V1 V2 N1 N2 N

Transcripción

1 Matemáticas II 1. Producción de mínimo coste Una empresa produce un único bien mediante tres factores productivos. Debe satisfacer una demanda mínima de su producto de 100 toneladas y tiene que afrontar un coste fijo de medio millón de euros. Los precios de los tres factores productivos son 10, 0 y 30 euros por kilo, respectivamente. La función de producción es de tipo Cobb-Douglas, y su expresión es 0.5 q ( x1, x, x3 ) = 10x1 x x3. Sabiendo que se desea minimizar costes, encontrar las cantidades de los factores productivos que se deben emplear en el proceso de producción.. Utilidad del consumidor Supongamos que la función de utilidad de un consumidor en un periodo de tiempo viene dada por U ( x1, x ) = x1x donde x 1yx representan las cantidades consumidas de dos bienes 1 y en dicho periodo de tiempo. Si el precio del primer bien es p1 = x1 y el del segundo es p = x, si la renta disponible para el consumidor es de 50 unidades monetarias, y si los precios son tales que p 1 3 y p, se pide calcular las cantidades consumidas de cada bien cuando el objetivo del consumidor es maximizar su utilidad. 3. Producción y distribución Una empresa quiere maximizar la tasa de rentabilidad sobre los costes que origina al realizar dos actividades distintas, la de producción y la de distribución de productos. El coste variable por tonelada obtenida por el proceso de producción es de euros, mientras que el coste por tonelada distribuida es de euros. La empresa debe sufragar un coste fijo de euros, independientemente de la cantidad producida y/o comercializada. Por cada tonelada producida obtiene un beneficio unitario de euros, mientras que por la distribución obtiene euros por tonelada. Dispone de dos recursos productivos para desarrollar esas dos actividades, personal e instalaciones. Ha valorado su disponibilidad de recursos personales en euros y en sus recursos de instalaciones. Conoce que para producir una tonelada de producto requiere euros en personal y en concepto de usos de instalaciones, mientras que para distribuir una tonelada del mismo producto requiere en recursos personales y euros de instalaciones. Formular un modelo para encontrar la política óptima de producción y distribución. 4. Planificación de la Producción (1) Una empresa fabrica puertas y ventanas de cristal, estructurándose su trabajo en varias plantas procesadoras según el siguiente plan: Planta 1: Se fabrican los marcos y molduras de aluminio. Planta : Se fabrican los marcos de madera. Planta 3: Se produce el vidrio y se ensamblan los productos. Debido a que las ganancias se han reducido, se ha decidido dejar de fabricar algunos productos y dejar libre una parte de la capacidad de producción para fabricar dos productos nuevos que están teniendo mayor demanda: Puertas de vidrio con marco de aluminio de 0,70x m. (Ganancia por unidad=300 euros), y ventana con vidrio doble y marco de madera de 1,5x m. (G. u.=500 euros). La compañía llega a la 1

2 conclusión de que todos los productos que fabrique los puede vender. Sin embargo, la capacidad de producción de cada planta es limitada, pudiéndose invertir la capacidad disponible para la producción de cada uno de estos nuevos productos, según la siguiente tabla. Capacidad usada por u. de producto Capacidad Prod. 1 Prod. disponible Planta Planta 0 1 Planta Ganancia unitaria (100 ) 3 5 Formular un programa matemático que proporcione la combinación de los dos productos más rentable para la empresa. 5. Producción de alimentos Cierto alimento se produce mediante refinado y mezcla de cinco tipos de sustancias de dos clases: vegetales (v1,v) y no vegetales (n1,n,n3). Cada sustancia puede adquirirse para refinado inmediato o futuro. Los precios de reparto (en euros por tonelada) de las sustancias para los próximos meses vienen dados en la siguiente tabla: V1 V N1 N N3 Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio El precio de venta del producto es de 150 euros por tonelada. Las sustancias vegetales y no vegetales requieren diferentes líneas de producción y refinamiento. En un mes cualquiera no es posible refinar más de 00 toneladas de sustancias vegetales y 50 toneladas de las no vegetales. No hay pérdida de peso en el proceso de refinado y el coste del mismo es insignificante. Por otra parte, se pueden almacenar hasta 1000 toneladas de cada uno de los dos tipos de sustancias para su uso posterior. El coste de almacenamiento para ambos es de 5 euros por tonelada y mes. Sin embargo, ni el producto final ni tampoco las sustancias refinadas pueden ser almacenadas. Existe, por último, una restricción tecnológica sobre la calidad del producto final, que en las unidades apropiadas de medida, debe estar entre 3 y 6. Se supone que la calidad de la mezcla es lineal respecto a las cantidades de las sustancias empleadas y sus respectivas calidades, que son: V1 V N1 N N Se comienza con 500 toneladas de cada sustancia almacenada y se desea disponer de la misma cantidad al final de Junio en el almacén. Formular un modelo matemático para determinar la política óptima de adquisición de materias primas y producción del alimento para maximizar el beneficio.

