GUIA DE ISOMETRIAS O TRASFORMACIONES GEOMETRICAS, SIMETRIA, TRALACION, GIRO :)

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1 GUIA DE ISOMETRIAS O TRASFORMACIONES GEOMETRICAS, SIMETRIA, TRALACION, GIRO :) NOMBRE Colorea la mándala Su práctica es fácil, solamente hay que rellenar de color los diferentes elementos geométricos. Cada uno escoge los colores en función de su estado de animo, la intensidad del color, los diferentes materiales para colorear.(acuarelas, tintas, marcadores, lápices de colores etc.). Poner una música de fondo agradable. Siga su intuición y deje libre su sentido de creación. Diviértase creando. Divertirse Resolver en la hoja, aparte Hacer procedimientos Ser ordenad@. Poner en la carpeta 1. Resolver las guías de problemas en grupo. 2. En cartulinas pegar y realizar el juego de las fracciones. 3. Resolver el Crucigrama de manera individual. Contesta en el cuaderno esta pregunta antes de realizar la actividad Qué pienso sobre el tema? Contesta después de realizar la actividad Qué aprendí? Cuánto tiempo gaste en realizar el taller? Me quedaron las siguientes preguntas? Qué recursos consulte videos, paginas multimedia, juegos para comprender mejor el tema? Mathematik: No tragues entero mastika agosto-2012

2 I nt roducción Transf ormaciones I somét ricas Act ividad: En los siguient es pares de t ransf ormaciones, reconoce aquellas en las que se mant iene la f orma y el t amaño. Una t ransf ormación de una f igura geomét rica indica que, de alguna manera, ella es alt erada o somet ida a algún cambio. En una t ransf ormación geomét rica es necesario t ener present es t res element os: La f igura original La operación que describe el cambio La f igura que se obt iene después del cambio La f igura que se obt iene después del cambio es la imagen de la f igura original a t r avés de la operación descrit a. La operación que describe el cambio es una t ransf ormación geomét rica. En est a guía describiremos t res t ipos de t ransf ormaciones geomét ricas, llamadas t ransf ormaciones isomét ricas. Def inición: Las t ransf ormaciones isomét ricas son cambios de posición (orient ación) de una f igura det erminada que NO alt eran la f orma ni el t amaño de ést a. Ent re las t ransf ormaciones isomét ricas est án las t raslaciones, las rotaciones (o giros) y las ref lexiones (o simet rías), que serán vist as a cont inuación y que su est udio será pieza f undament al para la post erior comprensión de cont enidos t ales como las t eselaciones o embaldosados. Esquema o Mapa Concept ual de la Unidad

3 1. Traslaciones Las t raslaciones, son aquellas isomet rías que permit e desplazar en línea rect a t odos los punt os del plano. Est e desplazamient o se realiza siguiendo una det erminada dirección, sentido y dist ancia, por lo que t oda t raslación queda def inida por lo que se llama su vect or de t raslación. Dirección: Horizont al, vert ical u oblicua. Sent ido: Derecha, izquierda, ar riba, abaj o. Dist ancia o Magnitud de desplazamient o: Es la dist ancia que exist e ent re el punt o inicial y la posición f inal de cualquier punt o de la f igura que se desplaza. Ejemplo: El punt o A se ha t rasladado hast a coincidir con el punt o B. Est a t raslación se realizó en dirección vert ical, el sent ido f ue hacia abaj o y la dist ancia o magnit ud AB f ue de 6cms. 2. Los punt os A, B, C, D y E de la f igura, est án en un mismo plano, Cuál de los siguient es aparat os puede moverse siguiendo una dirección como lo señalada en la f igura, y ef ect uando sólo t raslaciones? A) Un barco B) Un avión C) Una biciclet a D) Un helicópt ero E) Todas las ant eriores 3. En la f ig. Cuál es el vect or de t raslación que se aplicó al t riángulo A para obt ener el t riángulo B? A) T(8, - 4) B) T(8, 4) C) T(4, -10) D) T(10, 4) E) T(10, - 4) Observaciones 1º Una f igura conserva t odas sus dimensiones, t ant o lineales como angulares. 2º Una f igura j amás rot a; es decir, el ángulo que f orma con la horizont al no varía. 3º No import a el número de t raslaciones que se realicen, siempre es posible resumirlas en una única. 4º En el plano cuyo cent ro es el punt o con coordenadas O(0,0), t oda t raslación queda def inida por el vect or de t raslación T(x, y), Ver ej e coordenado. Ejemplos 1. Cuál(es) de los siguient es casos represent a(n) una Traslación? 4. Luego de aplicar una det erminada Traslación en el plano cart esiano, el ABC de vért ices A (-4,2) ; B (-1, 1) y C (1,5) se t ransf orma en el A`B`C`. Si sabemos que la abscisa de A` es 1 y la ordenada de B es 3, Cuáles son las coordenadas de C`? A) (2,2) B) (6,1) C) (6,3) D) (-1,4) E) (5,-4) 5. Al aplicar una traslación a la figura 1, se obtiene: A) Sólo I B) Sólo I I C) Sólo I I I D) Sólo I y I I E) Sólo I y I I I A) p B) q C) r D) t E) s

4 2. Rot aciones Las rot aciones, son aquellas isomet rías que permit en girar t odos los punt os del plano. Cada punt o gira siguiendo un arco que t iene un cent ro y un ángulo bien det erminados, por lo que t oda rot ación queda def inida por su cent ro de rot ación y por su ángulo de giro. Si la rot ación se ef ect úa en sent ido cont rario a como giran las manecillas del reloj, se dice que la rot ación es posit iva o ant ihoraria; en caso cont rario, se dice que la rot ación es negat iva u horaria. 2. Mediant e una rot ación de cent ro O y ángulo de giro adecuado, la f igura sombreada ocupa la posición punt eada. Est o se verif ica en: Observaciones 1º Una rot ación con cent ro P y ángulo de giro α, se r epresent a por R (P, α ). Si la rot ación es negat iva, se represent a por R (P, -α). 2º Si rot amos el punt o (x, y) con respect o al origen 0 (0, 0) en un ángulo de giro de 90º, 180º, 270º o 360º, las coordenadas de los punt os obt enidos est án dados en la siguient e t abla. 3. Al aplicar una rot ación de cent ro O y ángulo de giro de 180º a la f igura 2, se obt iene: Fig. 2 Punto inicial R(O, 90º ) R(O, 180º ) R(O, 270º ) R(O, 360º ) (x, y) (- y, x) (- x, - y) (y, - x) (x, y) Ejemplos 1. Qué f igura se obt iene al aplicar una rot ación de cent ro O y ángulo de giro de 90º a la f igura 1? Fig Al aplicar una rot ación de cent ro en el origen y ángulo de giro de 270º, en sent ido ant ihorario, al punt o A de la f igura, se obt iene el punt o A cuyas coordenadas son: A) (2, 7) B) (-2, -7) C) (7, -2) D) (7, 2) E) (-7, -2)

