Sisemas y Señales I Ecuaciones de Esado Auor: Dr. Juan Carlos Gómez
Variables de Esado Definición: Las Variables de Esado son variables inernas del sisema, cuyo conocimieno para odo iempo, juno con el conocimieno de las enradas, permie compuar cualquier ora variable del sisema. Definición: El mínimo número de variables de esado linealmene independienes, que permien deerminar cualquier ora variable del sisema es el denominado orden del sisema. J.C. Gómez SyS-I
Ecuaciones de Esado La dinámica de un sisema puede represenarse en función de las variables de esado con una ecuación diferencial de primer orden, de la forma: EE ( ) x () = F x(), u() donde [ ] x() = x (), x (),, x () T 1 n es el vecor de esado de dimensión n (igual al orden del sisema), u() es el vecor de enrada, y F(x,u) es una función, en general no lineal, del esado y la enrada. J.C. Gómez SyS-I 3
Ecuación n de Salida La Ecuación de Salida es una ecuación algebraica donde las salidas del sisema se escriben en función de las variables de esado y las enradas. Es decir ES ( ) y() = G x(), u() J.C. Gómez SyS-I 4
Ejemplo Consideremos el sisema masa-resore represenado en la Fig. 1 Figura 1: Sisema masa-resore La ecuación diferencial que describe la dinámica del sisema es: mz () = F kz() bz () J.C. Gómez SyS-I 5
Donde se asumió que el resore iene una caracerísica lineal y que el rozamieno es de ipo viscoso, es decir, la fuerza de roce es proporcional a la velocidad. En ese caso podemos definir como variables de esado la posición y la velocidad de la masa m, es decir: x1 () = z() x () = z () Las Ecuaciones de Esado resulan enonces: EE x 1 () = x() 1 k b x () = F x1() x() m m m J.C. Gómez SyS-I 6
En ese caso (sisema lineal), las EE pueden escribirse en forma maricial EE 0 1 0 x 1 () x1() = k b 1 F() x () () x + u () m m m X() X () A B Es decir, son de la forma EE X () = AX() + Bu() donde: A es la mariz de ransición X() es el vecor de esado B es la mariz de enrada u() es el vecor de enrada J.C. Gómez SyS-I 7
Suponiendo que nos ineresan como salidas del sisema la posición de la masa m y la fuerza de rozamieno, la ecuación de salida resula: ES y () = x () 1 1 y () = bx () que en ese caso (sisema lineal) puede escribirse en forma maricial ES y1() 1 0 x1() 0 F () y() = 0 b + x () 0 u () Y() C X() J.C. Gómez SyS-I 8 D
Es decir, la Ecuación de Salida es de la forma ES Y () = CX () + Du () donde: C es la mariz de salida D es la mariz de ransferencia direca Y() es el vecor de salida X() es el vecor de esado u() es el vecor de enrada J.C. Gómez SyS-I 9
Represenación n en Espacio de Esados de un Sisema Lineal Esacionario Para un sisema lineal esacionario la represenación en espacio de esados oma la forma donde X () = AX() + Bu() Y () = CX () + Du () X, u, Y n m p n n n m p n p m A, B, C, D Es decir, el sisema queda represenado por la cuadrupla ( ABCD,,, ) J.C. Gómez SyS-I 10
La represenación en Espacio de Esados no es única. En efeco, basa con realizar un cambio de coordenadas en el espacio de esados, de la forma X ( ) = TX ( ), T mariz no singular para obener una represenación equivalene. Exisen por lo ano infinias represenaciones (realizaciones) en Espacio de Esados equivalenes. Hallemos la represenación equivalene. X () = TX () = TAX () + TBu() 1 = TAT X ( ) + TBu ( ) A B J.C. Gómez SyS-I 11
Y () = CX () + Du () 1 = CT X ( ) + Du ( ) C La represenación en espacio de esados equivalene esá dada enonces por la cuadrupla: D ( 1 TAT, TB, CT 1, D) Definición: Una realización en Espacio de Esado se dice mínima, si el vecor de esados iene la mínima dimensión posible. J.C. Gómez SyS-I 1
Relación n enre la represenación n en Espacio de Esados y la represenación n con Función Trans- ferencia de un Sisema Lineal Esacionario Sea un sisema LE represenado por su EE y ES: X () = AX() + Bu() Y () = CX () + Du () Transformando Laplace resula: sx () s = AX () s + BU () s Y() s = CX() s + DU() s (1) () J.C. Gómez SyS-I 13
De la ecuación (1) resula ( si A) X () s = BU () s 1 X () s = ( si A) BU() s (3) Reemplazando (3) en () resula 1 Y() s = C( si A) BU() s + DU() s Y() s = C( si A) B D + U() s (4) 1 donde 1 H () s = C( si A) B + D Mariz Transferencia J.C. Gómez SyS-I 14
Ejemplo: Consideremos un sisema de do. orden represenado por su Función n Transferencia de la forma Gs () = ω Y() s s s = U( s) n + ξωn + ωn (5) de donde puede obenerse la Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) que describe el comporamieno dinámico del sisema y + y + y = u () ξωn () ωn () ωn () (6) Definiendo como variables de esado: x1 () = y() x() = y () J.C. Gómez SyS-I 15
las Ecuaciones de Esado resulan x 1 () = x() x () = ωnx1() ξωnx() + ωnu() Que pueden escribirse en forma maricial como x 1 () 0 1 x1() 0 = u () x () () ωn ξω n x + ω n u () X () A X() B (7) J.C. Gómez SyS-I 16
Calculemos los auovalores de la mariz A. Debemos hallar las raíces de la ecuación caracerísica de λi A = 0 ( ) (8) Es decir: λ 0 0 1 de 0 0 λ ωn ξω = n λ 1 de 0 = ωn λ ξω + n λ λ+ ξω + ω = n n 0 ( ) λ + ξω λ+ ω = 0 n n J.C. Gómez SyS-I 17 (9)
Puede verse que las raíces de la ec. (9) (es decir, los auovalores de la mariz A) coinciden con la raíces del polinomio denominador de la Función Transferencia del sisema en ec. (5) (es decir, los polos de la FT). auovalores de A = polos de G(s) J.C. Gómez SyS-I 18