Qué tienes que saber?

Qué tienes que saber? QUÉ tienes que saber? Ten en cuenta Si entre dos números existe una relación de divisibilidad, el número mayor es múltiplo del número menor y el menor es divisor del mayor. Ten en cuenta Un número es divisible por: si termina en 0 o en cifra par. 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. 5 si termina en 0 o 5. 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. 10 si termina en 0. 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan las posiciones pares y la de las que ocupan las posiciones impares es 0 o múltiplo de 11. Ten en cuenta Un número es primo si solo tiene dos divisores: el 1 y él mismo. Un número es compuesto si tiene más de dos divisores. Ten en cuenta Para hallar el m.c.d. de varios números, se descomponen en factores primos y se eligen los factores comunes elevados al menor exponente. Para hallar el m.c.m. de varios números, se descomponen en factores primos y se eligen los comunes y no comunes con mayor exponente. Escribe tres múltiplos y todos los divisores del número 8. Múltiplos de 8: 8 = 56 8 3 = 84 8 4 = 11 Divisores de 8: 8 1 8 8 3 8 4 8 5 8 6 0 8 8 0 8 1 4 1 9 0 7 3 5 4 4 0 0 Div (8) = {1,, 4, 7, 14 y 8} Múltiplos y divisores de un número Criterios de divisibilidad cociente < divisor Aplica los criterios de divisibilidad para saber si el número 4356 es divisible por, 3, 5, 9, 10 y 11. Es divisible por porque la última cifra, 6, es par. Es divisible por 3 porque la suma de sus cifras, 4 + 3 + 5 + 6 = 18, es múltiplo de 3. No es divisible por 5 porque la última cifra, 6, no es 0 ni 5. Es divisible por 9 porque la suma de sus cifras, 4 + 3 + 5 + 6 = 18, es múltiplo de 9. No es múltiplo de 10 porque la última cifra no es 0. Es múltiplo de 11 porque la suma de las cifras de posición par, 4 + 5 = 9, menos la suma de las cifras de posición impar, 3 + 6 = 9, es 0. Números primos y compuestos Comprueba que el número 169 es compuesto. Dividimos 169 entre los números primos menores que él hasta que el cociente sea menor o igual que el divisor. 1 6 9 1 6 9 3 1 6 9 5 1 6 9 7 1 6 9 1 1 1 6 9 1 3 0 9 8 4 1 9 5 6 1 9 3 3 9 4 5 9 1 5 3 9 1 3 1 1 4 1 4 0 cociente < divisor Máximo común divisor y mínimo común múltiplo Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de 7 y 48. Factorizamos 7 48 36 4 18 1 9 3 6 3 3 3 3 1 1 7 = 3 3 48 = 4 3 Máximo común divisor m.c.d. (48, 7) = 3 3 = 4 Mínimo común múltiplo m.c.m. (48, 7) = 4 3 = 144 Relación de divisibilidad. Múltiplos y divisores 58 Copia y une los números entre los que exista una relación de divisibilidad. 15 17 48 51 1 14 4 45 59 Escribe cuatro múltiplos de cada uno de estos números. a) 16 d) 4 b) 19 e) 3 c) 0 f) 100 60 Comprueba si 391 es divisible por alguno de los siguientes números. 8 1 17 15 18 3 61 Halla todos los divisores de estos números. a) 36 d) 63 b) 45 e) 7 c) 55 f) 11 6 Copia y completa en tu cuaderno los triángulos de forma que los números que escribas sean múltiplos de los dos números situados en los lados contiguos. a) b) 63 64 5 7 3 15 1 0 Copia y completa los triángulos de forma que el número que escribas sea divisor de los dos vértices situados en el mismo lado. a) 18 b) 35 0 15 Copia y completa. Actividades Finales 45 1 Divisores N.