ESTRUCTURAS IV FLEXOTORSION. Facultad de Ingeniería Universidad Nacional de La Plata

Transcripción

1 Facultad de Ingeniería Univeridad Nacional de La Plata ESTRUCTURAS IV FLEXOTORSION Autore: Ing. Juan Pablo Durrut Ing. arco D. Acti Ing. Alejandro J. Patanella Página 1 de 1

2 INTRODUCCION: En lo perfile abierto de parede delgada con do eje de imetría (centro de corte coincidente con el centro de gravedad), el pandeo puede dare egún alguno de eto eje o por torión. En el cao de tener un ólo eje de imetría o ninguno, la pieza puede fallar por alguno de eto tre cao o por una combinación de flexión con torión, lo que e denomina Pandeo por Flexotorión. ECUACIÓN GENERAL DE PANDEO: Cuando e etudia la flexión imple e obtiene que: x = Q x = q el x etá dado por: Y = = x x x 4 Y 4 x = q (1) análogamente para el otro eje: 4 X 4 = q () x Por otra parte, al etudiar el problema de etabilidad, e obtiene: egún el eje : x Y PY = (3) cr Página de 1

3 egún el eje x: X PX = cr (4) Derivando (3) (4): x 4 Y 4 Y = Pcr 4 X 4 = P cr X Reemplazando en (1) (): q =P cr Y (5) qx =P cr X (6) Luego para encontrar la ecuación general de pandeo, provocaremo una perturbación infiniteimal en la direccione x e, compueta con una rotación. (figura 1) α (x, ) Y β B β G B F D G B(x B, B ) d β Y Y G G α t X Figura 1 X X G Como e oberva en la figura 1, e dan a la ección, lo deplazamiento X e Y, un giro que e verifica alrededor del centro de corte de la mima (); pero como éte también e ha deplazado el giro e alrededor de u nueva poición ( ). La nueva coordenada del centro de gravedad (G) erán: XG = X + G D X + G G enα Página 3 de 1

4 pero: análogamente: GG G = G X = X + G enα G" X = X + Y G" Y = Y G D Y G G coα G" Y = Y G coα G" Y = Y X G" (7) (8) Como la carga etá ubicada en el centro de gravedad, al deplazare éte, e generan lo momento: " ( ) = PXG" = P( X + Y ) = PY = P Y X x G reemplazando en (3) (4): Y X ( ) =PY X = x x ( ) = PX+ Y = (9) (1) Coniderando un punto cualquiera obre la línea media de la ección, como por ejemplo el punto B (x B, B ), u deplazamiento erá imilar al de G: YB" = YB + Y + B F YB + B B en β BB B = B Y = Y + Y+ B en β B" B ( ) Y = Y + Y X X B" B B (11) Página 4 de 1

5 X B" = X B + X + B F co β ( ) X = X + X + Y Y B B B (1) Reemplazando (11) (1) en (5) (6): q q = P Y = P Y Y X X P z z + + = z Y X X = P X = P X + X + Y Y = P z z X + Y Y [ ( )] ( ) [ ] cr cr B B cr B [ ( )] ( ) [ ] x cr cr B B cr B Tomando omento toror con repecto al centro de corte iendo: q = Pcr [ ( )] σ z Y X X B Pcr = td qx = Pcr [ X + ( Y Y )] P σ td z B cr = Tz ( ) = σ td [ ( )]( ) z Y X XB X XB σ td [ X ( Y Y )]( Y Y ) z + B B Integrando a lo largo de toda la línea media de la ección: ( ) t ( X X ) d t ( ) Tz Y = σ B σ X XB d X σt ( Y YB) d σt ( Y YB) d Página 5 de 1

