ÍNDICE PROGRAMACIÓN MATEMÁTICAS CC. SS. II

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1 ÍNDICE PROGRAMACIÓN MATEMÁTICAS CC. SS. II 1.OBJETIVOS, CONTENIDOS Y CRITERIOS DE EVALUACIÓN MATEMÁTICAS CC.SS I I(Currículo oficial) OBJETIVOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN, CAPACIDADES Y CONTENIDOS MATEMÁTICAS CC. SS. II (Desglosados por unidades) SECUENCIACIÓN Y DISTRIBUCIÓN TEMPORAL - MATEMÁTICAS CC.SS.II ORIENTACIONES METODOLÓGICAS (Currículo) MATERIALES CURRICULARES PLAN DE COMPETENCIA LECTORA Y PLAN DE INTEGRACIÓN CURRICULAR DE LAS TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y LA COMUNICACIÓN PROCEDIMIENTOS E INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN CRITERIOS DE CALIFICACIÓN MÍNIMOS EXIGIBLES PARA OBTENER UNA CALIFICACIÓN POSITIVA- MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II MEDIDAS DE ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Y EXTRAESCOLARES PROPUESTAS EVALUACIÓN DEL DESARROLLO DE LA PROGRAMACIÓN Y LA PRÁCTICA DOCENTE INFORMACIÓN A LOS ALUMNOS ALUMNOS DE 2º DE BACHILLERATO CON LAS MATEMÀTICAS DE 1º PENDIENTES ALUMNOS DE 2º DE BACHILLERATO QUE PERMANEZCAN UN AÑO MAS EN 2º CURSO...53 Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 1

2 MATEMÁTICAS CC. SS. II Nota La programación didáctica de este curso se apoya totalmente en el Currículo de Matemáticas establecido en el Principado de Asturias y publicado en el Boletín Oficial del mismo, los objetivos así como los contenidos y criterios de evaluación por bloques del currículo oficial aparecen en primer lugar y a continuación el desarrollo y desglose por unidades coincidiendo plenamente con dicho currículo. 1.OBJETIVOS, CONTENIDOS Y CRITERIOS DE EVALUACIÓN MATEMÁTICAS CC.SS II (Currículo oficial) OBJETIVOS (Currículo) La enseñanza de las Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales en el Bachillerato tendrá como finalidad el desarrollo de las siguientes capacidades: 1. Aplicar a situaciones diversas los contenidos matemáticos para analizar, interpretar y valorar fenómenos sociales, con objeto de comprender y expresar de forma adecuada aspectos de la realidad social y económica, así como los retos que plantea la sociedad actual. 2. Adoptar actitudes propias de la actividad matemática como la visión analítica, o la necesidad de coherencia y verificación de resultados. Asumir la precisión como un criterio subordinado al contexto, las apreciaciones intuitivas como un argumento a contrastar, la apertura a nuevas ideas como un reto y el trabajo cooperativo como una necesidad de la sociedad actual. 3. Elaborar juicios y formar criterios propios sobre fenómenos sociales y económicos, utilizando tratamientos matemáticos. Expresar e interpretar datos y mensajes, argumentando con precisión y rigor y aceptando discrepancias y puntos de vista diferentes como un factor de enriquecimiento. 4. Formular hipótesis, diseñar, utilizar y contrastar estrategias diversas para la resolución de problemas que permitan enfrentarse a situaciones nuevas con autonomía, eficacia, confianza en sí mismo y creatividad. 5. Interpretar con precisión textos y enunciados y utilizar un discurso racional como método para abordar los problemas: justificar procedimientos, encadenar una correcta línea argumental, aportar rigor a los razonamientos y detectar inconsistencias lógicas. 6. Hacer uso de variados recursos, incluidos los informáticos, en la búsqueda selectiva y el tratamiento de la información gráfica, estadística y algebraica en sus categorías financiera, humanística o de otra índole, aprovechando la potencialidad de cálculo y representación gráfica para enfrentarse a situaciones problemáticas, analizando el problema, definiendo estrategias, buscando soluciones e interpretando con corrección y profundidad los resultados obtenidos de ese tratamiento. 7. Expresarse con corrección de forma verbal y por escrito, e incorporar con naturalidad el lenguaje técnico y gráfico a situaciones susceptibles de ser tratadas matemáticamente. Adquirir y manejar con fluidez un vocabulario específico de términos y notaciones matemáticos. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 2

3 8. Utilizar el conocimiento matemático para interpretar, comprender y valorar la realidad, estableciendo relaciones entre las matemáticas y el entorno social, cultural o económico. Apreciar el conocimiento y el desarrollo histórico de las matemáticas como un proceso cambiante y dinámico, al que han contribuido tanto hombres como mujeres a lo largo de la historia, adoptando actitudes de solidaridad, tolerancia y respeto, contribuyendo así a la formación personal y al enriquecimiento cultural. CONTENIDOS MATEMÁTICAS CC.SS. II(Currículo oficial) BLOQUE 1: CONTENIDOS COMUNES Planteamiento y desarrollo de estrategias propias de resolución de problemas como formulación de hipótesis, verificación, nuevas alternativas y generalización. Expresión verbal y escrita de argumentaciones, justificaciones y procesos en la resolución de problemas con el rigor preciso y adecuado a cada situación. Reconocimiento y valoración de las herramientas matemáticas para interpretar, predecir y describir situaciones y para resolver problemas de las ciencias sociales y humanas de forma eficaz. Utilización de recursos tecnológicos para manejar datos, facilitar y comprobar cálculos, representar funciones, calcular límites, obtener derivadas o integrales de funciones, interpretando los resultados en los contextos planteados. Sentido crítico y cautela ante las informaciones de carácter matemático que aparecen en los medios de comunicación. Presentación ordenada de los conceptos y procedimientos aplicados, explicación de la estrategia elegida y del proceso seguido utilizando la terminología adecuada y valoración crítica los resultados obtenidos. BLOQUE 2. ÁLGEBRA Las matrices como expresión de tablas y grafos. Identificación de los tipos de matrices. Suma y producto de matrices. Interpretación del significado de las operaciones con matrices en la resolución de problemas extraídos de las ciencias sociales. Rango de una matriz. Obtención, interpretación y utilización del rango de una matriz. Determinantes. Propiedades y cálculo de determinantes de orden dos y de orden tres. Aplicación de los determinantes en el cálculo del rango de una matriz. Matriz inversa. Utilización de la matriz inversa en la resolución de ecuaciones matriciales sencillas. Sistemas de ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas. Soluciones. Métodos de resolución. Interpretación de enunciados que den lugar a sistemas de ecuaciones lineales. Aplicación de matrices y determinantes al estudio y resolución de sistemas. Inecuaciones lineales con una o dos incógnitas. Sistemas de inecuaciones. Interpretación gráfica de las soluciones. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 3

4 Programación lineal bidimensional. Aplicaciones a la resolución de problemas sociales, económicos y demográficos. BLOQUE 3. ANÁLISIS Aproximación al concepto de límite a partir de la interpretación de la tendencia de una función. Cálculo e interpretación gráfica del límite de funciones polinómicas, racionales, irracionales sencillas, exponenciales y logarítmicas en un punto y en el infinito. Concepto de continuidad. Interpretación de los diferentes tipos de discontinuidad y de las tendencias asintóticas en el tratamiento de la información. Estudio de la continuidad de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas sencillas y definidas a trozos. Derivada de una función en un punto. Aproximación al concepto e interpretación geométrica. Interpretación de la derivada como variación de una función en un punto. Cálculo de derivadas de funciones elementales - polinómicas, racionales, irracionales sencillas, exponenciales y logarítmicas -, con un máximo de dos composiciones. Aplicación de las derivadas al estudio de las propiedades locales de funciones habituales y a la resolución de problemas de optimización relacionados con las ciencias sociales y la economía. Estudio y representación gráfica de una función polinómica o racional sencilla a partir de sus propiedades globales y locales. Aplicación a la interpretación de fenómenos económicos y sociales. Función primitiva. Cálculo de integrales inmediatas, aplicación del método de integración por partes y cambios de variable muy sencillos. El problema del área limitado por una gráfica. La integral definida. Aplicación de la regla de Barrow para calcular el área de recintos planos limitados por dos curvas. BLOQUE 4. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Experimentos aleatorios. Sucesos. Operaciones. Expresión de situaciones diversas en lenguaje de sucesos aleatorios. Probabilidad de Laplace. Aplicación de la ley de Laplace a la obtención de probabilidades. Probabilidad condicionada. Independencia de sucesos. Ley de las probabilidades totales. Teorema de Bayes. Asignación de probabilidades a sucesos asociados a experiencias aleatorias compuestas utilizando técnicas diversas. Formulación y validación de conjeturas a través del cálculo de probabilidades y utilización de las mismas en la toma de decisiones. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 4

5 Implicaciones prácticas de los teoremas: central del límite, de aproximación de la binomial a la normal y ley de los grandes números. Población y muestra. Técnicas de muestreo. Condiciones de representatividad. Selección de una muestra representativa en poblaciones asequibles. Parámetros de una población y estadísticos muestrales. Inferencia estadística. Distribuciones de probabilidad de las medias y proporciones muestrales. Intervalo de confianza para el parámetro p de una distribución binomial y para la media de una distribución normal de desviación típica conocida. Estimación puntual y por intervalos de confianza de la media o de la proporción de una población. Determinación del tamaño de una muestra dependiendo del error máximo admisible y de la confianza deseada. Contraste de hipótesis para la proporción de una distribución binomial y para la media o diferencias de medias de distribuciones normales con desviación típica conocida. Reconocimiento de la utilidad y la potencia de la estadística inferencial para hacer estimaciones ajustadas de una población a partir de una muestra de pequeño tamaño. CRITERIOS DE EVALUACIÓN MATEMÁTICAS CC.SS. I (Currículo oficial) 1. Utilizar el lenguaje matricial y aplicar las operaciones con matrices como instrumento para el tratamiento de situaciones relacionadas con las ciencias sociales que manejen datos estructurados en forma de tablas o grafos. Este criterio pretende evaluar la destreza para resolver problemas relacionados con las ciencias sociales y económicas, utilizando las matrices tanto para organizar la información como para transformarla a través de determinadas operaciones, utilizando la notación matemática adecuada y manejando recursos informáticos que faciliten la búsqueda de soluciones, los cálculos y la interpretación de los resultados obtenidos. Se trata también de observar la capacidad para resolver ecuaciones matriciales sencillas manejando las operaciones y la matriz inversa. 2. Transcribir problemas expresados en lenguaje usual al lenguaje algebraico y resolverlos utilizando matrices y ecuaciones, interpretando críticamente el significado de las soluciones obtenidas. Este criterio está dirigido a valorar la competencia para resolver problemas seleccionando las estrategias y herramientas algebraicas, justificando el procedimiento elegido; comprobando la validez e interpretando críticamente el significado de las soluciones obtenidas, utilizando con eficacia el lenguaje algebraico tanto para plantear un problema mediante sistemas de ecuaciones, (de un máximo de tres ecuaciones con tres incógnitas y un parámetro), como para resolverlo aplicando las técnicas adecuadas, utilizando las matrices para el estudio de la compatibilidad de sistemas, aplicando diferentes métodos, como Gauss, Cramer u otros, para resolverlos. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 5

