Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ciencias Cap 6 - Cálculo Numérico 1 IF321 Integración Numérica Prof: J. Solano 2018-I
Problema: Integrando un espectro Un experimento ha medido dn(t)/dt, el numero de partículas por unidad de tiempo entrando a un contador. El problema es integrar este espectro para obtener el numero de partículas N(1) que entró al contador en el primer segundo 1 N (1)= dn (t ) 0 dt dt 2
Integración Numérica En análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecs diferenc. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales 1D. También se usa para 2D o más dimensiones (integral múltiple). El probl básico considerado por la integración numérica es calcular una soluc aprox a la integral definida: Este probl también puede ser enunciado como un probl de valor inicial para una ec diferencial ordinaria, como sigue: y (x)=f(x) ; y(a)=0 Hallar y(b) equivale a calcular la integral. Los mét desarrollados para EDOs, como el mét Runge-Kutta, pueden ser aplicados al probl reformulado. En este artículo se discuten métodos específicamente para el probl formulado como una integral definida. 3
Integración Numérica La integración numérica, también conocida como cuadratura, es intrínsecamente un procedimiento mucho más preciso que la diferenciación numérica. La cuadratura se aproxima a la integral definida por la suma donde las abscisas x i y los pesos A i dependen de la regla particular utilizada para la cuadratura. Todas las reglas de cuadratura se derivan de la interpolación polinómica del integrando. Por lo tanto, funcionan mejor si f(x) se puede aproximar por un polinomio. 4
Integración Numérica Razones para la integración numérica Razón principal: imposibilidad de realizar la integrac de forma analítica. Integrales que requerirían de un gran conocimiento y manejo de matemática avanzada pueden ser resueltas de una manera sencilla mediante mét numéricos. Incluso existen funciones integrables cuya primitiva no puede ser calculada, siendo la integrac numérica de vital importancia. La soluc analítica de una integral da una soluc exacta, mientras que la soluc numérica da una soluc aprox. El error de aprox, que depende del mét que se use y qué tan fino sea, puede ser tan pequeño que es posible obtener un resultado idéntico a la soluc analítica en las primeras cifras decimales. Métodos para integrales 1D Los mét de integrac numérica pueden ser descritos en gral como combinac de evaluacs del integrando para obtener una aprox a la integral. Una parte importante del análisis de cualquier mét de integrac numérica es estudiar el comportamiento del error de aprox como una función del número de evaluac del integrando. Un mét que produce un pequeño error para un pequeño número de evaluac es normalmente considerado superior. Reduciendo el número de evaluac del integrando se reduce el número de operaciones aritméticas involucradas, y por tanto el error de redondeo total. También, c/evaluac cuesta tiempo, y el integrando puede ser arbitrariamente complicado. 5
Integración Numérica Métodos basados en funciones de Interpolación Hay una extensa familia de mét que se basan en aprox la func a integrar f(x), por otra func g(x) de la cual se conoce la integral exacta. La func que sustituye la original se encuentra de forma que en un cierto número de ptos tenga el mismo valor que la original. Como los ptos extremos forman parte siempre de este conj de ptos, la nueva función se llama una interpolación de la función original. Cuando los puntos extremos no se utilizan para encontrar la función que sustituye a la original entonces se dice extrapolación. Típicamente estas func son polinomios. Fórmulas de Newton-Cotes La interpolac con polinomios evaluada en ptos igualmente separados en [a,b] da las fórmulas de Newton-Cotes, de las que la regla del rectángulo, la del trapecio y la de Simpson son ejemplos. Si se escogen los nodos hasta k=n+1 será la fórmula de Newton-Cotes cerrada y si se escogen k=n-1 será la fórmula de Newton-Cotes abierta. 6