º Múltiplos 1,, 3, 4, 6 y 1 1 1, 4, 36, 48 O 4 O O 40 O O 54 O 65 Indica si las siguientes oraciones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas. a) 15 es divisor de 3. b) 00 es múltiplo de 5. c) 11 es múltiplo de 11. d) 6 es divisor de 7. Criterios de divisibilidad 66 Averigua, sin realizar la división, si el número 43571 es divisible por los siguientes números. a) b) 3 c) 4 d) 11 67 Completa la tabla en tu cuaderno. 68 69 70 507 1 305 640 5 093 Divisible por O O O O Divisible por 3 O O O O Divisible por 5 O O O O Divisible por 9 O O O O Divisible por 10 O O O O Divisible por 11 O O O O Copia y completa los números para que se verifiquen estas afirmaciones. a) 35 es múltiplo de. b) 5 0 4 es múltiplo de 3. c) 7 04 es múltiplo de 5. d) 6 61 es multiplo de 9. e) 37 es múltiplo de 10. f) 1 70 es múltiplo de 11. Completa el número 150 en tu cuaderno para que: a) Sea divisible por. d) Sea divisible por 9. b) Sea divisible por 3. e) Sea divisible por 10. c) Sea divisible por 5. f) Sea divisible por 11. Aplica los criterios de divisibilidad para saber si los siguientes números son divisibles por 6. a) 571 b) 5 c) 405 d) 4 Números primos y compuestos 71 Copia y completa la siguiente tabla. Divisores Primo/compuesto 35 O O 51 O O 89 O O 40 41 Sugerencias didácticas En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de: Calcular los múltiplos y los divisores de un número. Conocer y aplicar los criterios de divisibilidad. Diferenciar entre número primo y compuesto. Manejar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. Actividades finales Soluciones de las actividades 58 Copia y une los números entre los que exista una relación de divisibilidad. 15 y 45, 1 y 48, 17 y 51, 14 y 4 59 Escribe cuatro múltiplos de cada uno de estos números. 15 17 48 51 1 14 4 45 a) 16 b) 19 c) 0 d) 4 e) 3 f) 100 a) 3, 48, 64, 80 c) 0, 40, 60, 80 e) 64, 96, 18, 160 b) 38, 57, 76, 95 d) 48, 7, 96, 10 f) 00, 300, 400 60 Comprueba si 391 es divisible por alguno de los siguientes números. 8 1 17 15 18 3 391 es divisible por 17 y por 3 ya que: 391 : 17 = 3 y 391 : 3 = 17 51

Divisibilidad 61 Halla todos los divisores de estos números. a) 36 b) 45 c) 55 d) 63 e) 7 f) 11 a) 36 = 3 Div(36) = {, 3, 4, 6, 9, 1, 18} c) 63 = 3 7 Div(63) = {3, 7, 9, 1} b) 45 = 3 5 Div(45) = {3, 5, 9, 15} e) 7 = 3 3 Div(7) = {, 3, 4, 6, 8, 9, 1, 18, 36} c) 55 = 5 11 Div(55) = {5, 11} f) 11 = 11 Div(11) = {11} 6 Copia y completa los triángulos de forma que los números que escribas sean múltiplos de los dos números situados en los lados contiguos. a) b) 35 60 5 7 15 1 15 3 1 60 0 60 63 Copia y completa los triángulos de forma que el número que escribas sea divisor de los dos vértices situados en el mismo lado. a) b) 18 35 3 5 7 0 5 15 45 3 1 64 Copia y completa. Divisores N.º Múltiplos 1,, 3, 4, 6 y 1 1 4, 36, 48 1,, 3, 4, 6, 8, 1 y 4 4 48, 7, 96 1,, 4, 5, 8, 10, 0 y 40 40 8, 10, 160 1,, 3, 6, 9, 18, 7 y 54 54 108, 16, 16 65 Indica si las siguientes oraciones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas. a) 15 es divisor de 3. c) 11 es múltiplo de 11. b) 00 es múltiplo de 5. d) 6 es divisor de 7. a) Falsa. El 15 es múltiplo de 3. c) Verdadera. 11 11 = 11 b) Verdadera. 00 : 5 = 8 d) Verdadera. 7 : 6 = 1 66 Averigua, sin realizar la división, si el número 43 571 es divisible por los siguientes números. a) b) 3 c) 4 d) 11 a) No, el número no es par. c) No, las dos últimas cifras no son múltiplo de 4. b) No, la suma de sus cifras no es multiplo de 3. d) Sí, la suma de las cifras de posiciones pares e impares es 0. 67 Completa la tabla en tu cuaderno. 507 1305 640 5093 507 1305 640 5093 Divisible por No No Sí No Divisible por 9 No Sí No No Divisible por 3 Sí Sí Sí No Divisible por 10 No No Sí No Divisible por 5 No Sí Sí No Divisible por 11 No No Sí Sí 5

