CONTROL II. Tema: CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST. Prof. Ing. Carlos F. Martín. Año: 2009

Transcripción

1 ONTROL II Tema: RITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST Prof. Ing. arlos F. Martín Año: 9 ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín

2 Introducción: El criterio de Nyquist es un método gráfico analítico que determina la estabilidad de un sistema en lazo cerrado, al investigar las propiedades de la traza de Nyquist en el dominio de la frecuencia de la función de transferencia del lazo L(. Específicamente, la traza de Nyquist de L( es una gráfica de L(jw) en coordenadas polares, o sea, Im[L(jw)] en función de Re[L(jw)] cuando la frecuencia w varia desde infinito a cero. Este es otro ejemplo de la utilización de las propiedades de la función de transferencia del lazo para encontrar el desempeño del sistema en lazo cerrado. El criterio de Nyquist tiene las características siguientes que lo hacen un método alternativo atractivo para el análisis y diseño de los sistemas de control.. Además de proveer la estabilidad absoluta, como el criterio de Routh-Hurwitz, también de información sobre la estabilidad relativa de un sistema estable y el grado de inestabilidad de un sistema inestable. También da una indicación de cómo se puede mejorar la estabilidad del sistema, si es necesario.. La traza de Nyquist de L( es muy fácil de obtener, específicamente utilizando una computadora, o a falta de ella con la ayuda de un bosquejo del diagrama de Bode de L(jw), sobre todo de la fase. 3. La traza de Nyquist de L(jw) de información tales como, máximo de resonancia M R, frecuencia de resonancia W R, ancho de banda W A-B y otras, del sistema en lazo cerrado, con mucha facilidad. 4. La traza de Nyquist es útil para sistemas con retardos de transporte que no se pueden tratar con el criterio de Routh, y que son difíciles de analizar por cualquier otro método, como por ejemplo con la técnica del lugar de las raíces de la ecuación característica. Problema de Estabilidad: El criterio de Nyquist representa un método para determinar la localización de las raíces de la ecuación característica con respecto a los semiplanos izquierdo y derecho del plano s. A diferencia del método del lugar de las raíces, el criterio de Nyquist no da la localización exacta de dichas raíces. Definiciones de Rodeado e Incluido: Ya que el criterio de Nyquist es un método gráfico analítico, se necesita establecer los conceptos de rodeado e incluido, los cuales son útiles para la interpretación de las trazas de Nyquist para la estabilidad. Rodeo o Encierro: Un punto o una región en un plano de una función compleja se dice que ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín

3 está rodeado o encerrado por una trayectoria cerrada si está dentro de la misma. Por ejemplo el punto A de la figura está rodeado por la trayectoria, ya que A está dentro de la trayectoria cerrada. Figura : El punto B no está rodeado por, ya que está fuera de. Además cuando tiene una dirección asignada a ella, el rodeo o encierro, si se hace, puede hacerse en el sentido de las manecillas del reloj (SMR) o en sentido contrario (SMR). omo muestra la figura, el punto A está rodeado por en dirección SMR. Se puede decir que la región dentro de está rodeada o encerrada en la dirección prescripta, y la región fuera de no está rodeada. Inclusión: Un punto o región se dice que está incluido o comprendido por una trayectoria cerrada si esta rodeado en la dirección (SMR), o el punto o región esta a la izquierda de cuando esta se recorre en la dirección prescripta. El concepto de inclusión es particularmente útil si solo una porción de la traza es dibujada. Por ejemplo, las regiones sombreadas en la figura, están consideradas como incluidas por la trayectoria cerrada. Figura a Figura b ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 3

4 En otras palabras, el punto A de la figura a, está incluido por, pero el A en la figura b no lo está. Sin embargo, el punto B y todos los puntos de la región sombreada fuera de en la figura b, están incluidos. Número de Rodeos o Inclusiones: uando un punto está rodeado por una trayectoria cerrada, un número N se puede asignar al número de veces que el mimo está encerrado o rodeado. La magnitud de N se puede determinar al dibujar una flecha desde el punto a cualquier punto arbitrario s sobre la trayectoria cerrada y entonces hacer que s siga la trayectoria en la dirección prescripta hasta que regrese al punto inicial. El número neto de vueltas realizadas por esta flecha es N, o el ángulo neto girado por la misma de 36xN grados. Por ejemplo, el punto A en la figura 3a está rodeado una vez o 36º por y el punto B esta rodeado dos veces o 7º, todos en la dirección SMR. Figura 3a Figura 3b En la figura 3b, el punto A está rodeado una vez y el B dos veces por. Por definición, N es positivo para rodeos en el SMR y negativo para rodeos en el SMR. Una forma conveniente y práctica de determinar N con respecto a cualquier punto del plano complejo, es dibujar una línea desde el punto en cuestión en cualquier dirección a un punto tan lejos como sea necesario, el número neto de intersecciones de esta línea con el lugar geométrico nos dará la magnitud y el signo de N. En la figura 3a para los puntos A y B, N=- y N=- respectivamente. En la figura 3b para el punto A, N= y para el B, N=.- Teorema de auchy, (Principio del Argumento) Ya se demostró que en un sistema estable ninguna de las raíces de la ecuación característica: F(=+L(= () Puede estar en el semiplano s positivo o sobre el eje jw. ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 4

5 Suponiendo que: N( N ( N( N ( N( L( G( H ( K K KK K. Por lo tanto: D ( D ( D ( D ( D( KN ( D( KN ( F( F( () D( D( Puede redactarse la condición de estabilidad así: En un sistema estable ninguno de los ceros de F( puede estar en el semiplano s positivo o en el eje imaginario. omo se aprecia los polos de la función de transferencia del lazo L( son también los polos de F(. omo se verá el criterio de estabilidad de Nyquist relaciona el número de ceros y de polos de F( que están ubicados en el semiplano derecho del plano s, con la condición de estabilidad del sistema. omo ya se sabe, debido a la naturaleza física de los sistemas realimentados de control, el orden del denominador D (, es igual o mayor que el orden del numerador N ( N( de la función de transferencia del lazo L(. Matemáticamente, esto significa que Lim L( o una constante. La demostración matemática del criterio de Nyquist requiere el empleo de la teoría de funciones de variable compleja. No es propósito de este texto la explicación rigurosa del mismo. Afortunadamente, el resultado de la teoría es muy sencillo y de fácil aplicación. Se presentará aquí una explicación cualitativa y para aquellos casos en que F( sea una fracción racional. La función F( está dada por la ecuación () y racionalizada y factorizada toma la forma: ( s )( s )( s 3)......( s n ) F( ( s P )( s P )( s P )...( s P ) 3 En la que:,, 3,..., n, son los ceros y P, P, P3,..., Pn, los polos de la misma. El módulo y la fase serán: F( ( s ) ( s )...( s ) ( s P ) ( s P )...( s P ) n F( ( s ) ( s j P j j j n ) n n En la figura 4, se han dibujado arbitrariamente en el plano s los polos y ceros de la función F(, se a supuesto n=6.- También se dibuja una curva S cerrada, arbitraria en el semiplano s positivo que rodea a los ceros,, 3 y 5, así como los polos P 5 y P6. n (3) s (4) ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 5