5 3. Simet rías Las simet rías o ref lexiones, son aquellas t ransf ormaciones isomét ricas que inviert en los punt os y f iguras del plano. Est a ref lexión puede ser r espect o de un punt o (simet ría cent ral ó puntual) o respect o de una rect a (simet ría axial ó Especular) Simet ría Cent ral Dado un punt o f ij o O del plano, se llama simet ría (ref lexión) con respect o a O a aquella isomet ría que lleva cada punt o P del plano a una posición P de modo que P est á en la rect a OP, a dist int o lado con respect o a O, y OP = OP'. El punt o O se llama cent ro de la simet ría y P, P punt os correspondient es u homólogos de la simet ría. 2. Al segment o AB de la f igura, se le aplica una simet ría (ref lexión) con respect o al punt o P, result ando un segment o A B, ent onces las coordenadas de B son: A) (2, 2) B) (2, 5) C) (5, 2) D) (2, 3) E) (2, -1) 3. Mediant e una ref lexión con respet o a O, la f igura sombreada se ref lejó en la f igura punt eada. Est o se verif ica en: Observaciones 1º Una simet ría (ref lexión) respect o de un punt o O equivale a una rot ación en 180º de cent ro O. 2º Los t razos de la f igura original son paralelos con los t razos homólogos de la f igura t ransf ormada. 3º El sent ido de la f igura no cambia respect o al giro de las manecillas del reloj. 4º Todo punt o del plano cart esiano A(x, y) t iene su simét rico A (-x, -y) con respect o al origen O(0, 0). Ejemplos 1. A la f igura se le aplicó una simet ría obt eniéndose la f igura sombreada con respect o al punt o: A) L B) M C) N D) Ñ E) O 4. A t odos los punt os del plano cart esiano (Ver f ig.) se les aplica una simet ría (ref lexión) con respect o al punt o E de coordenadas (2,3). Cuáles son las coordenadas del punt o homólogo de B? A) (1, -1) B) (1, 0) C) (1, 3) D) (2, -1) E) (0, 1)

6 3. 2 Simet ría Axial Dada una rect a f ij a L del plano, se llama simet ría axial con respecto a L o ref lexión con respect o a L, a aquella isomet ría t al que, si P y P son punt os homólogos con respect o a ella, PP L y, además, el punt o medio de PP est á en L. La f igura, muest ra dos t riángulos simét ricos respect o de L. 2. Al t riángulo ABC de la f igura, se le aplica una simet ría (ref lexión) respect o a la rect a L (L / / OY). Ent onces, las coordenadas del vért ice C se t ransf orman en: A) (-7, -2) B) (-7, 2) C) (-3, -2) D) (-3, 2) E) (3, 2) Observaciones 3. En cuál de las siguient es f iguras NO se muest ra una ref lexión con respect o a la rect a L? 1º En una simet ría axial, las f iguras cambian de sent ido respect o del giro de las manecillas del reloj. 2º No es posible superponer, mediant e t raslaciones y/ o r ot aciones, los t riángulos congruent es PQR y P Q R. 3º Los punt os de la rect a L permanecen invariant es ant e est a ref lexión. 4º Todo punt o del plano cart esiano A (x, y) t iene un simét rico A (x, -y) con respect o al ej e de las abscisas y un simét rico A (-x, y) con respect o al ej e de las ordenadas. Ejemplos 1. En cuál de los siguient es casos se verif ica una simet ría axial con respect o a L? 4. En la f igura, el cuadrado ABCD es simét rico (ref lej o) con el cuadrado EFGH respect o a L, ent onces cuáles de las siguient es proposiciones son siempre verdaderas? I ) AC / / EG I I ) ΔDBH ΔGEC I I I ) AF L A) Sólo I I B) Sólo I I I C) Sólo I y I I D) Sólo I I y I I I E) I, I I y I I I

7 Eje De Simet ría Es aquella rect a que at raviesa una f igura dividiéndola en dos part es simét ricas con respect o a la rect a. Observaciones 1º Exist en f iguras que no t ienen ej e de simet ría. 2º Exist en f iguras que t ienen sólo un ej e de simet ría. 3º Exist en f iguras que t ienen más de un ej e de simet ría. 4º La circunf erencia t iene inf init os ej es de simet ría. Ejemplos 1. Cuánt os ej es de simet ría t iene un cuadrado? A) Uno B) Dos C) Cuat ro D) Ocho E) I nf init os 2. Cuánt os ej es de simet ría t iene la let ra z? A) Ninguno B) Uno C) Dos D) Tres E) Cuat ro 3. Qué f igura muest ra t odo los ej es de simet rías de un r ect ángulo? ABC equilátero 3 ej es de Simet ría Est a f igura no present a ej es de simet ría Algunos ej emplos de ej es de simet rías en la nat uraleza: 4. Cuál de las siguient es let ras t iene solo un ej e de simet ría? Al observar la mariposa y el escarabaj o, diremos que cada uno es simét rico, pues al t razar una línea rect a en el cent ro de cada uno de ellos, y si se doblara la imagen present ada por est a línea, la part e que est á a la derecha de la línea sería exact ament e igual (congruent e) a la part e que est á a la izquierda de ést a, de t al manera que esas dos part es coincidan. A) N B) P C) E D) L E) O

