7. APAITANIA E INDUTANIA 7.. INTRODUIÓN El elemeno paso e os ermnales que hemos so hasa el momeno, eso es la Ressenca, presena un comporameno lneal enre su olaje y correne. Eso prouce ecuacones algebracas gualmene lneales. Ahora amos a esuar os elemenos para los cuales las relacones lneales no se an enre olaje y correne sno enre una e esas arables y la eraa e la ora. Eso a a proucr ecuacones ferencales que serán gualmene lneales. Esos elemenos son la capacanca y la nucanca. Aunque capacanca e nucanca son elemenos pasos enen la propea e almacenar energía, y por ano se ce que pueen ener concones ncales para las arables e olaje y correne, eso en funcón e la energía que engan almacenaa. a capacanca almacena la energía en un campo elécrco menras que la nucanca almacena la energía en un campo magnéco. 7.. APAITANIA a capacanca es un elemeno paso e os ermnales que almacena cargas elécrcas enre un par e placas separaas por un elécrco creano una ferenca e poencal enre las os placas. Esa ferenca e poencal creaa por la acumulacón e las cargas ene una relacón reca con la energía almacenaa por la capacanca. a Fgura 7- muesra el símbolo ulzao para represenar ese elemeno y la relacón enre olaje y correne e acuero a la conencón pasa. Fgura 7- Expermenalmene se enconró que la correne nsanánea en la capacanca es recamene proporconal a la aracón el olaje en el empo. a consane e Anono José Salazar Gómez Unersa e los Anes 5
7. APAITANIA E INDUTANIA proporconala e esa relacón se conoce como la apacanca, y ene unaes e Faraos F: a ecuacón aneror nos muesra una relacón lneal enre la correne y la eraa el olaje, al como menconamos en la nrouccón. El alor e la apacanca e caa elemeno epene e aros facores, ya que exsen snos pos e capacancas, en formas cuaraas, reonas, clínrcas y maerales elécrcos are, poléser, cerámca, elecrolíco, papel. En general los alores e las capacancas son muy pequeños, como se muesra en la Tabla 7-. Tabla 7-. Aplcacones e las capacancas Uso Flros e señales Regulaores y recfcaores e olaje Moores apacanca Pcofaraos pf Mcrofaraos μf Mlfaraos mf En el caso sencllo e una capacanca e placas paralelas la capacanca esá aa por la perma el elécrco ε, el área e las placas A y la sanca enre las placas : A ε De la relacón enre olaje y correne poemos er que al negrar en ambos laos obenemos la carga almacenaa en la capacanca en cualquer nsane e empo: q Así msmo poemos calcular el olaje a parr e la correne que crcula por la capacanca: Esa ecuacón se puee parr en os negrales: una enre menos nfno y un empo o y ora enre o y. a prmera negral represena enonces el olaje ncal en o asocao a la carga ncal y a la energía almacenaa en la capacanca en o, para lo cual se asume que en menos nfno la carga y el olaje alen cero pues la capacanca aún no exsía: o o o o 6 Anono José Salazar Gómez Unersa e los Anes
7.. APAITANIA Anono José Salazar Gómez Unersa e los Anes 7 o o 7... ONTINUIDAD DE VOTAJE Y AMBIOS BRUSOS De la expresón el olaje en la capacanca en funcón e la correne o o emos que aunque la correne sea una funcón sconnua, el olaje será connuo. Eso mplca que la capacanca se opone a los cambos e olaje, aún cuano la correne enga cambos bruscos. Por ora pare ao que un cambo brusco en el olaje aplcao a la capacanca enrá como efeco una correne emasao grane, la cual raa e oponerse al cambo el olaje para manener la connua el msmo. 7... POTENIA Y ENERGÍA EN A APAITANIA Recoremos que la poenca nsanánea es el prouco el olaje por la correne en cualquer nsane e empo. Así la poenca en la capacanca será: p 7..3. ENERGÍA INSTANTÁNEA AMAENADA a energía nsanánea almacenaa en un empo, eso es enre el empo menos nfno y será: p c c c c Aquí hemos asumo nueamene que en el empo menos nfno el olaje, la carga o la energía almacenaa eran cero. 7..4. ENERGÍA AMAENADA EN UN INTERVAO DE TIEMPO a energía almacenaa en un neralo e empo [, ] será: [ ], c c c c [ ],