6 Desde todos los polos y ceros se trazan segmentos dirigidos hasta un punto s de coordenadas s j. Las longitudes de estos segmentos dirigidos vienen dadas por: s, s,..., s P, ect. (a) (b) Figura 4 Al moverse el punto s de la curva S en la dirección contraria a las manecillas del reloj, (SMR), cada segmento dirigido desde un polo o cero rodeado por S girará un ángulo neto de 36º. omo la rotación angular debida a los polos se aplica al denominador de la F(, la rotación angular neta que sufre la ecuación (3) debe ser igual, a la rotación neta debida a los ceros rodeados por S menos la rotación neta debida a los polos rodeados por S. En otras palabras, la rotación angular neta experimentada por el vector F( será: 4(36º)-(36º)= (4-) (36º)=(36º)=7º omo es fácil entender para cualquier contorno cerrado S que pueda elegirse en el semiplano s positivo, todos los polos y ceros exteriores, (no rodeado, al contorno contribuirán con una rotación neta de º para F(, al desplazarse el punto s sobre el contorno en un recorrido completo. Por tanto, en este caso puede establecerse que el número total de rotaciones netas N que experimenta el vector F( debidas al movimiento en SMR del punto s en una vuelta completa al contorno cerrado S es de +, es decir, en general: N = (Z P) Z = P + N donde: Z: Número de ceros de F( rodeados por la trayectoria cerrada S en el plano s. P: Número de polos de F( rodeados por la trayectoria cerrada S en el plano s. ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 6

7 Si N es positivo, (Z>P), la rotación neta es en sentido antihorario, SMR. Si N es negativo, (Z<P), la rotación neta es en sentido horario, SMR. Si N es cero, (Z=P), la rotación neta es nula. Nótese que en este caso si el contorno S rodea solo el polo P 5, F( sufrirá Una rotación, (N = -), en el SMR, en tanto s se mueva a lo largo del contorno cerrado S en el SMR. Trayectoria de Nyquist Nyquist consideró a S tal que encierre a todo el semiplano s positivo, rodeando e incluyendo con ello a todos los ceros y polos de F( que tengan la parte real positiva. Según la teoría de funciones de variable compleja, necesaria para obtener esta generalización, es preciso que el contorno cerrado S no pase sobre ningún cero o polo de F(. Por lo tanto la trayectoria de Nyquist es la indicada en la figura 5. Figura 5 Esta trayectoria S se selecciona para el criterio de Nyquist en el SMR ya que en matemáticas el SMR es tradicionalmente definido para el sentido positivo. Se puede elegir en el SMR y en este caso se tendrá que: N = P - Z Z = P N riterio de Estabilidad y la Traza de L( En principio, una vez que se especifica la trayectoria de Nyquist, la estabilidad del sistema se puede determinar al graficar el lugar geométrico de F(=+L( cuando s toma valores a lo largo de la trayectoria de Nyquist, e investigar el comportamiento de la traza de F( con respecto al punto critico, que en este caso es el origen del plano F(. Ya que la función L( es la conocida, se puede decir: ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 7

8 omo es mas fácil construir la traza de L( que corresponde a la trayectoria de Nyquist, la misma conclusión sobre la estabilidad del sistema se puede obtener al observar el comportamiento de la traza de L( con respecto al punto (-,j) en el plano L(. Esto es cierto pues el origen del plano F(=+L( corresponde al punto (-, j) en el plano L(. Por tanto el punto (-, j) en el plano L( será el punto critico para determinar la estabilidad del sistema, como lo indican las figuras 6a y 6b. (a) Figura 6 (b) Este criterio es otro ejemplo de utilizar las propiedades de la función de transferencia del lazo L( para encontrar el comportamiento del sistema de control de lazo cerrado. En consecuencia una vez determinado P, (ya sea por simple inspección de L( o aplicando el criterio de Routh a su denominador, P será el número de cambios de signo de la primera columna), y N, (siempre será un número entero positivo o negativo), se aplicara: Z = P + N Si Z =, el sistema será estable, de otra manera será inestable. Por lo tanto en un sistema estable el criterio de Nyquist se puede expresar: N = - P, esto es: Para que un sistema sea estable, la traza de L( deberá rodear al punto critico (-,j) un número de veces igual a la cantidad de polos de L( que están en el semiplano derecho del plano s, y los rodeos, si los hay, deben ser hechos en dirección SMR, (si S está definida en sentido SMR). riterio de Nyquist para Sistemas con L( de Fase Mínima Resumiendo, la propiedad más importante de una función de transferencia de fase mínima es la siguiente: ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 8

9 La misma no tiene polos o ceros en el semiplano derecho del plano s o sobre el eje jw, excepto en el origen del plano s, (integradore.- Ya que la mayoría de los sistemas cumplen con esta propiedad, será prudente investigar la aplicación del criterio de Nyquist a esta clase de sistemas. uando L( es de fase mínima, deberá ser P =, (los polos de F( son los mismo. Por tanto el criterio de Nyquist se reducirá a: N = Z Si el sistema es estable: N = Por tanto, el criterio de Nyquist se puede enunciar como: Para un sistema con una L( de fase mínima, el mismo será estable si la traza de L( que corresponde a la trayectoria de Nyquist no rodea en forma neta al punto critico (-, j) en el plano L(. Si el sistema fuera inestable Z >, por ende N > y el punto critico estaría rodeado en forma neta en dirección SMR. Ya que la región que está incluida o comprendida por la trayectoria de Nyquist es definida por la que está a la izquierda cuando la trayectoria S se recorre en el SMR, el criterio de Nyquist se puede simplemente verificar al graficar el segmento de L(jw) desde a, (los puntos sobre el eje jw positivo). Esto simplifica el procedimiento de forma considerable, ya que la traza se puede hacer fácilmente por ejemplo con una computadora. El único inconveniente de este método es que la traza que corresponde al eje jw dice solo si el punto crítico está incluido o no, y si lo está no dice cuantas veces. Por lo tanto, si el sistema es inestable, Z, este procedimiento no nos da el valor de Z. Sin embargo en la práctica esta información no es vital. De acá en mas se definirá la traza de L(jw) que corresponde al eje jw positivo en el plano s como la Traza de Nyquist de L(, (o la respuesta frecuencial del lazo en forma polar).- Se verán algunos ejemplos simples de aplicación del criterio de Nyquist. Ejemplo A: Sea la función de transferencia del lazo de un sistema de control la siguiente: K L ( s( s )( s ) Determinar aplicando Nyquist el rango del parámetro K dentro del cual el sistema es estable. En el rango de inestabilidad del mismo averiguar el número de raíces de la ecuación característica en el semiplano derecho del plano s. Llamaremos Ko lím sl( s K y como n> w, 3 ( s 3s s K) F ( s( s )( s ) En la figura 7, se muestran los diagramas de Bode y Nyquist. ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 9