6 3. Interpretar y traducir enunciados de problemas de programación lineal bidimensional, determinar las posibles soluciones y obtener la solución óptima. Este criterio pretende evaluar la capacidad para enfrentarse a contextos reales en los que haya que interpretar enunciados, expresarlos en términos de inecuaciones con dos incógnitas, facilitar las soluciones gráficamente, reconocer las que son válidas y optimizarlas de acuerdo con una determinada condición, así como de comprobar la validez e interpretar críticamente el significado de las soluciones obtenidas. Se valorará la destreza en el manejo y combinación de los lenguajes algebraico y gráfico en la resolución de problemas de programación lineal. 4. Analizar e interpretar fenómenos habituales en las ciencias sociales susceptibles de ser descritos mediante una función, a partir del estudio cualitativo y cuantitativo de sus propiedades más características. Este criterio pretende evaluar la capacidad para traducir al lenguaje de las funciones determinados aspectos de las ciencias sociales y para extraer, de esta interpretación matemática, información que permita analizar con criterios de objetividad el fenómeno estudiado. Se comprobará la capacidad para aplicar técnicas analíticas en el estudio de la continuidad y la representación gráfica de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas sencillas, ayudándose en su caso de los programas informáticos, para dar respuestas a las situaciones planteadas, y hacer un análisis crítico de la situación. Se ha de valorar la utilización del lenguaje gráfico en el tratamiento e interpretación de la información. 5. Resolver problemas de optimización extraídos de situaciones reales de carácter económico o social utilizando el cálculo de derivadas como herramienta para obtener conclusiones acerca del comportamiento de una función. Este criterio pretende valorar la capacidad de alumnos y alumnas para utilizar la información que proporciona el cálculo de funciones derivadas y su destreza a la hora de emplear los recursos a su alcance para determinar relaciones y restricciones en forma algebraica, detectar valores extremos, resolver problemas de optimización y extraer conclusiones de fenómenos relacionados con las ciencias sociales. Se trata igualmente de observar la capacidad para interpretar la derivada como herramienta para calcular y expresar los cambios puntuales de una variable con relación a otra. Se valorará el interés del alumnado por justificar los planteamientos, razonar las relaciones determinadas y explicar las conclusiones obtenidas. 6. Utilizar el cálculo integral para hallar áreas de regiones planas limitadas por curvas sencillas y reconocer la relación existente entre función primitiva e integral definida. Se pretende comprobar la capacidad para resolver problemas utilizando el cálculo integral, aplicando los métodos de integración inmediata, por partes y cambios de variable sencillos, y la regla de Barrow para hallar el área de un recinto plano limitado por dos curvas, utilizando la terminología apropiada. Se ha de valorar además el interés y la curiosidad por investigar las aplicaciones del cálculo integral en situaciones relacionadas con la economía y la probabilidad. 7. Asignar probabilidades a sucesos aleatorios simples y compuestos, dependientes o independientes, utilizando técnicas personales de recuento, diagramas de árbol o tablas de contingencia. Se trata de abordar problemas relacionados con situaciones que han de ser interpretadas y expresadas en términos de sucesos, para poder valorarlas de forma precisa a través del cálculo de probabilidades. Asimismo se quiere evaluar la competencia para estimar y calcular probabilidades utilizando para ello diversas técnicas, fórmulas, diagramas, tablas o esquemas, a la hora de asignar probabilidades a priori y a posteriori, compuestas o condicionadas y analizar, interpretar y explicar tanto los procesos seguidos como los resultados obtenidos de acuerdo con las situaciones planteadas. 8. Diseñar y desarrollar estudios estadísticos de fenómenos sociales que permitan estimar Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 6

7 parámetros con una fiabilidad y exactitud prefijadas, determinar el tipo de distribución e inferir conclusiones acerca del comportamiento de la población estudiada. Se pretende comprobar la capacidad para identificar si la población de estudio es normal y medir la competencia para determinar el tipo y tamaño muestral, establecer un intervalo de confianza para μ y p, según que la población sea normal o binomial, y determinar si la diferencia de medias o proporciones entre dos poblaciones o respecto de un valor determinado, es significativa. Este criterio lleva implícita la valoración de la destreza para utilizar distribuciones de probabilidad y la capacidad para inferir conclusiones, expresándolas con un vocabulario matemático adecuado, a partir de los datos obtenidos. Por otro lado se trata de que el alumnado comprenda y valore la importancia que actualmente tienen los procedimientos de estadística inferencial en el análisis de situaciones comerciales, sociales y políticas así como la necesidad de proceder de forma rigurosa y crítica en el estudio de las mismas.. 9. Analizar de forma crítica informes estadísticos presentes en los medios de comunicación y otros ámbitos, detectando posibles errores y manipulaciones tanto en la presentación de los datos como de las conclusiones. Se trata de evaluar que alumnos y alumnas interpretan y expresan en términos propios del lenguaje estadístico informaciones obtenidas de diversos medios. Se valora el nivel de autonomía, rigor y sentido crítico alcanzado al analizar la fiabilidad del tratamiento de la información estadística que hacen los medios de comunicación y los mensajes publicitarios, especialmente a través de informes relacionados con fenómenos de especial relevancia social. 10. Reconocer el papel de las matemáticas como instrumento para la comprensión de la realidad, lo que las convierte en un parte esencial de nuestra cultura y aplicar los conocimientos adquiridos a situaciones nuevas, diseñando, utilizando y contrastando distintas estrategias y herramientas matemáticas para su estudio y tratamiento. Se trata de valorar la capacidad del alumnado para interpretar en términos matemáticos determinados aspectos de la realidad, especialmente los que se refieren a las ciencias sociales, analizarlos utilizando para ello las herramientas matemáticas estudiadas y valorarlos de forma crítica de acuerdo con los resultados. Se valorará el interés por la explicación y justificación de los procesos seguidos y la búsqueda de diferentes estrategias. Se evaluará además la utilización por parte del alumnado de diversas fuentes para obtener información sobre fenómenos sociales, enjuiciarla matemáticamente y formar criterios propios, argumentar a partir de ella con rigor y precisión, manejando con fluidez el vocabulario específico de términos y notaciones matemáticos. 11. Utilizar recursos diversos tanto en la obtención de información como para la realización de cálculos y gráficos, realizar conjeturas y plantear hipótesis, buscar soluciones servir de apoyo en argumentaciones y exposición de conclusiones en aquellas situaciones que así lo requieran. Se pretende con ello evaluar la capacidad de alumnas y alumnos para utilizar tecnologías de comunicación y de información así como recursos tecnológicos (calculadora, hoja de cálculo, sistemas de representación de objetos matemáticos y de álgebra computacional) para abordar situaciones problemáticas planteadas que precisen, por un lado la búsqueda de datos de forma selectiva, interpretándolos y analizándolos con rigor, y por otro la realización de cálculos en progresiva complejidad, así como para presentar resultados y gráficos de forma atractiva y clara. Se trata también de valorar el interés por el uso de estos recursos para realizar conjeturas y contrastar estrategias con autonomía. 12. Valorar positivamente los principios de justicia e igualdad y rechazar situaciones que coarten los derechos individuales y sociales, así como cualquier forma de discriminación por razones de sexo, origen, creencia o cualquier otra circunstancia social o personal. Con este criterio se pretende valorar si el alumno o alumna manifiesta un comportamiento crítico ante estereotipos y prejuicios, valorando la igualdad entre hombres y mujeres en Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 7

