Soluciones Hoja Problemas Espacio Vectorial -6.- Se considera R con la suma habitual y con el producto por un escalar que se indica en los casos siguientes. Prueba que en ninguno de ellos, (R,, ) es espacio vectorial señalando alguna propiedad del producto que no se cumpla: a) λ (, y, z) ( λ, λy, z) b) λ (, y, z) (,,) c) λ(, y, z) ( λ,λy, λz) a) ( λ μ) b). c). d). λ μ..- Definimos en R las operaciones siguientes: (,y) ( ', y' ) ( ', y y' ) λ(, y) ( λ, λy ) Determinar, para la suma, el elemento neutro y el elemento opuesto de (, y) Probar que R con dichas operaciones es un espacio vectorial. El vector nulo sería (, -), y el opuesto (, y) (-, --y)..- En cada caso, determinar si F es un subespacio vectorial de R. En caso afirmativo, buscar una base y unas ecuaciones implícitas y paramétricas de F. a) F {(, α, β) / α, β R} b) F {(, α, β) / α, β R} c) F {(, y,z) R / y z } d) F {( α, β, γ) / α, β, γ R} a) No es subespacio, pues F. b) Sí es subespacio; una base es {(,, ), (,,) }. Ecuaciones paramétricas: y α ; implícitas:. z β c) Sí es subespacio; una base es {(,, ), (,, )}. α β Ecuaciones paramétricas: y α ; implícitas: -yz. z β d) No es subespacio; ( ) F, en general. Unidad docente de Matemáticas
.- En cada caso, determinar si pertenece a F < y, z >. Si F, escribirlo como combinación lineal de y y z. a) (,,, ), y (,,, ), z (,,, ) b) (,,, ), y (,,, ), z (,,, ) c) ( 7,7,9), y (,, ), z (,, ) a) #: [, -,, ] [,,, ] μ [,,, ] #6: SOLVE([, -,, ] [,,, ] μ [,,, ], [λ, μ]) #7: λ μ - Luego, sí es combinación lineal: #8: [, -,, ] [,,, ] - [,,, ] b) #9: [,,, ] [, -,, ] μ [, -, -, ] #: false No es combinación lineal. c) #: [-7, 7, 9] [-,, ] μ [, -, ] #: λ μ - Por tanto, sí es combinación lineal: #: [-7, 7, 9] [-,, ] - [, -, ].- Determinar, en cada caso, si los vectores dados generan y/o libre de R. a) {(,,, ), (,,, ), (,,, ), (,,, )} b) {(,,,),(,,, ), (,,, ), (,,,) } c) {(,,,),(,,, ), (,,, )} a) Sí son un sistema generador (libre con vectores), en efecto: #: DET #: b) No son un sistema generador, ni libre: - - #6: DET - - #7: c) No son un sistema generador, pues solamente hay tres, pero si es libre: - #8: RANK - Unidad docente de Matemáticas
#9: 6.- Escribir cada uno de los siguientes polinomios como combinación lineal de,,. a) b) c) d) a) #8: ( ) μ ( ) γ ( ) #9: (γ μ) (λ μ) γ #: SOLVE([γ μ, λ μ, γ ], [γ, λ, μ]) #: [γ λ μ ] #: ( ) ( ) ( ) b) #: - ( ) μ ( ) γ ( ) #: - (γ μ) (λ μ) γ #: SOLVE([γ μ, λ μ -, γ ], [γ, λ, μ]) #6: [γ λ - μ ] #7: - (-) ( ) ( ) ( ) c) #8: ( ) μ ( ) γ ( ) #9: (γ μ) (λ μ) γ #: SOLVE([γ μ, λ μ, γ ], [γ, λ, μ]) #: γ λ - μ #: - ( ) ( ) ( ) d) #: ( ) μ ( ) γ ( ) #: (γ μ) (λ μ) γ #: SOLVE([γ μ, λ μ, γ ], [γ, λ, μ]) #6: γ - λ μ #7: ( ) ( ) - ( ) #8: SOLVE([γ μ, λ μ, γ ], [γ, λ, μ]) Unidad docente de Matemáticas
7.- Determinar si los conjuntos siguientes G y G generan el mismo subespacio de R o subespacios distintos a. G {(,,-), (,,), (,,)} y G {(,,-), (,,)} b. G {(,,-), (,,), (,,)} y G {(,,-), (,-,)} a) #: RANK - #: Ecuación cartesiana del subespacio vectorial generado por G #: DET y z #: - y z Ecuación cartesiana del subespacio vectorial generado por G #: DET y z - #6: - y z Son iguales, luego son subespacios idénticos. b) Ecuación cartesiana del subespacio vectorial generado por G #7: DET y - z - #8: - - y - z Son ecuaciones distintas. 8.- Si u, v, w, z es libre, cuáles de los siguientes conjuntos también lo son? a) u v, v w, w u b) u v, v w, w u c) u v, v w, w z, z u d) u v, v w, w z, z u a) No es libre: λ u v v w w u Unidad docente de Matemáticas