68 Copia y completa los números para que se verifiquen estas afirmaciones. a) 35 es múltiplo de. b) 50 4 es múltiplo de 3. c) 704 es múltiplo de 5. d) 6 61 es multiplo de 9. e) 37 es múltiplo de 10. f) 1 70 es múltiplo de 11. a) 350 es múltiplo de, valdría cualquier cifra múltiplo de : 0,, 4, 6, 8 b) 5004 es múltiplo de 3, valdría cualquier cifra múltiplo de 3: 0, 3, 6, 9 c) 7040 es múltiplo de 5, valdría el 0 o el 5 d) 6561 es multiplo de 9, ya que 6 + 5 + 6 + 1 = 18 es múltiplo de 9. e) 370 es múltiplo de 10, todas las cifras terminadas en 0 son múltiplo de 10. f) 1870 es múltiplo de 11, 1 + 7 (impares) 8 + 0 (pares) = 0 69 Completa el número 150 en tu cuaderno para que: a) Sea divisible por. b) Sea divisible por 3. c) Sea divisible por 5. d) Sea divisible por 9. e) Sea divisible por 10. f) Sea divisible por 11. a) 1500 b) 1509 c) 1500 d) 1503 e) 1500 f) 1507 70 Aplica los criterios de divisibilidad para saber si los siguientes números son divisibles por 6. a) 571 b) 5 c) 405 d) 4 a) No, no es divisible ni por ni por 3. b) Sí, es divisible por y por 3. c) No, solo es divisible por 3. d) No, solo es divisible por. 71 Copia y completa la siguiente tabla. Divisores Primo/compuesto 35 1, 5, 7, 35 Compuesto 51 1, 3, 17, 51 Compuesto 89 1, 89 Primo 53

Divisibilidad Divisibilidad Actividades Finales 7 73 74 Averigua cuáles de los resultados de las operaciones propuestas son primos. a) 4 + 3 d) 7 3 b) 5 + 5 + 5 e) 18 : c) 1 1 f) 9 Existe algún número primo mayor que 00 y menor que 15? Escríbelo. Piensa un número que sea múltiplo de 5. Puede ser un número primo? Justifica tu respuesta. Factorización de un número 75 Copia y completa las siguientes descomposiciones factoriales. 76 77 78 79 a) 14 b) 07 6 69 3 31 1 1 Descompón estos números en producto de factores primos. a) 36 c) 10 e) 441 b) 50 d) 11 f) 385 En las siguientes descomposiciones factoriales faltan los exponentes. Complétalas en tu cuaderno. a) 735 = 3 5 7 b) 80 = 5 7 c) 1144 = 11 13 d) 966 = 3 7 3 Un número tiene la siguiente factorización: 3 7. Si multiplicamos ese número por 9, cuál será su factorización? Y si lo dividimos entre 7? Utiliza las siguientes descomposiciones factoriales para, sin calcular su valor, escribir en cada caso dos múltiplos y dos divisores distintos de 1 y del propio número. a) 3 4 c) 3 5 b) 11 3 d) 3 5 7 Máximo común divisor y mínimo común multiplo 80 Escribe los factores primos comunes en los siguientes pares de números. a) 3 5 7 y 5 7 3 b) 3 4 7 5 y 4 7 5 11 c) 13 17 y 5 3 17 3 81 8 83 84 85 86 87 88 Calcula el máximo común divisor de estos números. a) 16 y 3 d) 30 y 48 b) 15 y 8 e) 4 y 36 c) 10 y 5 f) 16 y 34 Escribe dos posibles pares de números cuyo máximo común divisor sea 3 5. Calcula. a) m.c.m. (15, 3) d) m.c.m. (8, 36) b) m.c.m. (16, 4) e) m.c.m. (18, 7) c) m.c.m. (4, 8) f) m.c.m. (19, 1) Escribe dos posibles pares de números cuyo mínimo común múltiplo sea 3 3. Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de estos pares de números. a) 0 y 30 d) 315 y 441 b) 4 y 105 e) 176 y 97 c) 144 y 84 f) 75 y 154 Utiliza la calculadora para obtener el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes números descompuestos en factores. a) 5 17 31 y 13 17 4 b) 3 4 97 3 y 5 91 97 c) 5 3 53 71 4 y 13 53 71 3 d) 11 47 y 11 3 59 4 Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los números propuestos. a) 36, 48 y 7 b) 15, 1 y 35 c) 13, 17 y 19 d) 10, 84 y 13 Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes números. a) 18, 4, 48 y 54 b) 117, 169, 18 y 08 Problemas de divisibilidad 89 Marisa está preparando canapés para la cena y quiere colocarlos en bandejas que contengan el mismo número de unidades. Si hace 90 canapés, de cuántas formas los puede colocar? Y si hace 91? 90 Luis ha vendido todas las papeletas de la rifa para el viaje de fin de curso. Sabiendo que cada papeleta cuesta 3, es posible que haya recaudado 343? Razona tu respuesta. 91 9 93 94 95 96 97 98 99 Arturo compra 5 refrescos en una tienda. Cuando el dependiente le dice el precio, no escucha cuántos euros son, pero sí los céntimos: 3. Cómo sabe Arturo que la cuenta está mal hecha? Eva quiere dividir una cartulina de 40 cm de largo y 30 cm de ancho en cuadrados iguales tan grandes como sea posible, de forma que no le sobre ningún trozo. Cuánto medirá el lado de cada cuadrado? Una floristería ha recibido 40 rosas y 140 claveles. Cuántos ramos con el mismo número de flores se pueden hacer, sin mezclarlas y con el mayor número posible de unidades? Alrededor de una finca rectangular se quieren colocar postes igualmente espaciados de tal forma que haya uno en cada esquina y que el número total de postes sea el menor posible. Si la finca mide 360 m de largo por 140 m de ancho, cuántos postes serán necesarios? Julia ha iniciado un tratamiento médico para su alergia. Debe tomar una pastilla cada 6 h y una cucharada de jarabe cada 4 h. Si ingirió los dos medicamentos a las 8:00 de la mañana, a qué hora volverá a tomarlos a la vez? Se quiere dividir una nave industrial de 80 m de largo y 45 m de ancho en espacios cuadrados con la mayor superficie posible. a) Cuánto medirá el lado de cada espacio? b) Cuántos espacios habrá en total? Calcula el menor número que, al ser dividido por 1, 18 y 13, tenga por resto 1. Se han dividido en trozos iguales tres cables de 10 cm, 160 cm y 180 cm de longitud, respectivamente. Cuál puede ser la máxima longitud de cada trozo? César ha comprado 135 kg de naranjas y 150 kg de limones al por mayor para venderlos en su frutería. Quiere meterlos en bolsas del mismo peso sin mezclar las frutas. Cuánto pesará cada bolsa? 100 101 10 103 104 Ainoa y Noelia compiten en una carrera de atletismo. Ainoa emplea 45 s en completar cada vuelta, y Noelia, 36 s. a) Si las dos salen de la meta al mismo tiempo, después de cuántos segundos vuelven a coincidir en la salida? b) Si cada vuelta de la pista de atletismo mide 400 m, cuántos metros habrá recorrido cada corredora la primera vez que coinciden en la salida? Jacobo y su abuelo miden con sus pasos la distancia que hay entre dos árboles del parque. Los pasos de Jacobo son de 5 cm de largo, y los de su abuelo, de 74 cm. a) Cuál es la distancia entre los árboles si esta es igual a la recorrida por el abuelo y su nieto cuando vuelven a coincidir sus pisadas? b) Cuántas huellas