7. APAITANIA E INDUTANIA omo se puee aprecar en la ecuacón aneror la energía almacenaa en un neralo e empo no epene e lo que pase con el olaje en ese neralo e empo, sno e los alores ncal y fnal el olaje. Eso nos perme enconrar un resulao muy neresane cuano aplcamos un olaje e po A a una capacanca en un peroo e empo T [, T]: [ T ], T omo la funcón A es peróca enemos que T, así que: [ T ], T Eso nos muesra que una capacanca es un elemeno paso que no ene péras e poenca: en una pare el cclo A absorbe poenca, pero en la ora pare el cclo la sumnsra euele la energía que almacenó sn pererla. 7..5. RESPUESTA D Y A DE A APAITANIA EN ESTADO ESTABE Una capacanca en esao esable para una señal D se compora como un crcuo abero, menras que para una señal A e muy ala frecuenca se compora como un crcuo cerrao. Para el caso e un crcuo resso cualquera con una capacanca es posble aslar la capacanca y calcular el equalene e Théenn e las fuenes y ressencas, obeneno un crcuo sere con una fuene e olaje V, una ressenca R y la capacanca, como se muesra en la Fgura 7-8. Fgura 7- Para enconrar la respuesa e ese crcuo, eso es Vc en funcón el po e señal e enraa formalmene eberíamos resoler la ecuacón ferencal resulane, sn embargo como eso es ema el sguene capíulo, por el momeno amos a er e manera escrpa qué pasa con señales e e enraa e po D y señales e muy ala frecuenca. Para el caso e señal D las cargas negaas elecrones lbres cercanos al ermnal poso e la fuene se en araías haca la fuene, generano una correne c posa en el seno que se muesra en la Fgura 7-8. Al msmo empo las cargas que paren el conensaor haca la fuene ejan unos espacos sn cargas negaas, lo cual hace que la placa se cargue e manera posa, respeco a la carga ncal. Smuláneamene las cargas araesan la fuene y se rgen haca el ermnal negao e la capacanca. omo el elécrco no perme que pasen cargas e una placa a la ora, las cargas se almacenan en el ermnal negao, aumenano así la carga negaa e cha placa. Eso crea una ferenca e poencal enre la carga posa e una placa y la negaa e la ora placa. Esa caía el olaje que se prouce a mea que se an acumulano las cargas, se guala al olaje e la fuene V, al puno que al ser guales eja e 8 Anono José Salazar Gómez Unersa e los Anes
7.. APAITANIA crcular correne y se eene el flujo e cargas. Así, a largo plazo en esao esable el conensaor quea cargao y con una caía e olaje aa, pero sn que crcule correne. Por ese moo se ce que la capacanca se compora como un crcuo abero para señal D en esao esable, al como se muesra en la Fgura 7-3. Fgura 7-3 Para el caso A ocurre algo smlar, pero ahora la correne o las cargas an en un seno prmero y en el oro espués, e manera alernaa. Eso hace que las placas se carguen y se escarguen permanenemene, al puno que nunca se cargan y no se bloquea el paso e correne como en el caso D.. S la frecuenca e la señal A.. es muy grane las placas permanecerán escargaas, e manera que no se genera una caía el olaje en ellas, ano como resulao un olaje e cero en el conensaor, como s hubera un coro crcuo. En ese caso porá exsr