. Si las x i son funciones diferenciables que dependen de oras variables r y s, enonces d x i = x i r dr+ x i s ds DERIVADA TOTAL - REGLA DE LA CADENA Si u = f (x,y) y a su vez x = x(), y = y(), enonces la derivada oal de u con respeco a se calcula du d = x dx d + u y d u=x 2 +2 xy, x()= 2 y y()=e du d =(2 x+2 y)(2)+(2 x)(e )=( e )(2 )+2( 2 )(e )= e +2 2 e w=e z, x()= (). y()= 2 3 y z()=ln() dw d = dx x d + y d + dz z d dw d =(ez 1 )( 2 () )+( z ez )(2 3)+( y e z )( 1 ) = ez 1 ( 2 ( ) z(2 3) y ) = e (x) (2 3 )ln() 1 [ 2 () ln()(2 3 3) 2 ] = e (x) (2 3 )ln() 1 [ 2 () (2 3)ln() +3] Ejercicios: Calcule du/d 1. u=2 xy 3 yz, x= e 2 2. u=2 xy yz, x= e (x), y= 2e, y= e () (). z=2 3, z= 2 3. u=xy+ yz, x= e, y= e, z=e 2 4. u=x 2 + y 2 +z 2, x=3 2, y=1/ 4 2, z=2 () 5. u= z y + y x, x= 2 3, y=4 1, z= u= y x + x z, x=2 3, y= 2, z= 4

3 Si u = f (x,y) y a su vez x = x(,s), y = y(,s), enonces solo se pueden calcular derivadas parciales de u con repeco a y con respeco a s. = x x + u y y y s = x x s + u y y s Ejercicios: Calcule u y w v 1. w=x 2 y +x 3 y 4, x=u 3 +2 v, y=v lnu 2. w=e x 2 y +x, x=u 2 uv, y=uv v 3. w=x ln( y)+ y ln(x), x=e u+ v, y=e u v 4. w=2 y ln x 1/4 x ln y, x=e u2 v 2, y=e u2 + v 2 5. w=e z, x=u 2 uv, y=uv v, z=2u 2 u 6. w=ln x 2 + y 2 +2 z, x=u+v, y=u v, z=2uv DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLICITAS Si f (x, y)=0 define x e y impliciamene, enonces x + y dx =0 y podemos calcular dx usando la formula dx = x y f (x, y)=x 3 + y 3 3 axy=0 x =3 x2 3ay dx = (3 x2 3ay ) +ay 3 y 2 3ax = x2 y 2 3 x y =3 y2 3 ax F( x, y,z)=ze x +e y ye z =0 F F =z ex x z x = zex e y ye z y =e y e z z y y = (e e z ) e y ye z f (u, v, w)=u ln(v/w) w ln(uv)=0 F z =ex y e z Aplicamos las propiedades de los logarimos anes de derivar: uln v uln w w ln u w ln v=0

4 =lnv ln w w u v = u v w v = u w v = u w lnu ln v Ejercicios: w (ln v ln w = u ) w (uln v u ln w w) = u w lnu ln v u(1+w ln u+w ln v) = w2 uw ln(v /w) u uw ln(uv) u w ( ) v = v = u w lnu ln v 1. x 2 +2 xy+2 y=15 Deermine 2. x 3 y 3 4 xy= 1/2 Deermine 3. e x +e y +e z =2xyz Deermine ( u w ) v u w lnu w ln v w dx dx dx 4. x ln(z) y ln(xz)=0 Deermine z x, z y 5. e xyz =e x +e y +e z Deermine z x, z y 6. e x +e y +e z =e x+ y +z Deermine z x, z y w(u w) = v(u+w lnu+w ln v) = w (u w) v(u+w ln(uv)) si x = 2, y = 3 si x = 2, y = -2 DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR Las segundas derivadas parciales pueden calcularse con respeco a la misma variable a la que se derivo primero o con respeco a ora de las variables en la funcion. Cualquier derivada de orden superior puede sacarse con respeco a cualquiera de las variables independienes. Sea z=f (x, y) Podemos obener cuaro derivadas parciales de segundo orden: x ( z x ), la derivada parcial con respeco a x de la primera derivada parcial con respeco a x, que se represena 2 z x 2, z xx, f xx, D xx y ( z y ), la derivada parcial con respeco a y de la primera derivada parcial con respeco a y, que se represena 2 z y 2, z yy, f yy, D yy

