FUNCIONES Tiempo

Transcripción

1 FUNCIONES Un equipo de naturalistas observa un águila: Sale de su nido, caza un conejo, regresa a su nido, vuelve a salir, caza una paloma y, de nuevo, vuelve a su nido. Observando la gráfica, contesta a las siguientes preguntas: A qué altura está el nido? A qué altura suele otear el águila para buscar caza? En qué momento consigue dar caza a sus presas? A qué altura caza a cada una? Altura Tiempo Tanto para el estudio de las matemáticas como para otras ciencias o en la vida cotidiana, nos encontramos frecuentemente con funciones. Una función es una relación entre dos magnitudes a las que se les llama variables (representadas generalmente por x e y). En el ejemplo del águila, las variables son la altura (y) y el tiempo (x). La altura a la que se encuentra el águila depende del tiempo que haya transcurrido. Esto ocurre en todas las funciones: la variable y depende del valor que tome la variable x, por eso se suele representar y=f(x). A x se le llama variable independiente y a y variable dependiente. Una función asocia a cada valor de x un único valor de y. En el ejemplo, a cada minuto de tiempo le corresponde una única altura. Ejercicio.- En las siguientes funciones definidas por dos variables, indica cuál es la variable dependiente y cuál la independiente:

2 a) El camino recorrido por un móvil al pasar el tiempo. b) La temperatura del aire al variar la altura. c) El área de un cuadrado al variar la longitud de su lado. d) El precio de un viaje en taxi y el tiempo empleado en el viaje. e) El precio de la gasolina y los litros que compramos. f) Los meses del año y la temperatura que hace en esos meses. g) Tiempo entrenando en el gimnasio y peso que conseguimos levantar. Ejercicio.- Indica cuáles de las siguientes gráficas corresponden a una función y cuáles no:

3 Una función puede venir representada mediante: A. Un enunciado: cuando una función viene dada por un enunciado o una descripción, la idea que nos podemos hacer de ella es casi siempre poco precisa. Pero si el enunciado viene acompañado de datos numéricos, la función puede quedar perfectamente determinada. Ejemplo: el médico ha puesto a Ricardo un régimen de adelgazamiento y le ha dicho que en las 6 primeras semanas, debe perder 10 kg. Entre la 6ª y 8ª semana, debe mantener su peso, y de la 8ª a la 12ª, debe bajar otros 5 kg. Si parte con 80 kg, cuánto pesa en la 3ª semana?. B. Una tabla de valores: con frecuencia, nos dan los datos de una función en una tabla de valores, en la cual se obtienen directamente los datos buscados, aunque en otros casos hay que efectuar cálculos más complejos para encontrar los datos. Ejemplo: la siguiente tabla recoge la medida del perímetro del cráneo de un niño durante los primeros meses de vida: Edad(meses) Perímetro(cm) Cuánto mide el perímetro craneal de un niño de 3 meses? Y el de uno de 6 meses? C. Su expresión analítica o fórmula: la expresión analítica es la forma más precisa de representar una función, pero requiere de un minucioso estudio posterior. Ejemplo: la siguiente expresión relaciona la distancia recorrida por un móvil que va a 90 km/h y el tiempo (en horas): y(x)=90x Qué distancia habrá recorrido en 2 horas? Y en 3,5 horas? D. Su representación gráfica: es como mejor se puede apreciar el comportamiento global de una función. Por eso, siempre que queramos analizar una función, buscaremos su representación gráfica, sea cual sea la forma en la que venga dada inicialmente. Ejemplo: una librería vende libros por Internet. La siguiente gráfica relaciona el número de libros comprados con el precio:

4 Precio Nº libros Cuánto cuestan 3 libros? Y 6? I. Dominio y Recorrido.- CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES Se llama dominio de una función f y se denota por D(f), al conjunto de valores de x para los cuales existe la función. Es decir, para los cuales hay un f(x) asignado. Ejemplo con una gráfica: El dominio de definición de esta función es el intervalo [ 3, + ), pues son los valores que puede tomar la variable x.

5 En este otro ejemplo, el dominio (valores posibles para la x) es IR-{1} (todos los números reales excepto el 1). Porque cuando x vale 1, no hay valor definido para y. El Recorrido de una función (R(f)), es el conjunto de valores que toma la variable y. En el primer ejemplo, el recorrido es el intervalo [-3,3], pues los valores que toma la variable y se mueve en ese intervalo. En el segundo ejemplo, (,3] - {0} sería el recorrido. Cómo se halla el dominio de una función dada por su expresión analítica? Depende del tipo de función: TIPO DE FUNCIÓN EJEMPLO DOMINIO Polinómica y = 2x 3 + 4x 5 IR Racional 2 3x + 7 IR-Denominador = 0 y = 3 x 2x Radical de índice par y = 3 x + 5 Radicando 0 Radical de índice impar 3 y = 4x 2 IR Exponencial 5 y = 5 IR Logarítmica y = log 6 ( x + 2) Argumento > 0 II. Continuidad.- Una función es continua en un intervalo si a pequeñas variaciones de x le corresponden pequeñas variaciones de y = f(x). Es decir, cuando una función no presenta saltos en su gráfica, es continua. También se suele decir que una función es continua cuando se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. En caso contrario, se dice que es discontinua.

6 función continua función discontinua III. Crecimiento y decrecimiento Una función y = f(x) es creciente en el intervalo (a,b) si al ser a < b, entonces también f(a) < f(b). Al contrario, una función es decreciente en (a,b) si al ser a < b, entonces f(a) > f(b). O lo que es lo mismo: Una función es creciente cuando al aumentar el valor de x aumenta el valor de y. Una función es decreciente cuando al aumentar el valor de x disminuye el valor de y. función creciente función decreciente Una función es constante en un intervalo (a,b) cuando f(a) = f(b). O lo que es lo mismo, el valor de la función en todo el intervalo es el mismo. Función constante IV. Máximos y Mínimos Cuando una función pasa de ser creciente a ser decreciente, la función presenta un máximo. Cuando una función pasa de ser decreciente a ser creciente, se dice que la función tiene un mínimo.

7 Máximo absoluto Máximo relativo Mínimo relativo Mínimo absoluto V. Simetría y periodicidad A. Simetría respecto al eje de ordenadas (función par): Una función es simétrica respecto al eje de ordenadas si para cualquier valor de dominio x, f(x) = f(-x). Simetría respecto al origen de coordenadas (función impar): Una función es simétrica respecto al origen si para cualquier valor del dominio x, f(x) = - f(-x).

8 Una función es periódica si se repite cada cierto valor constante, T: f(x) = f(x+t). VI. Puntos de corte con los ejes. Corte con el eje Y (ordenadas): el valor de la variable x es igual a 0. Corte con el eje X (abscisas): el valor de la variable y es igual a 0. VII. Funciones definidas a trozos. Son funciones en las que cada tramo (intervalo) viene definido por una función distinta. Para definir estas funciones es imprescindible indicar el tramo o intervalo que corresponde a cada función. Ejemplo: