DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN PRODUCTO DE FACTORES PRIMOS

Transcripción

1 DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN PRODUCTO DE FACTORES PRIMOS Para descomponer un número, por ejemplo 36, en producto de factores primos se siguen estos pasos: Se escribe el número a la izquierda de una raya vertical y a su derecha el menor número primo (2, 3 5, 7,... ) por el cual dicho número sea divisible. El cociente obtenido se coloca debajo del número propuesto (36). 2 Se procede como en el paso anterior con el cociente obtenido (8), y así sucesivamente hasta llegar a un cociente igual a = 2 2 x 3 2 El número es igual al producto de los factores primos obtenidos. Haz la descomposición en producto de factores primos de los siguientes números = 54 = 70 = = 539 = 728 = Pág.

2 CONJUNTO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO Para hallar los divisores naturales de un número, por ejemplo 60, se siguen estos pasos:. Se descompone el número en producto de factores primos. 60 = 2 2 x 3 x = 2 2 x 3 x 5 2. Se hace una tabla poniendo en la primera fila el y las potencias sucesivas del primer factor primo (2 = 2; 2 2 = 4); así se obtiene la fila A. 2. A Se multiplica cada número de la fila A por el siguiente factor primo (3); así se obtiene la fila B. 3. A 2 4 B x 3 4. Se multiplica cada número de las filas A y B por el último factor primo 5; así se obtienen las filas C y D. 4. A 2 4 B x 5 El conjunto de divisores naturales de 60 es el formado por los números de las filas A, B, C y D. C D x 5 Divisores de 60:, 2, 4, 3, 6, 2, 5, 0, 20, 5, 30, 60 Halla los divisores naturales de cada uno de los siguientes números Divisores de 36: Divisores de 45: Divisores de 52: Pág. 2

3 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo MÁXIMO COMÚN DIVISOR El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor de los divisores comunes. Para hallar el máximo común divisor de dos o más números, por ejemplo, m.c.d. (2, 8), se siguen estos pasos:. Se descompone cada número en producto de factores primos. 2. El producto de estos factores comunes elevados al menor exponente es el máximo común divisor de los números dados = 2 2 x 3 8 = 2 x m.c.d. (2, 8) = 2 x 3 = 6 Halla el máximo común divisor de los siguientes pares de números. 40 y y y m.c.d. (40, 60) = m.c.d. (35, 48) = m.c.d. (70, 62) = 00 y y y 520 m.c.d. (00, 50) = m.c.d. (225, 300) = m.c.d. (45, 520) = Pág. 3

4 2 Halla el máximo común divisor de los siguientes pares de números. 280 y y 945 m.c.d. (280, 840) = Es 840 múltiplo de 280? Cuál es el m.c.d. (280, 840)? m.c.d. (35, 945) = Es 945 múltiplo de 35? Cuál es el m.c.d. (35, 945)? En general, si a es múltiplo de b, cuál es el m.c.d. (a, b)? m.c.d. (a, b) = 3 Halla el máximo común divisor de las siguientes series de números. 80, 252 y 594 m.c.d. (80, 252, 594) = 924,.000 y.250 m.c.d. (924,.000,.250) = Pág. 4

5 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor múltiplo común distinto de cero. Para hallar el mínimo común múltiplo de dos o más números, por ejemplo, m.c.m. (30, 45), se siguen estos pasos:. Se descompone cada número en producto de factores primos. 2. El producto de estos factores comunes elevados al mayor exponente y de los no comunes es el mínimo común múltiplo de los números dados = 2 x 3 x 5 45 = 3 2 x m.c.m. (30, 45) = 2 x 3 2 x 5 = 90 Halla el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de números. 32 y y y 95 m.c.m. (32 y 68 ) = m.c.m. (52 y 76 ) = m.c.m. (84 y 95 ) = 05 y y y 7 m.c.m. (05 y 20 ) = m.c.m. (380 y 420 ) = m.c.m. (590 y 7 ) = Pág. 5

