Metodologías para Generar Oscilaciones Periódicas en la Rueda de Inercia: Comparación Teórica y Experimental

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1 Metodología para Generar Ocilacione Periódica en la Rueda de Inercia: Comparación Teórica y Experimental A. Soa, R. Iriarte, L. Fridman Etudiante del Programa de Maetría y Doctorado en Ingeniería Eléctrica Univeridad Nacional Autónoma de México, México, D.F. Etudiante de doctorado en Comunicacione y Electrónica Centro de Invetigación y Dearrollo de Tecnología Digital CITEDI-IPN, Tijuana BC Departamento de Control, Facultad de Ingeniería Univeridad Nacional Autónoma de México, México, D.F. aoa.unam@gmail.com, ririarte@citedi.mx, lfridman@ervidor.unam.mx Reumen Se preenta una comparación entre el controlador por retriccione holonómica virtuale y el controlador de do relevadore dieñado previamente para generar ocilacione en un itema mecánico ubactuado de do grado de libertad, la rueda de inercia. El objetivo de ambo controladore e generar un movimiento ocilatorio con una frecuencia y una amplitud predeterminada obre la variable ubactuada del itema, la poición del péndulo, alrededor del punto de equilibrio inetable. La aportacione de ete trabajo on analizar el deempeño de cada controlador a partir de reultado de imulación y adicionalmente hacer una comparación experimental entre la linealización a travé del Jacobiano y la linealización por realimentación de etado para el controlador de do relevadore. Palabra clave: Ocilacione, Jacobiano, linealización por realimentación, controlador de do relevadore, retriccione holonómica. I. Introducción La generación de ocilacione e un problema que ha ido abordado en el paado dede diferente enfoque de control, como rede neuronale recurrente Jouffroy, 007 y paividad Freidovich, Shiriaev et al, 009 entre otro. Eto dearrollo teórico han encontrado aplicacione en vario tipo de itema, por ejemplo en itema eléctrico Kater y Pagano, 005, y en robot bípedo Narioka et al, 009. El enfoque de ete trabajo e aplicar do ditinto controladore para generar ocilacione en la rueda de inercia del equipo Mechatronic Kit de Quaner R, un miembro má de la extena familia de lo péndulo. La rueda de inercia e un itema mecánico con do grado de libertad, una rueda inercial rotor actuada directamente por un motor de corriente directa y un péndulo el cual carece de un actuador. Se buca lograr que el péndulo, el elemento ubactuado del itema, ocile alrededor del punto de equilibrio inetable, i.e. el péndulo en la poición vertical uperior. Adicionalmente e requiere que la frecuencia y la amplitud de la ocilacione e puedan ecoger de manera arbitraria e independiente la una de la otra. El primer controlador a coniderar e el controlador por retriccione holonómica virtuale CRHV Freidovich et. al, 009 el cual propone acoplar la dinámica del péndulo a la del rotor, convirtiendo aí al problema a reolver en uno problema de eguimiento de la trayectoria periódica deeada del péndulo. También e analiza el controlador de do relevadore CRAguilar et. al, 009 el cual, a partir de la upoición de que la planta preenta la propiedade de un filtro pao baja, aprovecha el contenido armónico del efecto relevador para generar la ocilacione objetivo. La aportacione principale de ete trabajo on do: una, la comparación directa entre ambo controladore a partir de u deempeño teórico en imulacione y do, la comparación entre do método de linealización, por el Jacobiano y por realimentación, baada en lo reultado experimentale obtenido en un equipo mecatrónico prototipo, el Mechatronic Kit de Quaner R. Ete trabajo etá