Métodos Matemáticos I

Transcripción

1 E. de Ingenierías Industriales Métodos Matemáticos I Jesús Rojo

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3 1 Semidiscretización de la ecuación del calor

4 El Método de Líneas (MOL) Se considera el siguiente problema, ligado a una ecuación parabólica u(x, t) = 2 u(x, t) t x 2, x [0, 1], t 0, u(x, 0) = sen πx, u(0, t) = u(1, t) = 0 que representa, por ejemplo, la distribución de temperaturas en una barra de longitud 1 con distribución inicial sen πx, x [0, 1] y temperatura 0 en los extremos, a lo largo de todo el proceso. Es fácil comprobar que su única solución viene dada por u(x, t) = e π2t sen πx (o sea, la temperatura tiende a 0 con rapidez).

5 Definimos en x [0, 1] los nodos o sea, nodos x n = n h, con h = 1, n = 0, 1,... N 1, N N 0 = x 0 < x 1 < x 2 <... < x N 1 < x N = 1 separados por distancias h. Para cada x n nos vamos a referir a la semirecta vertical (x n, t), t 0 y a considerar en ella una función de t, descripción de la solución de la ecuación original en derivadas parciales, pero limitada a la semirecta, en definitiva u n (t) = u(x n, t), t [0, + ]. Nótese que, para los extremos de la barra, las u 0 (t) y u N (t) valen obligatoriamente u 0 (t) = u(x 0, t) = u(0, t) = 0 u N (t) = u(x N, t) = u(1, t) = 0

6 pero no son conocidas las que corresponden a los otros índices n = 1,... N 1. Como se observa, hemos hecho una discretización en una de las variables, la x, pero no en la otra, t, que sigue siendo continua. Esto justifica el nombre dado a este procedimiento, que acaba obteniendo las soluciones (generalmente numéricas) a lo largo de las líneas x = x n, t [0, + ]. Vamos a ver cómo somos capaces de decir qué es lo que verifican las funciones u n (t) = u(x n, t), t [0, + ], n = 0, 1,... N 1, N. Fijado un valor de t [0, + ], la función (una diferente para cada valor de t ) f : x u(x, t) es tal que 2 u(x, t) x 2 = f (x),

7 y, en particular, 2 u(x n, t) x 2 = f (x n ). Aproximando esta derivada por la fórmula usual, acabamos obteniendo 2 u(x n, t) x 2 = u(x n 1, t) 2 u(x n, t) + u(x n+1, t) h 2 + O(h 2 ), Ahora bien, u(x, t) verifica y, en definitiva 2 u(x n, t) x 2 = u(x n, t) = u t n(t), n = 1,... N 1, u n(t) = u n 1(t) 2 u n (t) + u n+1 (t) h 2 + O(h 2 ). Es decir, las funciones u n (t) consideradas antes son solución del sistema lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias

8 u n = 1 h 2 (u n 1 2 u n + u n+1 ), n = 1,... N 1, con un error de truncación de O(h 2 ). Agrupando las soluciones escalares en el vector de funciones u(t) = (u 1 (t), u 2 (t),..., u N 1 (t)), y teniendo en cuenta que las funciones u 0 (t) y u N (t) son (condiciones de contorno) idénticamente nulas, escribimos matricialmente este sistema como u = 1 h 2 A u, donde A es la matriz A =

9 Por otra parte, la condición inicial (para u) u(x, 0) = sen πx, da origen ahora a las condiciones iniciales para este sistema u n (0) = u(x n, 0) = sen πx n = sen(π n h), que garantizan solución única del sistema. Resumiendo, el Método de Líneas (MOL) permite resolver numéricamente la ecuación parabólica en derivadas parciales como un sistema lineal y de coeficientes constantes de ecuaciones diferenciales ordinarias. Naturalmente, aquí entran en juego los métodos de resolución numérica de este tipo de sistemas. Es conveniente aclarar el carácter más o menos stiff que pueda tener este sistema lineal, y es lo que examinamos a continuación. Este hecho nos moverá a usar unos u otros métodos, dependiendo del carácter citado.