6 ( ) σx td tx d ( X ) Tz Y Y = σ B σ td+ σ + X S X σ B σ td+ tx d t( X ) d Y B X σ tyb d σ ( Y ) td+ σ + Y tybd σ ( ) ty ( ) σx A ( X ) Tz Y = σ Aσ J X σy Aσ ( Y ) Aσ J x B d S Y X P ( ) = PX Y ( X A+ J + Y A+ Jx) Tz Llamando: ( ) A J = X + Y A+ J + J x ( ) Tz Y = PX Y X P J A (13) T(z) e un momento toror ditribuido en la longitud de la pieza. En la referencia 1 e calculó el momento toror que aborbe un perfil abierto de parede delgada con alabeo retringido, cuando el momento aplicado e contante a lo largo de la pieza. 3 T = CE GJ z 3 t Por lo tanto para obtener la expreión correpondiente al cao de un momento ditribuido e hace: Página 6 de 1

7 T(z) T T + dt dz dz dz Figura ( ) Tzdz dt T dz dz T dt C E d 4 = + = = 4 dz dz Reemplazando (13) en (14): GJ d t dz (14) P X Y Y X P J C E d 4 GJ d = 4 A dz dz t C E d 4 GJ J P d Y X 4 t PX + PY = (15) dz A dz Reolvemo la ecuación general para el cao que preenta la iguiente condicione de borde: en z = z = L : X = Y = ; = ademá x = = o ea: dy dz d X d = = = dz dz en z = z = L Proponiendo la iguiente olución: X = A πz πz πz en Y = A en = A en 1 3 Reemplazando en (9) (1): Página 7 de 1

8 x π πz πz πz A = en PA en PX A3en P x π A PX A = 3 (16) π = L A πz πz πz 1en PA1en PYA3en L P π A PYA = 1 3 (17) de la (15): π πz C E A GJ J P π πz A L t + A 3en 3 en + L + PX 4 π πz π A PY L L L A πz en en = 1 π PY A1 PX A C E + GJ t P A J A = 3 (18) Se obtuvo entonce un itema de 3 ecuacione [(16), (17) (18)] con tre incógnita (A 1, A A 3 ); para encontrar una olución única el determinante deberá er nulo: P PY π P x PX π PX PY = P A J C E t L π GJ Página 8 de 1

9 P π π P ( PY ) P L L A J C E π GJ x t + ( PX ) P π = + Coniderando ahora el cao en que el centro de corte coincida con el centro de gravedad, de la ecuacione (16), (17) (18) e obtiene: (19) P P L crx = x π P L cr = π A π = C E + GJ J cr t () (1) () Eta ecuacione dan la carga crítica de pandeo por flexión en ambo eje por torión. La menor de eta tre erá la carga crítica de la columna determinará entonce la forma de pandeo de la mima. Coniderando la (), (1) (); dearrollando (19) en P, e obtiene la ecuación general de pandeo por flexotorión: P J J x + J P Pcrx Pcr Pcr ( PcrxY Pcr X ) [ cr ( crx cr ) crx cr ] crx cr cr 3 o + P P P + P + P P P P P = A J + (3) Para el cao de tener un olo eje de imetría e debe reolver el determinante reducido, uponiendo Y =, e obtiene: P π P A J [ P P ] [ P P ] C E π GJ + ( PX ) = x t J crx cr + P X = A Página 9 de 1

10 P A 1 X PP ( crx + Pcr ) + Pcrx Pcr = J (4) Para el cao de tener do eje de imetría, la carga e calculan por la ecuacione (), (1) (). La carga crítica erá entonce la menor de la tre. EPLOS DE PANDEO POR FLEXOTORSION: 1) Sección con do eje de imetría: Dato: b E = 75 N/mm t G = 1 N/mm σ p = 1 N/mm h L = 5 mm t = mm h = 8 mm b = 4 mm A = 3 mm omento de inercia: J x =.(4. 3 / ) /1 = mm 4 J =..4 3 /1 = 1333 mm 4 Condicione de borde: En ambo eje la condición e articulado - articulado, por lo tanto, C = 1 Página 1 de 1