8 diferentes ámbitos educativos. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 8

9 2.OBJETIVOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN, CAPACIDADES Y CONTENIDOS MATEMÁTICAS CC. SS. II (Desglosados por unidades) UNIDAD 1: Matrices I. OBJETIVOS Utilizar las matrices como forma de representar y transmitir información. Realizar operaciones con matrices y conocer sus propiedades. Conocer el significado de rango de una matriz, saber calcularlo y aplicarlo. Saber determinar si una matriz es inversible y, en caso de que lo sea, saber calcular su inversa. Utilizar las matrices en la resolución de problemas algebraicos. II. CRITERIOS DE EVALUACIÓN A. Utilizar las matrices en la representación e interpretación de situaciones que conllevan datos estructurados en forma de tablas o grafos. B. Realizar operaciones combinadas con matrices. C. Resolver ecuaciones matriciales D. Entender el concepto de rango de una matriz y saber calcularlo por el método de Gauss. E. Calcular el rango de una matriz que depende de un parámetro. F. Determinar si una matriz cuadrada es o no inversible mediante el cálculo de su rango. G. Calcular la matriz inversa de una matriz dada a partir de la definición o por el método de Gauss. H. Resolver problemas algebraicos utilizando matrices, sus operaciones y propiedades III. COMPETENCIAS BÁSICAS Utilizar el lenguaje algebraico en general y el matricial en particular para describir y resolver situaciones problemáticas en distintos contextos. Desarrollar habilidades para procesar y comunicar información a través de tablas numéricas, grafos y matrices, siendo capaces de pasar de unos métodos a otros. Utilizar aplicaciones informáticas para operar con grandes cantidades de datos estructurados, utilizando para ello los comandos de cálculo matricial que dichas aplicaciones incorporan. Desarrollar la autonomía e iniciativa personal a la hora de buscar nuevos métodos en la resolución de problemas reales en cualquier contexto.. IV. CONTENIDOS Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 9

10 CONCEPTOS Matrices. Conceptos básicos. Tipos de matrices: matriz fila, columna, cuadrada, traspuesta, etc. Operaciones con matrices: suma y producto por un número. Propiedades. Producto de matrices. Propiedades. Dependencia lineal de filas y columnas. Rango de una matriz. Matrices inversibles. Cálculo de la matriz inversa. Aplicaciones de las matrices a las ciencias sociales. PROCEDIMIENTOS Utilizar las matrices en la representación, interpretación y manipulación de datos numéricos estructurados. Conocer y utilizar la nomenclatura básica de las matrices y su clasificación. Realizar operaciones con matrices y utilizar con corrección sus propiedades. Resolver ecuaciones matriciales. Determinar matrices regulares y calcular la matriz inversa a partir de la definición. Utilizar el método de Gauss en el cálculo del rango de una matriz y en la determinación de si una matriz cuadrada es o no inversible. Utilizar el método de Gauss en el cálculo de la matriz inversa de una dada. Utilizar las matrices y sus operaciones en la resolución de problemas propios de las ciencias sociales. ACTITUDES Aprecio por los métodos de representación tabulada de datos numéricos. Valoración de las matrices y el álgebra matricial por su utilidad en la representación, manipulación e interpretación de datos numéricos y grafos. Gusto por facilitar de forma clara y precisa la información mediante la utilización de tablas, grafos y matrices. Valoración de las nuevas tecnologías por su utilidad en el tratamiento y manipulación de grandes cantidades de información. UNIDAD 2: Determinantes I. OBJETIVOS DIDÁCTICOS Conocer la definición de determinante de una matriz cuadrada y saber calcular su valor para matrices cuadradas de orden menor o igual a 3. Conocer la regla de Sarrus y aplicarla en el cálculo de determinantes de orden 3. Conocer las propiedades de los determinantes y utilizarlas para simplificar el cálculo de los mismos. Utilizar los determinantes en el cálculo matricial. II. CRITERIOS DE EVALUACIÓN A. Calcular determinantes de orden 2. B. Calcular, mediante la regla de Sarrus, determinantes de orden 3. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 10