dejaron en el suelo entre los dos? A una excursión se han apuntado 136 alumnos, de los cuales 60 son chicas, y 76, chicos. El centro quiere reservar el menor número de habitaciones iguales sin mezclar en ellas a chicos y chicas. a) Cuál es el número de alumnos que van a dormir por habitación? b) Cuántas habitaciones hay que reservar? c) Cuántas habitaciones de chicos se reservarán? Y cuántas habitaciones de chicas? Una ONG ha recogido 360 libros, 70 juguetes y 10 equipaciones deportivas que va a repartir en la campaña de Navidad. Quiere hacer paquetes que contengan los mismos elementos. a) Cuál es el mayor número de niños que recibirá un regalo? b) Qué cantidad de libros, juguetes y equipaciones deportivas le corresponderán a cada uno? Las instrucciones de mantenimiento de un coche especifican que debe cambiarse el aceite del motor cada 4000 km, el filtro del aire cada 15000 km y las bujías a los 0000 km. Cuántos kilómetros tendrá el coche cuando deban realizarse todos los cambios a la vez? 4 43 7 Averigua cuáles de los resultados de las operaciones propuestas son primos. a) 4 + 3 d) 7 3 b) 5 + 5 + 5 e) 18 : c) 1 1 f) 9 a) 7, primo d) 1, compuesto b) 15, compuesto e) 9, compuesto c) 11, primo f) 3, primo 73 Existe algún número primo mayor que 00 y menor que 15? Escríbelo. Sí, 11 es primo. 74 Piensa un número que sea múltiplo de 5. Puede ser un número primo? Justifica tu respuesta. No, porque si es múltiplo de 5, el 5 ya es su divisor, luego no es primo, será compuesto. 75 Copia y completa las siguientes descomposiciones factoriales. a) 14 b) 07 6 69 3 31 1 1 a) 14 b) 07 6 69 3 31 31 3 3 1 1 54

76 Descompón estos números en producto de factores primos. a) 36 c) 10 e) 441 b) 50 d) 11 f) 385 a) 4 3 c) 3 5 7 e) 3 7 b) 5 d) 4 7 f) 5 7 11 77 En las siguientes descomposiciones factoriales faltan los exponentes. Complétalas en tu cuaderno. a) 735 = 3 5 7 c) 1 144 = 11 13 b) 80 = 5 7 d) 966 = 3 7 3 a) 735 = 3 1 5 1 7 c) 1 144 = 3 11 1 13 1 b) 80 = 3 5 1 7 1 d) 966 = 1 3 1 7 1 3 1 78 Un número tiene la siguiente factorización: 3 7. Si multiplicamos ese número por 9, cuál será su factorización? Y si lo dividimos entre 7? Al multiplicarlo por 9 tenemos: 3 4 7 Al dividirlo entre 7 resulta: 3 79 Utiliza las siguientes descomposiciones factoriales para, sin calcular su valor, escribir en cada caso dos múltiplos y dos divisores distintos de 1 y del propio número. a) 3 4 b) 11 3 c) 3 5 d) 3 5 7 a) Múltiplos: 3 3 4, 3 5 c) Múltiplos: 3 5, 3 6 Divisores: 3 4, 3 3 Divisores: 3 4, 3 3 b) Múltiplos: 11 3, 3 11 3 d) Múltiplos: 3 5 7, 3 5 7 Divisores: 3, 11 3 Divisores: 3 5 7, 5 7 80 Escribe los factores primos comunes en los siguientes pares de números. a) 3 5 7 y 5 7 3 b) 3 4 7 5 y 4 7 5 11 c) 13 17 y 5 3 17 3 a) y 7 b) 7 c) 17 81 Calcula el máximo común divisor de estos números. a) 16 y 3 c) 10 y 5 e) 4 y 36 b) 15 y 8 d) 30 y 48 f) 16 y 34 a) 16 = 4 3 = 5 m.c.d. (16, 3) = 4 b) 15 = 3 5 8 = 7 m.c.d. (15, 8) = 1 c) 10 = 5 5 = 5 m.c.d. (10, 5) = 5 d) 30 = 3 5 48 = 3 3 m.c.d. (30,48) = 3 = 6 e) 4 = 3 3 36 = 3 m.c.d. (4, 36) = 3 = 1 f) 16 = 4 34 = 17 m.c.d. (16, 34) = 8 Escribe dos posibles pares de números cuyo máximo común divisor sea 3 5. Primer par: (90, 5), ya que: 90 = 3 5 y 5 = 3 5, luego m.c.d. (90, 5) = 3 5. Segundo par (135, 315), ya que: 135 = 3 3 5 y 315 = 3 5 7, luego m.c.d. (135, 315) =3 5. 83 Calcula. a) m.c.m. (15, 3) c) m.c.m. (4, 8) e) m.c.m. (18, 7) b) m.c.m. (16, 4) d) m.c.m. (8, 36) f) m.c.m. (19, 1) a) 15 = 3 5 3 = 5 m.c.m. (15, 3) = 5 3 5 = 480 b) 16 = 4 4 = 3 3 m.c.m. (16, 4) = 4 3 = 48 c) 4 = 4 3 8 = 7 m.c.m. (4, 8) = 4 3 7 = 168 d) 8 = 7 36 = 3 m.c.m. (8, 36) = 3 7 = 5 e) 18 = 3 7 = 3 3 m.c.m. (18, 7) = 3 3 = 54 f) 19 es primo. 1 = 3 7 m.c.m. (19, 1) = 19 1 = 399 55