5 y ( z x ), la derivada parcial con respeco a y de la primera derivada parcial con respeco a x, que se represena 2 z y x, z xy, f xy, D xy. x ( z y ), la derivada parcial con respeco a x de la primera derivada parcial con respeco a y, que se represena 2 z x y, z yx, f yx, D yx. Esas dos ulimas derivadas se conocen como derivadas mixas. Noe que en las noaciones con subindices se eniende que z xy = (z x ) y mienras que en la noacion con las derivadas de obienen de derecha a izquierda. Generalmene las dos derivadas mixas dan el mismo resulado. Cuando rabajamos con derivadas parciales de ercer orden, eoricamene podemos obener 8 derivadas parciales, pero odas las derivadas mixas que involucran las mismas variables son iguales. u(x)= Ax 4 +Bx 3 y +Cx 2 y 2 +Dx y 3 +Ey 4 x =4 A x3 +3 B x 2 y +2 C x y 2 +D y 3 2 u x 2 =12 A x2 +6 B xy+2c y 3 u =24 A x+6 B y 3 x u(x)= Ax 4 +Bx 3 y +Cx 2 y 2 +Dx y 3 +Ey 4 y =B x3 +2C x 2 y +3 D x y 2 +4 E y 3 2 u y 2 =2 C x2 +6 D xy+12 E y 2 3 u =4 Cx +6 Dy 2 x y Ejercicios: I. Calcular las derivadas parciales de segundo orden de las siguienes funciones: 1. z=xy +ln (xy) 3. 1/ y v=xy+ xe 2. u= 2 4. w=2 x 2 2 y 2 3x 4 xy 2

6 5. z=ln (x 2 + y 2 ) 6. z=x e y + y e x 7. u= (x y 5 ) 2 8. f (x, y)=x 3 e x2 + y 9. g(x, y)=x 3 +3 x 2 y+6 x y 2 y h(x, y)=x 4 4 x 3 y+8 x y 3 y z= x+ y 12. F( x, y)=2 x 2 3 xy+4 y G(x, y)= 2x 14. H (x, y)= x2 y 2 x+ y II. Calcular las derivadas parciales de ercer orden de las siguienes funciones: 1. z=xy+ y ln(xy) 2. u= 2 3. v=xy+ x e 1/ y 4. w=2 x 2 2 y 2 3x 4 xy 2 5. f (x, y)=x 3 e x2 + y 6. g(x, y)=x 3 +3 x 2 y+6 x y 2 y 3 7. h(x, y)=x 4 4 x 3 y+8 x y 3 y 4 8. z= x+ y 9. F( x, y)=2 x 2 3 xy+4 y 2 III. Ejercicios miscelaneos: 1. Sea z=ln (e x +xy 3 ) Calcule z xx 2. Sea z= x2 y 2 x 2 + y 2. Calcule z yx 3. Sea u=5 Ax 5 +B x 3 y 4 +20C x 2 y 3 +8 D y 5 Calcule u xyy,, u yyx 4. Sea U=3 A x 5 +5B x 3 y 2 +5 C x 2 y 2 +D x 3 y 4 +E y 4 Deermine U xxx, U yyy, U xxy, U xyy 5. Sea z=2 x 2 2 y 2 3 x 4 xy 2 Demuesre que z xy = z yx 6. Sea z=xy+x e 1 / y Demuesre que z xy = z yx 7. Sea v= x+ y Demuesre que v xy = v yx 8. Sea z=ln (x 2 + y 2 ) Demuesre que z xy - z yx = 0 9. Sea z=xy+ y ln(xy) Demuesre que x 2 z x + y 2 z 2 x y = y2 2 z y Sea u= 2 Demuesre que u x 2 u x y = y 2 u x Sea z= xy+ y ln(xy) 2 Demuesre que x 2 z x + y 2 z 2 x y = y2 2 z y 2