ANTES DE COMENZAR RECUERDA

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1 ANTES DE COMENZAR RECUERDA Indica el tipo de variable estadística. a) Talla de una persona. c) Sexo de una persona. b) Temperatura. d) Dinero gastado a la semana. a) Cuantitativa continua b) Cuantitativa continua c) Cualitativa d) Cuantitativa discreta Organiza en una tabla de frecuencias estos datos relativos al peso en kg de personas Respuesta abierta. Peso [ ) [ ) [ 7) [7 8) f i h i 8 N h i F i H i 7 8 Lidia ha obtenido las siguientes notas en Matemáticas: 7 7 y. Calcula la media la varianza y la desviación típica. x σ σ Se lanzan dos dados y se suman los puntos obtenidos. Halla la probabilidad de que la suma: a) Sea. c) Sea inferior a. b) No sea 7. d) Sea o. a) c) 8 7 b) d) +

2 Distribuciones binomial y normal ACTIVIDADES Lanzamos dos dados de caras. a) Comprueba que la función que asigna a cada suceso elemental la suma de las puntuaciones es una variable aleatoria. b) Elabora su tabla de valores y represéntala gráficamente. a) El espacio muestral es: E {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} La función X que asigna a cada suceso la suma de las puntuaciones es una variable aleatoria. X( ) X( ) X( ) X( ) X( ) X( ) 7 X( ) X( ) X( ) X( ) X( ) 7 X( ) 8 X( ) X( ) X( ) X( ) 7 X( ) 8 X( ) X( ) X( ) X( ) 7 X( ) 8 X( ) X( ) X( ) X( ) 7 X( ) 8 X( ) X( ) X( ) X( ) 7 X( ) 8 X( ) X( ) X( ) X( ) b) X P(X x i ) P(X x i ) Consideramos el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado y una moneda. a) Calcula el espacio muestral y la probabilidad de cada suceso elemental. b) Define sobre este experimento dos variables aleatorias y represéntalas. a) El espacio muestral es: E {( C) ( C) ( C) ( C) ( C) ( C) ( X) ( X) ( X) ( X) ( X) ( X)} La probabilidad de cada suceso elemental es.

3 b) Respuesta abierta. La función X asigna a cada suceso el número obtenido en el dado. X( C) X( C) X( C) X( C) X( C) X( C) X( X) X( X) X( X) X( X) X( X) X( X) X P(X x i ) P(X x i ) 8 8 La función Y asigna a cada suceso el número elemental si sale cara en la moneda y si sale cruz. Y( C) Y( C) Y( C) Y( C) Y( C) Y( C) Y( X) Y( X) Y( X) Y( X) Y( X) Y( X) Y P(Y y i ) P(Y y i ) Consideramos la variable aleatoria que cuenta la suma de las puntuaciones al lanzar dos dados de caras. Calcula los parámetros de esta variable aleatoria. Media: μ7 Desviación típica: σ 8 Puedes encontrar una variable aleatoria discreta que proceda de una variable estadística continua? Y lo contrario? Consideramos la variable estadística cuantitativa continua «altura de las personas de un país medida en metros». Definimos sobre esta variable estadística la variable aleatoria: h Para cada altura h X( h) si si h > Esta variable está definida para cualquier suceso elemental de la variable estadística es decir cada una de las alturas; además es discreta pues solo toma dos valores. Por tanto de una variable estadística continua se puede obtener una variable aleatoria discreta pero no a la inversa pues un número finito de valores no puede tener un número infinito de imágenes.

4 Distribuciones binomial y normal En el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados de caras consideramos la variable aleatoria X que asocia a cada suceso elemental el producto de las puntuaciones que se ven. Halla y representa las funciones de probabilidad y de distribución. X( ) X( ) X( ) X( ) X( ) X( ) X( ) X( ) X( ) X( ) 8 X( ) X( ) X( ) X( ) X( ) X( ) X( ) X( ) 8 X( ) X( ) 8 X( ) X( ) X( ) X( ) X( ) X( ) X( ) X( ) X( ) X( ) X( ) X( ) X( ) 8 X( ) X( ) X( ) X P(X x i ) P(X x i ) X P(X x i ) P(X x i ) La función de probabilidad es: 8 f( x) si x si x 8 8 si x si x en el resto Y X

5 La función de distribución es: si x si x si x si x si x si x 8 7 si x 8 8 si 8 x 7 si x Fx () si x si x si x si x si 8 x si x 8 si x si x si x si x + Y X

6 Distribuciones binomial y normal Esta es la gráfica de una función de distribución. Halla y representa la función de probabilidad. Y si x si x si x si x Fx () si x si x f( x) 7 si x si x en el resto 8 si x si x + Y X 7 X 7 8 Comprueba si la variable aleatoria que cuenta el número de veces que sale un al lanzar veces un dado de seis caras sigue una distribución binomial. La variable es discreta porque solo puede tomar los valores y. n es el número de veces que se realiza el experimento. Sea A «Salir un» entonces P(A). Los experimentos son independientes porque lo que sucede en un lanzamiento no influye en el siguiente. Por tanto la variable sigue una distribución binomial: B Calcula la probabilidad de que la variable aleatoria X que cuenta el número de veces que sale un en tiradas de un dado sea mayor o igual que. PX ( ) PX ( ) + PX ( ) + Consideramos la variable aleatoria que cuenta el número de bolas blancas que obtengo al sacar tres veces una bola de un recipiente que contiene bolas blancas y rojas y después de anotar el color devolver la bola al recipiente. Calcula la probabilidad de que obtenga bolas blancas. X B PX ( ) 88