Integración Numérica Regla del rectángulo El mét más simple de este tipo es hacer a la func interpoladora una func cte (polinomio de orden cero) que pasa a través del pto (a,f(a)). Este mét se llama la regla del rectángulo: Regla del punto medio Ilustración de la regla del punto medio. Si en el método anterior la función pasa a través del punto ((a+b)/2,f((a+b)/2)) este método se llama la regla del punto medio: 7
Integración Numérica Regla del Trapezio: Se discutirá mas adelante Regla de Simpson La func interpoladora puede ser un polinomio de grado 2 que pasa a través de los ptos (a,f(a)), ((a+b)/2,f((a+b)/2)), (b,f(b)) este mét se llama la regla del Simpson: Reglas compuestas: Combinaciones de métodos anteriores 8
Integración Numérica Métodos de Extrapolación La precisión de un mét de integrac tipo Newton-Cotes es en gral func del número de ptos de evaluac. Resultado es usualmente más preciso cuando el número de ptos de evaluac aumenta, o, equiv, cuando el ancho del paso entre ptos decrece. Qué pasa cuando el ancho del paso tiende a cero? Esto puede responderse extrapolando el resultado de dos o más anchuras de paso (extrapolac de Richardson). La func de extrapolac puede ser un polinomio o una func racional. Los mét de extrapolac están descritos en más detalle por Stoer y Bulirsch. En particular, al aplicar el mét de extrapolac de Richardson a la regla del trapecio compuesta se obtiene el mét de Romberg. Cuadratura de Gauss Si se permite variar los intervalos entre los ptos de interpolac, se encuentra otro grupo de fórmulas de integrac, llamadas fórmulas de cuadratura de Gauss. Una regla de cuadratura de Gauss es típicamente más precisa que una regla de Newton-Cotes que requiera el mismo número de evaluac del integrando, si el integrando es suave (es decir, si se puede derivar muchas veces). 9
Algoritmos adaptativos Integración Numérica Si f no tiene muchas deriv definid en todos sus ptos, o si las deriv toman valores muy elevados, la integrac gausiana es a menudo insufic. Ej de algoritmo: def integral(f, a, b): """Agoritmo q calcula la integral definida de una func en el intervalo [a,b], adaptativamente, eligiendo pasos más pequeños cerca de los ptos problemáticos. h0 es el paso inicial.""" x = a h = h0 acumulador = 0 while x < b: if x+h > b: h = b - x if error de la cuadratura sobre [x,x+h] para f es demasiado grande: else: haz h más pequeño acumulador += integral(f, x, x+h) x += h if error de la cuadratura sobre [x,x+h] es demasiado pequeño: haz h más grande return acumulador 10
Integración Numérica Los mét de integrac numérica se pueden dividir en 2 grupos: fórmulas de Newton-Cotes y cuadratura gaussiana. Fórmulas de Newton-Cotes se caracterizan por abscisas igualmente espaciadas, e incluyen mét bien conocidos como la regla trapezoidal y la regla de Simpson. Son más útiles si f(x) ya se ha calculado a intervalos iguales, o se pueden calcular a bajo costo. Como las fórmulas de Newton-Cotes se basan en la interpolación local, solo requieren un ajuste por partes a un polinomio. En cuadratura de Gauss, las ubicaciones de las abscisas se eligen para proporcionar la mejor precisión posible. Debido a que la cuadratura gaussiana requiere menos evaluaciones del integrando para un nivel dado de precisión, es popular en los casos en que f(x) es costoso de evaluar. Otra ventaja de la cuadratura gaussiana es la capacidad de manejar singularidades integrables, lo que nos permite evaluar expresiones como siempre que g (x) sea una función que se comporte bien. 11
Fórmulas Newton-Cotes Aproximación polinomial de f(x) 12
