APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN NAVEGACIÓN Y TOPOGRAFÍA

Transcripción

1 INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMÁTICAS ASIGNATURA: MATEMÁTICAS DOCENTE: JOSÉ IGNACIO DE JESÚS FRANCO RESTREPO TIPO DE GUIA: Conceptual y ejercitación PERIODO GRADO N FECHA DURACION Julio 30 DE períodos INDICADORES DE DESEMPEÑO 1. Resuelve problemas con ángulos de elevación y depresión en triángulos rectángulos para aplicarlos en navegación y en topografía. 2. Muestra una actitud positiva frente a la solución de las actividades planeadas. APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN NAVEGACIÓN Y TOPOGRAFÍA Definamos inicialmente dos conceptos muy importantes para poder interpretar y entender dichas aplicaciones: Ángulo de elevación: Es el ángulo formado cuando un observador mira un objeto que está por encima del plano horizontal donde él se encuentra; dicho ángulo se forma entre el plano horizontal que pasa por el observador y la línea visual imaginaria que va desde el ojo del observador hasta el objeto observado. Por lo general se desprecia la altura del observador al no ser que el problema especifique lo contrario. Gráficamente se ubica así: objeto observado observador plano horizontal = ángulo de elevación. Ángulo de depresión: Es el ángulo formado cuando un observador mira un objeto que está por debajo del plano horizontal donde él se encuentra; dicho ángulo se forma entre el plano horizontal que pasa por el observador y la línea visual imaginaria que va desde el ojo del observador hasta el objeto observado. Por lo general se desprecia la altura del observador al no ser que el problema especifique lo contrario. Gráficamente se ubica así: Observador = ángulo de depresión plano horizontal Objeto observado 1

2 Al resolver un problema es conveniente seguir las siguientes indicaciones: Elabora un bosquejo de la gráfica que te dé una idea de la situación, teniendo en cuenta que los árboles, edificios, antenas, etc. se representan con líneas verticales. El pié de un edificio, árbol, etc. corresponde a la base o parte inferior del mismo. La idea es tratar de formar triángulos rectángulos, identificando en ellos los elementos conocidos y aplicando el proceso visto en la guía anterior para solucionar triángulos rectángulos se hallan los elementos que el problema está solicitando. ACTIVIDADES 1. Observo, interpreto y analizo con detenimiento el planteamiento y la solución que se te da de los siguientes problemas: a. Una águila que vuela a 1600 ms de altura se observa desde una pequeña isla con un ángulo de elevación de 40º. Calcula la distancia que hay desde la isla hasta el águila. Solución: X 1600 m 40º Sea X la distancia pedida. Haciendo el análisis para el triángulo formado nos damos cuenta que empleando la función seno podemos hallar dicha distancia: Sen40º = 1600 / X XSen40º = 1600 X = 1600 /Sen40º X = ms. b. Una antena de televisión está instalada en la terraza de un edificio. A 254 m del pie del edificio se observa la parte superior del edificio con un ángulo de elevación de 20º y la parte superior de la antena con un ángulo de elevación de 24º. Calcula la altura de la antena. 2

3 Solución: B Sea Y la altura de la antena y H la del edificio. Puedes observar que se forman dos triángulos rectángulos: ABC y ADC. Además si analizas la figura te das cuenta que si hallamos el cateto BC del triángulo rectángulo ABC y luego le restamos el cateto DC del triángulo ADC, hallamos el segmento BD que corresponde a la medida de la antena. Por lo tanto en el Triángulo ABC tenemos que: Tan24º = BC / 254 BC = 254Tan24º BC = m. 24º 20º En el triángulo ADC encontramos que: A 254 m C Tan20º = DC / 254 DC = 254Tan20º DC = m. Y D H Luego el valor de Y será: Y = BC - DC = Y = m que es la altura de la antena. c. Desde la parte superior de un faro se observa una pequeña embarcación con un ángulo de depresión de 35º. Calcula la altura del faro sabiendo que la embarcación se encuentra a 50 m del pié de éste. Solución: 35º H 50 m El ángulo ubicado en la figura tiene igual valor que el ángulo de depresión de 35º por ser alternos internos; por lo tanto aplicando la función para tenemos que: Tan = H / 50 Tan35º = H / 50 50tan35º = H H = 35 m que es la altura del faro. d. Desde un avión que vuela a 1860 m de altura se observa una embarcación con un ángulo de depresión de 31º 25 y desde el mismo avión pero en sentido opuesto se observa el puerto con un ángulo de depresión de 53º. Calculo la distancia que separa a la embarcación del puerto. 3

4 53º 31º m X Y Puedes observar que el ángulo mide también 53º y el ángulo mide 31º 25 por ser respectivamente alternos internos y además se forman dos triángulos rectángulos. Observa que si logramos averiguar los valores de X e Y la distancia pedida es X + Y. Para el triángulo rectángulo de la izquierda tenemos que: Tan = 1860 / X y de aquí encuentras que: X = 1860 / Tan53º X = ms. Para el triángulo rectángulo de la derecha tenemos que: Tan = 1860 / Y y de aquí obtienes que : Y = 1860 / Tan 31º 25 Y = ms. Luego la distancia pedida entre el puerto y la embarcación será X + Y = ms. 2. Para trabajar en clase con dos compañeras más...puede ser con Vanesa Flórez y Camila Restrepo. a. Del texto Glifos 10º que encuentro en el bibliobanco, soluciono de la página 83 los problemas 1, 7, 8, 9 y 10; de la pág. 85 el problema 4. b. Resuelvo los siguientes problemas: Determino el ángulo de elevación del sol si una persona de 1.70 m de altura proyecta una sombra de 1.50 m de longitud en el suelo. Una escalera de 12 m de longitud está recostada sobre la pared vertical de un edificio. Si el ángulo entre la escalera y la pared es de 25º; a qué distancia de la pared se encontrará la parte inferior de la escalera?. Supongo ahora que la distancia hallada se incrementa en 1.20 m, qué distancia desciende la parte superior de la escalera. 4

5 3. Problemas para solucionar en mi casita. Cada problema debe llevar su respectiva gráfica. a. Copio y soluciono del texto Matemática experimental 10º (que encuentro en la biblioteca y en el bibliobanco) de las págs. 290 y 291 los problemas 15 a 18 y el 13. b. Del texto Aciertos matemáticos 10º (que encuentro en la biblioteca y en el bibliobanco) copio y soluciono en mi cuaderno de la pág. 72 los problemas 2, 3, 4 y de la pág. 73 el problema Observo y analizo el aporte que hará mi profe al solucionar el siguiente problema: Desde un punto P del suelo, el ángulo de elevación a la cúspide de la torre (punto más alto) es de 30º 25. Desde otro punto 20 m más cercano a la torre sobre el mismo plano horizontal el ángulo de elevación a la cúspide es de 60º 50. Determino la altura de la torre. UNA IMAGEN VALE MÁS QUE MIL PALABRAS 5