10 Fase de L(jw), Grados Parte Imaginaria Modulo de L(, en db Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist II III c R inf N= -K/6 Z= I Estable N= Z= Inestable -7 - Parte Real Figura 7 omo se aprecia en la figura 7, se ve que el sistema será estable si; K > y L (jw ) > -. La w se determinara de: Parte Imaginaria de [L(jw)]=. j L( j ) K P. I. si rad / seg. e j( ) K K L( j ) K K Por lo tanto el rango pedido de K será: < K < 6 Si K = 6, el sistema será marginalmente estable.- Si K > 6 el sistema será Inestable y Z = N =.- Ejemplo B: Sea la función de transferencia del lazo de un sistema de control la siguiente: K( s )( s ) ( s( s 4) L para K >. Determinar aplicando Nyquist el rango del parámetro K dentro del cual el sistema es estable. En el rango de inestabilidad del mismo averiguar el número de raíces de la ecuación característica en el semiplano derecho del plano s. Llamaremos Ko lím sl( s K y como n= w, ( K) s F ( En la figura 8, se muestran los diagramas de Bode y Nyquist. (4 3K) s K) s( s 4) ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín

11 Ease de L(jw) en Grados Eje Imaginario Modulo de L(jw), en db Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist II III 45 - K -45 N = Z=P+N Z= Estable para todo K > I -9 - Frecuencia en (rad/seg.) Eje Real Figura 8 omo se aprecia es estable para todo K>, pues N= Z=N=. También se llega a la misma conclusión al no estar incluido el punto critico por la traza de Nyquist, pues L( es de fase mínima. Ejemplo : Sea la función de transferencia del lazo de un sistema de control la siguiente:.5kc ( s )( s s 4) L ; Para K> ( Determinar aplicando Nyquist el rango del parámetro K dentro del cual el sistema es estable. En el rango de inestabilidad del mismo averiguar el número de raíces de la ecuación característica en el semiplano derecho del plano s. En este caso K Ko lím L( s 6 La figura 9 muestra los diagramas de Bode y Nyquist. Para que el sistema sea estable, como P=, N deberá ser: N=- para que Z=. La figura muestra donde debe estar el punto crítico en este caso. Entre L(jw ) y Kc/6.- ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín

12 Fase de L(jw) en Grados Parte Imaginaria Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist Ko,dB N= Z= Inest. N=- Z= Inestable c c 9 - Frecuencia (rad/sec) -Ko/6 N= - Z=N+P Z=+N Z=+(-)= Estable si: Kc> y: L(jwc)<- -Kc/6>- Parte Real Kc<6 L j j).5kc (8 ) j( ) ( Figura 9 Parte Imaginaria igual cero si: rad / seg. Por lo tanto como w es finita y real, la traza de L(jw) cruza al eje real del plano de Nyquist. Kc L( j ).5Kc Kc 8 Por lo tanto el rango total de Kc para que el sistema sea estable será: Kc 6 Para Kc, el sistema es Inestable y Z=.- Para 6 Kc, el sistema es Inestable y Z=.- Veremos a continuación que con la traza de L (jw) para w>, se podrá determinar si el sistema es estable. O en caso de ser inestable, solamente con L(jw) sea de fase mínima o no, se podrá obtener el valor de Z.- riterio General de Nyquist Simplificado, para Sistemas con L( de Fase Mínima y no Mínima Este criterio evita tener que graficar las trazas conformes de los tramos I, II y III, de la trayectoria de Nyquist y contar los rodeos del vector F( respecto al punto critico (-, j) del plano L(. Este criterio utiliza solo L (jw) para Q> y sin los circulitos para esquivar los polos de L( en el eje jw si los hubiera. ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín

13 El comportamiento de esta traza con respecto al punto critico (-, j) nos dará la condición de estabilidad del sistema de control. Para tal propósito consideremos las dos trayectorias mostradas en la figura. Figura Es claro que la trayectoria de Nyquist S en la primera figura es la original ya vista, mientras que la segunda trayectoria S rodea o incluye no solo al semiplano derecho del plano s, sino también los polos de F(, (o de L(), sobre el eje jw, si es que existen. Se definirán las siguientes cantidades: Z= número de ceros de F( que están en el semiplano derecho del plano s P= número de polos de F( que están en el semiplano derecho del plano s P w = número de polos de de F( que están sobre el eje jw del plano s incluyendo los que están en el origen del mismo. N = Número de vueltas netas del vector F( alrededor del punto crítico (-, j) del plano L( cuando se recorre la traza de Nyquist correspondiente a la trayectoria S. N = Número de vueltas netas del vector F( alrededor del punto crítico (-, j) del plano L( cuando se recorre la traza de Nyquist correspondiente a la trayectoria S. Aplicando el teorema de auchy a ambas trayectorias se tendrá: N = Z P y N = Z - (P+P w )= Z P - P w En lugar de contar vueltas se podrá determinar el giro o rotación en grados del vector F(, (o sea el vector que apoyado en el punto crítico (-, j) del plano L(), recorre los diagramas de Nyquist correspondientes. Llamando a los mismos y se tendrá: N N 36º ( Z P)36º 36º ( Z P P ) Se considerara que cada trayectoria de Nyquist S y S tres porciones, a saber: () ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 3 () está compuesta de