Algoritmo: regla del trapezio Usa valores de f(x) de valores de x igualmente espaciados. Usa N puntos x i (i=1,n), igualmente espaciados, h, en la regiom de integracion [a,b] e incluye los puntos finales. Entonces hay N-1 intervalos de longitud h. El algoritmo toma el intervalo de integracion I y construye un trapezio de ancho h. Esto aproxima f(x) por una linea recta en el intervalo i, y usa la altura (f i + f i+1 )/2 como el valor de f. N Esto corresponde a f ( x i )w i con N=2 puntos con peso w i =1/2. i=1 Aplicando la regla del trapezio a todo el intervalo [a,b], anhadimos la contribucion de cada intervalo Que corresponderia a w i ={h/2,h,...,h,h/2}. 13
Área de una parábola usando regla del trapezio /* Curso Cálculo Numérico 1 IF321 2018-I CC-FC-UNI */ #include <stdio.h> #define TYPE #define N 100 int main() { } TYPE sum, h, t, w; int i; double double A = 0.; double B = 3.; h = (B A) / (N 1); sum = 0.; for (i=1; i<=n; i++) { } t = A + (i - 1)*h; if (i==1 i==n) w=h/2; else w=h; sum = sum + w * t* t; printf("%.18f \n", sum); // paso h // posicion t // suma (integral) // imprimir resultados 14
Area del exponente usando regla del trapezio Ejercicio1: hacer los cambios necesarios en el programa anterior para integrar la funcion exponente en el mismo intervalo 15
Integral de exponente usando regla del trapezio /* Curso Cálculo Numérico 1 IF321 2018-I CC-FC-UNI */ #include <stdio.h> #include <math.h> #define TYPE double #define N 100 int main() { TYPE sum, h, t, w; int i; double A = 0.; double B = 3.; h = (B A) / (N 1); // paso h sum = 0.; for (i=1; i<=n; i++) { t = A + (i - 1)*h; // posicion t if (i==1 i==n) w=h/2; else w=h; sum = sum + w *exp(t); // suma (integral) } printf("%.18f \t %.18f \n", sum, exp(3)-1); // imprimir resultados } 16
Algoritmo: regla de Simpson En cada intervalo, la regla de Simpson aproxima el integrando f(x) por una parabola Con intervalos aun igualmente espaciados. El area de cada seccion es la integral de esta parabola. Para relacionar los parametros a, b, g a la funcion, se considera el intervalo [-1,1] Pero notamos que: f(-1) = a b +g ; f(0) = g ; f(1) = a +b +g entonces dando generalizando 17
Algoritmo: regla de Simpson La regla de Simpson hace la integracion elemental sobre pares de intervalos adyacentes, lo que implica que el numero total de intervalos debe ser par, o el numero de puntos N impar. Para aplicar la regla al intervalo total sumamos las contribuciones de cada par de subintervalos, contando todos, con excepcion del primero y el ultimo, dos veces Con los pesos de w i ={h/3,4h/3,2h/3,4h/3,...,4h/3,h/3} La suma de esos pesos debe ser N i=1 w i = ( N 1)h 18
Ej: integración usando regla de Simpson Ejercicio2: Escribir un programa para calcular la integral de una parabola (f(x) = x 2 ) en el intervalo [0,3] usando la regla de Simpson. Ejercicio3: Modificar el programa para calcular la integral de un exponente (f(x) = e x ) en el intervalo [0,3] usando la regla de Simpson. 19
Integral de exponente usando regla de Simpson /* Curso Cálculo Numérico 1 IF321 2018-I CC-FC-UNI */ #include <stdio.h> #include <math.h> #define TYPE double #define N 101 int main() { TYPE sum, h, t, w; int i; double A = 0.; double B = 3.; h = (B A) / (N 1); // paso h sum = 0.; for (i=1; i<n; i+=2) { t = A + (i - 1)*h; // posicion t w=h/3; sum = sum + w*exp(t) + 4*w*exp(t+h) + w*exp(t+2*h); // suma (integral) } printf("%.18f \t %.18f \n", sum, exp(3)-1); // imprimir resultados } 20
Error de integración Ejercicio5: Escribir un programa para calcular el error en la integral de un exponente (f(x) = e x ) en el intervalo [0,3] usando la regla del trapezio, para diferentes valores de N. Ejercicio6: Modificar el programa para calcular el error en la integral de un exponente (f(x) = e x ) en el intervalo [0,3] usando la regla de Simpson, para diferentes valores de N. 21
