UNIDAD III TEORÍA DE COLAS 3.1 Definición Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o de sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre el costo del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado. 3.2 Historia El origen de la Teoría de Colas está en el esfuerzo de Agner Krarup Erlang (Dinamarca, 1878-1929) en 1909 para analizar la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una nueva teoría llamada teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que muchos de sus problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestión llegada-partida. 3.3 Aplicaciones típicas Problemas típicos de Teoría de Colas son: Situación Llegadas Cola Mecanismo de Servicio Banco Cuentahabientes Clientes con Caja números o en cola Aeropuerto Pasajeros Sala de espera Avión Restaurante (1) Comensales Cliente en espera Mesa Restaurante (2) Ordenes Platillos en Cocina/Mesero preparación Compañía Números marcados Llamadas Conmutador telefónica Supermercado Clientes Clientes con Caja mercancía Carga de camiones Camiones Camiones en Andén de carga espera Oficina de correos Cartas Buzón Empleados de correos Fábrica Piezas para Inventario en Estación de trabajo ensamblar proceso Hospital Pacientes Personas enfermas Médicos Pag 3-1 Gustavo León 2013
La teoría de las colas es un estudio matemático de las filas o líneas de espera. La formación de líneas de espera es, un fenómeno común que ocurre siempre que la demanda actual de un servicio excede a la capacidad actual de proporcionarlo. Con frecuencia, deben de tomarse decisiones respecto a la cantidad de capacidad que debe proporcionarse. Sin embargo, muchas veces es imposible predecir con exactitud cuándo llegarán las unidades que buscan el servicio y/o cuanto tiempo será necesario para dar ese servicio. Proporcionar demasiado servicio implica costos excesivos. Por otro lado, carecer de la capacidad de servicio suficiente causa colas excesivamente largas en ciertos momentos. Las líneas de espera largas también son costosas en cierto sentido, ya sea por un costo social, por un costo causado por la pérdida de clientes, por el costo de empleados ociosos o por algún otro costo importante. Entonces, la meta final es lograr un balance económico entre el costo de servicio y el asociado con la espera por ese servicio. La teoría de las colas en si no resuelve directamente el problema, pero contribuye con la información vital que se requiere para tomar las decisiones concernientes prediciendo algunas características sobre la línea de espera como el tiempo de espera promedio. La teoría de las colas proporciona un gran número de modelos matemáticos para describir una situación de línea de espera. Con frecuencia se dispone de resultados matemáticos que predicen algunas de las características de estos modelos. Después de una introducción general se analiza la manera en que puede usarse la información que proporciona la teoría colas para la toma de decisiones. 3.4 Estructura En la figura de abajo observamos un esquema típico generalizado de un sistema de cola. 3.4.1 Población Entidades que requieren Servicio Máquinas a ser mantenidas/reparadas Piezas que requieren alguna operación Cargas a ser trasportadas 3.4.2 Llegadas Formalización de reglas que rigen la generación de la necesidad de un servicio Pag 3-2 Gustavo León 2013
Pueden visualizarse en dos categorías de frecuencia. Por intervalos de tiempo Por numero de llegadas en unidad de tiempo La distribución de Poisson describe las llegadas por unidad de tiempo y la distribución exponencial estudia el tiempo entre cada una de estas llegadas. Si las llegadas son de Poisson, el tiempo entre ellas es exponencial. La distribución de Poisson es discreta, mientras que la distribución exponencial es continua, porque el tiempo entre llegadas no tiene por qué ser un número entero. Esta distribución se usa mucho para describir el tiempo entre eventos, específicamente, la variable aleatoria que representa el tiempo necesario para servir a la llegada. Un ejemplo típico puede ser el tiempo que un médico dedica a un paciente. 3.4.2.1 Distribución de Poisson Las llegadas pueden modelarse mediante una distribución de Poisson cuando: Pag 3-3 Gustavo León 2013