8 Teselación Del Plano Es la ent era división del plano mediant e la repet ición de una o más f iguras que encaj an perf ect ament e unas con ot ras, sin superponerse ni dej ando espacios vacíos ent re ellas. Est a part ición del plano suele llamarse t ambién mosaico o embaldosado. Los números que se encuent ran en cada una de las f iguras indican cuánt os polígonos regulares de qué t ipo son necesarios en cada caso, por ej emplo: (3,3,3,3,6) signif ica que podemos crear una t eselación semi-regular t omando como pat rón base cuat ro t riángulos y un hexágono. En resumen, embaldosar o t eselar, signif ica recubrir el plano con f iguras que se repit en de modo que: Al unir las f iguras se recubre complet ament e el plano La int ersección de dos f iguras sea vacía (sin huecos) 1. Teselación Regular La Teselación regular es el cubrimient o del plano con polígonos regulares y congruent es. Son sólo t res los polígonos regulares que cubren (o embaldosan) el plano Euclideano: el t riángulo equilát ero, el cuadrado y el hexágono regular. Al observar est as part es del plano embaldosadas por cada uno de los polígonos regulares, dist inguimos sit uaciones que conviene dest acar. Al embaldosar con cuadrados, est os se alinean perf ect ament e uno sobre ot ro, en cambio los t riángulos y los hexágonos se ensamblan no alineados. También se observa que un hexágono regular lo f orman seis t riángulos equilát eros simult áneament e. Al cubrir el plano ocurre que en cada vért ice del polígono regular, su ángulo int erior debe ser divisor exact o de 360º, lo que ocurr e solament e en el t riángulo equilát ero, en el cuadrado y en el hexágono. Observaciones 1º Todos los t riángulos y t odos los cuadrilát eros t eselan por si mismo el plano. 2º Los únicos polígonos regulares que t eselan por si mismo el plano son: el t riángulo equilát ero, el cuadrado y el hexágono regular, ya que en est os polígonos sus ángulos int eriores son divisores de 360º. 3º Si queremos t eselar el plano ut ilizando dos o más polígonos, es necesario que en cada vért ice la suma de t odos los ángulos sea 360º (Teselados Semi Regulares) 4º El art ist a holandés Maurit s Escher realizó not ables t eselaciones (Ver f iguras a cont inuación). 2. Teselación Semi- Regular Una Teselación semi- regular es aquella que est á f ormada por polígonos regulares de manera que la unión de ellos es idént ica en cada vért ice Las siguient es ocho f iguras, son las únicas combinaciones de polígonos regulares que permit en embaldosar complet ament e el plano: Exist en ot ras combinaciones de polígonos regulares que aparent ement e pueden cubrir el plano, pero sin embargo sólo logran cubrir el ent orno del punt o, es decir, no es posible ext enderlas indef inidament e.

9 Ejemplos 4. Con Cuáles de los siguient es polígonos se puede cubrir complet ament e (t eselar) el plano? I ) I I ) I I I ) 1. Es imposible t eselar el plano ut ilizando solament e un: A) Delt oide B) Romboide C) Trapezoide D) Pent ágono regular E) Hexágono regular 2. Las siguient es f iguras (baldosas) est án const ruidas a part ir de un hexágono regular. Si los sacados y/ o agregados son congruent es en cada f igura, Con la repet ición de cuál(es) de ellas es posible embaldosar un pat io? Hexágono Regular Cuadrilát ero Cóncavo Oct ágono Regular A) Sólo con I B) Sólo con I I C) Sólo con I I I D) Sólo con I y I I E) Sólo con I y I I I 5. El problema de cubrir complet ament e (t eselar) el plano con polígonos regulares de n lados t iene solución sólo para n = A) Sólo con I B) Sólo con I I I C) Sólo con I o con I I D) Sólo con I o con I I I E) Con I, con I I o con I I I 3. Las siguient es f iguras est án const ruidas a part ir de un cuadrado. Si los sacados y agregados son congruent es en cada f igura, con la repet ición de cual(es) de ellas es posible t eselar el plano? A) Sólo con I B) Sólo con I I C) Sólo con I o con I I D) Sólo con I o con I I I E) Con I, con I I o con I I I A) 3, 4 y 5 B) 3, 4 y 6 C) 3, 4 y 8 D) 3, 5 y 8 E) 4, 6 y 8 6. Cuál de las siguient es af irmaciones es verdadera respect o de la condición que debe cumplir un polígono regular para que pueda t eselar una superf icie? A) La medida de cada uno de sus ángulos int eriores es divisor de 180. B) La medida de cada uno de sus ángulos int eriores es divisor de 360. C) Sólo los cuadrados y los t riángulos equilát eros pueden t eselar. D) Cualquier polígono regular puede t eselar. E) Depende de las caract eríst icas de cada polígono. Soluciones a los ejemplos Traslación: 01. E 02. D 03. E 04. B 05. D Rot ación: 01. D 02. D 03. A 04. D Simet ría Cent ral: 01. D 02. B 03. D 04. A Simet ría Axial: 01. E 02. A 03. E 04. D Ej e de Simet ría: 01. C 02. A 03. A 04. C Teselaciones: 01. D 02. D 03. E 04. A 05. B 06. B

10 EJERCI CI OS COMPLEMENTARI OS I somet rías y Teselados 1. Al segment o AB, cuyas coordenadas son A(2,4) y B(4,2), se aplica una t raslación que lo t ransf orma en el segment o A) (2,2) B) (2,-2) C) (3,1) D) (-3,-1) E) (1,1) A ' B'. Si las coordenadas de A son (-1,3), cuáles son las coordenadas de B? 5. Qué t ransf ormación se ef ect uó a la f igura 1 para obt ener la f igura 2? A) Traslación B) Simet ría cent ral C) Simet ría axial D) Rot ación E) Rot ación y t raslación 6. El t riángulo ABC de la f igura se t raslada hast a coincidir con el t riángulo A B C. Cuál de los siguient es es el vect or de t raslación? 2. Cuáles son las coordenadas del punt o simét rico de P(-2,3) respect o del ej e Y? A) (-2,-3) B) (2,3) C) (2,-3) D) (3,-2) E) (3,2) 3. Al punt o Q(-5,2) se le ef ect úa una rot ación de 90 en t orno al origen y en sent ido posit ivo. Cuáles son sus nuevas coordenadas? A) (2,5) B) (-2,5) C) (-2,-5) D) (5,-2) E) (-5,-2) 4. El punt o M(-1,-4) se t raslada según el vect or (-1,-4) hast a coincidir con el punt o R. Cuáles son las coordenadas de R? A (0,0) B) (-2,-8) C) (-2,0) D) (0,-8) E) (2,8) 7. Si M' N' es la imagen de MN a t ravés de una rot ación con cent ro O, como muest ra la f igura, cuál de los siguient es es el ángulo que indica la rot ación? A) MON B) MOM C) NOM D) MON E) M ON