10 Que el sistema anterior sea stiff depende de los autovalores de la matriz 1 A. A estas alturas ya nos son conocidos y valen h2 µ n = 4 ( h 2 sen n π ) 2, n = 1,..., N 1. 2 N (A es ahora la matriz B, para la matriz B ya tratada en el capítulo destinado al caso parabólico). Son reales y negativos, y más negativos cuando se hace decrecer el tamaño de h, que es el objetivo si se desea minimizar el error de truncación del sistema aproximado, cuya truncación es del orden O(h 2 ). O sea, nos encontramos no sólo ante un problema stiff, sino que nos interesa de alguna manera acentuar dicho carácter.

11 Puesto que se trata de un ejemplo sencillo, sabemos que la (única) solución del sistema lineal es u n (t) = e 4 N2 (sen π 2 N ) 2t sen n π N, n = 1,..., N 1, hecho que vamos a comprobar. Por un lado, u n(t) = 4 N 2 ( sen π 2 N Por el otro, recordando que h = 1/N, 1 h 2 (u n 1(t) 2 u n (t) + u n+1 (t)) ( sen = N 2 e 4 N2 (sen π 2 N ) 2 t ) 2 e 4 N 2 (sen π 2 N ) 2t sen n π N. (n 1)π N 2 sen n π N ) (n + 1)π + sen. N La parte N 2 e 4 N2 (sen π 2 N ) 2t es común a ambas expresiones; para el resto, aplicando sen(a + b) + sen(a b) = 2 sen a cos b para a = n π/n y b = π/n, se tiene

12 sen (n 1)π 2 sen n π N N = 2 sen n π + sen (n + 1)π N N + 2 sen n π N cos π N = 2 sen n π ( 1 cos π ), N N y aplicando ahora cos 2 a = 1 2 sen 2 a, a = π 2 N, la igualdad continua como = 2 sen n π ( N 2 sen π ) 2 2 N ( = 4 sen π ) 2 n π sen 2 N N, lo que prueba que, efectivamente u n(t) = 1 h 2 (u n 1(t) 2 u n (t) + u n+1 (t)).

13 Además, estas soluciones u n (t) del sistema verifican también la condición inicial u n (0) = sen(π n h) = sen n π N. Desde el punto de vista numérico, ayudándose de métodos adecuados para sistemas stiff, es posible, haciendo que h 0, conseguir una aproximación suficiente de las soluciones sobre nodos situados sobre las semirrectas x = x n. Desde el punto de vista matemático, las soluciones u n (t) deberían también aproximarse a las trazas sobre x n = n h = n/n de la solución conocida u(x, t) del problema parabólico original. Y así es cuando h 0 o N ya que y lim N sen π 2 N π 2 N = 1, lim u n(t) = e π2 t sen n π h = e π2 t sen π x n = u(x n, t). N

14 El Método de Líneas (MOL) que hemos descrito en un ejemplo lleva una Ecuación en derivadas parciales a un sistema de Ecuaciones diferenciales ordinarias cuando se buscan soluciones numéricas para valores nodales de una de las variables, 0 = x 0 < x 1 < x 2 <... < x N 1 < x N = 1 en el ejemplo. Naturalmente que, a continuación, la búsqueda de la solución numérica de este sistema lleva a la discretización en la otra variable, y las soluciones se calculan para nodos 0 = t 0 < t 1 < t 2 <.... Finalmente, el proceso total es un método en diferencias para la Ecuación en derivadas parciales, pero ejecutado en dos tiempos independientes. La discretización en t en el ejemplo, es en principio independiente de la inicial en x, e incluso puede evitarse esta discretización cuando el sistema resultante presenta una solución analítica razonablemente sencilla.

15 En este sentido, el MOL tiene un interés que puede ir más allá de lo numérico, ligando una Ecuación en derivadas parciales con un problema, ya en una sola variable, de Ecuaciones diferenciales ordinarias. Y es este campo, numéricamente o no, hay gran cantidad de resultados utilizables. Finalmente no hay que olvidar el carácter stiff del sistema que resulta en la generalidad de los casos, que lleva a que los avances hacia valores más y más cercanos de los nodos x n sean prudentes.