etructurado de la iguiente manera: el modelo matemático del itema junto con el planteamiento formal del problema a reolver e introducen en la Sección II; poteriormente e preentan do ditinta manera de linealizarlo en la Sección III. El CRHV y el CR e reformulan en la Sección IV y V repectivamente. La Sección VI e dedica a comparar el deempeño de ambo controladore con bae en lo reultado de ditinta imulacione. Se proigue a motrar alguno reultado experimentale del controlador de do relevadore en la Sección VII. Finalmente la Sección VIII cierra ete trabajo con alguna concluione y comentario obre trabajo a futuro. II. Planteamiento del Problema La dinámica de la rueda de inercia e decribe Aguilar et al, 009; Freidovich, La Hera et al, 009 por el iguiente modelo no lineal de orden n = 4:

2 Figura 1. Diagrama de referencia para el modelado J 1 q 1 + J q + h in q 1 = 0 J q 1 + J q = τ 1 donde q 1, q on la poición aboluta del péndulo y del rotor repectivamente medida de acuerdo a la Figura 1, τ e el par de control generado por el motor y J 1, J, h R > 0 on parámetro fíico del itema. La repreentación de 1 en el epacio de etado e ẋ = f x + g x τ x 0 = en x 1 x τ en x iendo x = T q 1 q 1 q q el vector de etado y J 1 = , J = , h = lo parámetro fíico del itema. Ete itema no lineal tiene do punto de equilibrio, uno etable para q 1 = 0 y otro inetable para q 1 = π. El objetivo e entonce lograr un comportamiento ocilatorio del péndulo, el cual e ubactuado, de amplitud A rad y frecuencia Ω rad alrededor de q 1 = π, i.e., q 1 t Aen Ωt + π 3 Adicionalmente e requiere que la amplitud y frecuencia deeada e puedan elegir independientemente la una de la otra y de manera arbitraria. III. Linealizando el Modelo Matemático En el análii ubecuente e requerirá de una linealización del modelo no lineal de la planta ; aquí e preentan do ditinta metodología para cumplir con ete requiito. III-A. Linealización por el Jacobiano Permite obtener fácilmente una linealización local alrededor de algún punto de equilibrio. Se tiene, Σ J : ẋ = A J x + B J τ y = q 1 donde III-B. A J = f x = q1=π B J = T Linealización parcial por realimentación Se puede probar, utilizando paréntei de Lie con la notación ad k f gx = f, ad k 1 f gx, que la ditribución x = pan { gx, ad f gx, ad f gx } no e involutiva obre el epacio D o R 4 donde evolucionan la trayectoria del itema. Eto implica que ete itema no e linealizable exactamente por realimentación ino ólo linealizable parcialmente. Por eta razón e recurre al algoritmo de linealización por realimentación de Grizzle et al, 005 el cual permite linealizar n 1 etado de itema ubactuado como la rueda de inercia. Se define la ley de realimentación τ = J 1 J 1 1 J v J 1 1 J h en q 1 y el momento generalizado conjugado repecto a q 1 σ = J 1 q 1 + J q para llevar al itema a u formal normal modificada σ = h en q 1 q 1 = J 1 1 σ J 1 1 J q q = v Poteriormente e etablece la alida y = ζ = Kp 1 + σ = K q 1 π + J 1 1 J q + J1 q 1 + J q la cual produce un itema de fae mínima para una contante K R > 0. Su tercera derivada f q 1... {}}{ ζ = J1 1 J h co q 1 + J1 1 h co q 1 h en q 1 K q 1 + h en q 1 q 1v }{{} f 1q 1, q 1 indica que el itema realimentado tiene un grado relativo ρ = 3 y una dinámica cero, p 1, unidimenional. Entonce, aumiendo que f q 1 e invertible, la ley de control v = u a 0 ζ a 1 ζ a ζ f1 q 1, q 1 /f q 1 4 donde a 0, a 1, a R > 0 tranforma el itema 1 en Σ F : ẋ F = a 0 a 1 a 0 J KJ T u y = ζ para el vector de etado x F = ζ ζ ζ p1 T. x F