14 . La porción a lo largo del eje jw, excluyendo los pequeños semicírculos.-. Todos los pequeños semicírculos sobre el eje jw.- 3. La porción desde s j hasta s j a lo largo del semicírculo con radio infinito.- Ya que las trayectorias de Nyquist S y S son simétricas con respecto al eje real en el plano s, los ángulos girados por el vector F( en los diagramas de Nyquist son idénticos para valores positivos o negativos de w. Por tanto y se podrán escribir como: 3 3 (3) (4) Donde: Ángulo que gira el vector F( al recorrer la traza de Nyquist con respecto al punto crítico (-, j), correspondiente al eje jw positivo, (o al negativo) del plano s, excluyendo los pequeños semicírculos. Ángulo que gira el vector F( al recorrer la traza de Nyquist con respecto al punto crítico (-, j), correspondiente a los pequeños semicírculos sobre el eje jw de la trayectoria S. [omo las direcciones de los pequeños semicírculos de la trayectoria S son opuestos a los de S el signo de en la ecuación (4) es negativo]. 3 Ángulo que gira el vector F( al recorrer la traza de Nyquist con respecto al punto crítico (-, j), correspondiente al semicírculo con radio infinito en las trayectorias de Nyquist. uando L( tiene más polos que ceros, la traza de Nyquist de L( que corresponde al semicírculo de radio infinito, deber ser un punto sobre el eje real, (si n = w) ejemplo B, o una trayectoria alrededor del origen del plano L(, (si n > w) ejemplo A. Por tanto, el giro 3 recorrido por el vector F( con respecto al punto crítico (-, j) del plano L(, (conforme de tramo IV de las trayectorias de Nyquist en el plano, será nulo, por lo tanto 3 º.- Ahora al sumar las ecuaciones (3) y (4) se tendrá: 4 (5) Reemplazando y dados por las ecuaciones () y () nos queda: ( Z P)36º ( Z P P )36º 4 4 (Z P P )36º Por ende despejando se obtendrá: ( Z P.5P R Y también: )8º (6) ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 4

15 Z R.5P 8º P (7) La ecuación (6) establece que: El ángulo total girado por el vector F(, en el plano L( que corresponde a la porción del eje jw positivo del plano s, excluyendo los pequeños semicírculos, si existen, es igual a: [(Número de ceros de F( en el semiplano derecho del plano (Número de polos de L( en el semiplano derecho del plano (.5 Número de polos de L( sobre el eje jw del plano ] 8º.- Por lo tanto, el criterio de estabilidad de Nyquist se puede llevar a cabo sólo mediante la construcción de la traza de Nyquist que corresponde a la porción desde s j hasta s de la trayectoria de Nyquist. Aún más, si el sistema es inestable, al conocer los valores de ecuación (7) da el número de raíces de la ecuación característica que están en el semiplano derecho del plano s. Para que el sistema sea estable, Z =. Por tanto, este criterio de Nyquist para que el sistema sea estable establece que, el giro del vector F( con respecto al punto crítico (-, j) del plano L(, correspondiente a la traza de Nyquist para w positivas deberá ser:, P y P, la E (.5P P)8º (8) Por ende al determinar R, si este valor coincide con el E correspondiente el sistema será estable, de otra manera no. Ya que P y P w no pueden ser negativos, la ecuación (8) indica que E deberá ser siempre negativo, o sea giro neto del vector F( horarios. También hay que tener claro que, 7 no es lo mismo que 9º, pues son giros de F( y no simplemente ángulos.- uando el giro de F( es positivo, corresponde a que el punto (-, j) este incluido, por tanto la condición de que la traza de Nyquist de L (jw) no incluya al punto crítico (-, j) es una condición solo necesaria para la estabilidad del sistema con L( de fase no mínima. La condición necesaria y suficiente para que un sistema con L( de fase no mínima sea estable es que:.- R y R E Sistemas con Funciones de Transferencia del Lazo de Fase Mínima Si L( es de fase no mínima, P = y P w indica el número de polos de L( que están en el origen del plano s, la ecuación (6) se convierte en: ( Z.5P R )8º ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 5 (9)

16 Si el sistema es estable, Z =, y la ecuación (9) se puede colocar: E 9º P () Ya que P w denota el número de polos de L( que están en el origen del plano s, se puede ver fácilmente que si el punto crítico (-, j) no esta incluido por la traza de Nyquist de L(, siempre estará dado por la ecuación (). Por tanto, cuando L( es de fase mínima, la condición de que el punto crítico (-, j), no este incluido por la traza de Nyquist será una condición necesaria y suficiente para que el sistema se estable.- En consecuencia si L( es de fase no mínima la condición de no inclusión del punto crítico (-, j) del plano L( es solo necesaria pero no suficiente, además, deberá cumplirse que: Φ. R Φ E uando se cambia el signo de la ganancia del lazo K, el punto critico será el (+, j), pero pensado como (-, j).- Por ende los puntos de interés de la traza de Nyquist serán las intersecciones con el eje real del plano L(, o sea cuando la parte imaginaria de L (jw) es nula: ImL (jw)= () on esta ecuación se determinarán las frecuencias w, si ellas existen, si las soluciones de la ecuación () son complejas significa que la traza de Nyquist no corta al eje real del plano L(. Resumen del Procedimiento para el Análisis de Estabilidad por Nyquist Los pasos a seguir para encontrar los rangos de estabilidad de la ganancia del lazo serán los siguientes:. Hacer un bosquejo de la traza de Nyquist correspondiente. Si la función L( es de fase mínima sin dinámica en el numerador, el bosquejo es inmediato, si no es así se puede usar previamente un esquema de Bode de L( para tal fin. También se puede usar cualquier programa de computación, por ejemplo el Plrplot del sad/matlab.. Encontrar, si es posible, la ubicación de los puntos críticos para K> y K<, en los cuales se debe cumplir que Φ Φ. Si 3. Si en el punto se lograron ubicar donde deberían estar los puntos críticos para que el sistema sea estable, ahora se determinan la o las frecuencias w, empleando la ecuación (). Recordar que esto se puede hacer en la forma siguiente: KN ( L(, se reemplaza s por jw: D( R R E ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 6

17 Lazo L(, parte Imaginaria N( a( w) jb( w) c( w) jd( w) L( jw) K K D( c( w) jd( w) c( w) jd( w) [ a( w) c( w) b( w) d( w)] j[ a( w) d( w) b( w) c( w)] K [ c ( w) d ( w)] Si la parte imaginaria es nula se deberá cumplir: a( w) d( w) b( w) c( w) () on la ecuación (), se encuentra la/las w si existen. 4. Se determina el rango del parámetro variable dentro del cual el sistema será estable, usando: a( ) b( ) L( j ) K o según convenga L( j ) K c( ) d( ) Estas expresiones deberán ser mayores o menores que -, según se obtuvo en el punto ). Operando con estas desigualdades se determinara el rango buscado. Ejemplo : Retomando el sistema del ejemplo A, se tiene que: K ( s( s )( s ) L, la traza de Nyquist era la indicada en la figura. Traza de Nyquist R=-9º= E Estable si: Kc> L(jc)>- c -K/6 R=+7º = E Inestable : Z= R/8º+.5 Z=7º/8º+.5 Z= =oo R = -9º distinto de E Inestable para todo Kc< Z=.75K Parte Real omo P w = y P=, será: Figura 9º. E ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 7