7 Si consideramos el mismo experimento de la actividad anterior calcula. a) La probabilidad de que todas las bolas sean del mismo color. b) La probabilidad de obtener alguna bola de color rojo. a) PX ( ) + PX ( ) + 8 b) PX ( ) Consideramos la variable aleatoria que cuenta el número de bolas blancas que obtengo al sacar tres veces una bola de un recipiente que contiene bolas blancas y rojas y después de anotar el color devolver la bola al recipiente. Calcula utilizando la tabla de la distribución binomial la probabilidad de que haya anotado bolas blancas. X B(; ) P(X ) 88 Si consideramos el mismo experimento de la actividad anterior calcula. a) La probabilidad de que todas las bolas sean del mismo color. b) La probabilidad de obtener alguna bola de color rojo. a) P(X ) + P(X ) + 8 b) P(X ) Calcula el valor de k para que la siguiente función sea una función de densidad y halla la función de distribución asociada a ella. + kx f( x) dx kx dx k k si x x Fx ( ) si x si x + kx fx ( ) si x en el resto Halla la función de densidad que corresponde a esta función de distribución. si x Fx ( ) x si x si x + x x f( x) si en el resto 7

8 Distribuciones binomial y normal Tipifica los siguientes valores de una variable aleatoria con μ y σ. a) x b) x c) x d) x a) b) 7 c) d) 7 Compara los datos de estas distribuciones. x (con μ σ) x (con μ σ) x (con μ; σ) z z z z z z 7 8 Si la variable aleatoria X sigue una distribución normal X N( ) calcula las siguientes probabilidades. a) P(X ) c) P(X ) e) P(X 7) b) P(X > ) d) P(X ) f) P(X 8) a) PX ( ) P X PZ ( ) PZ ( ) 8 b) PX ( > ) P X > PZ ( ) PZ ( ) 8 c) P(X ) d) P(X ) e) PX ( ) P X 7 PZ ( ) 8 f) P(X 8) Una variable aleatoria X se distribuye según una normal de media μ y desviación típica σ. Sabemos que los cuartiles de la distribución valen y respectivamente. Cuánto valen la media μ y la desviación típica σ? PX ( ) P X μ μ P Z μ σ σ σ μ P Z 7 μ 8 μ 8σ σ σ PX ( ) P X μ μ P Z μ σ σ σ μ 7 8 σ μ 8σ μ 8σ μ μ 8σ σ 77 8

9 Una fábrica de componentes elabora. circuitos electrónicos al día. Si la probabilidad de fabricar un circuito defectuoso es del % cuál es la probabilidad de que en un día el número de circuitos defectuosos sea mayor que? Y menor que? X B(. ; ) N( ; ) PX ( > ) P X > PZ ( > 7) PZ ( 7) PX ( ) P X PZ ( ) 88 El % de las personas de una ciudad afirma que no ve nunca televisión. Calcula la probabilidad de que escogidas personas al azar haya al menos personas que no vean televisión. Qué probabilidad hay de que sean exactamente? X B( ; ) N( ) PX ( ) P X PZ ( ) PZ ( ) 8 8 X PX ( ) P( X ) P PZ ( ) PZ ( 7) 87 En una urna hay bolas rojas y bolas azules. Se sacan bolas y se anota el número de bolas azules que se han conseguido. Realiza una tabla con la distribución de probabilidad y halla la media y la desviación típica. X P(X x i ) P(X x i ) Media: μ 8 Desviación típica: σ 7

10 Distribuciones binomial y normal En el experimento aleatorio consistente en elegir al azar una ficha de dominó se considera la variable X «mayor número de las dos puntuaciones de la ficha». Construye la distribución de probabilidad y halla la media la desviación típica y la varianza. X P(X x i ) P(X x i ) Media: μ 8 Varianza: σ Desviación típica: σ7 Se lanzan dos dados y se considera la variable aleatoria que a cada suceso elemental le hace corresponder la diferencia entre el mayor y el menor de los resultados de ambos dados. a) Clasifica la variable aleatoria. b) Describe la distribución de probabilidad en forma de tabla. a) Es una variable discreta. b) X P(X x i ) P(X x i )

11 Hemos pintado tres caras de un dado con un dos caras con un y una cara con un. Si consideramos la variable que asigna a cada suceso elemental su puntuación: a) Elabora una tabla con la distribución de probabilidad. b) Halla la media y la desviación típica. a) X P(X x i ) P(X x i ) b) Media: μ 7 Desviación típica: σ 7 Un juego consiste en lanzar dos dados anotar la suma de los resultados dividida entre y aproximarla por exceso al número entero más próximo. a) Realiza la distribución de probabilidad. b) Calcula la media la varianza y la desviación típica. a) X P(X x i ) P(X x i ) 8 7 b) Media: μ 7 Varianza: σ Desviación típica: σ Dada la siguiente tabla que corresponde a los valores que toma una variable aleatoria X y a sus probabilidades: a) Comprueba que corresponde a una distribución de probabilidad. b) Calcula la función de distribución. c) Halla su media y su desviación típica. a) b) si x si x Fx ( ) 8 si x si x 7 si 7 x + X 7 P(X) c) Media: μ Desviación típica: σ 87

12 Distribuciones binomial y normal 7 Con la distribución de la actividad anterior determina las siguientes probabilidades. a) P(X >) c) P( X 7) b) P(X ) d) P(μ σ X μ +σ) a) PX ( > ) b) PX ( ) 8 c) P( X 7) d) P( μ σ X μ+ σ) P( 7 X ) 8 8 Identifica las variables aleatorias que siguen una distribución binomial. a) Tenemos tres fichas blancas y cinco fichas azules en una bolsa. Sacamos cuatro fichas y contamos el número de fichas que son blancas. b) En la situación anterior sacamos una ficha anotamos su color y la devolvemos a la bolsa. Repetimos el experimento veces y anotamos el número de fichas de color blanco. c) Lanzamos un dado diez veces y anotamos las veces que sale el número. d) Se lanza un dado y si sale un número par se vuelve a lanzar el mismo dado pero si sale un número impar se lanza un dado con forma de tetraedro y caras numeradas del al. Se cuenta el número de las veces que sale el número. e) En una ciudad el % de la población tiene los ojos de color azul. Se eligen al azar personas y se anota el número de ellas que tiene los ojos azules. a) La variable aleatoria no sigue una distribución binomial. b) La variable es discreta porque solo puede tomar los valores y. n es el número de veces que se realiza el experimento. Sea A «Salir una ficha blanca» entonces P(A). 8 Los experimentos son independientes porque lo que sucede en una extracción no influye en la siguiente. Por tanto la variable sigue una distribución binomial: B 8 c) La variable es discreta porque solo puede tomar los valores 7 8 y. n es el número de veces que se realiza el experimento. Sea A «Salir un» entonces P(A). Los experimentos son independientes porque lo que sucede en un lanzamiento no influye en el siguiente. Por tanto la variable sigue una distribución binomial: B d) La variable aleatoria no sigue una distribución binomial. e) La variable es discreta porque solo puede tomar los valores y. n es el número de veces que se realiza el experimento. Sea A «Tener los ojos azules» entonces P(A). Los experimentos son independientes porque el color de los ojos de una persona no influye en el color de los ojos de la otra persona. Por tanto la variable sigue una distribución binomial: B(; )