λ λ λ b) Sí es libre: λ u v v w w u λ λ v λ w λ λ λ c) No es libre: λ u v v w w z z u ( λ λ ) u ( λ ) v ( λ ) w λ λ ( ) ( ) ( ) u ( λ λ ) u ( λ ) v ( λ ) w ( λ ) λ λ λ λ λ λ z d) No es libre: λ u v v w w z z u ( λ ) u ( λ ) v ( λ ) w ( λ ) λ λ λ λ λ λ λ z 9.- a) Para qué valores de los siguientes sistemas de vectores son bases de R? B {(,, ), (,, ), (,,) }; B {(,, ), (,, )(,,,) } b) Para, escribir las ecuaciones de cambio de base de B a la canónica, de la canónica a B, de B a B y de B a B. a)para cualquier número real -, en efecto: - #9: DET #: #: SOLVE(,, Real) #: - a) Para cualquier número real -/, en efecto: #: DET #: - - Unidad docente de Matemáticas
#: SOLVE(- -,, Real) #6: - b) Cambio de B a la canónica: c y y #7: c - z z c y - y z z z #8: c c c Cambio de la canónica a B: - - #9: - c y - y #: c z z c zc zc #: y y - z c c c Matriz de paso de B a la canónica: #: Cambio de B a la canónica: c y y #: c z c z Unidad docente de Matemáticas 6
igualando las ecuaciones matriciales del cambio de base de B a Bc y de B a Bc: c y y y #: c - z z z c del sistema matricial anterior podemos responder al cambio de base de B a B y de B a B, simplemente despejando: Cambio de B a B: - y y #: - z z - 6 y - 6 z y - y - z - - y - #6: z - z Cambio de B a B: - y y #7: - z z y y #8: y y - z z z u.- Hallar las coordenadas del vector (, y,z) v v v donde (,,), (, 7,) y (,,) en la base B ' v, v, v. Cuál es la matriz de cambio de la base B a la canónica? #7: [, y, z] [,, ] μ [-, -7, ] γ [, -, ] #8: - μ y - γ λ - 7 μ z γ μ #9: SOLVE([, y, z] [,, ] μ [-, -7, ] γ [, -, ], [γ, λ, μ], Real) #6: γ - y - z λ (y z) - μ - y z Cambio de B a la canónica: - #6: y -7 - y z z Unidad docente de Matemáticas 7
.- En cada caso, encontrar una base de V que contenga a v y/ó w : a) V b) V R, v (,, ) w R, v (,,, ), (,,, ) c) V P, v, w a) B {(,,),(,,),(,,)} #6: DET #6: - b) B {(,-,,-),(,,,),(,,,),(,,,)} - - #6: DET #6: c) B #6: {,,, } #66: #67: #68: #69: #7: DET #7: -.- Sea la matriz A de cambio de base de B a B, siendo 7 8 B u,..., u y B ' v,..., v. Escribir u en función de los vectores de la base B. Hallar la matriz de cambio de base de B a B. Unidad docente de Matemáticas 8
- - - #7: A 7 8 La segunda columna de A son las coordenadas de u en la base B', luego: u v v v v #7: Matriz de cambio de base de B' a B: - - - 6 9-6 #7: A - - 6 - - 6 R, sea {( ) }.- En V F, y, z / y z. Buscar un subespacio suplementario de F. F es un plano vectorial de R. Un subespacio suplementario de F es cualquier recta vectorial no contenida en él. Por ejemplo: #7: [, y, z] [,, ] que es ortogonal al plano (de hecho es su subespacio ortogonal).- Se consideran los tres subespacios de R siguientes: F {( α, β,,) / α, β R} F < (,,, ), (,,, ) > F < (,,, )> a) Hallar F F b) Hallar F F c) Las sumas anteriores son sumas directas? Cuando así ocurra, escribir la descomposición única de cada vector de la suma en suma de dos vectores uno de cada subespacio. a) Bases de F, F y F son: B {(,,, ), (,,, )}, B {(,,, )(,,,, )}, y B {(,,, )}, respectivamente. Una base B de F F está constituida por los vectores linealmente B,,,,,,,,,,,, es decir: independientes de {( ) ( ) ( )} B Unidad docente de Matemáticas 9