18 Lazo (L) Imaginaria Lazo (L) Imaginaria Siguiendo los pasos ya indicados se determinó la ubicación del punto crítico y resulto que: Kc rad / seg y L( j ) Kc 6 6 Por ende el rango total será: Kc 6 En los rangos de Inestabilidad el valor de Z es: Si 7º 6 Kc Z.5 Z 8º 9º Kc Z.5 Z 8º Si omo se pude apreciar los resultados son iguales a los ya obtenidos en el ejemplo A. uando, la traza es asintótica a la recta vertical de abscisa -.75Kc. ac bd L( j) lím Kc. 75Kc c d Ejemplo : Para el sistema del ejemplo B se tenía: K( s )( s ) ( s ( s 4) L, la traza de Nyquist resultó ser la indicada en la fig. a: Traza de Nyquist K R=-9º igual a E Sistema estable para todo: K > Para K > ( a ) = E = - 9º R=+9=R Inestable: Z = R=-9º=E Sistema Estable si: K < L(jc) < - K R=+7º=E Inestable: Z = ( b ) Real omo P w = y P=, será: Figura R E 9º. y Z.5. 8º omo se puede apreciar el rango de estabilidad para K> es: ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 8

19 F.T del lazo (L) Imaginaria K. Si K<, la traza será la indicada en la figura b, de la misma surge que para que el sistema sea estable se deberá cumplir que: Sí K ; L ( j). A este mismo resultado se llegaría usando la traza de Nyquist de la figura a, (para K>), pero usando el punto (+, j) pensado como (-, j) como el punto crítico. El rango negativo de K buscado será: ( ) j3 L( j) K ( ) j4 P. I. si Resolviendo la última ecuación resulta: 8rad / seg., luego se tendrá que: 3 L( j ) K K ( ) 3 ( ) En este caso particular no hace falta calcular. En consecuencia el rango negativo del parámetro K será: 4 K.- 3 Ejemplo 3:.5Kc ( s )( s s 4) Para el ejemplo, se tenía: L, la traza de Nyquist de la ( misma es la indicada en la figura 3. Traza de Nyquist J Im L E = - 36º c =.44 rad/seg. -Kc/6 = Re L R = º Inestable: Z = -Kc/ R = -36º = E Sistema EStable si: Kc > L(jc) < - -Kc/6 > - o Kc < 6 R = -8 Inestable: Z = R = º Sistema Inestadble Para Todo Kc < Z = Rango de Kc para la Estabilidad: < Kc 6 Real Figura 3 ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 9

20 Lazo (L) Imaginaria omo P w = y P=, será: R E 36º. y Z. 8º omo se aprecia en la figura 3, el sistema será estable solo si: Kc L( j ) Kc 6 Kc 6 En el ejemplo se determinó que: rad / seg, además, Kc L( j ) Kc. Kc 6 Por ende el rango total será: El valor de Z en los rangos de Inestabilidad se indica en la figura 3.- Ejemplo 4: Un sistema de control tiene la siguiente función de transferencia del lazo: K( s 3)( s 4) L ( s ( s ) la figura ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín, el diagrama de Bode y la traza de Nyquist se indican en Diagrama de Bode Modulo de L(jw), en db Para K = Fase de L(jw) -7 - omo P w = y P=, será: Figura 4 Traza de Nyquist E = -7º = R=-7º sist. Estable si K > y L(jc) < - R=+9º Inestable Z = c Real R E 7º. y Z. 5 8º R=-7º Sist. Est. K < K < - R=-9º Inest. Z = K, para =oo omo se ve en la figura 4, el sistema será estable si se cumple que:

21 Para K> si: L( j ), y para K< si: K.- L ( ) j7 ( ) j 3 ( j) K P. I. si : ( ) 7 Resolviendo:.5rad / seg. 7 L( j ) K 7K 7K K Por ende los rangos en los que el sistema es estable son: Rango negativo: K Rango positivo: K. 7 Un grafico del movimiento de los ceros de F( con el valor de K, (lugar de las Raíce, es el indicado por la figura K > j K < j.47 K=inf. K=inf. K= K= - - K = - La otra raíz es el punto impropio: s = infinito K= Figura 5 Ejemplo 5: Un sistema de control tiene la siguiente función de transferencia del lazo: K( s )( s 5) L (, s( s )( s ) El diagrama de Bode y la traza de Nyquist se indican en la figura 6. R omo P w = y P=, será: E 7º. y Z. 5 8º omo se ve en la figura correspondiente, el sistema será estable solo para K> si se cumple que: L( j ).- ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín

22 Diagrama de Bode de L( Módulo de L(j), db Para K = Fase de L(j), grados -7 - Traza de Nyquist de L( R=+9º Inestable Z = R=-7º Estable si: K > L(jc) < - = -K/.65 c R=-9º Inestable para Todo K < Z = Rango:.65 <K< infinito L ( ) j7 ( 9 ) j( ) Figura 6 3 ( j) K P. I. si : ( )( ) 63 Resolviendo para : 4 63 Las raíces de la última ecuación son: j y.447, por ende la solución buscada es:.447rar / seg. Por lo tanto: 7 K K L( j ) K K.65 ( ) El rango total buscado es:.65 K.- Los valores de Z en los rangos de inestabilidad están indicados en la figura. Para K.65 Z.- Para K Z Ejemplo 6: Un sistema de control tiene la siguiente función de transferencia del lazo: K( s s 9) L (, s ( s )( s 5) El diagrama de Bode y la traza de Nyquist se indican en la figura 7. R omo P w = y P=, será: E 45º. y Z. 5 8º ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín

23 Diagrama de Bode de L(j) Traza de Nyquist de L(j) 4 Módulo en db -4 Para: K > ; K = R=-9 Inestable para todo K > Z = R = +9º Inestable para todo K < Z = 3-9 E = -45º -8 - Fase en grados Figura 7 omo se puede apreciar para K>, el punto crítico no está incluido por la traza de Nyquist y sin embargo el sistema es inestable pues.- Para K<, también R E, sistema inestable.- R E Los valores de Z para K : Z.- Para K : Z 3 Ejemplo 7: Un sistema de control tiene la siguiente función de transferencia del lazo: K( s s ) L (, s ( s 6s 3) El diagrama de Bode y la traza de Nyquist se indican en la figura 8. R omo P w = y P=, será: E 45º. y Z. 5 8º omo se ve en la figura correspondiente, el sistema será estable solo para K> si se cumple que: Leq( j ) Leq( j) ( ) j L ( j) K 6 j(3 ) P.I.= si: 3 ) (3 ) ( ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 3