13 Calcula las probabilidades que se indican en las siguientes distribuciones binomiales. a) En B(8; ) P(X ) P(X ) P(X ) b) En B(; ) P(X ) P(X ) P(X ) c) En B(; 8) P( X ) P( X ) PX ( ) 8 7 a) PX ( ) PX ( ) b) PX ( ) PX ( ) PX ( ) + PX ( ) + PX ( ) PX ( ) PX ( ) + PX ( ) c) P( X ) PX ( ) + PX ( ) + PX ( ) + PX ( ) P( X ) PX ( ) + PX ( ) + PX ( ) + PX ( ) Haz la tabla de la distribución de una distribución B(; 8) y comprueba que se verifica que μ np y σ np( p). X P(X x i ) 8 78 μ 8 σ La probabilidad de que un lanzamiento dé en el blanco es de. Efectuamos 8 lanzamientos. a) Determina la probabilidad de acertar veces en el blanco. b) Cuál es la probabilidad de que den en el blanco más de lanzamientos? c) Y de que no acierte ninguno? d) Determina la probabilidad de que el número de lanzamientos que acierten en el blanco sea mayor o igual que y menor o igual que. a) PX ( ) 8 88 b) PX ( > ) PX ( ) ( PX ( ) + PX ( ) + PX ( )) ( ) 8 c) PX ( ) 8 8 d) P( X ) PX ( ) + PX ( ) + PX ( ) + PX ( )

14 Distribuciones binomial y normal Una máquina que fabrica discos compactos consigue fabricar un % de discos sin error. Si escogemos de ellos al azar calcula las siguientes probabilidades. a) No hay ninguno defectuoso. b) Hay más de uno defectuoso. a) PX ( ) 87 b) PX ( > ) PX ( ) ( PX ( ) + PX ( )) ( ) Un examen tipo test tiene preguntas a las que se ofrecen cuatro respuestas posibles. a) Si se responde al azar cuál es la probabilidad de acertar más de dos preguntas? b) Si para aprobar hay que tener más de respuestas correctas cuál es la probabilidad de obtener un aprobado? X B( ; ) np 7 > X B( ; ) N( 7; 7) n( p) > 7 7 a) PX ( > ) P X > P( 7 7 Z > ) P( Z ) b) PX ( > ) P X > 7 7 PZ ( > ) PZ ( ) 8 Se lanza el dado veces. Cada vez que se obtiene un número mayor que gana Eva. En caso contrario gana Daniel. a) Describe la función de probabilidad y la función de distribución. b) Cuáles son la media y la desviación típica de esta distribución? c) Cuál es la probabilidad de que Eva gane exactamente veces? d) Cual es la probabilidad de que Daniel gane más de veces? x a) La función de probabilidad es: f( x) x x La función de distribución es: Fx () x x x x si x en el resto b) μ 7 σ

15 c) np 7 > X B( ; ) N( 7; ) n( p) 8 > 7 X PX ( ) P( X ) P 7 7 P( Z ) P( Z ) d) 7 7 PX ( ) P X PZ ( 7 ) PZ ( 7 ) De cada veces que mi hermano juega conmigo al ajedrez me gana 7 veces. a) Cuál es la probabilidad de que me gane vez? b) Y de hacer tablas? c) Cuál es la probabilidad de que me gane entre y veces ambos números incluidos? d) Si apostamos que en partidas yo le ganaré al menos veces cuál es la probabilidad de ganar la apuesta? X B( ; 7) a) PX ( ) 7 78 b) PX ( ) 7 c) P( X ) PX ( ) + PX ( ) + PX ( ) d) PX ( ) PX ( ) + PX ( ) + PX ( ) + PX ( ) + PX ( ) + PX ( ) En un laboratorio de análisis clínicos saben que el 8 % de las pruebas de diabetes que realizan resulta negativo. Si han recibido muestras para analizar: a) Determina la probabilidad de que haya personas a las que la prueba les dé positivo. b) Cuál es la probabilidad de que la prueba resulte positiva a más de persona? X B( ; ) a) PX ( ) 8 8 b) PX ( > ) PX ( ) ( PX ( ) + PX ( ))

16 Distribuciones binomial y normal 7 Si de cada turistas que entra en una tienda compra algún artículo y hoy hemos atendido a 8 personas calcula la probabilidad de los siguientes sucesos. a) personas compraron algún artículo. b) Hubo entre y 7 personas ambos números incluidos que adquirieron algún artículo. c) Más de personas compraron en la tienda. X B( 8 ; ) a) P(X ) 8 b) P( X 7) P(X ) + P(X ) + P(X 7) + + c) P(X > ) P(X ) (P(X ) + P(X ) + P(X )) 78 8 El de las pilas fabricadas llegan descargadas al proceso de envasado. Si escogemos pilas al azar calcula la probabilidad de que haya más de pilas descargadas. X B( ; ) PX ( > ) PX ( ) ( PX ( ) + PX ( ) + PX ( )) Un estudio médico asegura que de cada 8 niños tiene gingivitis. Escogidos 7 niños al azar: a) Determina la probabilidad de que haya exactamente niños con la enfermedad. b) Los dentistas han decidido que si en el grupo hay más de niños enfermos se iniciaría un tratamiento a todo el grupo. Cuál es la probabilidad de que esto suceda? c) Cuál es la probabilidad de que la padezcan niños o menos? X B( 7; ) a) PX ( ) b) PX ( > ) PX ( ) ( PX ( ) + PX ( ) + PX ( )) c) PX ( ) PX ( > ) PX ( 7 )