3 IV. Controlador por Retriccione Holonómica Virtuale Una manera de reolver el problema planteado en la Sección II e aborda detalladamente en Freidovich, La Hera et al, 009 y e baa en acoplar, a travé del control, la dinámica del rotor con la del péndulo. Si e logra eto, la tarea de generar ocilacione en q 1 e reduce a un problema de eguimiento de trayectoria para q, la cual e la variable directamente actuada del itema. Para conveniencia del lector e preenta el reumen de eta metodología en eta Sección. El primer pao e proponer una retricción holonómica virtual; por fine de implicidad, q = H q 1 kq 1 + H 0 5 donde k R, H 0 = k q 1 y q 1 {0, π}. Si e proyecta bajo H e obtiene la dinámica reducida equivalente de la rueda de inercia J 1 + kj q 1 + h in q 1 = 0 6 La dinámica deeada, q 1 t, que cumple con la dinámica objetivo 3 e define como la olución única de 6. Se puede obervar que k e el único parámetro libre de 6; al cambiar éta también cambia q 1 t. Por lo tanto, k no e puede ecoger arbitrariamente, debe atifacer k = Ω h C 0, A una relación que depende tanto de Ω como de A, donde Ω 1 J1 + kj = C q 1, A h q1+a dδ C q 1, A co δ co q1 A q 1 A Por otro lado, ademá de garantizar la convergencia de la trayectoria del itema a q 1 t, el CRHV también debe conervar el momento del itema en cada ocilación, de lo contrario no e poible preervar la etabilidad orbital. Para eto, e neceario garantizar E q 1 t, q 1 t E 0 t E q 1, q 1 = J 1 + kj q 1 + h 1 co q 1 E 0 E A + q 1, 0 = h 1 co A + q 1 Para lograr tanto eguimiento de q 1 t como conervación de momento e define una nueva retricción G = q t H 0 k q1 t π que repreenta la deviación de la retricción holonómica 5. Eto permite aplicar una entrada linealizante, τ = J J 1 + kj h + kh en q1 + J J 1 v Figura. Equema de control con do relevadore que tranforma el itema a Σ F : ẋ H = A H x H + B H tv = E E o Ġ + J q 1 t 0 v G 1 Finalmente, la realimentación de la ley de control v = J q R t E E 0 G Ġ T aegura que la trayectoria deeada, q 1 t, e una olución orbitalmente etable del itema en lazo cerrado para la olución, Rt, de la ecuación diferencial periódica de Riccati Ṙ + δr + A T R + RA + G = RB t B T t R para cualquier G = G T R 3 0. V. Controlador de Do Relevadore Otra alternativa para generar ocilacione en la rueda de inercia utilizando do relevadore e introdujó en Aguilar et al, 009. El equema de control empleado en ete cao e muetra en la Figura. La idea general e reolver la ecuación de balance armónico para la Función Decriptiva de lo do relevadore y la repueta en frecuencia del modelo linealizado de la planta. A manera de reumen, e decribe el dieño de la do ganancia de ete controlador. Se determina la Función Decriptiva del CR u R = c 1 gn y c gn ẏ Aumiendo yt = A en Ωt, u Función Decriptiva e N = 4 πa c 1 + jc 7 La ecuación de balance armónico W jω = 1 8 N e reuelve de la iguiente manera: Se fija la taza ξ = c Im {W jω} = c 1 Re {W jω} Se utituye 7 en 8 para obtener πa W jω = 4 c 1 + jc π W jω = A 4 c 1 + jc

4 Finalmente lo valore de c 1, c e calculan como 1 π A 4 W jω 1 + ξ i W jω 0 c 1 = ξ i W jω < 0 π 4 A W jω c = ξ c 1 VI. Simulacione VI-A. Controlador de Do Relevadore En eta Sección e analizarán lo efecto de utilizar la linealización por el Jacobiano y la linealización por realimentación dearrollado en la Sección III en el equema del controlador de do relevadore ilutrado en la Figura. Para el cao del itema Σ J, primero e realimentaron lo etado del itema para ubicar u polo en λ ΣJ = { 15, 9,, 4 } Luego, e tomaron como parámetro deeado rad A d = 0. rad, Ω d = 4π 9 La evolución del péndulo e muetra en la Figura 3 para la condición inicial x 0 = T La ocilación reultante tiene como parámetro Figura 3. Ocilación imulada de q 1 