1. El número de llegadas que ocurren en un intervalo de tiempo T es independiente de las que ocurren en cualquier otro intervalo de tiempo disjunto. 2. La probabilidad de que se produzca una sola llegada en un intervalo de tiempo muy corto, es proporcional a la duración del intervalo de tiempo, y no depende del número de llegadas fuera de este intervalo de tiempo. 3. La probabilidad de que ocurra más de una llegada en dicho intervalo de tiempo corto es insignificante. La probabilidad de que se produzcan n llegadas durante el intervalo de tiempo T según un proceso Poissoniano viene dada por: La relación entre la distribución de Poisson y la exponencial, está descrita por la función de probabilidad: 3.4.2.2 Función Poisson en Excel Devuelve la distribución de Poisson. Una de las aplicaciones comunes de la distribución de Poisson es la predicción del número de sucesos en un determinado período de tiempo, como por ejemplo, el número de automóviles que se presenta a una zona de peaje en el intervalo de un minuto. Pag 3-4 Gustavo León 2013
Sintaxis POISSON(x;media;acumulado) X es el número de sucesos. Media es el valor numérico esperado. Acumulado es un valor lógico que determina la forma de la distribución de probabilidad devuelta. Si el argumento acumulado es VERDADERO, POISSON devuelve la probabilidad de Poisson de que un suceso aleatorio ocurra un número de veces comprendido entre 0 y x inclusive; si el argumento acumulado es FALSO, la función devuelve la probabilidad de Poisson de que un suceso ocurra exactamente x veces. Observaciones Si el argumento x no es un entero, se trunca. Si los argumentos x o media no son numéricos, POISSON devuelve el valor de error # VALOR! Si x 0, POISSON devuelve el valor de error # NUM! Si media 0, POISSON devuelve el valor de error # NUM! POISSON se calcula como: Si el argumento acumulado = FALSO: Si el argumento acumulado =VERDADERO: Ejemplo El ejemplo puede resultar más fácil de entender si lo copia en una hoja de cálculo en blanco. Cómo? Pag 3-5 Gustavo León 2013
Cree un libro o una hoja de cálculo en blanco. Seleccione el ejemplo en el tema de Ayuda. No seleccione los encabezados de fila o de columna. Seleccionar un ejemplo de la Ayuda Presione CTRL+C. En la hoja de cálculo, seleccione la celda A1 y presione CTRL+V. Para alternar entre ver los resultados y ver las fórmulas que devuelven los resultados, presione CTRL+` (acento grave) o, en el menú Herramientas, elija Auditoría de fórmulas y, a continuación, haga clic en Modo de auditoría de fórmulas. A Datos B Descripción 1 2 3 2 Número de sucesos 5 Media esperada Fórmula Descripción (Resultado) =POISSON(A2;A3;VERDADERO)Probabilidad de Poisson acumulada con los términos anteriores (0,124652) =POISSON(A2;A3;FALSO) Función de probabilidad de Poisson con los términos anteriores (0,084224) I.1 Planteamiento El Bayern Munich En la temporada 2008-09 jugó 34 partidos y marcó 71 goles. Que probabilidad hay de que en el siguiente partido marque exactamente 1 gol? I.2 Solución Datos Decripción 1 Número de sucesos Media esperada 2.088 (71/34) 0.2587 Prob x 0.3826 Prob x acc Pag 3-6 Gustavo León 2013
Haga una tabla con la probabilidad exacta de 0 a 6 goles Haga una tabla con la probabilidad acumulada de 0 a 6 goles Graficar Goles Prob x Prob acc 0 12.39% 12.39% 1 25.87% 38.26% 2 27.02% 65.28% 3 18.81% 84.09% 4 9.82% 93.90% 5 4.10% 98.00% 6 1.43% 99.43% I.3 Planteamiento En el torneo de futbol mexicano esta es la posición y estadística actual de los equipos Equipo JJ JG JP JE GF GC DIF PTS Cruz Azul 12 9 2 1 26 10 16 28 Monterrey 12 7 0 5 21 10 11 26 Santos 12 7 4 1 23 15 8 22 San Luis 12 6 5 1 15 14 1 19 Pumas 12 5 4 3 18 19-1 18 América 12 4 3 5 15 13 2 17 Toluca 12 4 3 5 12 12 0 17 Tigres 12 4 4 4 17 11 6 16 Jaguares 12 4 4 4 16 12 4 16 Pachuca 12 4 4 4 19 20-1 16 Morelia 12 4 5 3 12 10 2 15 Guadalajara 12 3 3 6 12 12 0 15 Puebla 12 4 5 3 15 19-4 15 Necaxa 12 3 5 4 10 13-3 13 Pag 3-7 Gustavo León 2013
Querétaro 12 3 6 3 13 23-10 12 Estudiantes 12 3 6 3 13 26-13 12 Atlante 12 2 7 3 12 21-9 9 Atlas 12 2 8 2 10 19-9 8 En el partido de la fecha 13 entre Guadalajara y América, Determine la probabilidad de que América no marque gol Determine la probabilidad de que Guadalajara no marque gol Determine la probabilidad de que el partido termine empatado a 1 Determine la probabilidad de que Guadalajara gane 1-0 Determine la probabilidad de que América gane 1-0 Cuál es el marcador más probable? 3.4.3 Cola Cuando la unidad que requiere el servicio llega al sistema puede ocurrir que la unidad de servicio se encuentre ocupada atendiendo a un requerimiento anterior, en cuyo caso la unidad recién llegada tendrá que esperar a que la unidad de servicio quede libre para pasar a Pag 3-8 Gustavo León 2013