11 C. Utilizar las propiedades de los determinantes en el cálculo de determinantes de orden mayor o igual a 3. D. Determinar el rango de una matriz mediante el uso de determinantes. E. Calcular el rango de una matriz que depende de un parámetro. F. Determinar, mediante determinantes, si una matriz cuadrada es o no inversible. G. Utilizar los determinantes para calcular la inversa de una matriz cuadrada regular. H. Resolver ecuaciones matriciales en cuyo planteamiento intervienen matrices regulares de orden menor o igual a 3. III. COMPETENCIAS BÁSICAS Utilizar el lenguaje algebraico en general, y el relativo a matrices y determinantes en particular, para describir y resolver problemas en diversas situaciones y en distintos contextos. Diseñar, a partir de la definición y las propiedades de los determinantes, nuevas estrategias que faciliten el cálculo de los mismos y puedan utilizarse en la resolución de otras situaciones propias del álgebra. Utilizar los medios tecnológicos disponibles para simplificar los largos cálculos que en ocasiones conlleva la resolución de los problemas del álgebra lineal. Desarrollar la autonomía e iniciativa personal a la hora de elegir el método más apropiado en la resolución de problemas propios del álgebra lineal. IV. CONTENIDOS CONCEPTOS Determinantes de segundo y tercer orden. Adjuntos de los elementos de una matriz cuadrada. Determinante de una matriz cuadrada de cualquier orden. Propiedades de los determinantes. Desarrollo de un determinante por los elementos de una fila o columna. Transformaciones que simplifican el cálculo de determinantes. Cálculo del rango de una matriz mediante menores. Caracterización de la regularidad de una matriz mediante determinantes. Cálculo de la matriz inversa de una matriz regular mediante determinantes. Ecuaciones matriciales. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 11

12 PROCEDIMIENTOS Calcular determinantes de orden dos y tres (regla de Sarrus). Utilizar las propiedades de los determinantes en la simplificación del cálculo de los mismos. Calcular determinantes desarrollando por los elementos de una fila o columna. Usar transformaciones lineales para hacer ceros varios elementos de una fila o columna de una matriz. Determinar el rango de una matriz mediante el orden del mayor menor no nulo. Determinar el rango de una matriz dependiente de un parámetro. Determinar la regularidad o singularidad de una matriz cuadrada. Calcular la matriz inversa de una matriz a través de la matriz de los adjuntos. Resolver ecuaciones matriciales usando matrices inversas. ACTITUDES Valoración de los determinantes por su utilidad en la resolución de problemas del álgebra lineal y de la geometría vectorial. Interés por los procedimientos que permiten simplificar cálculos laboriosos, utilizando las propiedades inherentes a determinados objetos matemáticos. Interés por la utilización de distintos métodos en la resolución de un mismo problema valorando las ventajas e inconvenientes de cada uno de ellos. Valoración de las nuevas tecnologías por su precisión y rapidez en los cálculos matemáticos. UNIDAD 3: Sistemas de ecuaciones lineales I. OBJETIVOS DIDÁCTICOS Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss. Conocer la regla de Cramer y utilizarla, cuando sea posible, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Conocer el teorema de Rouché y utilizarlo en la determinación de la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales. Determinar la compatibilidad de sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro y resolverlos en los casos en que sea compatible. Utilizar los sistemas de ecuaciones lineales para plantear y resolver problemas. II. CRITERIOS DE EVALUACIÓN A. Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss. B. Expresar matricialmente un sistema de ecuaciones lineales y, si es posible, resolverlo utilizando la matriz inversa de la matriz de coeficientes. C. Resolver, mediante la regla de Cramer, sistemas de ecuaciones lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas. D. Determinar, tanto por Gauss como aplicando el teorema de Rouché, la compatibilidad de sistemas de ecuaciones lineales, y resolverlos en el caso de ser compatibles. E. Resolver sistemas homogéneos. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 12

13 F. Discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro. G. Plantear y resolver problemas que den lugar a sistemas de ecuaciones lineales III. COMPETENCIAS BÁSICAS Utilizar el lenguaje algebraico para describir y resolver problemas que aparecen en distintos contextos. Reconocer la utilidad del lenguaje matricial a la hora de simplificar las expresiones algebraicas lineales utilizadas para describir las condiciones y limitaciones asociadas a multitud de problemas. Resolver problemas de otras disciplinas mediante el planteamiento y resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Interpretar y analizar la validez de los resultados obtenidos al resolver los sistemas de ecuaciones lineales utilizados para describir problemas en diversos contextos. Utilizar los medios tecnológicos en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Conocer la evolución histórica del álgebra lineal y de los distintos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones. Desarrollar la autonomía y la iniciativa personal a la hora de buscar nuevos métodos en la resolución de problemas reales en cualquier contexto. IVCONTENIDOS CONCEPTOS Sistemas de ecuaciones lineales. Expresión matricial. Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas equivalentes. Criterios de equivalencia. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método de Gauss. Sistemas de Cramer. Regla de Cramer. Teorema de Rouché. Criterio de compatibilidad. Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas dependientes de un parámetro. Discusión y resolución. Sistemas homogéneos. Interpretación geométrica para sistemas lineales con dos incógnitas. Aplicación de los sistemas a las ciencias sociales. PROCEDIMIENTOS Plantear matricialmente un sistema de ecuaciones lineales dado en su forma clásica, y viceversa. Obtener sistemas equivalentes a uno dado mediante transformaciones lineales. Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss. Resolver sistemas de ecuaciones de Cramer mediante la matriz inversa de la matriz de coeficientes. Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante la regla de Cramer. Aplicar el teorema de Rouché en la determinación de la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales. Discutir sistemas que dependen de un parámetro. Resolver sistemas homogéneos. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 13