una correne el conensaor no nula. Fgura 7-4 7..6. ARGA Y DESARGA DE A APAITANIA a Fgura 7-3 mosraba el comporameno e la capacanca en esao esable ane una señal e po D.., pero qué ocurre s abrmos el crcuo en alguna pare en un empo o? a capacanca no se cargará al máxmo posble y el olaje en ella no será el olaje e Théenn V. Ahora el alor el olaje será un alor ao Vc o, y permanecerá en ese alor por empo nefno. Fgura 7-5 Ahora la capacanca cargaa a un alor ao, que genera un olaje Vc o, la conecamos en un empo poseror a una ressenca R como se muesra en la Fgura 7-9. Dao que exsen cargas almacenaas en la capacanca y que exse una ferenca e olaje en la capacanca, y por ano en la ressenca, se genera una correne conrara a la que se enía en el proceso e carga. Esa correne al paso por la ressenca spa la energía que esaba almacenaa en la capacanca Anono José Salazar Gómez Unersa e los Anes 9
7. APAITANIA E INDUTANIA en forma e calor, al puno que no hay más energía almacenaa. omo las cargas almacenaas en una placa pasan a la ora, hasa que se gualan, el olaje en la capacanca se uele cero y eja e crcular correne. Fgura 7-6 Ejemplo 7-. alculo e Théenn para análss e capacancas. Para el crcuo e la Fgura 7-7 enconrar: a. El olaje y la correne en la capacanca en esao esable s o V. b. a amplu el olaje en las ressencas s la señal e enraa es e po A con una amplu e V y una frecuenca muy ala f s mf y R kω. Solucón Pare a Fgura 7-7 a sguene fgura muesra el equalene e Théenn el crcuo resso ressencas y fuene. En esao esable la capacanca se compora para una señal D como un crcuo abero. 3 Anono José Salazar Gómez Unersa e los Anes
7.. APAITANIA De manera que el olaje en la capacanca será el e la fuene equalene sa por la capacanca: V ee V Ora manera e erlo es ulzar recamene el moelo D.. en esao esable e la capacanca y reemplazarlo en el crcuo orgnal, al como se muesra en la sguene fgura: En ese caso el olaje en la capacanca es el msmo e la ressenca e la erecha, el cual se puee calcular con un sor e olaje: R ee o V V D.. R R a correne en la capacanca en esao esable para señal D.. será cero pues el crcuo esá abero en la capacanca. Pare b a sguene fgura muesra el comporameno e coro crcuo para la capacanca ane una señal e ala frecuenca. En ese caso el olaje el conensaor es cero. Por ano el olaje e la ressenca e la erecha R, que esá en paralelo con la capacanca será V y su correne será A, ya que oa la correne pasa por la capacanca. De manera que la ressenca superor expermena oa la caía el olaje e la fuene y el olaje en ella enrá una amplu e V. a amplu e la correne en la fuene, la ressenca superor y la capacanca será: V/kΩ ma. Anono José Salazar Gómez Unersa e los Anes 3
7. APAITANIA E INDUTANIA 7..7. PRINIPIO DE ONSERVAIÓN DE A ARGA En un crcuo con aras capacancas la carga oal almacenaa en oas las capacancas se manene consane en cualquer nsane e empo. Eso es álo ncluso en crcuos con cambos bruscos o con nerrupores. De acuero a K la suma e correnes e que enran a un noo es gual a cero, m kn k e manera que s negramos la ecuacón e K en un noo enremos que la suma algebraca e cargas que enran en un noo ambén es gual a cero: m k q kn Usano la relacón enre carga y olaje enemos: m k kn V kn omo esa expresón es ála para cualquer nsane e empo, lo será en parcular para os empos y : m k kn V kn m knvkn k En el caso e cálculos e concones ncales en crcuos con cambos bruscos e nerrupores es común analzar lo que ocurre un nsane e empo anes y espués e un empo ao o. Eso es lo que llamaremos el neralo enre cero. Así la relacón aneror quea: menos y cero más [ ], m k kn V kn m knvkn k 7..8. EQUIVAENTE DE APAITANIAS EN PARAEO Fgura 7-8 a Fgura 7-8.a muesra os capacancas conecaas en paralelo. En ese caso las relacones enre olaje y correne en la fuene e olaje serán smlares a la e una sola capacanca equalene como se muesra en la Fgura 7-8.b. Para enconrar la capacanca equalene eq usamos el hecho e que los olajes en 3 Anono José Salazar Gómez Unersa e los Anes