24 Resolviendo para : 4 6 Diagrama de Bode de L(j) Módulo de L(j) en db Traza de Nyquis de L(j) R=-45º Estable si: K > L(jc)>- L(jc)<- R=-9º Inestable Z = - c c Para K > ; K = R=-9º Inestable Z = R=+9º Inestable para todo K < Z = Fase de L(j), en grados E=-45º = Figura 8 Las raíces de la última ecuación son: 4.44 y. 97, por ende las soluciones buscadas son:.44rar / seg y.97rad /.. 4 seg Por lo tanto: L L K j ) K K (3 ) ( K j ) K K 3.63 (3 ) 3.63 ( El rango total buscado es: K 3.63 Los valores de Z en los rangos de inestabilidad están indicados en la figura. Para: K ; Z.- Para: 3.63 K Z.- Y para K Z 3.- on la función Plrplot del sad/matlab se grafico la traza de Nyquist para K=, la misma se muestra en la figura 9, con las conclusiones correspondientes.- ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 4

25 Diagrama de Bode de L(j); para K = c c c Traza de Nyquist de L(j), para K = c - Si K = - - R = -45º R = +9º Sistema Estable Sistema Inestable = Z = Figura 9 Función de Transferencia del Lazo Equivalente L equiv. ( uando el parámetro variable de L( no está en su numerador como factor multiplicativo, se puede obtener la llamada función de transferencia del lazo equivalente, L equiv. (. on ella se podrá aplicar el último criterio de Nyquist para determinar el rango del parámetro variable en cuestión, que haga el sistema estable. Se parte de la ecuación característica, luego se agrupan todos los términos que no contengan al parámetro variable d(, y en otro a los que si lo contienen, n(, si suponemos que el parámetro variable es k, se tendrá la ecuación característica: d(+k n(= Luego se divide miembro a miembro por d( y quedará: n( k d( Por ende, la L equiv. ( será: n( L equiv ( k d( En la misma k está como factor multiplicativo del numerador de L equiv ( y con ella se podrá aplicar el criterio de Nyquist. omo la (, no es la función de un sistema real, puede en algunos L equiv casos ser una función impropia, (mas ceros que polo, y no se podrá aplicar el último criterio de Nyquist determinando él ya que se R ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 5

26 requiere que la L equiv ( empleada sea propia o estrictamente propia para tal fin. Si se tiene: L equiv (, donde L equiv ( es impropia se puede escribir así: L [ L ( ] ( equiv equiv Ahora la [ L equiv ( ] será estrictamente propia y entonces se podrá aplicar el criterio de Nyquist determinando el R, y comparándolo con el E obtener el rango del parámetro variable para que el sistema es estable.- Ejemplo 8: onsideremos el sistema de posicionamiento de una carga inercial, (ya estudiado por Routh), la función de transferencia del lazo era: 5( s / 3 ) L(. Determinar el rango del parámetro para que el s( s.5)( s ) sistema sea estable. omo no está como factor multiplicativo en su numerador hay que determinar la (, la misma será la siguiente: L equiv 5 s 5 s L equiv ( 3 s( s.5)( s ) 5 s.5s.5s 5 El diagrama de Bode y la traza de Nyquist se muestran en la figura. 4 - Diagrama de Bode Modulo de L(j) en db Traza de Nyquist E= - 36º P= P = -4 5 Para > ; = c Fase de L(j), en grados R=º Inestable Z = R=-36º Estable si: > Lequiv.(jc)<- =º Inestable para todo < omo P w = y P=, será: Figura R E 36º. y Z 8º ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 6

27 omo se ve en la figura correspondiente, el sistema será estable solo para si se cumple que: L ( j ) equiv j 5 (5.5 ) j(.5 ) L equiv ( La P.I.= si rad / seg. L ( j ) (.5 ).383 Por ende el rango práctico real de para que el sistema sea estable será el siguiente, aunque matemáticamente pueda ser hasta infinito.- Ejemplo 9: Un sistema tiene:.383 L s[ s ( Kc (6 Ka) s ( Ka)] Si Kc 6, determinar el rango de Ka para que el sistema sea estable, aplicando el criterio de Nyquist. La ecuación característica será: 3 s (6 Ka) s ( Ka) s Kc, o también: 3 [ s 6s s 6] [ Ka s Ka s], la ( L equiv será: L equiv Ka s ( s ) ( ( s )( s )( s 3) El diagrama de Bode y la traza de Nyquist se muestran en la figura. - Diagrama de Bode Modulo de L(j) en db R=+36º Inestable Z = P= P = Traza de Nyquist R=+36º Inestable Z = -4 Para Ka > ; Ka = c c c c Fase de L(j), en grados R=º Estable si Ka > Leq(jc)>- E = º R=+36º Estable si: Ka < Leq(jc)>- Figura ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 7

28 Lazo (L) Imaginaria R omo P w = y P=, será: E º. y Z.- 8º omo se ve en la figura correspondiente, el sistema será estable para Ka si se cumple que: L ( j ) equiv Y para Ka sí: L ( j ) equiv En la figura también se indican los valores de Z en los rangos de inestabilidad. j 3 L equiv ( j) Ka, P.I. =, si ( ) (6 ) (6 6 ) j( ) Operando se llega a: Las soluciones son: 4.79 y.65, por lo tanto: 4.79rad / seg. y.65rad / seg. Por lo tanto para el rango negativo de Ka, se tendrá: Ka Lequiv ( j ) Ka Ka ( ) Para el rango positivo de Ka: Ka Lequiv ( j ) Ka ( ).6394 Ka.6394 El rango total del parámetro Ka será: Ka Usando Plrplot del sad para Ka=8 se muestra la traza en la figura..5 Traza de Nyquist de L(j), para Ka = 8.5 c c R = º -.5 Estable R = +36º Inestable para: K = Parte Real Figura ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 8

29 Ejemplo : Un sistema de control tiene la ecuación característica siguiente: As 3 ( 3A) s (3 A) s ( K ) Para K= determinar el rango total del parámetro A para que el sistema sea estable, y en sus rangos de inestabilidad el número de polos del sistema que están en el semiplano derecho del plano s. Aplicar Nyquist. La ecuación característica se puede arreglar así. [ s 3s ] As[ s Por ende: As ( s 3s ) L equiv ( ; ( s 3s ) 3s ] como n < w!!, se procederá así: ( s 3s ) [ L equiv ( ] ; Ko A s ( s )( s ) A El diagrama de Bode y la traza de Nyquist se muestran en la figura 3 4 Diagrama de Bode Módulo de L(j), en db Traza de Nyquist R=-9º Estable si A > Leq(jc)> Para A > ; A = c c R=+7º Inestable Z = R=-9º Estable si A > Leq(jc)< c c Ease de L(j), en grados E = -9º R=+9º Inestable para todo A < Z = omo P w =y P=, será: Figura 3 R E 9º. y. 5 8º Z.- omo se ve en la figura correspondiente, el sistema será estable para A, para dos posiciones del punto crítico (-, j), en ellas se cumple que: L ( j ) y L ( j ).- equiv equiv En la figura también se indican los valores de Z en los rangos de inestabilidad del parámetro A.- ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 9