3 6. Producción de mezclas La empresa ZUMIBAN se dedica a la obtención de zumos de frutas exóticas. En el proceso de transformación se utiliza zumo puro, agua y otros aditivos que diferencian los zumos de la empresa respecto a los de la competencia. El zumo puro se obtiene exprimiendo las frutas y desechando las pieles y otros residuos sólidos. ZUMIBAN fabrica tres tipos de zumo A, B y C combinando zumo puro, agua y aditivos en las siguientes proporciones: TIPO ZUMO ZUMO PURO AGUA ADITIVOS A 1 1 B 5 C 3 1 Se sabe que la función de ingresos de la empresa es x + y + z donde x, y, z son los litros de los zumos A, B y C, y que los costes totales por litro son de 10 u.m. para el zumo A, u.m. para el zumo B y 3 u.m. para el zumo C. También se conoce que por cada 10 Kg. De fruta se obtienen 7 litros de zumo puro y la empresa dispone de un stock de Kg. De fruta en almacén. No existen límites para el empleo de agua y aditivos. Además, por razones estratégicas se considera que no es conveniente que la producción de un tipo de zumo supere el 40% del total. Calcula cuántos litros de cada clase de zumo deberá producir ZUMIBAN para maximizar los beneficios. 7. Programación de turnos laborales (1) La empresa Seguritas necesita tener cada día de la semana al menos el siguiente número de empleados: Empleados necesarios Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo Atendiendo a convenios laborales, cada empleado hará su semana laboral trabajando 5 días consecutivos comenzando cuando la empresa le diga. Por otra parte, cada contrato le supone a la empresa un costo de 500 euros por semana. Según esto, cuántos empleados se necesitarán si se quiere minimizar los costos de contratación? Cuántos trabajadores empezarán su turno de 5 días los miércoles? 8. Planificación de la producción () Chirility Company debe producir al menos tornillos pequeños y tornillos grandes para satisfacer la demanda de las siguientes 4 semanas. Estos tornillos pueden producirse en dos máquinas distintas, cada una de las cuales está disponible 40 horas a la semana. Los requerimientos de costo y tiempo para producir cada tamaño de tornillo en cada máquina y el precio de venta de cada tamaño de tornillo se muestran a continuación: Tornillos pequeños Tornillos grandes Precio de venta ( /1000 u.) Costo en la máquina 1 ( /1000 u.) Costo en la máquina ( /1000 u.) Tiempo en la máquina (min/libra) Tiempo en la máquina (min/libra) 3

4 En cada libra hay aproximadamente 60 tornillos pequeños y 40 grandes. El gerente quiere maximizar el beneficio y satisfacer la demanda con la disponibilidad limitada de tiempo de máquina en las siguientes 4 semanas. Formular un modelo que indique cómo llevar a cabo la producción. 9. Selección de personal El departamento de selección de personal de unos grandes almacenes ha preseleccionado a siete candidatos para ocupar cinco puestos de vendedores en la empresa. Estos puestos de vendedores corresponden a cinco secciones diferentes: Fotografía, Discos, Calzado, Juguetería y Librería. Para realizar la selección se ha probado a los siete candidatos en las cinco secciones en las mismas condiciones para todos. El número de ventas realizado por cada candidato en las cinco secciones viene dado por la siguiente tabla: Candidatos Fotografía Discos Calzado Juguetería Librería Juan Pedro Andrés Luisa Catalina Roberto Isabel Formular un modelo que permita determinar qué cinco trabajadores debe seleccionar la empresa y a qué secciones debe asignar a cada uno de los vendedores contratados. 10. Programación de turnos laborales () La principal sucursal del Burlington Bank en Vermont requiere de 8 a 15 cajeros de servicio, dependiendo de la hora del día, como se indica en la siguiente tabla: PERIODO NÚMERO MÍNIMO DE CAJEROS Los cajeros a tiempo completo trabajan 8 horas consecutivas a 15$ la hora, comenzando a las 8 h. Los cajeros a tiempo parcial trabajan 4 horas consecutivas a 8$ la hora, comenzando a las 8 h., 10 h. o 1 h. Las regulaciones sindicales requieren que a toda hora al menos el 60% de los cajeros sean de tiempo completo. Como gerente del departamento de personal, haga una recomendación respecto al número de empleados a tiempo completo y a tiempo parcial requeridos a lo largo del día para minimizar el costo diario total. 11. Localización de plantas productivas Cosmic Computer Company (CCC) acaba de darse a conocer y ha obtenido fondos para producir un nuevo ordenador. La compañía confidencialmente anticipa una demanda mensual de 1700 ordenadores de una tienda de ventas al detalle en San Diego, 1000 ordenadores de una tienda de Barstow, 1500 ordenadores de una tienda de Tucson y 100 ordenadores de una tienda de Dallas. Para satisfacer esta demanda anticipada, la gerencia de CCC está considerando construir plantas de ensamblaje en San Francisco, Los Ángeles, Phoenix y/o Denver. Las capacidades de producción mensual y los costos fijos 4