{(,,, ), (,,, ), (,,, )} F {( α, β, γ,) / α, β, γ R} B Por tanto, F b) Una base B de F F está constituida por los vectores linealmente B,,,,,,,,,,,, es decir: independientes de B {( ) ( ) ( )} B {(,,, ), (,,, ), (,,, )} Por tanto, F F {( α, β, γ,) / α, β, γ R} F F F no es suma directa pues B {(,,, ) } φ c) F B F F sí es suma directa pues B B φ Descomposición única de un vector de F F : α, β, γ,, β, γ, α,,, ( ) ( ) ( ).- Sean F y F los siguientes subespacios vectoriales de /... F { } F /... R : Analizar si F y F son subespacios suplementarios de descomposición de cualquier vector u R en suma u F u y F Sea u F F u (,..., ) u (,..., ) F. R obteniendo la u u u, donde con... y..., es decir,, con y, por tanto, F V. En efecto: u V, u u. Luego, F F. (,..., ) ( y,..., y ) ( t,..., t) ( y t,..., y t) F F...... ( y t)... ( y t) ( y... y ) t t t... i yi t yi i t i, i,..., Queda demostrado que V F F, es decir, que F y F son subespacios suplementarios. Unidad docente de Matemáticas
Unidad docente de Matemáticas 6.- Dados los subespacios vectoriales F determinado por las ecuaciones cartesianas y G por las ecuaciones paramétricas del espacio vectorial R, se pide: bases de F, G, FG y G F. a) Una base del subespacio vectorial F debe tener tres vectores de F linealmente independientes, puesto que la dimensión de F es la dimensión del espacio vectorial R menos el número de ecuaciones linealmente independientes de F. Los tres vectores necesarios son soluciones particulares del sistema α γ γ α β β α γ β α luego una base de F puede ser,,. b) En el caso del subespacio vectorial G tenemos las ecuaciones paramétricas ; una base:,, c) Una base del subespacio suma sale de la unión de los vectores de cada base quitando los que sean combinación lineal de los restantes, para ello calculamos el rango de la siguiente matriz r, la matriz que identifica el rango indica los vectores linealmente independientes y por lo tanto la base, ( ) ( ) ( ) ( ) { },,,,,,,,,,,,,,,,,,,. Si queremos escribir las ecuaciones del
Unidad docente de Matemáticas subespacio FG, podemos escribir el siguiente determinante d) Para obtener las ecuaciones del subespacio vectorial G F solamente debemos juntar las ecuaciones cartesianas de cada subespacio vectorial F y G; de las ecuaciones paramétricas de G obtenemos las ecuaciones ;. Por tanto, ; ; cuya dimensión es.
Nombre de archivo: Sol.Espacio_Vectorial-6.doc Directorio: C:\Documents and Settings\Administrador\Escritorio Plantilla: Normal.dot Título: Soluciones Hoja Problemas Espacio Vectorial -6 Asunto: ejercicios Autor: Matemáticas Palabras clave: Comentarios: Fecha de creación: //6 8:9 Cambio número: Guardado el: 7//6 7: Guardado por: Luis Sebastian Tiempo de edición: minutos Impreso el: 7//9 9: Última impresión completa Número de páginas: Número de palabras:.7 (apro.) Número de caracteres: 6.886 (apro.)