17 El % de la población de una ciudad es inmigrante de procedencia africana. Se eligen cinco personas al azar. Determina la probabilidad de que: a) Haya un inmigrante africano. d) Haya al menos un africano. b) Sean dos o más inmigrantes africanos. e) Sean cuatro inmigrantes africanos. c) Las cinco sean inmigrantes africanos. X B( ; ) a) PX ( ) 8 b) PX ( ) PX ( ) ( PX ( ) + PX ( )) c) PX ( ) 8 d) PX ( ) PX ( ) PX ( ) e) PX ( ) 8 Juan suele dar en el blanco con una de cada tres flechas que lanza a la diana. a) Es cierto que si lanza flechas al menos una de ellas dará en el blanco? b) Qué probabilidad hay de que eso suceda? c) Y si lanza flechas puede estar seguro de que alguna de sus flechas va a dar en el blanco? d) Cuántas flechas debería lanzar para asegurar con una probabilidad de más del % que va a conseguirlo? a) No la probabilidad no puede asegurar el resultado del lanzamiento. b) X B PX ( ) PX ( ) PX ( ) 77 c) No la probabilidad no varía y no puede asegurar el resultado. d) X B n n PX ( ) PX ( ) PX ( ) n n n n log 7 log A partir de 8 flechas la probabilidad de que al menos una flecha dé en el blanco es más del %. 7

18 Distribuciones binomial y normal Comprueba que esta función es de densidad. si x fx ( ) x + si x si x > a) Halla la función de distribución. b) Calcula las siguientes probabilidades. P(X ) P(X >) P( X ) a) + + f( x) dx ( x ) dx x + x 8 8 si x Fx ( ) x + x si x si x + b) P(X ) F() P(X > ) P(X ) F() P( X ) P(X ) P(X ) Calcula el valor de k para que la siguiente función sea una función de densidad y halla su función de distribución. + f( x) dx ( x + k) dx x + kx k k x k x [ ] fx ( ) + si si x [ ] si x Fx ( ) x + x si x si x + La función de distribución de una variable continua es: si x x Fx ( ) si x si x > Determina las siguientes probabilidades. a) P( X ) b) P(X ) c) P( X ) d) P(X >) a) P( X ) PX ( ) PX ( ) F( ) F( ) b) PX ( ) F( ) c) P( X ) PX ( ) PX ( ) F( ) F( ) d) PX ( > ) PX ( ) F( ) 8

19 Una variable aleatoria tiene la siguiente función de distribución. si x ( ) x + x Fx ( ) si x [ ] 8 si x ( + ) Calcula las siguientes probabilidades. a) P( X ) c) P(X ) b) P( X ) d) P(X >8) a) P( X ) PX ( ) PX ( ) F( ) F( ) b) P( X ) PX ( ) PX ( ) F( ) F( ) 7 7 c) PX ( ) F( ) 7 d) PX ( > 8) PX ( 8) F( 8) 78 La función de densidad de una variable aleatoria continua es: x x [ ] fx ( ) si 8 si x [ ] Halla su función de distribución y las siguientes probabilidades. a) P( X ) b) P( X ) c) P(X ) si x x Fx ( ) si x 8 si x + a) P( X ) PX ( ) PX ( ) F( ) F( ) b) P( X ) PX ( ) PX ( ) F( ) F( ) 87 c) PX ( ) F( ) 7 En una distribución N( ) calcula las probabilidades. a) P(Z 7) e) P(Z > 8) b) P(Z ) f ) P(Z > 7) c) P(Z 77) g) P(Z 7) d) P(Z 7) h) P(Z ) a) PZ ( 7) 77 b) PZ ( ) 78 c) PZ ( 77 ) d) PZ ( 7) 7 e) PZ ( > 8 ) PZ ( 8 ) 8 f ) PZ ( > 7) PZ ( 7) g) PZ ( 7 ) h) PZ ( ) PZ ( ) 88

20 Distribuciones binomial y normal 8 En una distribución N( ) halla las siguientes probabilidades. a) P(Z >8) e) P(Z ) b) P(Z 87) f ) P(Z ) c) P(Z 7) g) P(Z ) d) P(Z ) h) P(Z 87) a) PZ ( > 8) PZ ( 8) b) PZ ( 87) PZ ( 87) 887 c) PZ ( 7) d) PZ ( ) PZ ( ) 7 8 e) PZ ( ) PZ ( ) 77 f ) PZ ( ) PZ ( ) 88 g) PZ ( ) PZ ( ) 87 h) PZ ( 87) PZ ( 87) En una distribución N( ) obtén las probabilidades. a) P( Z ) d) P( Z ) b) P( Z ) e) P( Z ) c) P( Z ) f ) P( Z 7) a) P( Z ) PZ ( ) PZ ( ) 7 b) P( Z ) PZ ( ) PZ ( ) c) P( Z ) PZ ( ) ( PZ ( )) + 78 d) P( Z ) PZ ( ) ( PZ ( )) e) P( Z ) PZ ( ) PZ ( ) 7 7 f) P( Z 7) PZ ( ) PZ ( 7) Calcula el valor de k para que se verifiquen las igualdades en la distribución N( ). a) P(Z k) 8 c) P(Z > k) 7 b) P(Z k) d) P(Z k) a) k 7 b) PZ ( k) PZ ( k) 88 k 7 k 7 c) PZ ( > k) 7 PZ ( k) 7 k 7 k 7 d) PZ ( k) PZ ( k) 887 k 8 Determina las siguientes probabilidades en una distribución N( ). a) P(X ) e) P(X >8) b) P(X ) f ) P(X >8) c) P(X 7) g) P(X ) d) P(X 7) h) P(X 78)