11 Cπ E λp = = 86 σ ρ x = 3,66 mm λ x = 153 > 86 ρ = 8,165 mm λ = 61 > 86 Por lo tanto en ambo eje, el pandeo erá elático CALCULO DE LAS CARGAS CRITICAS: p σ crx = C.π.E / λ x = 31,6 N/mm σ cr = C.π.E / λ = 1,976 N/mm P crx = σ crx. A = 1118 N P cr = σ cr. A = 63,4 N Coeficiente de torión: C = t f. h. b 3 = mm 6, t f = t 4 El centro de corte coincide con el baricéntrico x = = P cr = A(G J t + E π C), donde: J = J x + J + A(x + ) = 367 mm 4 J L J t = t 3 (b + h) = 46,66 mm 4 P cr = 8796, N 3 En eccione con do eje de imetría, la carga crítica por flexotorión e la menor de la tre anteriormente calculada, P cr = 63,4 N ) Sección con un eje de imetría: Dato: E = 7 N/mm t G = 7 N/mm σ p = 1 N/mm h L = 8 mm t = 1 mm (t f = t w = t) h = mm b = 15 mm A = 5 mm b CALCULO DEL CENTRO DE GRAVEDAD: La ordenada del baricentro e encuentra en el eje de imetría. Página 11 de 1

12 La abcia e: x g =.15.7,5 / 5 = 4,5 (medida a partir del tabique vertical) CALCULO DE OENTOS DE INERCIA, COEFICIENTE DE TORSION Y UBICACION DEL CENTRO DE CORTE: Sitema C.G. J x =.( / )+1. 3 /1 = J x = 3669,16 mm 4 c.c G J =.( / )+.1 3 /1+.1.4,5 = x x J = 139,16 mm 4 e e = 3.b.t f = 6,136 mm x 6.b.t f +h.t w C = t f.b 3.h. (3.b.t f +.h.t w ) = 86931,8 mm 6 1 (6.b.t f +h.t w ) x = x g + e = 1,636 mm, = ρ x = 8,566 mm λ x = 93,4 ρ = 4,978 mm λ = 16,7 Diagrama de área ectorial principal: 1 w = w1 = -1.e = 61,36 P - c.c w = -61, b = 88,64 Se verifica que el punto donde w =, en la ala etá a una ditancia e de 1. CALCULO DE LAS CARGAS CRITICAS: Condicione de borde: Según el eje X (de imetría), la condición e articulado - articulado C x = 1 Según el eje Y, la barra eta empotrada-empotrada C = 4 λ px = C x. π. E / σ p λ p = C. π. E / σ p λ px = 83,1 < λ x λ p = 166,3 > λ Por lo tanto en el eje X el pandeo erá elático en el eje Y erá inelático. Página 1 de 1

13 σ crx = C x. π. E / λ x = 79, N/mm σ cr = σ p = 1 N/mm P crx = 396 N P cr = 5 N De dato cálculo anteriore: J = 1564,54 mm 4 J t = 5/3 mm 4 G = 7 N/mm P cr = 574 N Para eccione con un olo eje de imetría, la carga crítica la da la ecuación (4), en la que i reemplazamo lo valore obtenido de P crx P cr, obtenemo la iguiente ecuación cuadrática: P cr ,6. P cr ,6 = de donde urgen lo valore: P cr1 = 176,53 N P cr = 1787 N La carga crítica erá la menor de toda la calculada anteriormente: P cr = 1787 N Página 13 de 1

14 3) Cálculo de la carga crítica para lo ejemplo anteriore, por el programa de elemento finito SC Natran. Se cargaron lo perfile con tre carga puntuale de valor P = 1N, en lo punto donde el área ectorial e cero. Eto on lo punto donde no ha alabeo de la ección. e Y X Analizando la barra a pandeo, el programa da un valor (Eigenvalue) el cual e multiplica por la carga aplicada. En nuetro cao: EV. 3. 1N = P cr Ejemplo 1) Retriccione en ambo extremo: (T = tralacione, R = rotacione) Tx = T = Tz = libre Rx = libre R = libre Rz = EV = 1,131 P cr = 636,4 N Ejemplo ) Página 14 de 1