30 ( ) j3 [ ( j)] A 3 j( ) L equiv P.I. = si se cumple: 3 ( )( ) 6, operando se llega a: ; Las soluciones son:, rad / seg. y rad / seg. En consecuencia: 3 [ Lequiv ( j )] A ( ) 3A A y por ende: / ( j )] A.5 A ( ) A [ Lequiv Los rangos del parámetro A serán: A /3 y. 5 A Si ahora K , en lugar de, la figura 4 muestra las trazas de Nyquist para tres valores de A. Las nuevas w c serian iguales, o sea: rad seg. Por ende las trazas serán tangentes al / eje real negativo, para cualquier valor de A, con abscisa: Trazas de Nyquist Para K = c = c =.4985 rad/seg. -.3 Para A = Sist. Estable Para A =.5 Sistema Estable Para A =.77 Sistema Marg. Estable [ Lequiv ( j )] 3 A [ ( 3 )] Figura 4 o A Para que el sistema sea estable A deberá ser distinto de.77, o sea para cualquier valor de: A, se cumplirá que R E 9º.- ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 3

31 asos en los cuales la L( tiene Polos Imaginarios: Si la L( tiene polos imaginarios, al aplicar el criterio de Nyquist en la forma original, se tendría que definir la trayectoria de Nyquist con pequeñas circunferencias alrededor de dichos polos sobre el eje jw. En lugar de construir la traza de Nyquist completa, solo la porción que corresponde al giro del vector F( en el plano L( será la que se construirá y luego comparar Ejemplo : Sea la siguiente L( s K 4 R con E Ko lím L( s para analizar la estabilidad. El diagrama de Bode y la traza de Nyquist se muestran en la figura 5. 4 K/4,dB Diagrama de Bode Módulo de L(j), en db K 4 Traza de Nyquist de L(j) R=º Inestable si: Ko < - o K < -4 Z = -4 7 Para K > ; Ko = K/4 Ko = Fase de L(j), en (grado R=? Sistema Marg. Est. Para todo K > R=? Sistema Marg. Est. si Ko >- o K > -4 E = - 8º omo P w = y P=, será: Figura 5 R E 8º. y 8º Z.- omo se indica en la figura para K>, el sistema será siempre marginalmente estable, pues la traza pasa por el punto crítico. Para K<, el sistema será marginalmente estable, si K>-4 e inestable si K<-4, con Z =.- Ejemplo : Si se agrega un cero al sistema del ejemplo anterior se estabilizara para todo K>. Si se agrega el cero en -, se tendrá. ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 3

32 K( s ) L( ( s 4) K Ko El diagrama de Bode y la traza de Nyquist se muestran en la figura 6. 4 Diagrama de Bode Módulo de L(j) en db Traza de Nyquist de L(j) R=-8º Estable para todo K > = = Ko K > ; Ko = K/ ; K = P= P = R=º Inestable Z = R=+8º Inestable Z = -8 - Fase de L(j) en grados = E=-8º Z= R/8º+ Figura 6 omo se puede apreciar el sistema será estable solo para: K.- Ejemplo 3: Si ahora se agrega un polo al sistema original el mismo será inestable para todo K>, antes era marginalmente estable. K L ( s )( s ( 4) ; Ko K 8 En cambio para K<, el sistema será estable solo si se cumple que: K>-8, pues el R 8º E. Para K>-8 el sistema será inestable pues tendrá una raíz la ecuación característica en el semiplano derecho del plano s, Z =. El diagrama de Bode y la traza de Nyquist se muestran en la figura 7 Por ende el rango total de K para que el sistema sea estable es: 8 K Usando el comando Plrplot del sad/matlab se puede graficar las dos partes de la traza de Nyquist, como lo muestra la figura 8 para K = 4. ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 3

33 4 K/8,dB -4-8 Bode Diagrams Módulo de L(j) en db Traza de Nyquist de L(j) R= +8º Inestable para todo K > Z = R=-8º Estable si: K < y K > -8 - K > ; Ko = K/8; K = Fase de L(j) en grados R=º Inestable si K < y Ko < - o K < -8 Z = Ko = P= P = E=-8º Figura 7 Se uso el comando hold y los rangos de frecuencia. a y. a P = P = Para: K = 4 Traza de Nyquis de L(j) E=-8º Z = R/8º+ R = -8º = E Sistema estable para K = R = +8º Inestable para K = 4 Z = Figura 8 ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 33

34 Ejemplo 4: Si al sistema original se le agrega un cero y un polo, con la condición de que el cero esté más cerca del origen del plano s, nos quedaría: K( s ) L( ( s )( s 4) K Ko 8 El sistema tendrá un rango positivo de K para la estabilidad, esto es general si como se dijo el cero está más cerca del origen que el polo. El diagrama de Bode y la traza de Nyquist se muestran en la figura 9 4 Bode Diagrams Módulo de L(j), en db P= P = E=-8º Ko, db -4 R=-8º Estable para Todo K > K > ; Ko = K/8; K = Ko R=+8º Inestable si K > - 8 Z = 9 Fase de L(J), en grados R = º Inestable si K < - 8 Z = omo P w = y P=, será: Figura 9 R E 8º. y 8º Z.- omo se aprecia en la figura solo en todo el rango positivo de K. Para K<: Si K<-8: Z = ; si K>-8: Z = Ejemplo 5: Si el polo es el que está más cerca del origen, por ejemplo: K( s 4) L( ( s )( s 4) K Ko El diagrama de Bode y la traza de Nyquist se muestran en la figura 3. R omo P w = y P=, será: E 8º. y Z.- 8º ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 34

35 4-4 Diagrama de Bode Módulo de L(j), en db Traza de Nyquist de L(j) R=-8º Estable si: K < y K > - -8 K > ; Ko = K/; K = Fase de L(j), en grados R=+8º Ineatable para todo K > Z = Ko R=º Inestable si K < - Z = P= P = E=-8º Figura 3 omo se aprecia en la figura 3, el rango de K para la estabilidad es: K. Si K<-; Z =, y para K>; Z =.- Ejemplo 6: Si ( s )( s 3) L( Ko. 5K s( s )( s 4) El diagrama de Bode y la traza de Nyquist se muestran en la figura 3. R omo P w =3 y P=, será: E 7º. y Z º El sistema será estable solo para K>, si se cumple que: L( j ) L (6 ) j5 j) K ( 4) j(4 ) ( 3 La parte imaginaria será nula si: (6 ) (4 ) 5 ( 4) 4 Operando se llega a: 4 5 Las soluciones son: y, la solución no trivial será: rad /. Por lo tanto: L 5 5K j ) K K ( El rango total para la estabilidad será: K.6 seg ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 35