utilizando Σ J, A d = 0. rad A = rad, Ω = 3.393π No obtante, i e incrementa la amplitud de la ocilación deeada, e.g., rad A d = rad, Ω = 4π 10 la Figura 4 muetra un comportamiento irregular y poco Figura 4. Ocilación deeada azul y imulada roja i A d = imétrico comparado con el cao anterior de baja amplitud, lo cual muetra la limitacione de una linealización local. En la Tabla I e recopilan lo dato de éta y otra ocilacione. También e muetra que la eñal de control e periódica y, tal como e ilutra en la Figura 5, de la mima frecuencia que la frecuencia deeada Ω d. Por otro lado, e incorporó Σ F al equema de la A d rad d c 1 c A rad 0. 4π π 0. 8π π 0. 1π π 4π π 8π π 1π π TABLA I Parámetro imulado del CR calculado para Σ J Figura 5. Par de control para la ocilación deeada 9 con Σ J Figura, procurando etabilidad con lo parámetro a 0 = 350, a 1 = 155, a =, K = Se analizó la mima ocilación deeada 9 para q 1. La amplitud deeada de la alida ζ en función de la amplitud deeada de q 1 e A ζd = A q1d h Ω d 1 K J 1 Ω +K y e toma Ω ζ = Ω d. La ocilación imulada reultante del péndulo y de ζ e muetran en la Figura 6 junto con el par de control correpondiente en la Figura 7. Lo dato de la Tabla II demuetran que la preciión de la ocilacione aumenta cuando e utiliza eta linealización parcial obre la linealización por el Jacobiano. No obtante, debido a la tranformación 4, no e poible generar ocilacione de amplitud arbitrariamente grande. VI-B. Controlador por Retriccione Holonómica La mima ocilacione previamente imulada con el CR e imularon también utilizando el CRHV para fine de comparación. La Figura 8 muetra la evolución del péndulo para la ocilación deeada 10. La Tabla III realta inmediatamente la alta preciión de ete controlador para eta ocilación y en general. Finalmente, en la Figura 9 e oberva que la eñal de control para el CRHV e continua y uave.

5 a Ocilación deeada de la alida ζ azul y imulada roja Figura 9. Señal de control del CRHV b Ocilación aociada del péndulo Figura 6. Relación entre la alida ζ y la poición del péndulo Figura 7. Par de control para la ocilación deeada 9 con Σ F A d rad d c 1 c A rad 0. 4π π 0. 8π π 0. 1π π 4π * * 8π * * 1π * * TABLA II Ocilacione imulada utilizando Σ F VII. Prueba Experimentale Se llevó a cabo la implementación del controlador de do relevadore utilizando una tarjeta de adquiición de dato dspace1103, con un tiempo de muetreo de 10 n, en un entorno computacional baado en MATLAB. Se utilizó el método de integración de Euler para reolver numéricamente la ecuacione pertinente. El motor de corriente directa Pittman R LO-COG 8X, 4 V e controló a travé de una eñal de corriente generada por la dspace1103 a partir un itema de modulación de pulo con un ciclo de trabajo fijo a una frecuencia de 10 khz. La primera prueba experimental que e realizó en el MKT incorporó al itema Σ J como la planta lineal del equema de control general Figura. Se propuo generar do ocilacione ditinta con ete método: una de alta amplitud y baja frecuencia, la otra de alta frecuencia y baja amplitud. Lo parámetro de eta ocilacione deeada junto con lo reultado experimentale e preentan en la Tabla IV. La poición A d rad d c 1 c A r rad r r 0.01 π π π π TABLA IV Ocilacione experimentale utilizando Σ J Figura 8. CRHV: Ocilación deeada azul v. imulada roja A d rad d k A rad Figura 10. Ocilación experimental utilizando Σ J 0. 4π π 0. 8π π 0. 1π π 4π π 8π π 1π π TABLA III Parámetro imulado del CRHV Figura 11. Señale de control experimentale utilizando Σ J del péndulo y la eñale de control de eta prueba