6 2 Halla el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de números. 320 y y.260 m.c.m. (320, 640) = Es 640 múltiplo de 320? Cuál es el m.c.m. (320, 640)? m.c.m. (420,.260) = Es.260 múltiplo de 420? Cuál es el m.c.m. (420,.260)? En general, si a es múltiplo de b, cuál es el m.c.m. (a, b)? m.c.m. (a, b) = 3 Halla el mínimo común múltiplo de las siguientes series de números. 40, 325 y 490 m.c.m. (40, 325, 490)= 725, 980 y.400 m.c.m. (725, 980,.400)= Pág. 6

7 Problemas variados. En una carrera de motos, los tres primeros participantes tardan en dar una vuelta al circuito 00, 20 y 30 segundos respectivamente. Si salen a la vez y mantienen ese ritmo, cuánto tiempo transcurrirá hasta que vuelvan a coincidir en la meta? Cuántas vueltas habrá dado cada uno? 2. Los cuatro nietos de Ángela visitan a su abuela cada 6, 8, 9 y 2 días, respectivamente. Hoy han coincidido los cuatro. Cuándo volverán a coincidir? 3. A una reunión de Unicef asisten entre 00 y 20 alumnos. Se comprueba que se pueden sentar en mesas de 4, pero si se agrupan en mesas de 5, sobra. Cuántos asisten? 4. Tres excursionistas se llaman por el móvil para saber su situación. Eduardo lo hace aproximadamente cada 5 minutos; Marco, cada 30 minutos y Jaime, cada 45 minutos. Si acaban de comunicarse los tres, cuándo realizarán la próxima llamada? 5. En el almacén tenemos 45 paquetes de kg de arroz. Hay que meterlos en cajas que sean todas iguales sin que sobren ni falten paquetes. Calcula todas las soluciones posibles. 6. Un faro se enciende cada 8 segundos, otro cada 36 segundos y un tercero cada minuto. A las 8:30 h los tres coinciden. Averigua la hora en la que volverán a coincidir. 7. Un libro tiene entre 400 y 450 páginas. Si las contamos de 2 en 2 no sobra ninguna, si las contamos de 5 en 5 no sobra ninguna y si las contamos de 7 en 7 tampoco sobran Cuántas páginas tiene el libro? 8. En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 50 litros, 90 litros, y 20 litros. Su contenido se quiere envasar en garrafas iguales. Calcular la capacidad máxima de las garrafas para que en ellas se pueda envasar el vino de todos los toneles y el total de garrafas necesarias. 9. Se desean repartir 8 libros, 24 juguetes y 36 chocolatines entre un cierto número de niños, de tal modo que cada uno reciba un número exacto de cada uno de esos artículos. Calcula el mayor número de niños que pueden beneficiarse así y la cantidad que reciben de cada artículo? 0. Alan y Pedro comen en la misma taquería, pero Alan asiste cada 20 días y Pedro cada 38. Cuándo volverán a encontrarse?. David tiene 24 dulces para repartir y Fernando tiene 8. Si desean regalar los dulces a sus respectivos familiares de modo que todos tengan la misma cantidad y que sea la mayor posible, cuántos dulces repartirán a cada persona? a cuántos familiares regalará dulces cada uno de ellos? 2. Andrés tiene una cuerda de 20 metros y otra de 96 metros. Desea cortarlas de modo que todos los trozos sean iguales pero lo más largos posible. Cuántos trozos de cuerda obtendrá? 3. En un vecindario, un camión de helados pasa cada 8 días y un food truck pasa cada dos semanas. Se sabe que 5 días atrás ambos vehículos pasaron en el mismo día. Raúl cree que dentro de un mes los vehículos volverán a encontrarse y Oscar cree esto ocurrirá dentro de dos semanas. Quién está en lo cierto? 4. Simón tiene una pista de carreras con dos autos. El primer auto le da una vuelta completa a la pista en 3 segundos y el segundo lo hace en 7 segundos. Carlos también tiene su pista de carreras con dos autos, pero el primero da una vuelta completa en 36 segundos y el segundo en 42 segundos. Como Carlos siempre pierde cuando juegan, propone a Simón que el ganador sea quien tenga en su pista sus dos autos situados en la meta al mismo tiempo. Quién ganará? Pág. 7