21 a) PX P X ( ) P( Z 8) 7 b) PX P X ( ) PZ ( ) 8 c) PX P X ( 7 ) 7 P( Z ) 7 d) PX ( 7) P X PZ ( ) 8 e) PX ( > 8 ) P X P( Z ) P( Z ) 8 f ) PX ( > 8) P X PZ ( 8) PZ ( 8) 8 g) P(X ) h) PX ( ) P X PZ ( ) PZ ( ) 8 7 En una distribución N( ) calcula las siguientes probabilidades. a) P(X >8) c) P(X ) e) P(X ) g) P(X ) b) P(X ) d) P(X ) f ) P(X 7) h) P(X 877) a) PX P X ( > 8 ) 8 > PZ ( > ) PZ ( ) b) PX P X ( ) P( Z ) P( Z ) 7 c) P(X ) d) PX P X ( ) P( Z 8) P( Z 8) 8 e) PX ( ) P X PZ ( 8 ) PZ ( 8 ) 77 8 f) PX ( ) P X 7 7 P( Z ) P( Z ) 77 g) PX ( ) P X P( Z 7 ) P( Z 7 ) h) PX ( 877) P X PZ ( 8 ) PZ ( 8 ) 887

22 Distribuciones binomial y normal En una distribución N( ) obtén estas probabilidades. a) P( X ) d) P(77 X ) b) P( X 7) e) P(88 X 8) c) P(8 X ) f ) P( X 87) X a) P( X ) P P( Z ) PZ ( ) PZ ( ) X 7 b) P( X 7) P P( 8 Z 8) PZ ( 8 ) PZ ( 8) X c) P( 8 X ) P P( Z 88) PZ ( 88) ( P( Z )) + 77 X d) P( 77 X ) P P( Z ) P( Z ) ( PZ ( )) X e) P( 88 X 8) P 8 P( Z 7) PZ ( ) PZ ( 7 ) 78 X 87 f) P( X 87) P P( 7 Z ) PZ ( 7) PZ ( ) 87 Halla a b c para que en una distribución normal N(8 ) se cumpla que: a) P(X a) 88 d) P(X d) b) P(X b) 7 e) P(X e) 87 c) P(X c) a) PX ( a) 88 P X 8 a 8 88 a 7 a 8 b) PX ( b) 7 P X 8 b 8 b b c) PX ( c) P X 8 c 8 P X 8 c 8 c 8 8 c

23 d) PX ( d) P X 8 d 8 P X d 8 d 8 d e) PX ( e) 87 P X 8 e 8 87 P X e 8 e 87 8 e El nivel de colesterol en una persona adulta sana sigue una distribución normal N(). Calcula la probabilidad de que una persona adulta sana tenga un nivel de colesterol: a) Superior a unidades. b) Entre 8 y unidades. a) PX ( > ) P X > P( Z > 7) P( Z 7) 78 8 X b) P( 8 X ) P P( Z ) PZ ( ) ( PZ ( )) ( 8) 8 La edad de un grupo de personas sigue una distribución N (). Calcula la probabilidad de que una persona de ese grupo elegida al azar tenga: a) Más de años. b) Entre y 7 años. c) Di entre qué edades estará comprendido el % central de la distribución. a) PX ( > ) P X > PZ ( > ) PZ ( ) 8 X 7 b) P( X 7) P P( Z ) PZ ( ) ( PZ ( )) a X + a c) P( a X + a) P P a a Z a a P Z P Z a P Z P Z a 7 a 8 a 8 El % central de la distribución estará comprendido entre 8 y años.

24 Distribuciones binomial y normal 7 8 El peso de las ovejas adultas se distribuye normalmente con una media de kg y una desviación típica de kg. a) Qué porcentaje de las ovejas pesará entre y 7 kg? b) Si pretendemos separar una cuarta parte de las ovejas siendo las más pesadas del rebaño a partir de qué peso se hará la separación? X 7 a) P( X 7) P P( Z 7) PZ ( 7) ( PZ ( )) b) PX ( > a) P X a > P a Z > a P Z a P Z 7 a 8 a La separación debe hacerse a partir de kg. En una distribución normal N (μ σ): P(X 8) 8 P(X >8) determina μ y σ. PX ( ) P X μ 8 μ P Z 8 μ 8 8 σ σ σ 8 8 μ 8 μ σ σ PX ( > 8 ) P X μ 8 μ > P Z σ σ > 8 μ σ 8 μ P Z σ 8 μ 8 μ σ σ 8 μ σ μ 8 μ σ σ 8 Un fabricante de correas para relojes ha estudiado que el contorno de la muñeca de los varones sigue una distribución normal cuya media es cm y la desviación típica es cm. a) Qué porcentaje de la población tiene un contorno de muñeca de más de cm? b) Si fabricamos correas que midan entre 7 y centímetros qué porcentaje de la población podrá usarlas? c) Se pretende reducir costes fabricando menos variedad de longitudes de correas. Encuentra un intervalo ( a; + a) en el que se incluya el % de los varones. a) PX ( > ) P X > PZ ( > 7) PZ ( 7) 7 El 7 % de la población tiene un contorno de muñeca de más de cm.

25 b) 7 X P( 7 X ) P P( Z ) PZ ( ) ( PZ ( )) Estas correas podrá usarlas el 8 % de la población. c) P( a X + a) a X P + a a P Z a a P Z P a Z a P Z a a P Z 7 a El intervalo en el que se encuentra el % de los varones es (7; ). Se ha comprobado que el tiempo medio que resiste un adulto sin respirar es de segundos con una desviación típica de segundos y que los datos anteriores siguen una distribución normal. a) Halla el porcentaje de personas que aguantan más de segundos y menos de segundos. b) Qué porcentaje resiste entre y segundos? a) b) PX ( > ) PX ( ) P X > P X PZ ( > ) PZ ( ) ( PZ ( )) ( PZ ( )) ( 87) ( ) 8 El porcentaje de personas es del %. X P( X ) P P( Z ) PZ ( ) ( PZ ( )) 8 El 8 % resiste entre y segundos.