11 8. Qué t ransf ormación se ef ect uó a la f igura A para obt ener la Figura B? A) Traslación B) Simet ría axial C) Simet ría cent ral D) Rot ación E) Ninguna de las ant eriores 9. En cual de las siguient es opciones la rect a punt eada no es un ej e de simet ría? 12. Cuál o cuáles de las siguient es af irmaciones son verdaderas? A) Sólo I B) Sólo I I C) Sólo I y I I D) Sólo I I y I I I E) I, I I y I I I I ) Si dos punt os son simét ricos respect o de un ej e, ent onces el segment o que los une es perpendicular a dicho ej e I I ) Si al punt o de coordenadas (x,y) se el aplica una rot ación de 90 en t orno al origen sus nuevas coordenadas son (-y,x) I I I ) Dos simet rías sucesivas respect o de ej es paralelos son equivalent es a una t raslación cuya magnit ud es igual a la dist ancia ent re los ej es 13. Qué t ransf ormación se le aplicó a la Figura A par a obt ener la Figura B? 10. A la f igura A se le ha ef ect uado una rot ación en sent ido posit ivo de 90 en t orno al punt o P. Cuál de las siguient es opciones represent a la imagen obt enida? A) Traslación B) Simet ría axial C) Simet ría cent ral D) Rot ación E) Ninguna de las ant eriores 14. Cuál de las siguient es opciones represent a la imagen simét rica de la Figura A respect o de la rect a L? 11. Al t rasladar el punt o R(-5,3) se obt iene el punt o S(0,0). Cuál es el vect or de t raslación? A) (5,3) B) (5,-3) C) (10,3) D) (-10,3) E) (-10,-3)

12 15. Si al punt o de coordenadas (8,-2) se le aplica una t raslación según el vect or (-4,0) y luego, una segunda t raslación que lo t ransf orma en el punt o de coordenadas (2,-7), cuál es el vect or de est a segunda t raslación? 19. Qué opción represent a el ref lej o de la f lecha en t orno a la rect a L A) (-2,-5) B) (2,-5) C) (4,-2) D) (-6,-5) E) (-2,4) 16. Cuál es el vect or que permit e t rasladar el segment o AB hast a el segment o A ' B' ( en ese orden) A) (-5,-4) B) (-4,-5) C) (5,4) D) (4,5) E) (4,3) 17. Cuál de las siguient es let ras t iene exact ament e dos ej es de simet ría y un cent ro de simet ría? A) A B) B C) Z D) X E) N 18. El punt o de coordenadas (-2,3) se ref lej a en t orno al punt o (0,-1). Cuáles son las coordenadas de la imagen así obt enida? A) (-2,-5) B) (2,-5) C) (2,2) D) (-2,2) E) (2,-4) 20. El punt o de coordenadas (3,1) se ha ref lej ado en t orno al punt o (x, y) y se ha obt enido el punt o (-5,-3). Cuáles son las coordenadas de (x, y)? A) (1,1) B) (1,-2) C) (-1,-1) D) (1,-1) E) (-2,1) 21. Respect o de una t raslación, cuál de las siguient es af irmaciones es f alsa? A) Conserva el área de una f igura B) Conserva la pendient e de una rect a C) Conserva la dirección de un vect or D) Si la rect a L es imagen de la rect a L, ent onces L/ / L E) Si A es la imagen de A y B es la imagen de B, ent onces AA' BB' 22. El punt o de coordenadas (2,5) se ref lej a en t orno al punt o (-2,-3), cuáles son las coordenadas de la imagen así obt enida? A) (-6,-11) B) (0,3) C) (-6,3) D) (0,11) E) (6,11)

13 23. Respect o de una ref lexión, cuál o cuáles de las siguient es af irmaciones son verdaderas? I ) Conserva el perímet ro de una f igura I I ) Conserva el área de una f igura I I I ) Si la rect a L es imagen de la rect a L, ent onces L/ / L A) Sólo I B) Sólo I I C) Sólo I y I I D) Sólo I I y I I I E) Todas 24. Las coordenadas del punt o (x, y), pert enecient e al segundo cuadrant e, después de una simet ría cent ral con respect o al origen del sist ema cart esiano est á represent ado por A) (x, y) B) (x,-y) C) (-x, y) D) (-x,-y) x y E), Sea ABCD un cuadrilát ero cualquiera, con vért ices designados en sent ido cont rario al movimient o de las manecillas del reloj. Se const ruyen los punt os E, F, G y H t ales que: el punt o E es el simét rico de A respect o de B; el punt o F es el simét rico de A respect o de D; el punt o G es el simét rico de C respect o de D; y H es el simét rico de C respect o del punt o B. Ent onces siempre se puede af irmar que el cuadrilát ero EFGH es un: A) t rapecio B) t rapezoide C) rect ángulo D) rombo E) paralelogramo 26. Cuál(es) de las siguient es f iguras al rot ar las por el punt o indicado, coinciden con la f igura original? A) Sólo I B) Sólo I y I I C) Sólo I y I I I D) Sólo I I y I I I E) I, I I y I I I 27. Considérese un t razo AB en que las coordenadas de sus punt os ext remos son A(1,2) y B(2,4). Si (4, c) son las coordenadas de un punt o P pert enecient e a la simet ral de AB, ent onces c = A) 7 B) 4 7 C) 7 4 D) 4 E) Si al punt o (-6, -1) se le aplica una t raslación T(4, 3) y luego una rot ación en 180º con respect o al origen, ent onces el punt o t ransf ormado t iene por coordenadas: A) (-2, 2) B) (10, 2) C) (-10, -2) D) (10, 4) E) (2, -2) 29. Los t riángulos 2, 3, 4 y 5 han sido obt enidos a part ir del t riángulo 1. Cuál de ellos corresponde a la ref lexión del t riángulo 1? A) Triángulo 2 B) t riángulo 3 C) t riángulo 4 D) t riángulo 5 E) Ninguno I ) El cuadrado rot ado en 90 con respect o a la int ersección de sus diagonales. I I ) La circunf erencia rot ada en t orno a su cent ro. I I I ) El t riángulo equilát ero rot ado en 60 en t orno a uno de sus vért ices.