14 Plantear y resolver, por cualquier método, problemas que den lugar a sistemas de ecuaciones lineales. ACTITUDES Interés en la búsqueda de nuevas estrategias de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Curiosidad por los procesos que conducen a la generalización de situaciones y métodos. Confianza en la capacidad para describir situaciones diversas, relacionadas con lo cotidiano o con otras disciplinas, a través del lenguaje algebraico de los sistemas de ecuaciones. Valoración de las nuevas tecnologías por su utilidad en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con un elevado número de variables y condiciones. UNIDAD 4: Programación lineal I. OBJETIVOS DIDÁCTICOS Resolver gráficamente inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas. Dominar el lenguaje propio de la programación lineal: restricciones, función objetivo, región factible. Representar gráficamente la región factible asociada a varias restricciones y determinar, tanto gráfica como analíticamente, la solución óptima. Plantear y resolver problemas de programación lineal partiendo de su enunciado. II. CRITERIOS DE EVALUACIÓN A. Resolver gráficamente inecuaciones lineales con dos incógnitas. B. Resolver gráficamente sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas. C. Determinar y escribir algebraicamente la función objetivo y las restricciones asociadas a un problema de programación lineal. D. Determinar los vértices y dibujar la región factible asociada a un conjunto de restricciones, en la que intervengan dos variables. E. Resolver problemas de programación lineal con dos incógnitas, dados de forma meramente algebraica. F. Resolver problemas de programación lineal, tanto de forma analítica como gráfica, dados mediante enunciados sencillos. G. Resolver problemas de programación lineal, dados mediante enunciados complejos. III. COMPETENCIAS BÁSICAS Utilizar conjuntamente distintos tipos de lenguaje, algebraico y gráfico, en la descripción y resolución de situaciones problemáticas en distintos contextos. Reconocer las ventajas e inconvenientes de estos dos lenguajes a la hora de describir las posibles soluciones de un problema dado mediante un amplio conjunto de condiciones y restricciones. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 14

15 Resolver problemas de otras disciplinas mediante el planteamiento y resolución de sistemas de inecuaciones lineales y las técnicas propias de la programación lineal.) Interpretar y analizar la región factible asociada a un problema de programación lineal, y elegir, de entre todas las posibles soluciones, aquella que optimiza los resultados. Utilizar y valorar los medios tecnológicos en la resolución de los problemas típicos de la programación lineal. IVCONTENIDOS CONCEPTOS Inecuaciones lineales con dos incógnitas. Interpretación geométrica. Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas. Interpretación geométrica. Orígenes de la programación lineal. Planteamiento general de un problema de programación lineal: función objetivo y restricciones. Determinación de la región factible. Resolución analítica. Resolución gráfica. Aplicaciones de la programación lineal en las ciencias sociales. PROCEDIMIENTOS Resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con una o dos incógnitas. Determinar la expresión analítica de la función objetivo asociada a un problema de programación lineal. Encontrar las expresiones algebraicas de las restricciones asociadas a un problema de programación lineal. Determinar y representar gráficamente la región factible asociada a un conjunto de restricciones. Determinar, analítica y gráficamente, los puntos que optimizan la función objetivo. Plantear problemas de programación lineal partiendo de su enunciado general. Resolver problemas de programación lineal, dados de forma algebraica o por medio de un enunciado literal. ACTITUDES Valoración del lenguaje algebraico y gráfico como los apropiados para plantear y resolver los problemas de programación lineal. Interés por el origen de la programación lineal y valoración de su influencia en la historia del siglo XX. Conocimiento y valoración de la importancia de la programación lineal en la resolución de problemas comunes de la sociedad actual: problema de la dieta, problema del transporte, etc. Sentido crítico ante las soluciones obtenidas. Valoración de los recursos informáticos por su utilidad en la resolución de problemas de programación lineal de gran complejidad. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 15

16 Conocer el contexto histórico en el que nació y se desarrolló la programación lineal, y la gran influencia de esta materia en la solución de grandes problemas de la sociedad actual. (C5, C6) Desarrollar la autonomía y la iniciativa personal a la hora de buscar nuevos métodos en la resolución de problemas reales en cualquier contexto. (C3, C5, C7, C8) UNIDAD 5: Funciones. Límites y continuidad I. OBJETIVOS DIDÁCTICOS Conocer el concepto de función real de variable real y saber operar con funciones dadas por sus expresiones algebraicas. Calcular límites de funciones en un punto o en el infinito, utilizando algunas técnicas para resolver indeterminaciones. Adquirir el concepto de función continua en un punto y en un intervalo, y saber identificar y clasificar los puntos de discontinuidad de una función, dada por su expresión algebraica. Conocer y aplicar los teoremas fundamentales de funciones continuas en un intervalo cerrado. Utilizar el cálculo de límites y el estudio de la continuidad para obtener conclusiones sobre el comportamiento de un fenómeno social. II. CRITERIOS DE EVALUACIÓN A. Utilizar funciones, dadas por su expresión algebraica, para expresar y analizar la dependencia de una magnitud respecto de otra. B. Operar con funciones dadas por sus expresiones algebraicas. C. Calcular, por medios algebraicos, límites de funciones. 0 D. Resolver indeterminaciones del tipo ; ; ; ; 0 ( ) k. 0 0 E. Estudiar la continuidad de una función en un punto y en un intervalo. F. Determinar los puntos de discontinuidad de una función, así como el tipo de discontinuidad. G. Estudiar la continuidad de una función obtenida a través de operaciones algebraicas entre funciones elementales o por composición de las mismas. H. Utilizar el teorema de Bolzano para acotar y aproximar las soluciones de una ecuación. I. Aplicar los límites y el estudio de la continuidad de una función en la resolución de problemas propios de las ciencias sociales. III. COMPETENCIAS BÁSICAS Utilizar distintas formas y expresiones para definir la dependencia funcional entre dos variables: tablas, representaciones gráficas, expresiones algebraicas o simplemente con el lenguaje ordinario. El cálculo de límites está presente en cantidad de problemas relacionados con la demografía, la economía y otras ciencias, y nos permite comprender y expresar Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 16