36 4 Diagrama de Bode Módulo de L(j), en db Traza de Nyquist de L(j) = -4 R=-7º Estable si K > L(j)>- R=+7º Inestable para tdo K < o Z = K > ; Ko =.5K; K = -5K/3 c R=+9º Ineatable Z = E=-7º P=3 P= -8 = -7 Fase de L(j), en grados = Figura 3 on la computadora se grafica la traza de Nyquist Para K =, (figura 3). Para K<, el mismo será siempre inestable con tres polos de la función de transferencia del sistema en el semiplano derecho del planos. 3 Para K = Traza de Nyquist P = 3 P = E = - 7º Z = R/8º -3 R=+9º=E Sistema Inestable Z = R=+7º=E Sistema Inestable uando K = - y Z = Figura 3 ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 36

37 Para K=.3, sistema estable, y si K=-.3 sistema inestable, Figura Traza de Nyquis de: L( =.3 (s-) (s-3) / s (s+) (s -4) P = 3 P = E = -7º R=-7=E Sistema estable.- R=+7º=E Sistema Inestable para K = -.3 y Z = Figura 33 Ejemplo 8: Un sistema tiene la ecuación característica siguiente: Diagrama de Bode Traza de Nyquist de L(j) 6 4 Módulo de L(j), en db R=-9º Estable si: T > y [Leq.(j)] - >- * c c - -4 T > ; Ko = 6/T ; T = -/T R=+7º Inestable si: -9 [Leq.(j)] - <- Z = * Fase de L(j), en grados = R=+9º Inestable para todo T < Z = P = y P = ; E=-9º Figura 34 ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 37

38 T s 3 (.5T ) s T s 6 Determinar por Nyquist el rango del parámetro T para que el sistema sea estable. La función de transferencia del lazo equivalente será: [ T s( s.5s )] [ s 6] T s ( s.5)( s ) L equiv ( ( s 6) ( s 6) 6 [ L equiv ( ] Ko T s( s.5)( s ) T ; omo es impropia n < w, se trabajará con: El diagrama de Bode y la traza de Nyquist se muestran en la figura 34. De la misma, el sistema será estable solo para T>, si se cumple que: (6 ) j [ L( j )] ; [ L ( j)] T (.5 ) j( ) La parte imaginaria será nula si: ( )(6 ) Las soluciones son: 6 y, la solución no trivial será: rad /. 6 Por lo tanto: [ L( j )] T T.5 T El rango total para la estabilidad será: seg T La figura 35, muestra la traza para T=, usando Plrplot del sad. Traza de Nyquist de L(j) Para T = c= rad/seg - /T R = +7 = -9º Sistema Inestable Z = Figura 35 ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 38

39 Ejemplo 8: La función de transferencia del lazo de un sistema de control es: K ( s ) L( s ( s )( s 4) Ko K 4 Determinar el rango del parámetro K para que el sistema sea estable. El diagrama de Bode y la traza de Nyquist se muestran en la figura Diagrama de Bode Módulo de L(j),en db -6 K > ; Ko = K/4 ; K = 9 Traza de Nyquist de L(j) P=3 P = E = -7º Z=R/8º+.5 R=-7º Estable para todo K > = c=r/s -9 R=+7º Inestable para todo K < Z = Fase de L(j), en grados = = omo P w =3 y P=, será: Figura 36 R E 7º. y. 5 8º Z.- El sistema será estable solo para todo K>, pues se cumple que 7º. Para K<, siempre será Z=3. R E Ejemplo 9: Un sistema de control tiene la función de transferencia del lazo: L s[ a s ( Kc( s.6) (.5a) s a] Si Kc=-3.75, determinar el rango del parámetro a, para que el sistema sea estable, en los rangos de inestabilidad del mismo el número de polos del sistema que se ubican en el semiplano derecho del plano s. La ecuación característica será: 3 as (.5a) s as 3.75( s.6), la cual se puede colocar: [ s 3.75s 6] as[ s.5s ] Por lo tanto la función de transferencia del lazo equivalente será: ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 39

40 a s ( s.5s ) ( s 3.75s 6) L equiv ( ( s 3.75s 6) 6 [ L equiv ( ] Ko a s( s.5)( s ) a, como es una función impropia se obtendrá: El diagrama de Bode y la traza de Nyquist se muestran en la figura Diagrama de Bode Módulo de L(j), en db Traza de Nyquist de L(j) R=-9º Estable si: a > y [Leq(jc)] - >- R=9º Inestable a < Z = - a > ; Ko = 6/a ; a = -9 c c c c Fase de L(j), en grados R=+7º Inestable Z = P= P = E=-9º Z=R/8º+.5 R=45º Inestable si a < Z = 3 omo P w = y P=, será: Figura 37 R E 9º. y. 5 8º Z.- El sistema será estable solo para a>, pues se cumple que 9º. Esto sucede si: R E [ Lequiv ( j )] (6 ) j3.75 [ L equiv ( j)] a.5 j( ) 3 La parte imaginaria será nula si: ( )(6 ) Operando se llega a: ; las soluciones de la misma son: 4 y.64, en consecuencia se tiene que: rad / seg y.64 rad seg 4 / ( j )] a 6 a ( ) a [ Lequiv El rango total para que el sistema sea estable será: 6 a ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 4

41 En la figura 38 se muestra la traza de Nyquist para a=.-. Para a = Traza de Nyquist de L(j) c=.64r/s R=-9º Estable -6/a.5/a c=4r/s -. [Lequiv.(] - = (/a) (s -3.75s+6) / s (s+.5) (s+) Figura 38 Efectos del Agregado de Polos y eros a L( en la Forma de la Traza de Nyquist de la Misma: Puesto que el comportamiento y la estabilidad de un sistema de control realimentado son a menudo influenciados por el agregado y movimiento de los polos y ceros de las funciones de transferencias de los controladores usados, éste estudio ilustrara como es afectada la traza de Nyquist cuando se agregan polos y ceros a una típica función de transferencia del lazo L(. Esta investigación también será de ayuda para ganar mas comprensión sobre la construcción rápida de un bosquejo de la traza de Nyquist de una función de transferencia L( dada. Supongamos tener la función de transferencia de primer orden: Ko ( Ko / T ) K L( G( H ( T s ( s / T ) ( s / T ) La traza de Nyquist de L( para el rango de frecuencias ( < w < infinito), es una circunferencia como se muestra en la figura 39. ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 4 ()

42 Traza de Nyquist Ko/ = Ko =/T Figura 39 Agregado de Polos en s = onsideremos que un polo en s = se agrega a la función de transferencia (), luego se tendrá: Traza de Nyquist - R=-9º Estable para todo K > R=+9º Inestable para todo K < Z= = Figura 4 ONTROL II (Elo y Bio) Profesor Ing. arlos Francisco Martín 4