14 30. Las isomet rías most radas en los cuadros I, I I y I I I cor responden respect ivament e a: I) I I ) I I I ) 34. Cuánt os ej es de simet ría t iene el siguient e t rapecio isósceles? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) Un carrusel de niños es un ej emplo de: A) ref lexión simet ría axial t raslación B) simet ría cent ral rot ación t raslación C) ref lexión rot ación t raslación D) simet ría cent ral rot ación ref lexión E) ref lexión t raslación - rot ación 31. Cuál de las siguient es let ras de nuest ro abecedario no t iene ningún ej e de simet ría? A) C B) M C) A D) R E) X A) Traslación B) Simet ría C) Rot ación D) I somet ría E) Teselación 36. Cuál de las alt ernat ivas represent a la rot ación de la f igura dada? A) B) C) D) E) N.A 32. Cuál de las siguient es alt ernat ivas no corresponde a una t ransf ormación isomét rica? A) Traslación B) Simet ría C) Rot ación D) Ref lexión E) permut ación 33. El movimient o de un ascensor panorámico es un ej emplo de: A) Traslación B) Simet ría C) Rot ación D) I somet ría E) Teselación 37. Al t rasladar el t riángulo de vért ices A(-1,5), B(2,0) y C(3,1), según el vect or de t raslación (4,1), el vért ice homólogo correspondient e a B es: A) (3,6) B) (2,1) C) (6,0) D) (6,1) E) (7,2)

15 38. Una circunf erencia t iene como cent ro el punt o (3,5). Si el vect or de t raslación de est e punt o es (5, 1), Cuál es el cent ro de la circunf erencia t rasladada? 42. Al rot ar la f igura, en 270º con respect o al punt o P, se obt iene A) (-2,6) B) (8,6) C) (-2,4) D) (-15,5) E) (8,4) 39. Dado un t riángulo de vért ices A = (-5,-3); B = (2,-1) y C = (1,4). Cuál es el vért ice de B si el t riángulo ABC se t raslada 2 unidades a la derecha y 3 unidades hacia arriba? A) (-7,0) B) (4,2) C) (-3,1) D) (3,7) E) (4,-4) 40. Si las coordenadas de un punt o inicial (X, Y) varían a (-Y, X) cuando se aplica una rot ación (posit iva) de 90º, en un plano cart esiano, con cent ro en el origen Cuáles serían las coordenadas del t riángulo ABC luego de aplicar una rot ación de 90º (con cent ro en el origen) y post eriorment e una t raslación T(-2, 3)? Not a: Los vért ices del t riángulo son: A (2, 3), B (5, 1) y C (4, 5). A) A(-3, 2), B(-1, 5) y C(-5, 4) B) A(0, 6), B(3, 4) y C(2, 7) C) A(-5, 5), B(-3, 8) y C(-7, 7) D) A(-5, 5), B(3, 4) y C(2, 7) E) Ninguna de ellas. 41. El cuadrado ABCD de la f igura t iene sus lados paralelos a los ej es coordenados. Si el lado AB mide 5 cm. cuáles son las coordenadas del vért ice C? A) (3,8) B) (8,2) C) (8,3) D) (8,7) E) (7,8) 43. Cómo varían las coordenadas de un punt o (X, Y) al ef ect uar en un plano cart esiano, una rot ación posit iva de 180º con cent ro en el origen? A) (X, -Y) B) (-X, Y) C) (X, Y) D) (-X, -Y) E) (2X,2Y) 44. En la f igura las coordenadas de P son (5, 6). Si P es punt o medio de AB, cuáles son las coordenadas de B? A) (6,5) B) (5,4) C) (5,5) D) (5,6) E) (5,9) 45. Si realizo una t raslación con un vect or de t raslación T(2, -1) al punt o A(1, -2), en un plano cart esiano, el punt o result ant e después de la t raslación es: A) (1, -3) B) (1, 1) C) (3, -3) D) (-3, 3) E) (3, 2)

16 46. Si se rot a en 270º el t riángulo de vért ices: A(2, 3), B(7, -2) y C(5, 8), en un plano cart esiano, con cent ro en el origen y sent ido ant i-horario, los vért ices del t riángulo result ant e son: A) A(2, 3), B(7, -2) y C(5, 8) B) A(-2, -3), B(-7, 2) y C(-5, -8) C) A(3, 2), B(-2, 7) y C(8, 5) D) A(3, -2), B(-2, -7) y C(8, -5) E) A(-2, 3), B(-7, -2) y C(-5, 8) 47. Si Q = (2, 5) y Q = (-9, 2), Qué vect or t raslación T(X, Y), cambia Q a Q? A) T(11, 3) B) T(-7, 3) C) T(-7, -7) D) T(-11, -3) E) T(11, -3) 48. Qué vect or t r aslación reemplaza a T1 (3, 2) seguido de T2 (-2, 5)? A) T (1, 7) B) T (7, 1) C) T (-7, -1) D) T (7, -1) E) T (-1, 7) 49. Qué par de vect ores t raslación reemplaza, al aplicar uno después del ot ro, a T(6, -4)? A) T(2, 3) y T(4, -7) B) T(1, -2) y T(5, -2) C) T(4, 5) y T(2, -9) D) T(6, 0) y T(0, -4) E) Todas las ant eriores son verdaderas. 50. Si se rot a en 180º el t riángulo de vért ices: A(0, 0), B(4, 3) y C(5, 0), en un plano cart esiano, con cent ro en el origen y sent ido ant i-horario, y luego realizo una t raslación con un vect or de t raslación T(-2, 2) los vért ices del t riángulo result ant e son : A) A(-2, 2), B(-6,-1), C(-7, 2) B) A(-2, 2), B(-1,6), C(7, -2) C) A(-2, 2), B(1,-6), C(2, 7) D) A(2, -2), B(-1,6), C(-2, -7) E) A(4, 2), B(-1,-6), C(7, -2) Si el t razo AB, ubicado en un plano cart esiano, de ext remos A(2,5) y B(-2,0) se gira posit ivament e, con cent ro en el origen 180º, luego se gira 90º más y f inalment e se gira ot ros 90º, los ext remos del t razo result ant e son: A) (5,2) y (0,-2) B) (-5,-2) y (2,0) C) (-2,-5) y (2,0) D) (2,-5) y (-2,0) E) (2,5) y (-2,9) 52. Si en un plano cart esiano el punt o A(3,2) se t raslada a B(2,4) y luego a C(-2,-1), cuál es el vect or t raslación que se debe emplear par a t r asladar en un solo paso el punt o A a la ubicación C? A) T(-5, -3) B) T(5, 3) C) T(-5, 0) D) T(0, -3) E) T(-3,-5) 53. Si al punt o A(3,4), ubicado en un plano cart esiano, se le aplica una rot ación de 90 con cent ro en el origen, y luego una t raslación T(5, -2), el punt o A sería: A) (1, 6) B) (6, 4) C) (11, -3) D) (1, 1) E) (11, -1) 54. Cómo varían las coordenadas (X,Y) de los vért ices de un t riangulo ABC, en un plano cart esiano al ef ect uar una rot ación posit iva de 360 con cent ro en el origen y luego una t raslación con un vect or de t raslación T(0, 2)? A) (X +2,-Y) B) (X, Y +2) C) (Y,Y +2) D) (X,0) E) No varían.