15 Retriccione en ambo extremo: (T = tralacione, R = rotacione) Tx = T = Tz = libre Rx = libre R = Rz = R = coniderando empotrado en el eje Y EV = 659,913 P cr = 198 N La dicrepancia de valore en ete cao, puede debere a que i bien e retringieron lo nodo con R =, en el reultado del análii e aprecia un giro del plano de la ección en el eje Y. Página 15 de 1

16 VERIFICACION EXPERIENTAL Se enaaron cinco perfile de chapa doblada de aluminio 55, de geometría imilar a la del ejemplo. Para obtener la condicione de borde planteada en dicho ejemplo, e contrueron un par de mordaza con la caracterítica que e decriben en la iguiente figura: 1 edida en mm Como e aprecia en la figura, mediante eta mordaza e permite el giro en un eje (condición articulado - articulado) mientra que en el otro, e encuentra impedido (empotrado - empotrado). Ademá en la plataforma de ujeción del perfil e encuentran dipueto tre elemento que toman al perfil en lo punto donde el diagrama de área ectorial e nulo (condición de alabeo impedido), como e muetra en el iguiente diagrama: Página 16 de 1

17 Lo enao e realizaron en un pórtico ujetando una de la mordaza en la viga horizontal uperior, mientra que obre la otra e aplicó la carga por medio de un pitón hidráulico. La fuerza aplicada fue medida mediante un manómetro. Página 17 de 1

18 Caracterítica de lo perfile enaado: Sección: t = 1 mm h = mm b = 15 mm Reultado obtenido: Perfil Longitud (m) Carga Crítica Kg (N),8 117 (1146,6) 3,8 18 (154,4) 5,8 11 (197,6) 1 1, 96 (94,8) 4 1, 96 (94,8) Página 18 de 1

19 CONCLUSIONES La diferencia entre lo valore calculado lo obtenido en lo enao e deben a problema como centrado de carga, doblado de lo perfile (diferencia con la ección tranveral teórica, condicione de borde reale no exactamente iguale a la teórica. No obtante, e pudo apreciar el fenómeno de flexotorión a que lo perfile fallaron en la forma previta por lo cálculo. Debe eñalare que en la foto anteriore e aprecia en lo perfile, falla del tipo de pandeo local, eto e debe a que luego de haber fallado por flexotorión, e le continuó aplicando carga hata que e verificaron la falla mencionada. Página 19 de 1

20 REFERENCIAS: 1- CALCULO DE TENSIONES NORALES EN PERFILES DELGADOS ABIERTOS CON ALABEO IPEDIDO, SOETIDOS A TORSION, Ing. Pioni, Ing. Acti. BIBLIOGRAFIA: 1- STATIK UND STABILITAT DER BAUKONSTRUKTIONEN - Dr. Ing. Chritian Peteren. - RESISTENCIA DE ATERIALES - V. I. Foedoiev. 3- DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE ACERO - Breler, Lin Scalzi. Página de 1

21 TABLA I : Ubicación del centro de corte coeficiente de alabeo para vario perfile delgado b t f t w o h C = t f h b 3 h/ 4 b 1 t f o t w e h e = h 3 b 1 b b C = t f h b b 1 b b b b e t f o h e = 3 b t f C = t f b 3 h 3 b t f + h t w 6 b t f + h t w 1 6 b t f + h t w t w b t w t f C = b 3 h [ t f (b + b h + h ) + 3 t w b h] o h 1 ( b + h ) h/ a a t e = a en(α) - α co(α) α - en(α) co(α) α o α C = t a 5 α 3-6 [en(α) - α co(α)] 3 α - en(α) co(α) e TABLA I : Continuación Página 1 de 1

22 t C = A 3 A = área de la ección b e 144 o t b C = t 3 (b b 3 ) b 1 o 36 t t 1 d C = t 1 3 b 3 + t 3 d 3 c o b b1 e = b b 1 (3 b - b 1 ) c [b 3 - (b - b 1 ) 3 ] b o e t w o e = 3 (b - b 1 ) h (w/t) h + 6 (b + b 1 ) e t b 1 < b b 1 b Página de 1