Divisibilidad 84 Escribe dos posibles pares de números cuyo mínimo común múltiplo sea 3 3. Primer par (4, 7), ya que: 4 = y 7 = 3 3, luego m.c.m. (4, 7) = 3 3. Segundo par (54, 1), ya que: 54 = 3 3 y 1 = 3, luego m.c.m. (54, 1) = 3 3. 85 Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de estos pares de números. a) 0 y 30 c) 144 y 84 e) 176 y 97 b) 4 y 105 d) 315 y 441 f) 75 y 154 a) 0 = 5 30 = 3 5 m.c.d. (0, 30) = 5 = 10 m.c.m. (0, 30) = 3 5 = 60 b) 4 = 3 7 105 = 3 5 7 m.c.d. (4, 105) = 3 7 = 1 m.c.m. (4, 105) = 3 5 7 = 10 c) 144 = 4 3 84 = 3 7 m.c.d. (144, 84) = 3 = 1 m.c.m. (144, 84) = 4 3 7 = 1 008 d) 315 = 3 5 7 441 = 3 7 m.c.d. (315, 441) = 3 7 = 63 m.c.m. (315, 441) = 3 5 7 = 05 e) 176 = 4 11 97 = 3 3 11 m.c.d. (176, 97) =11 m.c.m. (176, 97) = 4 11 3 3 = 4 75 f) 75 = 5 11 154 = 7 11 m.c.d.(175, 154) = 11 m.c.m.(175, 154) = 5 7 11 = 3 850 86 Utiliza la calculadora para obtener el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes números descompuestos en factores. a) 5 17 31 y 13 17 4 c) 5 3 53 71 4 y 13 53 71 3 b) 3 4 97 3 y 5 91 97 d) 11 47 y 11 3 59 4 a) m.c.d. = 17 = 34 m.c.m. = 5 17 4 31 13 = 860 064 b) m.c.d. = 97 = 9 409 m.c.m. = 3 4 97 3 5 91 = 5 608 375 585 c) m.c.d. = 53 71 3 m.c.m. = 5 3 53 71 4 13 = 1 507 93 37 000 15 d) m.c.d. = 11 = 11 m.c.m. = 11 3 47 59 4 = 35 67 10 347 619 87 Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los números propuestos. a) 36, 48 y 7 c) 13, 17 y 19 b) 15, 1 y 35 d) 10, 84 y 13 a) 36 = 3 48 = 4 3 7 = 3 3 m.c.d. (36, 48, 7) = 3 = 1 m.c.m. (36, 48, 7) = 4 3 = 144 b) 15 = 3 5 1 = 3 7 35 = 5 7 m.c.d. (15, 1, 35) = 1 m.c.m. (15, 1, 35) = 3 5 7 = 105 c) 13,17 y 19 son primos. m.c.d. (13, 17, 19) = 1 m.c.m. (13, 17, 19) = 13 17 19 = 4 199 d) 10 = 3 3 5 84 = 3 7 13 = 3 11 m.c.d. (10, 84, 13) = 3 = 6 m.c.m. (10, 84, 13) = 3 3 5 7 = 840 88 Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes números. a) 18, 4, 48 y 54 b) 117, 169, 08 y 18 a) 18 = 3 4 = 3 7 48 = 4 3 54 = 3 3 m.c.d. (18, 4, 48) = 3 = 6 m.c.m. (18, 4, 48) = 4 3 3 7 = 3 04 b) 117 = 3 13 169 = 13 08 = 4 13 18 = 7 13 m.c.d. (117, 169, 08, 18) = 13 m.c.m. (117, 169, 08, 18) = 3 13 4 7 = 170 35 56

89 Marisa está preparando canapés para la cena y quiere colocarlos en bandejas que contengan el mismo número de unidades. Si hace 90 canapés, de cuántas formas los puede colocar? Y si hace 91? 90 = 3 5 y Div(90) = {1,, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 50}, luego de 13 formas distintas. 91 = 7 13 y Div(91) = {1, 7, 13, 91}, luego de 4 formas distintas. 90 Luis ha vendido todas la papeletas de la rifa para el viaje de fin de curso. Sabiendo que cada papeleta cuesta 3, es posible que haya recaudado 343? Razona tu respuesta. Luis tiene que recaudar un múltiplo de 3. Como 343 no es múltiplo de 3, no es posible que haya recaudado 343. 