17 55. Un t ablero de aj edrez est á f ormado por cuadrados ordenados en 8 columnas ident if icadas con las let ras A, B, C, D, E, F, G, H (de izquierda a derecha) y 8 f ilas, ident if icadas con los números 3, 4, 5, 6, 7, 8. (de abaj o hacia arriba), luego: Qué vect or de t raslación se debe aplicar a un caballo que part e en la posición B1 para que llegue a la casilla C3? A) (0, 3) B) (1, 3) C) (1, 2) D) (0, 2) E) (-1, -3) 56. El t riángulo que se obt iene al ref lej ar el t riángulo ABC, ubicado en un plano cart esiano de vért ices A(2,0), B(2,7), C(5,4) con respect o al ej e Y (considerando el ej e Y como ej e de simet ría) t iene vért ices: 59. En el sist ema cart esiano se le aplicó una t raslación al segment o AB obt eniéndose el segment o A B. Se puede det erminar el vect or de t raslación si: (1) Se conocen las coordenadas de A y B. (2) Se conocen las coordenadas de B y A. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas j unt as, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere inf ormación adicional 60. Mediant e una rotación de cent ro O y ángulo de 90º (en cualquier sent ido), el Δ ABC ocupa la posición A B C. Est o NO se cumple en: A) (0,0), (0,7), (2,4) B) (-2,0), (-2,7), (-5,4) C) (-2,0), (2,7), (5,4) D) (2,0), (-1,4), (2,7) E) (2,0), (5,4), (7,0) 57. Si al t riángulo ABC de la f ig. ubicado en un plano cart esiano de vért ices A(2,2); B(2, -4) y C(6,-1) se le aplica una rot ación de 90º, con cent ro en el origen, y luego una t raslación T(5, -2), el vért ice C sería: A) (1, 6) B) (6, 4) C) (11, -3) D) (1, 1) E) Ninguna de ellas 58. Para que un punt o A(2,5) se desplace hast a la posición A (-4,-1), se debería aplicar (1) Una t raslación con vect or T(-6,-6) (2) Un giro posit ivo con cent ro en el origen y ángulo de rot ación de 90º A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas j unt as (1) y (2). D) Cada una por sí sola (1) ó (2). E) Se requiere inf ormación adicional

18 61. El cuadrado ABCD de la f igura ha sido t ransf ormado, mediant e un vect or t raslación, en el cuadrado achurado. Cuál(es) de las af irmaciones siguient es es(son) verdadera(s)? I ) El vect or t raslación f ue T (2,0). I I ) Los punt os B y C permanecen invariant es. I I I ) El área del cuadrado permanece const ant e. A) Sólo I B) Sólo I y I I C) Sólo I y I I I D) Sólo I I y I I I E) I, I I y I I I 62. Al romboide ABCD de la f ig. 9 se le ha t razado las diagonales y numerado los cuat ro t riángulos que se generan. Cuál(es) de las siguient es af irmaciones es(son) verdadera(s)? A) Sólo I B) Sólo I y I I C) Sólo I y I I I D) Sólo I I y I I I E) I, I I y I I I I ) El Δ 1 es una simet ría (ref lexión) cent ro en P del Δ 3. I I ) El Δ 2 es una rot ación de 180º y cent ro P del Δ 4. I I I ) El Δ ABC es una simet ría (ref lexión) del Δ CDA cuyo ej e de simet ría pasa por AC. 63. Dado un polígono regular, Es posible recubrir el plano con él? (1) La suma de sus ángulos ext eriores es 360º. (2) Su ángulo int erior mide 120º. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas j unt as (1) y (2). D) Cada una por sí sola (1) ó (2). E) Se requiere inf ormación adicional 64. Se quiere det erminar qué t ipo de cuadrilát ero es ABCD si: (1) Tiene simet ría respect o de sus diagonales (2) Tiene 4 ej es de Simet ría A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas j unt as, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere inf ormación adicional 65. Los ej es de simet ría de la f igura siguient e son: A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) Las coordenadas de los vért ices del t riángulo ABC son A(3,-1), B(0,3) y C(-4,-6). Si se le aplica una rot ación con respect o al origen R(0,180º), los nuevos vért ices del t riángulo son: A) A(-3,1) ; B(0,-3) ; C(4,6) B) A(-3,-1) ; B(0,-3) ; C(-4,-6) C) A(-3,1) ; B(0,-3) ; C(-4,6) D) A(-3,-1) ; B(0,-3) ; C(4,-6) E) A(-3,1) ; B(0,3) ; C(4,6) 67. Cuál(es) de las siguient es af irmaciones es (son) verdadera(s) con respect o al hexágono de la f igura? A) Sólo I B) Sólo I I I C) Sólo I y I I D) Sólo I I y I I I E) I, I I y I I I I ) Al aplicar la rot ación R(0,-240º), El vért ice A coincide con la posición que ocupaba el vért ice C. I I ) Al aplicar la rot ación R(0,180º), El vért ice B coincide con la posición que ocupaba el vért ice E. I I I ) Al aplicar las rotaciones R(0,240º) y a cont inuación R(0,120º), los vért ices coinciden con sus posiciones originales.