17 mejor ciertos conceptos, como el comportamiento instantáneo o la tendencia a largo plazo de determinadas variables. Conocer la aritmética del infinito, las indeterminaciones y los procesos para resolver estas. Analizar con carácter crítico y dar una explicación plausible a ciertas paradojas históricas. IV. CONTENIDOS CONCEPTOS Función real de variable real. Operaciones con funciones. Límite de una función en un punto. Límites laterales. Propiedades de los límites. Límites infinitos y en el infinito. Operaciones con expresiones infinitas. Cálculo de límites. Indeterminaciones. Continuidad de una función en un punto y en un intervalo. Discontinuidades de una función. Inevitables y evitables. Propiedades de las funciones continuas. Teorema de Bolzano. Teorema del máximo y mínimo de una función. Aplicaciones de los límites y la continuidad en las ciencias sociales. PROCEDIMIENTOS Reconocer relaciones funcionales. Operar algebraicamente con funciones reales de variable real y obtener la función compuesta de dos o más funciones. Conocer las propiedades de los límites y aplicarlas en el cálculo de los mismos. Calcular límites laterales en funciones definidas a trozos. Calcular límites de diversos tipos a partir de la expresión analítica de una función. Estudiar la continuidad o discontinuidad de una función en un punto. Calcular el valor que ha de tomar un parámetro para que una función dependiente de él sea continua. Buscar la expresión analítica de una función que verifique determinadas propiedades en cuanto a su continuidad. Aplicar el teorema de Bolzano en la determinación de intervalos en los que una función tiene una raíz. ACTITUDES Interés por la búsqueda de funciones que reflejen las relaciones existentes entre magnitudes o fenómenos naturales o sociales. Curiosidad por abordar matemáticamente problemas relacionados con las tendencias de funciones asociadas a fenómenos naturales o sociales. Valoración del lenguaje simbólico como herramienta para describir la tendencia de una función. Valoración del lenguaje gráfico para determinar las tendencias de funciones. Valoración positiva de las técnicas para calcular límites. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 17

18 Valoración positiva del uso de las nuevas tecnologías en el cálculo de límites y en el análisis de la tendencia de una función. Disposición para crear modelos y realizar abstracciones a partir de situaciones problemáticas concretas. Utilizar las nuevas tecnologías para estudiar el comportamiento de ciertas variables en las proximidades de un punto y su tendencia a largo plazo. (C2, C4, C7, C8) Adquirir conceptos y procedimientos que nos permitan comprender y aprender, para posteriormente utilizar, conceptos matemáticos más complejos (C2, C7) UNIDAD 6: Derivadas I. OBJETIVOS DIDÁCTICOS Comprender el concepto, la utilidad y las aplicaciones de las tasas de variación media e instantánea de una función y aprender a calcularlas. Conocer la interpretación geométrica del concepto de derivada de una función en un punto y saber calcular la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto. Saber calcular la función derivada de las funciones elementales y de las obtenidas mediante operaciones algebraicas de las elementales. Saber aplicar correctamente la regla de la cadena para calcular la función derivada de funciones obtenidas por composición de funciones elementales. Utilizar el concepto de tasa de variación media y de derivada en la resolución de problemas propios de las ciencias sociales. II. CRITERIOS DE EVALUACIÓN A. Calcular la tasa de variación media de una función en un intervalo. B. Calcular la derivada de una función en un punto aplicando la definición. C. Calcular la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto. D. Calcular la función derivada de funciones elementales. E. Calcular la función derivada de funciones obtenidas mediante operaciones algebraicas con funciones elementales. F. Calcular la función derivada de una función obtenida mediante la composición de dos o más funciones elementales. G. Aplicar las derivadas en la resolución de problemas propios de las ciencias sociales. III. COMPETENCIAS BÁSICAS Utilizar la derivada de una función, asociada a cierto fenómeno social o natural, en un punto para extraer y elaborar conclusiones sobre el comportamiento de dicha función en las proximidades de ese punto. Conocer la evolución histórica del problema del cálculo de la tangente a una curva en un punto. Distinguir entre propiedades globales y puntuales, variaciones medias en un intervalo y variación instantánea, y utilizarlo en el análisis crítico del comportamiento de ciertos fenómenos Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 18

19 Utilizar las nuevas tecnologías para representar y analizar el comportamiento local y global de las funciones. IV. CONTENIDOS CONCEPTOS Tasa de variación media de una función en un intervalo. Tasa de variación instantánea en un punto. Derivada de una función en un punto. Ecuación de la recta tangente a una función en un punto. Función derivada de una función. Derivadas de las funciones elementales. Reglas de derivación. Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena. Derivada de la función inversa de una dada. Derivadas laterales. Aproximación lineal de una función en un punto. PROCEDIMIENTOS Calcular la tasa de variación media de una función en un intervalo. Calcular la derivada de una función en un punto utilizando la definición. Calcular la pendiente de la recta tangente a una función en un punto, así como la ecuación de la recta. Determinar la función derivada de las funciones elementales. Aplicar las reglas de derivación en el cálculo de la función derivada de una función. Aplicar la regla de la cadena en la determinación de la función derivada de una función compuesta. Calcular la derivada de la función inversa de una dada. Calcular las derivadas laterales de una función en un punto. Utilizar la aproximación lineal para calcular el valor aproximado de una función en un punto. Estudiar la continuidad y derivabilidad de una función. ACTITUDES Valoración de la utilidad del concepto de derivada para analizar el comportamiento de fenómenos científicos y sociales. Valoración del lenguaje simbólico como instrumento útil para describir la variación de una magnitud respecto de otra, en un punto o en un intervalo. Valoración de las reglas de derivación y de la regla de la cadena por su utilidad a la hora de calcular derivadas de funciones complejas. Disposición para crear modelos matemáticos que permitan estudiar el comportamiento de diversos fenómenos naturales o sociales. Valoración de los recursos informáticos en el estudio global de funciones. UNIDAD 7: Aplicaciones de las derivadas Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 19