91 Arturo compra 5 refrescos en una tienda. Cuando el dependiente le dice el precio, no escucha cuántos euros son, pero sí los céntimos: 3. Cómo sabe Arturo que la cuenta está mal hecha? Los múltiplos de 5 terminan en 0 o en 5, luego si el precio termina en 3, la cuenta estaría mal hecha. 9 Eva quiere dividir una cartulina de 40 cm de largo y 30 cm de ancho en cuadrados iguales tan grandes como sea posible, de forma que no le sobre ningún trozo. Cuánto medirá el lado de cada cuadrado? Hay que calcular el máximo común divisor de 40 y 30. 40 = 3 5 30 = 3 5 m.c.d. (40, 30) = 5 = 10 Luego el lado del cuadrado medirá 10 cm. 93 Una floristería ha recibido 40 rosas y 140 claveles. Cuántos ramos con el mismo número de flores se pueden hacer, sin mezclarlas y con el mayor número posible de unidades? Calculamos el máximo común divisor del número de rosas y claveles, para saber cuántas flores debe llevar cada ramo. 40 = 4 3 5 140 = 5 7 m.c.d. (40, 140) = 5 = 0 flores cada ramo. Para saber el número de ramos que se pueden hacer dividimos el número de rosas y claveles por el número de flores de cada ramo. Ramos de rosas: 40 : 0 = 1 Ramos de claveles: 140 : 0 = 7 En total se pueden hacer 19 ramos de flores. 94 Alrededor de una finca rectangular se quieren colocar postes igualmente espaciados de tal forma que haya uno en cada esquina y que el número total de postes sea el menor posible. Si la finca mide 360 m de largo por 140 m de ancho, cuántos postes serán necesarios? Tendremos que dividir la parcela en el mayor número de espacios posibles, luego calculamos el máximo común divisor entre las dimensiones de la parcela. 360 = 3 3 5 140 = 5 7 m.c.d. (360, 140) = 5 = 0 Luego se necesitan 0 postes. 95 Julia ha iniciado un tratamiento médico para su alergia. Debe tomar una pastilla cada 6 h y una cucharada de jarabe cada 4 h. Si ingirió los dos medicamentos a las 8:00 de la mañana, a qué hora volverá a tomarlos a la vez? Calculamos el mínimo común múltiplo de las frecuencias de tomas. 6 = 3 4 = m.c.m. (6, 4) = 3 = 1 Es decir, 1 horas después se las volverá tomar a la vez, y serán las 0:00 horas. 57

Divisibilidad 96 Se quiere dividir una nave industrial de 80 m de largo y 45 m de ancho en espacios cuadrados con la mayor superficie posible. a) Cuánto medirá el lado de cada espacio? b) Cuántos espacios habrá en total? a) Calculamos el máximo común divisor, ya que se trata de dividir un espacio utilizando elementos lo más grandes posibles. 80 = 4 5 45 = 3 5 m.c.d. (80, 45) = 5 Es decir, el lado de cada espacio mide 5 m. b) De largo caben 80 : 5 = 16 y de ancho 45 : 5 = 9. En total hay 9 16 = 144 espacios cuadrados. 97 Calcula el menor número que, al ser dividido por 1, 18 y 13, tenga por resto 1. Nos están pidiendo calcular el mínimo común múltiplo de las cantidades indicadas. 1 = 3 18 = 3 13 es primo. m.c.m. (1, 18, 13) = 3 13 = 468 Como se pide que tenga por resto 1, le sumamos 1, luego el número resultante es 469. 98 Se han dividido en trozos iguales tres cables de 10 cm, 160 cm y 180 cm de longitud, respectivamente. Cuál es la longitud de cada trozo? Calculamos el máximo común divisor de la longitud de cada cable. 10 = 3 3 5 160 = 5 5 180 = 3 5 m.c.d. (10, 160, 180) = 5 = 0 Luego la longitud de cada trozo es 0 cm. 99 César ha comprado 135 kg naranjas y 150 kg de limones al por mayor para venderlos en su frutería. Quiere meterlos en bolsas del mismo peso sin mezclar las frutas. Cuánto pesará cada bolsa? Calculamos el máximo común divisor entre el número de naranjas y limones. 