7.. APAITANIA las os capacancas y en la fuene son el msmo, por esar en paralelo, aemás calculamos K para la fgura a: n n n n n n n Para la fgura b enemos: n n eq omparano las os úlmas ecuacones se concluye que la capacanca equalene paralelo es: eq n 7..9. EQUIVAENTE DE APAITANIAS EN SERIE Fgura 7-9 a Fgura 7-9.a muesra os capacancas conecaas en sere. En ese caso las relacones enre olaje y correne en la fuene e olaje serán smlares a la e una sola capacanca equalene como se muesra en la Fgura 7-9.b. Para enconrar la capacanca equalene eq usamos el hecho e que las correnes en las os capacancas y en la fuene son las msmas, por esar en sere, aemás calculamos KV para la fgura a: n n Derano la expresón aneror enemos: n Anono José Salazar Gómez Unersa e los Anes 33
7. APAITANIA E INDUTANIA Ahora reemplazamos por la relacón e la correne en la capacanca : n n n n Para la fgura b enemos: n n n n n omparano las os úlmas ecuacones se concluye que la capacanca equalene paralelo es: eq 7.3. INDUTANIA a Inucanca es un elemeno paso e os ermnales que almacena energía en un campo magnéco. De acuero a la ley e Faraay la aracón e correne en el empo en un conucor nuce una caía e olaje en el msmo. De acuero a las ecuacones e Maxwell una aracón e la correne en el conucor prouce un campo magnéco arable, que a su ez prouce un campo elécrco arable y por ano se genera una caía e olaje arable en el empo. Una nucanca es un elemeno especalmene señao para ener un efeco nuco muy grane. Eso se logra enrollano el conucor alreeor e un núcleo. Su aplcacón es muy araa: flros, generaores, moores, ransformaores, anenas, ec. a Fgura 7- muesra el símbolo ulzao para represenar ese elemeno y la relacón enre olaje y correne e acuero a la conencón pasa. Fgura 7- Expermenalmene se enconró que el olaje nsanáneo en la nucanca es recamene proporconal a la aracón e la correne en el empo. a consane e proporconala e esa relacón se conoce como la nucanca, y ene unaes e Henros H: 34 Anono José Salazar Gómez Unersa e los Anes
7.3. INDUTANIA a ecuacón aneror nos muesra una relacón lneal enre el olaje y la eraa e la correne, al como menconamos en la nrouccón. El alor e la nucanca e caa elemeno epene e aros facores, ya que exsen snos pos e nucancas, en formas solenoes, roes, ec. y maerales para el núcleo are, ferromagnéco ec.. En el caso sencllo e una nucanca en forma e solenoe la nucanca esá aa por la permeabla e núcleo μ, el número e uelas N, el área ransersal e caa uela A y la longu l: N A μ l Así msmo poemos calcular la correne a parr el olaje a raés e la nucanca: Esa ecuacón se puee parr en os negrales: una enre menos nfno y un empo o y ora enre o y. a prmera negral represena enonces la correne ncal en o asocao a la energía almacenaa en la nucanca en o, para lo cual se asume que en menos nfno la correne ale cero pues la nucanca aún no exsía: o o o o o o 7.3.. ONTINUIDAD DE A ORRIENTE Y AMBIOS BRUSOS De la expresón e la correne en la nucanca en funcón el