Integral de exponente usando regla del trapezio #include <stdio.h> #include <math.h> #define TYPE double #define N0 100000000 int main() { TYPE sum, esum, h, t, w; int i, N; double A = 0.; double B = 3.; sum = 0.; FILE *output; output=fopen("p4-cap5-eintegr-trapez.dat","w"); for(n=10; i<n0; N *= 10){ sum = 0.; for (i=1; i<n; i++) { h = (B A) / (N 1); // paso h t = A + (i - 1)*h; // posicion t if (i==1 i==n) w=h/2; else w=h; sum = sum + w *exp(t); // suma (integral) } esum = log10(fabs(sum exp(3)+1)/(exp(3)-1)); fprintf(output,"intt: %.18f intn: %.18f eint: %e h: %e N: %d \n",exp(3)-1,sum,esum,h,n); } printf("datos almacenados en p4-cap5-eintegr-trapez.dat \n"; // imprimir resultados fclose(output); return 0; } 22
Integral de exponente usando regla de Simpson #include <stdio.h> #include <math.h> #define TYPE double #define N0 100000000 int main() { TYPE sum, esum, h, t, w; int i, N; double A = 0.; double B = 3.; sum = 0.; FILE *output; output=fopen("p5-cap5-eintegr-simpson.dat","w"); for(n=10; i<n0; N *= 10){ sum = 0.; for (i=1; i<n; i+=2) { h = (B A) / (N); // paso h t = A + (i - 1)*h; // posicion t w=h/3; sum = sum + w *exp(t) + 4*w*exp(t+h) +w*exp(t+2*h); // suma (integral) } esum = log10(fabs(sum exp(3)+1)/(exp(3)-1)); fprintf(output,"intt: %.18f intn: %.18f eint: %e h: %e N: %d \n",exp(3)-1,sum,esum,h,n); } printf("datos almacenados en p5-cap5-eintegr-simpson.dat \n"; // imprimir resultados fclose(output); return 0; } 23
Integración Numérica Compuesta Las fórmulas de Newton-Cotes en gral no son adecuadas para usar en grandes intervalos de integrac. Se requerirían fórmulas de alto grado, y los valores de los coefic en estas fórmulas son difíciles de obtener. Además, las fórmulas de Newton-Cotes se basan en polinom interpolatorios que utilizan nodos equiespaciados, un procedimiento que es inexacto a grandes intervalos debido a la naturaleza oscilatoria de los polinom de alto grado. Aquí discutimos un enfoque por partes a la integrac numérica que utiliza las fórmulas de Newton-Cotes de bajo orden. Estas son las técnicas más utilizadas. La Regla Compuesta Trapezoidal La Regla Compuesta de Simpson 1/3 24
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Cuadratura (integración) Numérica Integración: definición de Riemann y aproximación numérica Esta suma en general solo es exacta para Para polinomios puede ser exacta para N finito N En general precisión aumenta con N, con limitación por redondeo El algoritmo/método depende del comportamiento específico de f(x) Si hay una singularidad, hay que removerla antes de integrar 30
Métodos Adaptivos de Cuadratura Fórmulas compuestas requieren uso de nodos igualmente espaciados. Esto es inapropiado cuando se integra una func en un intervalo que contiene ambas regiones con gran variación funcional y regiones con pequeña variación funcional. Si el error de aprox debe distribuirse uniformemente, se necesita un tamaño de paso más pequeño para las regiones de gran variación que para aquellas con menos variación. Una técnica eficiente para este tipo de probl debe predecir la cantidad de variac func y adaptar el tamaño del paso a los diferentes requisitos. Estos mét se llaman mét de cuadratura adaptativa. Los mét numér adaptables son particularmente populares para su inclusión en paquetes de software profesional ya que, además de ser eficientes, en gral proporcionan aprox que están dentro de una tolerancia específica dada. 31
Cuadratura Gaussiana Las fórmulas de Newton-Cotes se derivaron integrando polinom de interpolac. El término de error en el polinomio de interpolación de grado n implica la derivada (n+1) de la func que se aprox, por lo que una fórmula de Newton-Cotes es exacta al aproximar la integral de cualquier polinomio de grado menor o igual a n. Todas las fórmulas de Newton-Cotes usan valores de la func en ptos equiespaciados. Esta restricción es conveniente cuando las fórmulas se combinan para formar las reglas compuestas, pero puede disminuir significativamente la precisión de la aprox. Considere, por ej, la regla trapezoidal aplicada para determinar las integrales de las funcs cuyos gráficos se muestran en la fig. 32