19 68. Si el paralelogramo de vért ices A(-3,-3), B(-1,-2), C(-1,-1) y D(-3,-2), se le aplica la rot ación con respect o al origen R(0,270º) se t ransf orma en el paralelogramo A B C D ; y a est e se le aplica la t raslación T(1,0), se obt iene el paralelogramo A B C D cuyos vért ices son: A) A (-2,3) ; B (-1,1) ; C (0,1) ; D (-1,3) B) A (-3,3) ; B (-2,1) ; C (-1,1) ; D (-2,3) C) A (-2,-3) ; B (-1,-1) ; C (0,-1) ; D (-1,-3) D) A (-2,-3) ; B (0,-2) ; C (0,-1) ; D (-2,-2) E) A (-3,2) ; B (-2,0) ; C (-1,0) ; D (-2,2) 69. Luego de aplicar la rot ación R(0,-90º) al t riángulo equilát ero ABC de la f igura, se t ransf orma en el A B C, cuyo vértice C es: A) (2,0) B) 3,0 2 C) (0, 3 ) D) ( 3,0) E) (- 3,0) 70. En la f igura adj unt a: La rect a L es un ej e de simet ría. A,G,D y E,G,B son t ríos de punt os colineales. Si GBC = 30º y KAG = 58º. Ent onces la medida del AKE es: A) 124º B) 120º C) 100º D) 90º E) 64º 72. Cuál es el punt o simét rico de (-2, 3) respect o al ej e de las abscisas? A) (2, 3) B) (2,-3) C) (-2,-3) D) (-2,0) E) (0, 2) 73. Cuál es el punt o simét rico de (0,-2) respect o al ej e de las ordenadas? A) (2, 0) B) (-2, 0) C) (0,2) D) (0,-2) E) (2, 2) 74. La f igura muest ra el Ar rano Belt za (águila negra), que f uera el símbolo heráldico del rey navar ro Sancho El Fuert e (muert o en el año 1234). De las siguient es t ransf ormaciones isomét ricas: I ) Simet ría I I ) Rot ación I I I ) Traslación Cuál(es) est á(n) present e(s) en la f igura?: A) Sólo I B) Sólo I I I C) Sólo I y I I D) Sólo I y I I I E) Ninguna 75. En cuál de las siguient es f iguras se aprecia una simet ría respect o de un ej e horizont al?: 71. Dada la t raslación T(x,y) (x 5, y + 1), la imagen del punt o (-1,-2) es: A) (4,-3) B) (-4,1) C) (4,-1) D) (-4,-3) E) (-6,-1) A) B) C) D) E)

20 76. En la f igura, el polígono A se desplaza hast a A. Cuál es el vect or de desplazamient o aplicado? 79. En la f igura, la imagen ref lexiva del punt o C, con respect o al ej e de simet ría y = 3, es el punt o: A) (1,-5) B) (-5,-1) C) (5,1) D) (-1,-5) E) (5,-1) A) (2,1) B) (2,2) C) (5,4) D) (4,5) E) (1,2) 77. En la f igura, L es ej e rect o y P un punt o. Qué t ransf ormación isomét rica debe realizársele a la mit ad baj o la rect a L de la f igura para obt ener la part e que est á sobre L?: A) Una rot ación de 180 con cent ro en P B) Una rot ación de 90 respect o de P C) Una simet ría respect o del punt o P D) Una t raslación igual a la alt ura de la f igura E) Una simet ría respect o del ej e L 78. De los siguient es cuerpos geomét ricos, cuál es product o del giro en 180 del t rapecio isósceles ABCD con ej e de giro en el ej e de simet ría L? 80. Cuáles son las coordenadas del cent ro de la est rella de la primera f igura, si al realizar una t raslación de vect or (-2,3), el cent ro de la est rella queda en el punt o (3,2)? A) (1,-5) B) (-1,5) C) (1,5)? (-2,3) (3,2) D) (5,5) E) (5,-1) 81. Es posible obt ener un cono mediant e la rot ación: I ) De un t riángulo rect ángulo en 360º con ej e de rot ación en uno de sus cat et os. I I ) De un t riángulo isósceles en 180º con ej e en la alt ura perpendicular a su base. I I I ) De un t riángulo equilát ero en 180º con ej e en una de sus alt uras. Es (son) correct a(s): A) Solo I I I B) Sólo I y I I C) Sólo I y I I I D) Todas E) Ninguna 82. Una de las f iguras represent a, respect o de la ot ra: A) Una simet ría respect o del ej e Y B) Una simet ría respect o del ej e X C) Un giro de 180 en el plano D) Una t raslación horizont al E) Una t raslación vert ical

21 83. Al punt o de coordenadas (2x, y) se le aplica la t ransf ormación isomét rica T(4,3), obt eniéndose el punt o de coordenadas (3 y, 2x). Ent onces cuál es el valor de x + y =? A) 1 B) 0 C) 3/ 2 D) 1/ 2 E) Ninguna de las ant eriores 87. El vect or de desplazamient o que se aplicó a la f igura F para t r ansf ormarse F es: A) (4,1) B) (-1,-4) C) (1,-4) D) (-4,-1) E) (-4,1) 84. En la f igura, la imagen del punt o P respect o del ej e de simet ría Y, es el punt o de coordenadas: A) (-4,4) B) (-4,-4) C) (4,4) D) (0,4) E) (4,-4) 85. En la f igura, el t riángulo t iene vért ices A(-1,-2) ; B(2,-2) y C((2,2). Si se le aplica una rot ación de 90 en sent ido ant ihorario, con cent ro en A, cuál será la coordenada del vért ice C del t riángulo en la nueva posición? A) (-5,1) B) (3,-5) C) (-5,3) D) (3,5) E) (1,-5) 88. Teniendo como base una f igura geomét rica, se requiere cubrir complet ament e el plano, (t eselar) sin que se produzcan vacíos ni superposiciones. Con cuál(es) de las siguient es f iguras no es posible hacerlo en las condiciones descrit as? I ) Pent ágono regular I I ) Rect ángulo I I I ) Triángulo escaleno A) Sólo I B) Sólo I I C) Sólo I I I D) Sólo I y I I I E) Sólo I I y I I I 89. La ilust ración de la f igura muest ra un det alle de una de las obras de Escher. Est a f igura puede considerarse: 86. En la f igura, ABCD es rect ángulo con AB = 6, BC = 8. La rect a L es el ej e de simet ría del rect ángulo. SI ABCD gira 180 en t orno a la rect a L, genera: A) Un cono de diámet ro 8 B) Un cilindro de radio 6 C) Un cilindro de alt ura 8 D) Un paralelepípedo E) Un cono de radio 3 A) Teselación de dos f iguras base con rot aciones de 60 B) Teselación de una sola f igura base que ha sido t ransf ormada por t raslaciones. C) Teselación de una sola f igura con rot aciones y t raslaciones. D) Teselación de dos f iguras base que han sido t ransf ormadas por simet rías. E) Teselación de dos f iguras base con isomet rías de t raslación