5 proyectados (que incluyen la operación de la planta, el pago de hipoteca, etc.) se muestran en la siguiente tabla: Capacidades de las plantas y costos fijos UBICACIÓN CAPACIDAD MENSUAL COSTOS FIJOS MENSUALES San Francisco Los Ángeles Phoenix Denver El costo de embarque de un ordenador terminado desde cada planta hasta cada tienda detallista se da en la tabla siguiente: Costos de embarque ($/ordenador) de las plantas a las tiendas TIENDAS PLANTAS San Diego Barstow Tucson Dallas San Francisco Los Ángeles Phoenix Denver Como gerente de la división de producción, se le ha pedido recomendar las plantas que se construirían para minimizar los costos totales de transporte mensual y los costos fijos. 1. Producción y almacenamiento National Steel Corporation (NSC) produce un acero especial usado en las industrias de aviación y aeroespaciales. El departamento de ventas de NSC ha recibido pedidos de 400, 00, 700 y 500 toneladas de acero para cada uno de los siguientes 4 meses. NSC puede satisfacer estas demandas produciendo el acero, extrayéndolo de su inventario o usando cualquier combinación de las dos alternativas. Se proyecta que los costos de producción por tonelada de acero durante cada uno de los siguientes cuatro meses sean de 7400, 7500, 7600 y 7650 euros. Como los costos suben cada mes, debido a las presiones inflacionistas, tal vez sea mejor que NSC produzca más acero del que necesita en un mes determinado y que almacene el exceso. La capacidad de producción, sin embargo, no puede exceder las 4000 toneladas en ningún mes. La producción mensual se termina al final del mes, cuando la demanda se satisface. Cualquier acero remanente se almacena en inventario a un costo de 10 euros por tonelada por cada mes que permanece allí. Estos datos se resumen en la siguiente tabla: Mes Demanda (tons) Costo de producción ( /ton) Costo de inventario ( /ton/mes) Si el nivel de producción se incrementa de un mes al siguiente, entonces la compañía incurre en un costo de 50 por tonelada de producción incrementada para cubrir la mano de obra adicionales y/o el tiempo extra. Cada tonelada de producción disminuida incurre en un costo de 30 para cubrir los beneficios de empleados no utilizados. 5

6 El nivel de producción durante el mes anterior fue de 1800 toneladas, y el inventario que comienza es de 1000 toneladas. El inventario al final del cuarto mes debe ser de al menos 1500 toneladas para cubrir la demanda anticipada. Formule un plan de producción para NSC que minimice los costos totales en los siguientes cuatro meses. 13. Uso y urbanización de la tierra Birdeyes Real Estate Co. posee 800 acres de tierra de primera clase, pero no urbanizada, en un lago escénico en la parte central de Ozark Mountains. En el pasado, se aplicaba poca o ninguna regulación a nuevas urbanizaciones en torno al lago. Las orillas del lago ahora están alineadas con residencias vacacionales agrupadas. Debido a la falta de servicio de drenaje, o desagüe por alcantarillado, se utilizan muchos tanques sépticos, la mayoría instalados en forma inadecuada. Con el paso de los años, la infiltración de los tanques sépticos ha provocado un severo problema de contaminación del agua. Para controlar la degradación más profunda en la calidad del agua, los funcionarios del municipio presentaron y aprobaron algunos reglamentos estrictos aplicables a todas las urbanizaciones a futuro: 1. Sólo se pueden construir casas para una, dos y tres familias, donde las unifamiliares costituyen cuando menos el 50% del total.. Para limitar el número de tanques sépticos, se requieren tamaños de lote mínimos de, 3 y 4 acres para casas de una, dos y tres familias. 3. Se deben establecer áreas de recreo de 1 acre cada una a razón de un área por cada 00 familias. 4. Para preservar la ecología del lago, no se puede extraer agua del subsuelo para uso en la casa o el jardín. El presidente de Birdeyes Real Estate estudia la posibilidad de urbanizar los 800 acres de la compañía en el lago. La nueva urbanización incluirá casas para una, dos y tres familias. El estima que el 15% del terreno se utilizará en la apertura de calles y vías de acceso para servicios. También calcula que los siguientes serán sus ingresos derivados de la venta de las diversas unidades habitacionales: Unidades habitacionales Sencilla Doble Triple Ingreso neto por unidad ($) El costo de conexión del servicio de agua al área es proporcional al número de unidades que se construyan. Sin embargo, la comunidad estipula que se deberá colectar un mínimo de $ para que el proyecto sea económicamente factible. Además, la expansión del sistema acuífero más allá de su capacidad actual está limitada a galones por día durante periodos de consumo máximo, pico. Los datos que siguen resumen el costo de conexión del servicio de agua y también del consumo de agua suponiendo una familia de tamaño medio: Unidades habitacionales Sencilla Doble Triple Recreo Costo del servicio de agua por unidad ($) Consumo de agua por unidad (galones/día)