Cuadratura Gaussiana La regla trapezoidal aprox la integral de la func al integrar la func lineal que une los ptos finales del gráfico de la func. Pero esta no es la mejor línea para aproximar la integral. Líneas como las que se muestran en esta Fig probablemente darían mejores aprox en la mayoría de los casos La cuadratura gaussiana elige los puntos para la evaluación de una manera óptima, en lugar de equidistantes. Los nodos x 1,x 2,...,x n en el intervalo [a,b] y los coeficientes c 1,c 2,...,c n, se eligen para minimizar el error esperado obtenido en la aprox 33
Cuadratura Gaussiana Para medir esta precis, suponemos que la mejor elección de estos valores produce el resultado exacto para la clase más grande de polinomios, es decir, la elecc que da el mayor grado de precis. Los coefic c 1,c 2,...,c n en la fórmula de aprox son arbitrarios, y los nodos x 1,x 2,...,x n están restringidos solo por el hecho que deben estar en [a,b], el intervalo de integrac. Esto nos da 2n parámetros para elegir. Si los coefic de un polinomio se consideran parámetros, la clase de polinomios de grado como máximo 2n-1 también contiene 2n parámetros. Esta, entonces, es la clase más grande de polinomios para la cual es razonable esperar que una fórmula sea exacta. Con la elecc adecuada de los valores y las cts, se puede obtener la exactitud en este conj. Para ilustrar el proced para elegir los parámetros apropiados, mostramos cómo selecc los coefic y nodos cuando n=2 y el intervalo de integrac es [-1,1]. Luego discutiros la situación más gral para una elecc arbitraria de nodos y coefic y mostramos como se modifica la técnica cuando se integra en un intervalo arbitrario. Supongamos que queremos determinar c 1, c 2, x 1 y x 2 para que la fórmula de integración da el resultado exacto siempre que f(x) sea un polinomio de grado 2(2)-1=3 o menos, es decir, cuando 34
Cuadratura Gaussiana Para para alguna colecc de ctes, a 0, a 1, a 2 y a 3. Porque esto equiv a mostrar que la fórmula da resultados exactos cuando f(x) es 1,x, x 2 y x 3 Por tanto, necesitamos c 1, c 2, x 1 y x 2, tal que Un poco de álgebra muestra que este sist de ecs tiene soluc única que da la fórmula de aprox Esta fórmula tiene un grado de precis 3, es decir, produce el resultado exacto para cada polinomio de grado 3 o inferior. 35
Polinomios de Legendre La técnica descrita puede usarse para determinar los nodos y coefic para las fórmulas que dan resultados exactos para polinomios de mayor grado, pero un mét alternativo los obtiene más fácilmente. Existen colecc de polinomios ortog, funcs que tienen la propiedad de que una integral definida particular del producto de dos de ellos es 0. El conj relevante para nuestro probl es el de los polinomios de Legendre, una colección {P 0 (x),p 1 (x),...,p n (x),...,} con propied: (1) Para cada n, P n (x) es un polinomio monico de grado n. (2) siempre que P(x) sea un polinomio de grado menor que n. Los primeros polinomios de Legendre son Las raíces de estos polinom son distintas, se encuentran en intervalo (-1,1), tienen simetría respecto al origen y, lo más importante, son la elecc correcta para determinar los parámetros que nos dan los nodos y los coefic para nuestro mét de cuadratura Los nodos x 1,x 2,...,x n necesarios para producir una fórmula de aprox integral que arroje resultados exactos para cualquier polinom de grado menor que 2n son las raíces del polinom de Legendre de grado n. Esto se establece con el siguiente resultado. 36
Polinomios de Legendre Teorema Supongamos que x 1,x 2,...,x n son las raíces del enésimo polinomio de Legendre P n (x) y que para cada i = 1,2,...,n, los números c i están definidos por Si P(x) es un polinomio de grado menor que 2n, entonces 37
Polinomios de Legendre Ejemplo Aproximar usando Cuadratura de Gauss con n=3. Solución: las entradas en la Tabla anterior nos da La integración por partes se puede usar para mostrar que el valor verdadero de la integral es 1.9334214, por lo que el error absoluto es menor a 3.2 10-5. 38