6 e ilutran en la Figura 10 y 11 repectivamente. Por otro lado, también e utilizó el itema Σ F en lo experimento con el mimo propóito de generar do ditinto tipo de ocilacione. La comparación entre lo dato teórico y lo experimentale e preentan en la Tabla V. La evolución de ζ y del péndulo e muetra en la Figura 1. Finalmente, la Figura 13 ilutra el comportamiento del control a lo largo del tiempo. A d rad d c 1 c A r rad r r π π π π TABLA V Ocilacione experimentale utilizando Σ F Figura 1. Ocilación experimental utilizando Σ F Figura 13. Señale de control experimentale utilizando Σ F VIII. Concluione Se abordó el problema de generar ocilacione periódica en la Rueda de Inercia, un itema mecánico ubactuado. Se emplearon do ditinta técnica de control para reolver ete problema: un controlador de etructura variable, epecíficamente el controlador de do relevadore, y un controlador baado en retriccione holonómica virtuale. Se llevó a cabo comparación de lo reultado teórico de eto do controladore y a partir de éta e puede concluir: El controlador de do relevadore: e eficiente en término de gato de control. u preciión depende fuertemente del tipo de linealización que e utilice. reulta encillo calcular y ajutar c 1, c. no e preenta el fenómeno de chattering la convergencia a lo ciclo límite e rápida. El CRHV: tiene una preciión excelente, el error en todo lo cao analizado e prácticamente nulo. la eñal de control e uave. acepta condicione iniciale arbitraria. hay libertad para ecoger la retricción holonómica. También e implementó el CR bajo do ditinta circuntancia: linealizando el modelo matemático por medio del Jacobiano y por realimentación de etado. La comparación de lo reultado experimentale y la imulacione correpondiente arroja que la linealización parcial por realimentación de etado e claramente uperior; ofrece una mejor preciión y no exige un mayor gato de control para generar la ocilacione e incluive en alguno cao el gato e menor Figura 5 v. 7. A partir de eto reultado alentadore, e propone como trabajo a futuro aplicar eta teoría en itema eléctrico; la generación de ocilacione en ete cao e podría utilizar en el proceo de converión de corriente directa a corriente alterna con el fin de dieñar un nuevo tipo de inveror. Referencia Aguilar, L. T., Boiko, I., Fridman, L. y Freidovich, L.009. Inducing Ocillation in an Inertia Wheel Pendulum via Two- Relay Controller: Theory and Experiment. 009 American Control Conference, St. Loui, MO, USA, Junio 10-1, 009, Freidovich, L. B., Shiriaev, A., Gomez-Etern, F., Gordillo, F. y Aracil, J Modification via Averaging of Partial- Energyhaping Control for Orbital Stabilization: Cart- Pendulum Example. International Journal of Control. vol. 8, no. 9, Freidovich, L. B., La Hera, P., Mettin, U., Roberton, A., Shiriaev, A. y Johanon, R Stable Periodic Motion of Inertia Wheel Pendulum via Virtual Holonomic Contrain. Aian Journal of Control, vol. 11, no. 5, Grizzle, J. W., Moog, C. H. y Chevallereau, C Nonlinear Control of Mechanical Sytem with an Unactuated Cyclic Variable. IEEE Tranaction on Automatic Control. vol. 50, no. 5, Jouffroy, Guillaume 007. Deign of imple limit cycle with recurrent neural network for ocillatory control. Sixth International Conference on Machine Learning and Application, Cincinnati, Ohio, USA, 007, Kater, M.S. y Pagano, D.J Control of Autonomou Ocillation in Buck-baed Inverter. IEEE 36th Power Electronic Specialit Conference, Recife, Brazil, 005, Narioka, K., Tugawa, S. y Hooda, K D limit cycle walking of muculokeletal humanoid robot with flat feet. The 009 IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robot and Sytem, St. Loui, MO, USA, 009,