135 = 3 3 5 150 = 3 5 m.c.d. (135, 150) = 3 5 = 15 Luego cada bolsa pesará 15 kg. 100 Ainoa y Noelia compiten en una carrera de atletismo. Ainoa emplea 45 s en completar cada vuelta, y Noelia, 36 s. a) Si las dos salen de la meta al mismo tiempo, después de cuántos segundos vuelven a coincidir en la salida? b) Si cada vuelta de la pista de atletismo mide 400 m, cuántos metros habrá recorrido cada corredora la primera vez que coinciden en la salida? a) Calculamos el mínimo común múltiplo entre los segundos que emplea cada atleta. 45 = 3 5 36 = 3 m.c.m. (45, 36) = 3 = 9 A los 9 s de salir de meta vuelven a coincidir. b) Si Ainoa tarda 45 s en recorrer 400 m, en 9 s recorre: 400 9 : 45 = 80 m Si Noelia tarda 36 s en recorrer 400 m, en 9 s recorre: 400 9 : 36 = 100 m 58

101 Jacobo y su abuelo miden con sus pasos la distancia que hay entre dos árboles del parque. Los pasos de Jacobo son de 5 cm de largo, y los de su abuelo, de 74 cm. a) Cuál es la distancia entre los árboles si esta es igual a la recorrida por el abuelo y su nieto cuando vuelven a coincidir sus pisadas? b) Cuántas huellas dejaron en el suelo entre los dos? a) Calculamos el mínimo común múltiplo entre los recorridos de Jacobo y su abuelo. 5 = 13 74 = 37 m.c.m. (5, 74) = 13 37 = 194 Luego la distancia entre los árboles es de 194 cm. b) Jacobo: 194 : 5 = 37 pisadas Su abuelo: 194 : 74 = 6 pisadas Luego entre los dos 37 + 6 = 63 pisadas. 10 A una excursión se han apuntado 136 alumnos, de los cuales 60 son chicas, y 76, chicos. El centro quiere reservar el menor número de habitaciones iguales sin mezclar en ellas a chicos y chicas. a) Cuál es el número de alumnos que van a dormir por habitación? b) Cuántas habitaciones hay que reservar? c) Cuántas habitaciones de chicos se reservarán? Y cuántas habitaciones de chicas? a) Calculamos el máximo común divisor entre el número de chicas y chicos. 60 = 3 5 76 = 19 m.c.d. (60, 76) = = 4 Luego en cada habitación dormirán 4 alumnos. b) En total se reservarán: 136 : 4 = 34 habitaciones c) Habitaciones de chicas: 60 : 4 = 15 Habitaciones de chicos: 76 : 4 = 19 103 Una ONG ha recogido 360 libros, 70 juguetes y 10 equipaciones deportivas que va a repartir en la campaña de Navidad. Quiere hacer paquetes que contengan los mismos elementos. a) Cuál es el mayor número de niños que recibirá un regalo? b) Qué cantidad de libros, juguetes y equipaciones deportivas le corresponderán a cada uno? a) Calculamos el máximo común divisor entre los diferentes tipos de regalos, y con ello sabremos cuantos elementos contienen los paquetes. 360 = 3 3 5 70 = 3 3 5 10 = 3 3 5 m.c.d. (360, 70, 10) = 3 5 = 30 b) Libros: 360 : 30 = 1 Juguetes: 70 : 30 = 9 Equipaciones: 10 : 30 = 4 104 Las instrucciones de mantenimiento de un coche especifican que debe cambiarse el aceite del motor cada 4 000 km, el filtro del aire cada 15 000 km y las bujías a los 0 000 km. Cuántos kilómetros tendrá el coche cuando deban realizarse todos los cambios a la vez? Trabajamos con miles de kilómetros para facilitar los cálculos. Calculamos el mínimo común múltiplo entre los kilómetros a los que se deben cambiar cada uno. 4 = 3 3 15 = 3 5 0 = 5 m.c.m. (4, 15, 0) = 3 3 5 = 10 Luego el coche tendrá 10 000 km cuando realice todos los cambios a la vez. 59