8 5. En una banda compuesta por un baterista, un guitarrista, un bajista y un saxofonista, el baterista toca en lapsos de 8 tiempos, el guitarrista en 2 tiempos, el bajista en 6 tiempos y el saxofonista en 6 tiempos. Si todos empiezan al mismo tiempo, en cuántos tiempos sus periodos volverán a iniciar al mismo tiempo? 6. Máximo quiere pintar una casa pequeña. Según sus cálculos, necesitará 2 litros de pintura roja, 24 litros de pintura verde y 6 litros de pintura blanca. Pero quiere comprar botes de pintura que tengan la misma cantidad de litros y que el número de botes sea el menor posible, de cuántos litros debe ser cada bote y cuántos botes de cada color debe comprar Máximo? 7. Un sitio turístico en el Caribe ofrece tres diferentes cruceros: uno tarda 6 días en ir y regresar a su punto de inicio, el segundo tarda 8 días y el tercero tarda 0 días. Si los tres cruceros partieron al mismo tiempo hace 39 días, cuántos días faltan para que vuelvan a partir el mismo día todos los cruceros? 8. Una empresa pequeña que vende leche cuenta con tres sucursales: una en el norte, una en el sur y una en el este. Sabemos que la sucursal del norte produce 300 botellas de leche diarios, la del sur produce 240 y la del este produce 360. Se quieren transportar estas botellas de leche en camionetas que lleven el mismo número de botellas, pero que sea el mayor número de botellas posible. Cuántas botellas de leche debe transportar cada camioneta? 9. Marcos quiere instalar en su jardín tres diferentes tomas de agua automáticas para regar. La primera toma se abrirá cada 6 horas, la segunda lo hará cada 8 horas y la tercera, cada 4 horas. Si la primera vez que inicia el contador es al mediodía, cuántas veces al mes empezarán todas las tomas a regar al mismo tiempo? 20. Un estudiante de Astronomía sabe que Venus le da la vuelta al Sol en 225 días y Marte en 687 días. Si sabe que la última vez que Venus, Tierra y Marte se alinearon fue hace días, en cuánto tiempo se volverán a alinear los 3 planetas en el mismo punto? 2. Andrés tiene en su tienda los botones metidos en bolsas. En la caja A tiene bolsitas de 24 botones cada una y no sobra ningún botón. En la caja B tiene bolsitas de 20 botones cada una y tampoco sobra ningún botón. El número de botones que hay en la caja A es igual que el que hay en la caja B. Cuántos botones como mínimo hay en cada caja? 22. María y Jorge tienen 25 bolas blancas, 5 bolas azules y 90 bolas rojas y quieren hacer el mayor número de collares iguales sin que sobre ningún a bola. a) Cuántos collares iguales pueden hacer? b) Qué número de bolas de cada color tendrá cada collar? 23. Un campo rectangular de 360 m de largo y 50 m de ancho, está dividido en parcelas cuadradas iguales. El área de cada una de estas parcelas cuadradas es la mayor posible. Cuál es la longitud del lado de cada parcela cuadrada? 24. Teresa tiene un reloj que da una señal cada 60 minutos, otro reloj que da una señal cada 50 minutos y un tercero que da una señal cada 360 minutos. A las 9 de la mañana los tres relojes han coincidido en dar la señal. a) Cuántas horas, como mínimo, han de pasar para que vuelvan a coincidir? b) A qué hora volverán a dar la señal otra vez juntos? 25. Juan tiene que poner un rodapié de madera a dos paredes de 2 m y 9 m de longitud. Para ello ha averiguado la longitud del mayor listón de madera que cabe en un número exacto de veces en cada pared. Cuál será la longitud de este listón? Pág. 8