26 Distribuciones binomial y normal El tiempo medio de espera de un viajero en una estación ferroviaria medido en minutos sigue una distribución normal N(7; ). Cada mañana. viajeros acceden a esa estación. Determina el número de viajeros que esperó: a) Más de minutos. b) Menos de minutos. c) Entre y minutos. d) Completa la frase: «Los. viajeros que menos tiempo tardaron en subir al tren tuvieron que esperar menos de minutos». a) b) c) 7 7 PX ( > ) P X > PZ ( 7 > ) PZ ( 7) 77. viajeros esperaron más de minutos. 7 7 PX ( ) P X PZ ( 7 ) PZ ( 7) 77. viajeros esperaron menos de minutos. 7 X 7 7 P( X ) P P( Z ) PZ ( ) ( PZ ( ) ) viajeros esperaron entre y minutos d) PX ( a) P X a. a 7 P Z 7 P a Z 7 a 7 8 a 88 Los. viajeros que menos tiempo tardaron en subir al tren tuvieron que esperar menos de 8 minutos.

27 Se sabe que el 8% de los tornillos fabricados por una empresa tiene un diámetro menor que 8 mm. Si el diámetro de los tornillos se distribuye según una normal de media μ mm determina la desviación típica. PX ( ) P X σ σ P Z 8 σ σ σ Dos amigos están jugando al parchís. Uno de ellos asegura que ha tirado el dado veces y no le ha salido ningún. El otro amigo afirma que eso es imposible. Es realmente imposible? Cuál es la probabilidad de que eso suceda? No es imposible porque la probabilidad no puede asegurar el resultado de los lanzamientos. X B PX ( ) El % de una población de. habitantes tiene los ojos oscuros. Si elegimos al azar personas de esa población cuál es la probabilidad de que haya menos de personas con los ojos oscuros? X B( ; ) np > n( p) > X B( ; ) N( ; ) PX ( ) P X PZ ( ) El 7 % de los pantalones de una marca tiene algún defecto. Se empaquetan en cajas de 8 unidades para distribuirlos. Cuál es la probabilidad de que en una caja haya más de pantalones defectuosos? X B( 8; 7) np > n( p) 78 > X B( 8; 7 ) N( ; 8) PX ( > ) P X > P( 8 8 Z > ) P( Z ) 7 8 7

28 Distribuciones binomial y normal Se estima que de cada 8 españoles padece hipertensión. Si elegimos a personas al azar: a) Determina la probabilidad de que en ese grupo haya exactamente 7 personas hipertensas. b) Cuál es la probabilidad de que haya más de diez personas hipertensas? c) Cuál es la probabilidad de que en el grupo tengan hipertensión personas o menos? X B( ; ) np 7 > X B( ; ) N( 7; ) n( p) > 7 X 7 a) PX ( 7) P( X 7) P 7 7 P( Z ) P( Z ) PZ ( ) b) PX ( > ) P X > PZ ( > 7) PZ ( 7) c) PX ( ) P X PZ ( ) 7 Se está experimentando una nueva vacuna para la malaria que resulta efectiva en el % de los casos. Si se eligen al azar personas halla las siguientes probabilidades. a) La probabilidad de que en ese grupo la vacuna sea efectiva en 7 personas. b) La probabilidad de que sea efectiva en un número de personas comprendido entre y 7 ambos inclusive. c) La probabilidad de que resulte efectiva en menos de personas. X B( ; ) np 7 > X B( ; ) N( 7; 8) n( p) 8 > X a) PX ( 7) P( X 7) P P( Z ) PZ ( ) ( PZ ( )) 7 X b) P( X 7) P P( Z ) PZ ( ) PZ ( ) 7 c) PX ( ) P X 7 7 P( 8 8 Z ) P( Z ) 8 8

29 8 Las compañías de seguros han calculado que de cada vehículos tiene un accidente al año. Si se toman al azar vehículos determina. a) La probabilidad de que ese año de ellos tengan un accidente. b) La probabilidad que sean entre y vehículos ambos números incluidos. c) Cuál es la probabilidad de que ese año se accidenten más de vehículos? X B( ; ) np 8> X B( ; ) N( 8; ) n( p) > 8 X 8 a) PX ( ) P( X ) P 8 P( Z 8) P( Z 8) PZ ( ) 8 7 b) c) 8 X 8 8 P( X ) P P( 7 Z 8) PZ ( 8 ) PZ ( 7) PX ( > ) P X 8 > PZ ( > 7) PZ ( 7) 8 7 En un concurso dan a elegir una entre tres pruebas. Si las probabilidades de encestar lanzando un tiro son y las de acertar al blanco son elige la prueba en la que tengas más probabilidad de ganar. Lanzar tiros a una canasta de baloncesto y encestar por lo menos. Tirar veces al blanco y acertar como mínimo. Tirar veces a canasta y hacer tiro al blanco. Para superar la prueba se debe conseguir canasta por lo menos y dar en el blanco. En la primera prueba: X B ; PX ( ) P( X ) ( PX ( ) + PX ( )) 77 7 En la segunda prueba: Y B ; PY ( ) P( Y ) ( PY ( ) + PY ( ) + PY ( )) 878

30 Distribuciones binomial y normal En la tercera prueba: Z B ; PZ ( ) PZ ( ) PZ ( ) La probabilidad de ganar es: Por tanto hay más probabilidad de ganar la segunda prueba. 7 Solo el % de los boletos de una tómbola tienen premio. Qué es más fácil tener dos premios comprando boletos o conseguir un premio comprando boletos? Si se compran boletos: PX ( ) 8 7 Si se compran boletos: PX ( ) Así es más probable conseguir un premio comprando boletos. 7 Supongamos que la probabilidad de que nazca una niña es la misma de que nazca un niño. a) Cuál es la probabilidad de que una familia con tres hijos tenga hijos y hija? b) Si tomamos familias con hijos cuál es la probabilidad de que haya familias con hijos y hija? c) Y de que se encuentre entre y? d) Cuál es la probabilidad de que en esas familias haya familias que solo tengan hijas? a) P( hijos y hija) 7 b) X B( ; 7) np 7 > X B( ; 7) N( 7; 8) n( p) > 7 X PX ( ) P( X ) P P( Z ) PZ ( ) PZ ( ) X 7 7 c) P( X ) P P( Z ) P( Z ) ( PZ ( )) 7 + 7