20 I. OBJETIVOS DIDÁCTICOS Saber calcular las derivadas sucesivas de una función. Determinar la monotonía y la curvatura de una función a partir del estudio de su primera y segunda derivada. Saber calcular los máximos y mínimos relativos y absolutos de una función y sus puntos de inflexión a partir del estudio de su primera y segunda derivada. Utilizar el cálculo de derivadas para resolver problemas de optimización extraídos de situaciones reales, interpretando los resultados obtenidos. Conocer y aplicar los teoremas de Rolle y del valor medio. IICRITERIOS DE EVALUACIÓN A. Calcular las derivadas sucesivas de funciones elementales. B. Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función derivable. C. Determinar los intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo de una función derivable. D. Calcular los máximos y mínimos relativos de una función derivable. E. Calcular los puntos de inflexión de una función derivable. F. Resolver problemas de optimización en distintos contextos. G.Determinar el número de raíces reales de una función polinómica cuya función derivada es fácilmente factorizable. III. COMPETENCIAS BÁSICAS Utilizar las funciones y en especial sus gráficas para describir, analizar y determinar el comportamiento de un fenómeno dado por una expresión algebraica. Utilizar la función derivada de una función, asociada a cierto fenómeno social o natural, para extraer y elaborar conclusiones sobre el comportamiento local o global de dicha función. Interpretar de manera racional la información gráfica difundida por los medios de comunicación relativa a la evolución, en función del tiempo, de algunas variables de carácter social o económico. Plantear y resolver, utilizando la terminología adecuada, problemas de optimización en diversos contextos geométricos, sociales, económicos, etc. Utilizar las nuevas tecnologías para representar y analizar el comportamiento local y global de las funciones. IV. CONTENIDOS CONCEPTOS Derivadas sucesivas de una función Monotonía. Funciones crecientes y decrecientes en un punto y en un intervalo. Extremos relativos: máximos y mínimos. Aplicación de las derivadas a problemas de optimización. Curvatura. Funciones cóncavas hacia arriba y cóncavas hacia abajo. Puntos de inflexión. Teorema de Rolle. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 20

21 Teorema del valor medio. PROCEDIMIENTOS Calcular las derivadas sucesivas de una función. Utilizar el estudio del signo de la función derivada de una función para obtener los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Determinar los máximos y mínimos relativos de una función. Determinar la curvatura de una función y de sus puntos de inflexión a partir del estudio de sus derivadas primera y segunda. Estudiar la monotonía, curvatura, extremos relativos y puntos de inflexión de una función dada por su gráfica. Obtener la gráfica de una función, conocidas las de su primera y segunda derivada. Resolver problemas de optimización en diversos contextos. Aplicar el teorema de Rolle para obtener el número de puntos de tangente horizontal de una curva. Determinar el número exacto de soluciones de una ecuación. ACTITUDES Valoración del rigor y el orden a la hora de hacer un estudio local o global de la monotonía y curvatura de una función o de clasificar sus puntos singulares. Disposición para crear modelos matemáticos para estudiar la evolución, y conocer los máximos y mínimos de fenómenos naturales o sociales. Valoración del análisis a la hora de estudiar e interpretar el comportamiento de diversos fenómenos naturales, sociales o económicos. Valoración de los recursos informáticos como herramientas que simplifican las tareas y ayudan a comprender el comportamiento local y global de las funciones. Valoración crítica de la información recibida en forma gráfica, algebraica o escrita sobre la evolución de determinados fenómenos. UNIDAD 8: Representación de funciones I. OBJETIVOS DIDÁCTICOS Realizar el estudio de las tendencias de una función de la cual se conoce su expresión algebraica, calculando sus asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. Representar gráficamente funciones de distinto tipo, utilizando el procedimiento general, obteniendo la información necesaria de la expresión algebraica de dicha función y de su primera y segunda derivada. Aplicar la representación gráfica de funciones a la resolución de problemas en distintos contextos y al análisis crítico de la información recibida. II. CRITERIOS DE EVALUACIÓN A. Calcular la tendencia de una función en el infinito y en las proximidades de puntos aislados en los que no está definida. B. Calcular las asíntotas de una función. C. Calcular los puntos de corte con los ejes y el dominio de una función dada por su expresión algebraica, su gráfica o mediante un enunciado. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 21

22 D. Estudiar la simetría, la periodicidad y el signo de una función. E. Representar gráficamente funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, tras hacer un estudio completo de sus características. F. Resolver los ejercicios propios de las ciencias sociales que conlleven el estudio, la representación gráfica o el análisis de la gráfica asociada a la evolución de cierto fenómeno económico o social. III. COMPETENCIAS BÁSICAS Utilizar las funciones y en especial sus gráficas para describir, analizar y determinar el comportamiento de un fenómeno dado por una expresión algebraica. Interpretar de manera racional y crítica la información gráfica difundida por los medios de comunicación relativa a la evolución, en función del tiempo, de algunas variables de carácter social o económico. Utilizar las nuevas tecnologías para representar y analizar el comportamiento local y global de las funciones. IV. CONTENIDOS CONCEPTOS Dominio y recorrido de una función. Puntos de corte con los ejes. Signo de una función. Simetrías. Función par y función impar. Periodicidad. Ramas infinitas. Asíntotas. Monotonía y extremos relativos. Curvatura y puntos de inflexión. Estudio completo y representación gráfica de funciones y familias de funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Aplicaciones del estudio gráfico de funciones a las ciencias sociales. Resolver ecuaciones e inecuaciones. PROCEDIMIENTOS Determinar el dominio y recorrido de funciones dadas por su expresión algebraica o por su gráfica. Determinar los puntos de corte con los ejes coordenados y de los intervalos en los que la función es positiva o negativa Determinar la paridad de una función. Calcular el período de una función en caso de ser periódica. Estudiar la tendencia de una función en el infinito y en las proximidades de puntos en los que no está definida, y calcular sus asíntotas Realizar un estudio completo de diferentes tipos de funciones, en especial polinómicas y racionales, y trazar su gráfica. Esbozar la gráfica de una función de la que se conocen suficientes características. Analizar la evolución de algunos fenómenos dados por sus gráficas. Departamento Matemáticas I.E.S. Carmen y Severo Ochoa 22