ocuparla. La espera se realizará físicamente en lo que denominamos cola o fila de espera. 3.4.3.1 Longitud de la cola 3.4.4 Sistema de Selección Por tal entendemos el criterio seguido para elegir la siguiente unidad que va a recibir servicio cuando la unidad de servicio queda libre al terminar el servicio de la unidad que estaba siendo atendida. El criterio queda definido mediante la especificación de la disciplina de la cola, es decir, de la regla o reglas que determinan el orden por el que sor servidas las unidades que requieren servicio. Los más típicamente usados son Primeras Entradas Primeras Salidas (PEPS) y Últimas Entradas Primeras Salidas (UEPS), pero algunos otros criterios como clientes Premier o el modos de emergencia ó urgencia dependiendo de lo crítico de la atención requerida. 3.4.5 Unidades de Servicio Definición de la estructura física de la unidad de servicio: La especificación de la estructura física debe completarse mediante la descripción de la ley de distribución de probabilidad que rige la duración de los procesos de servicio. Un caso típico de distribución de probabilidad de tiempos de servicio es la exponencial, según la cual la probabilidad de que la duración de un servicio sea de t unidades de tiempo es: Pag 3-9 Gustavo León 2013
Algunos de los parámetros físicos utilizados son: 3.4.6 Salidas NOMENCLATURA Notación Kendall M/M/1 Representa entonces: Entradas distribuidas exponencialmente Servicio distribuido exponencialmente y un servidor único. Pag 3-10 Gustavo León 2013
2.6.8 CARRETERA 2.6.8.1 Planteamiento En una carretera se tienen los siguientes patrones de llega en temporada regular Hrs Lun Mar Mie Jue Vie Sab Dom 0-1 2 5 3 0 11 3 11 1-2 1 12 3 9 2 12 3 2-3 6 4 13 3 18 13 21 3-4 9 2 8 15 7 8 9 4-5 15 12 12 14 8 4 0 5-6 17 18 24 15 6 11 32 6-7 19 28 69 43 104 13 107 7-8 32 39 30 35 112 83 98 8-9 95 17 32 75 129 14 21 9-10 33 35 36 19 116 29 22 10-11 25 28 39 17 123 8 14 11-12 42 99 70 45 83 125 62 12-13 43 31 47 109 88 89 127 13-14 52 106 48 125 170 145 173 14-15 60 112 83 15 35 138 116 15-16 75 42 74 25 79 83 177 16-17 145 144 149 46 28 53 180 17-18 42 47 63 68 128 118 138 18-19 11 69 81 54 41 41 56 19-20 33 35 85 57 38 27 116 20-21 81 69 65 77 107 25 5 21-22 9 12 64 43 10 83 60 22-23 11 16 47 31 30 43 26 23-24 16 25 6 10 14 37 44 Encontrar la probabilidad de que lleguen exactamente 50 vehículos cualquier día entre 9-10. Hallar la probabilidad de que lleguen por lo menos 50 vehículos a cualquier hora del próximo domingo. Hallar la probabilidad de que lleguen más de 50 vehículos a cualquier hora del próximo domingo. Encontrar el número teórico de casetas para atender al número más probable de vehículos llegando entre 6:00 y 7:00 si todos llegaran en un intervalo muy corto de la hora y quisiéramos que no hubiera fila Determinar el número de casetas para que en cualquier hora del día la probabilidad de que se haga una fila de 5 sea menor del 70% si todos llegaran en un intervalo muy corto de la hora. 2.6.9 HURACÁN 2.6.9.1 Planteamiento A continuación se muestra el número de Huracanes en la escala Saffir-Simpson que han impactado en los E.U. por década. Pag 3-11 Gustavo León 2013
Década Categoría Saffir-Simpson 1 2 3 4 5 1851-1860 8 5 5 1 0 1861-1870 8 6 1 0 0 1871-1880 7 6 7 0 0 1881-1890 8 9 4 1 0 1891-1900 8 5 5 3 0 1901-1910 10 4 4 0 0 1911-1920 10 4 4 3 0 1921-1930 5 3 3 2 0 1931-1940 4 7 6 1 1 1941-1950 8 6 9 1 0 1951-1960 8 1 5 3 0 1961-1970 3 5 4 1 1 1971-1980 6 2 4 0 0 1981-1990 9 1 4 1 0 1991-2000 3 6 4 0 1 Considerando una distribución de llegada tipo Poisson, utilizando Excel, escriba el valor de los parámetros en las tres líneas de paréntesis que utilizará para obtener el resultado, así como el resultado mismo en la cuarta línea. Si requirió de un cálculo extra anótelo en esta cuarta línea. Utilice porcentaje cuando aplique y exactamente 4 decimales en la aproximación de su resultado Cuál es la probabilidad en porcentaje de que en la década 2001-2010 impacten dos huracanes categoría 5 exactamente? =POISSON(,, ) = Cuál es la probabilidad en porcentaje de que en la década 2001-2010 impacten cuatro huracanes ó menos, categoría 3? =POISSON(,, ) = Cuál es la probabilidad en porcentaje de que en la década 2001-2010 impacten más de tres huracanes categoría 4? Pag 3-12 Gustavo León 2013
=POISSON(,, ) = Cuál es la cantidad más probable de Huracanes categoría 2 que impactarán. =POISSON(,, ) = Cuál es la cantidad más probable de Huracanes categoría 5 que impactarán. =POISSON(,, ) = Cuál es la cantidad total de Huracanes de todos los tipos más probable para la década 2001-2010? =POISSON(,, ) = Pag 3-13 Gustavo León 2013