22 90. Cuál de los sgt es. punt os es simét rico al punt o de coordenadas (-5,3) con respect o al ej e x = -3? 94. Considere la siguient e f igura: A) (5,3) B) (-5,-9) C) (-2,3) D) (-1,3) E) (-5,-3) 91. Si al polígono cuyos vért ices son los punt os A(5,4), B(6,1) y C(9,8) se le realiza un desplazamient o de vect or (-4,-3),ent onces sus vért ices quedarán en los punt os: A) A(-1,-1); B(-2,2) y C(-5,5) B) A(1,-1); B(2,2) y C(-5,-5) C) A(-1,1); B(-2,2) y C(5,5) D) A(-1,1); B(-2,-2) y C(-5,5) E) A(1,1); B(2,-2) y C(5,5) 92. En la f igura, si el rect ángulo ABCD rot a en el espacio con cent ro en el ej e y = 3, genera: A) Un cilindro de radio 3 y alt ura 2 B) Un cilindro de radio 3 y alt ura 3 C) Un cilindro de radio 4 y alt ura 3 D) Un cono de radio 2 y alt ura 3 E) Un cilindro de radio 2 y alt ura Si al polígono ABCD de la f igura se le aplica primero una simet ría respect o al ej e X, seguida de un desplazamient o igual vect or (-3, 2), ent onces las nuevas coordenadas del punt o B son: A) ( 5, 3) B) (- 1, 3) C) (-5, 1) D) (-4, 1) E) (1, - 3) I ) Q es una t raslación de P I I ) R es una rot ación en 180 de P I I I ) S se obt iene por rot ación de R de 180 en el plano Es o son correct as: A) Sólo I I B) Sólo I I I C) Sólo I y I I D) Sólo I I y I I I E) Ninguna 95. En la f igura siguient e, respect o del cuadrado (1), el cuadrado (2) es: A) Una simet ría respect o del ej e AB B) Una simet ría respect o del ej e AD C) Una t raslación D) Una rot ación de 90 ant ihoraria, respect o del vért ice B E) Una rot ación horaria de 90 respect o del vért ice B 96. Se t iene un t riángulo cuyos vért ices est án en las coordenadas P(2,3), Q(5,3) y R(3,6). Si se le realiza una simet ría respect o del ej e Y, las nuevas coordenadas del punt o Q son: A) (-5,3) B) (5,-3) C) (-5,-3) D) (-1,3) E) (3,-5)

23 97. De los siguient es cuerpos geomét ricos: I ) Esf era I I ) Cubo I I I ) Cono Cuál(es) de ellos se puede(n) obt ener por rot ación de una f igura plana? A) Sólo I B) Sólo I y I I C) Sólo I y I I I D) Sólo I I y I I I E) I, I I y I I I 98. La f igura est á f ormada por un cuadrado y cuat ro semicircunf erencias congruent es, cuyos radios equivalen a la mit ad del lado del cuadrado. Con respect o a est a f igura se af irma que t iene: I : Simet ría axial. I I. Simet ría cent ral. I I I. Dos ej es de simet ría. Es (son) correct a(s): A) Sólo I. B) Sólo I y I I. C) Sólo I y I I I. D) Sólo I I. E) I, I I y I I I El punt o (a b, 2a + b) es simét rico del punt o (-3,3) con respect o al ej e y. Ent onces a + b =? A) 1 B) 3 C) -3 D) -2 E) Cuál(es) de las siguient es t ransf ormaciones permit e(n) que el cuadrado ABCD se conviert a en el cuadrado GHEF? I ) Traslación en la dirección (-4,-1). I I ) Ref lexión en t orno a origen. I I I ) Ref lexión en el origen en un ángulo de 180. A) Sólo I. B) Sólo I y I I. C) Sólo I I y I I I. D) Sólo I I. E) I, I I y I I I Al ABC de la f igura se le ha aplicado una t raslación quedando en la posición del ΔEDF. 99. Si a la imagen de la f igura se le realizan, sucesivament e, las t ransf ormaciones isomét ricas siguient es: 1 Una simet ría respect o del ej e vert ical. 2 El result ado ant erior se rot a en 180. Se obt iene: Si a un punt o (x, y) del plano se le aplica la misma t raslación ant erior quedaría en el punt o: A) (x + 2, y + 1) B) (x + 1, y + 2) C) (x 1, y 2) D) (x 2, y 1) E) (2 x, 1 y)

24 103. Todos los cuadrados de la f igura son congruent es. Cuánt os ej es de simet ría t iene la f igura? A) 6 B) 4 C) 3 D) 2 E) Cuál es la posición f inal del punt o (2,-3), si primero se ref lej a en t orno al ej e Y, y después est e segundo punt o se t raslada de acuerdo al vect or (3,-1)? A) (1,2) B) (-5,-2) C) (1,-2) D) (1,-4) E) (5,2) 105. Si t odos los cuadrados son congruent es Cuál(es) de las siguient es f iguras t iene(n) simet ría cent ral?: A) Sólo I. B) Sólo I y I I. C) Sólo I y I I I. D) Sólo I I. E) I, I I y I I I Cuál(es) de las siguient es t ransf ormaciones permit e(n) t ransf ormar el rect ángulo 1 en el rect ángulo 2? I ) Ref lexión en t orno al punt o A. I I ) Giro en 90 en t orno al origen. I I I ) Giro en 90 en t orno al punt o A. A) Sólo I. B) Sólo I y I I. C) Sólo I I. D) Sólo I I y I I I. E) I, I I y I I I Si al punt o P(-5, 7) se le aplica una t raslación de vect or (-3, 11), queda ubicado en: A) (-8, 18) B) (-8, 5) C) (-5, -8) D) (-3, 11) E) (-8, 11) 109. De las siguient es f iguras geomét ricas, Cuál (es) de ellas puede(n) t eselar (embaldosar) una superf icie plana?: I ) Hexágono regular I I ) Pent ágono Regular I I I ) Triángulo equilát ero A) Solo I I B) Solo I y I I C) Solo I I y I I I D) Solo I y I I I E) I, I I y I I I Soluciones 106. Cuál de los siguient es punt os est á sobre el plano YZ? A) (0,2,1) B) (2,0,3) C) (1,1,-1) D) (2,1,1) E) (3,0,0) 01 D 02 B 03 C 04 B 05 C 06 B 07 B 08 B 09 A 10 A 11 B 12 E 13 E 14 C 15 A 16 A 17 D 18 B 19 A 20 C 21 E 22 A 23 C B C 60 B 61 C 62 B 63 B 64 B 65 B 66 A 67 E 68 A 69 D 70 A 71 E 72 C 73 D 74 D