olaje o o emos que aunque el olaje sea una funcón sconnua, la correne será connua. Eso mplca que la nucanca se opone a los cambos e correne, aún cuano el olaje enga cambos bruscos. Por ora pare ao que un cambo brusco en la correne aplcaa a la nucanca enrá como efeco un olaje emasao grane, el cual raa e oponerse al cambo e la correne para manener la connua e la msma. 7.3.. POTENIA Y ENERGÍA EN A INDUTANIA Recoremos que la poenca nsanánea es el prouco e la correne por el olaje en cualquer nsane e empo. Así la poenca en la nucanca será: Anono José Salazar Gómez Unersa e los Anes 35
7. APAITANIA E INDUTANIA 36 Anono José Salazar Gómez Unersa e los Anes p 7.3.3. ENERGÍA INSTANTÁNEA AMAENADA a energía nsanánea almacenaa en un empo, eso es enre el empo menos nfno y será: p Aquí hemos asumo nueamene que en el empo menos nfno la correne era cero. 7.3.4. ENERGÍA AMAENADA EN UN INTERVAO DE TIEMPO a energía almacenaa en un neralo e empo [, ] será: [ ], [ ], omo se puee aprecar en la ecuacón aneror la energía almacenaa en un neralo e empo no epene e lo que pase con la correne en ese neralo e empo, sno e los alores ncal y fnal e la correne. Eso nos perme enconrar un resulao muy neresane cuano aplcamos una correne e po A a una nucanca en un peroo e empo T [, T]: [ ], T T omo la funcón A es peróca enemos que T, así que: [ ], T T Eso nos muesra que una nucanca es un elemeno paso que no ene péras e poenca: en una pare el cclo A absorbe poenca, pero en la ora pare el cclo la sumnsra euele la energía que almacenó sn pererla.
7.3. INDUTANIA 7.3.5. RESPUESTA D Y A DE A INDUTANIA EN ESTADO ESTABE Una nucanca en esao esable para una señal D se compora como un coro crcuo, menras que para una señal A e muy ala frecuenca se compora como un crcuo abero. Para el caso e un crcuo resso cualquera con una nucanca es posble aslar la nucanca y calcular el equalene e Théenn e las fuenes y ressencas, obeneno un crcuo sere con una fuene e olaje V, una ressenca R y la nucanca, como se muesra en la Fgura 7-. Fgura 7- Para enconrar la respuesa e ese crcuo, eso es V en funcón el po e señal e enraa formalmene eberíamos resoler la ecuacón ferencal resulane, sn embargo como eso es ema el sguene capíulo. Por el momeno amos a analzar e manera escrpa qué pasa con señales e e enraa e po D y señales e muy ala frecuenca. Para el caso e señal D la eraa e la correne respeco al empo, a largo plazo esao esable será cero, e manera que el olaje en la nucanca es cero, y se compora como un coro crcuo para señal D.. en esao esable. Eso se ebe a que s no hay aracones e la correne, ampoco habrá un olaje nuco. El crcuo equalene se muesra en la Fgura 7-. Fgura 7- Para el caso A con una frecuenca muy ala que ene a nfno la nucanca se compora como un crcuo abero, e manera que la correne se hace cero. El crcuo equalene se muesra en la Fgura 7-3. Fgura 7-3 Anono José Salazar Gómez Unersa e los Anes 37
7. APAITANIA E INDUTANIA 7.3.6. EQUIVAENTE DE INDUTANIAS EN SERIE Fgura 7-4 a Fgura 7-4.a muesra os Inucancas conecaas en sere. En ese caso las relacones enre olaje y correne en la fuene e olaje serán smlares a la e una sola nucanca equalene como se muesra en la El crcuo equalene se muesra en la Fgura 7-4.b. Para enconrar la nucanca equalene eq usamos el hecho e que las correnes en las os nucancas y en la fuene son la msma, por esar en sere, aemás calculamos KV para la fgura a: n n Ahora reemplazamos por la relacón el olaje en la nucanca : n n n Para la fgura b enemos: n n n n eq omparano las os úlmas ecuacones se concluye que la nucanca equalene paralelo es: eq n 38 Anono José Salazar Gómez Unersa e los Anes