31 d) P( hijas) X B( ; ) np > X B( ; ) N( ; ) n( p) 87 > X PX ( ) P( X ) P P( Z ) PZ ( ) PZ ( ) Marta va a salir de viaje y ha consultado las previsiones meteorológicas. Ha visto que la probabilidad de que llueva el sábado es del % siendo la misma para el domingo. Marta hace la siguiente reflexión. «Como + es seguro que un día va a llover». a) Es correcta su reflexión? b) Calcula la probabilidad de que llueva solo un día. c) Cuál es la probabilidad de que llueva los dos días? d) Y de que no llueva ningún día? a) No es correcta porque la probabilidad de que llueva algún día es: b) P(llueva solo un día) c) P(llueva los dos días) d) P(no llueva ningún día) 7 La talla media del pie de los bomberos que ingresaron en el cuerpo el año pasado era con una desviación típica de. Este año ingresarán. personas en el cuerpo de bomberos. a) Determina el número aproximado de los bomberos que tendrán una talla media del pie de o. b) Calcula el número de botas del número 8 que debería encargar el cuerpo de bomberos. (Consideramos que un pie tiene talla cuando le correspondería un tallaje comprendido en [; ). Por ejemplo si a una persona le corresponde una talla de 7; diremos que su tallaje es 7. Y si es 8; diremos que su tallaje es 8.) X N( ; ) X a) P( X ) P P( 7 Z ) PZ ( ) PZ ( 7 ) bomberos 7 X 8 b) P( 7 X 8 ) P P( Z ) P( Z ) PZ ( ) 8 Por tanto encargarán:. pares de botas.

32 Distribuciones binomial y normal 7 Escoge entre los juegos a) y b) el juego que tengas mayor probabilidad de ganar. a) Se lanzan dados y si la suma es mayor que ganas. b) Se lanzan monedas y ganas si salen más de caras. a) P(suma mayor que al lanzar dos dados) 7 b) X B( ; ) PX ( > ) PX ( ) + PX ( ) + PX ( ) + PX ( ) En el juego b) se tiene mayor probabilidad de ganar. 7 7 La distribución de edades de los miembros de una asociación sigue una ley normal N(μ σ). Sabiendo que el % tiene menos de años y un % tiene menos de años calcula su media y su desviación típica. PX ( ) P X μ μ P Z μ σ σ σ μ σ μ σ PX ( ) P X μ μ P Z μ σ σ σ μ P Z 788 μ 8 μ 8 σ σ σ μ σ μ μ 8σ σ En una granja de gallinas se clasifican los huevos por su peso en gramos según las categorías incluidas en la tabla. Categoría S M L XL Peso [ ) [ 7) 7 El peso de los huevos de las gallinas de esa granja sigue una distribución N( 8). Calcula los porcentajes de huevos que se obtienen de cada categoría. PX ( ) P X P Z ( ) P( Z ) X P( X ) P P ( Z ) P( Z ) ( P( Z ) X 7 P( X 7) P P ( Z 7) PZ ( 7) PZ ( ) 7 7

33 PX ( 7 ) P X 7 P Z ( 7 ) P( Z 7) Hay un % de huevos de tamaño S; un % de tamaño M; un 7 % de tamaño L; y un 8 % de tamaño XL. 77 El gerente de una granja de gallinas ha observado que la categoría de huevos S no tiene éxito en el mercado mientras que la categoría XL es la más rentable para la empresa y sin embargo le corresponde una proporción demasiado baja de la producción. Por ese motivo decide hacer nuevas categorías que denominará de mayor a menor peso: A B C D y E de modo que los porcentajes de huevos en cada categoría sean las siguientes. Categoría A B C D E Porcentaje % % % % % Encuentra los intervalos de peso correspondientes a cada categoría. PX ( ) P X A A P Z A P Z A 8 P A Z 8 8 A A 8 8 PX ( ) P X B B P Z B P Z B 8 P B Z 8 B B PX ( ) P X C C P Z C C C 8 PX ( ) P X D D P Z D D D 7 8 La categoría A corresponde a los huevos que pesan menos de 8 gramos; la categoría B a los que pesan entre 8 y 888 gramos; la categoría C a los que pesan entre 888 y gramos; la categoría D a los que pesan entre y 7 gramos y la categoría E a los que pesan más de 7 gramos.

34 Distribuciones binomial y normal 78 7 La nota media de las Pruebas de Acceso a Estudios Universitarios en un distrito sigue una ley normal con media y desviación típica. a) Uno de los estudios más solicitados es Fisioterapia por lo que un periódico local afirma que solo el % de los alumnos del distrito tendrá nota suficiente para realizar esos estudios. A qué nota se refiere? b) Qué porcentaje de alumnos supera el sobresaliente? c) Qué nota supera el % de los alumnos? a) PX a P X a ( ) P a Z a P Z a P Z a a 787 La nota suficiente para acceder a Fisioterapia es 787. b) PX P X ( ) P Z ( ) P( Z ) 8 8 El 8 % de los alumnos supera el sobresaliente. c) PX ( a) P X a a P Z P a Z a P Z 7 a 8 a El % de los alumnos supera una nota de. En un instituto se han comprado ordenadores para aulas de informática. La duración de la batería permite tener una media de trabajo de 8 minutos con una desviación típica de minutos. a) Calcula la probabilidad de que la batería de uno de los ordenadores solo dure dos horas. b) Cuántos ordenadores tendrán una batería cuya carga dure más de minutos? c) Cuál es la probabilidad de que de esos ordenadores sigan trabajando a los 8 minutos? a) X N( 8 ) PX ( ) P X 8 8 P Z ( ) P( Z ) 8 8 b) PX ( > ) P X 8 8 > P Z ( > 8 ) P( Z 8 ) 788 Como 78; en ordenadores la carga de la batería durará más de minutos.

35 c) PX ( 8 ) P X P Z ( ) P( Z ) Y B( ; ) np 7 > Y B( ; ) N( 7; ) n( p) 7> 7 Y 7 7 PY ( ) P( Y ) P P( Z 8) PZ ( 8) PZ ( ) 8 La estatura de los. alumnos de un colegio sigue una distribución normal de media cm y desviación típica cm. a) Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar mida más de 8 cm? b) Cuántos estudiantes debemos esperar que midan entre y 7 cm? c) Busca un intervalo de alturas que contenga el % de los alumnos y que sea el mínimo posible. d) Si elijo alumnos al azar cuál es la probabilidad de que de ellos midan más de cm? e) Si elijo alumnos al azar cuál es la probabilidad de que haya más de que midan más de cm? a) PX ( > 8 ) P X 8 > P Z ( > 7) P( Z 7) 8 7 b) ( 7) X X P P( 78 Z ) P( Z ) ( P( Z 78 )) + Como..8 hay.8 estudiantes que miden entre y 7 cm. a X a c) P( a X + a) P + a a P Z P Z a a P Z a a P Z P Z a a 8 ( ; 7 8) es el intervalo de alturas. d) PX ( > ) P X > P Z ( > ) P( Z ) 8 87 Y B( ; 87) PY ( )

36 Distribuciones binomial y normal e) Y' B( ; 87) np 8 > Y B( ; 87) N( 8; ) n( p) > PY ( ) P Y ' ' > 8 > 8 P ( Z > 8 ) P ( Z 8 ) El peso de los recién nacidos se distribuye según una distribución normal de media μ y desviación típica σ. Si los últimos datos publicados aseguran que los percentiles 7 y de esta distribución son y kg respectivamente: a) Calcula la probabilidad de que un recién nacido pese menos de kg. b) Halla la probabilidad de que un recién nacido pese más de kg. c) Cuál es el percentil? d) Determina la mediana de la distribución. PX ( ) 7 P X μ μ P Z μ 7 8 σ σ μ σ σ PX P X ( ) μ μ P Z μ σ σ μ σ σ μ 8 σ 8 μ μ σ σ a) PX P X ( ) 8 8 P ( Z 7 ) P( Z 7 ) 77 7 b) PX ( ) P X > 8 > 8 P( Z > ) P( Z ) 88 c) PX ( a) P X a 8 8 a 8 P Z a P Z 8 8 a a d) PX ( M) P X M 8 8 M 8 P Z M 8 M 8 8 El sueldo de los trabajadores de una empresa sigue una distribución normal de media.. Si el sueldo de un técnico de categoría es de y el 7 % de los trabajadores de la empresa cobra más que él: a) Calcula la probabilidad de que el sueldo de un empleado escogido al azar sea superior a.. b) El sueldo más elevado es el de los directivos. Si estos representan el % de los empleados de la empresa cuál es su sueldo mínimo?

37 PX P X.. ( > ) 7 > σ σ > P Z σ P Z 7 8 σ 7 σ σ a) PX P X... ( >. ) > 7 7 P ( Z > ) P( Z ) 7 8 b) PX ( a) P X. a. 7 7 P Z a. 7 a a P Z. 7. a. 8 7 El sueldo mínimo de los directivos es de.8 euros. PARA FINALIZAR 8 Calcula el valor de k para que la siguiente función sea una función de densidad de una variable aleatoria continua. x k x [ ] fx ( ) + si si x [ ] a) Obtén la función de distribución F(x). b) Representa gráficamente ambas funciones. c) Calcula las probabilidades. P X P X ( ) + a) x f( x) dx x + k dx + kx + k k k si x x x Fx ( ) + si x si x + b) Y Y f(x) X F(x) X c) P X P X P X F F 8 8 P(X ) 7

38 Distribuciones binomial y normal 8 La probabilidad de que un reloj sea defectuoso es del %. Halla. a) El número de relojes defectuosos que se estima en un lote de.. b) La probabilidad de menos de defectuosos. a) μ. relojes b) B(.; ) N(; ) X PX ( ) P Z ( 8) P( Z 8) 8 En una distribución normal el % de los valores es inferior a y el % es superior a 8. Calcula P( X 8). PX ( ) P X μ μ P Z μ σ σ σ μ σ P Z 7 μ 8 σ μ 8σ PX P X ( > 8 ) μ 8 μ > P Z > 8 μ σ σ σ 8 μ P Z σ 8 μ σ 8 μ σ μ 8σ μ 8 μ σ σ 7 PX ( ) P X PZ ( ) PZ ( ) 88 8 Las bolas para rodamiento se someten a un control de calidad consistente en eliminar las que pasan por un orificio de diámetro d y también las que no pasan por otro orificio de diámetro D con d D. Calcula la probabilidad de eliminar una bola sabiendo que la medida de sus diámetros sigue una distribución normal de parámetros: N D + d ; ( D d). D d D d X + d + D + d X D D + d PX ( d) + PX ( > D) P ( D d) ( D d) + P ( D d) > ( D d) d D D d P Z P Z ( D d) + > ( D d) P Z + P Z> P Z P Z ( 7 ) + ( > 7 ) P( Z > 7) ( ) 8

39 87 Una máquina tiene 8 componentes y la probabilidad de que en un tiempo determinado falle uno de ellos es. Calcula la probabilidad de que en ese tiempo: a) Falle al menos componente. b) Fallen exactamente componentes. c) Fallen como máximo componentes. d) Calcula la media y la desviación típica de la distribución. X B( 8; ) 8 No se puede aproximar con una distribución normal. a) PX ( ) PX ( ) PX ( ) b) PX ( ) c) PX ( ) PX ( ) + PX ( ) + PX ( ) d) μ 8 σ 8 8