7.3. INDUTANIA 7.3.7. EQUIVAENTE DE INDUTANIAS EN PARAEO Fgura 7-5 a Fgura 7-5.a muesra os Inucancas conecaas en sere. En ese caso las relacones enre olaje y correne en la fuene e olaje serán smlares a la e una sola nucanca equalene como se muesra en la Fgura 7-5.b. Para enconrar la nucanca equalene eq usamos el hecho e que los olajes en las os nucancas y en la fuene son los msmos, por esar en paralelo, aemás calculamos K para la fgura a: n n Derano la expresón aneror enemos: n Ahora reemplazamos por la relacón el olaje en la nucanca : n l l n n n Para la fgura b enemos: n n n n eq omparano las os úlmas ecuacones se concluye que la nucanca equalene paralelo es: eq Anono José Salazar Gómez Unersa e los Anes 39
7. APAITANIA E INDUTANIA Ejemplo 7-. rcuo Deraor Para el crcuo e la Fgura 7-6 enconrar el olaje a la sala el amplfcaor: Solucón Fgura 7-6 a caía e olaje en la capacanca es: V Fgura 7-7 V V V V n n a correne en el conensaor, respeano la conencón pasa e sgnos, esá aa por la sguene expresón: V K en el noo nersor nos a: V R V R R Reemplazano la correne e la capacanca: V V n Vn V R omo se puee er el olaje en la sala el OPAM es la eraa e la enraa, mulplcaa por una gananca e nera: R n n 4 Anono José Salazar Gómez Unersa e los Anes
7.3. INDUTANIA V V n { K Inersor 3 Deraor Ejemplo 7-3. rcuo negraor Para el crcuo e la Fgura 7-8 enconrar el olaje a la sala el amplfcaor: Fgura 7-8 El olaje en la capacanca es: a correne en la capacanca es: V T V R Vn R V V V Vn R Vn R R Así que el olaje e sala en el OPAM es: V R V n omo se puee er el olaje en la sala el OPAM es la negral e la enraa, mulplcaa por una gananca e nera: Anono José Salazar Gómez Unersa e los Anes 4
7. APAITANIA E INDUTANIA V { K V n 443 Inersor Inegraor 7.4. SIMUAIONES 7.4.. ARGA DE UN ONDENSADOR Fgura 7-9 Descrpcón Esa smulacón perme mosrar el comporameno e un conensaor e placas paralelas: la acumulacón e cargas que paren e una placa para eposarse en la ora, el campo elécrco que se orgna en él y el comporameno el conensaor en esao esable para una enraa D. Uso eucao Esa smulacón se presena como un complemeno a la clase presencal, para esuanes e prmeros semesres e Ingenería Elécrca, Elecrónca y Mecánca. Una ez los esuanes manejan los concepos e capacanca, carga acumulaa, elécrco, campo elécrco pueen neracuar con esa smulacón arano el olaje e la fuene y obserano cómo las cargas no pueen araesar al neror el conensaor y se eposan las cargas en el conensaor y se crea un campo elécrco enre sus placas. Se obsera que a mea que se acumulan las cargas 4 Anono José Salazar Gómez Unersa e los Anes
7.4. SIMUAIONES se prouce una caía e olaje en el conensaor y cómo a largo plazo el conensaor e carga y eja e crcular correne por el crcuo. 7.4.. ARGA Y DESARGA DE UN ONDENSADOR ON ONDIIONES INIIAES Fgura 7- Descrpcón Esa smulacón perme mosrar el comporameno e un conensaor e placas paralelas: la acumulacón e cargas que paren e una placa para eposarse en la ora ano en el proceso e carga como en el e escarga para unas concones ncales aas, con o sn fuene. Uso eucao Esa smulacón se presena como un complemeno a la clase presencal, para esuanes e prmeros semesres e Ingenería Elécrca, Elecrónca y Mecánca. Una ez los esuanes manejan los concepos e capacanca, carga acumulaa, energía acumulaa, elécrco, campo elécrco pueen neracuar con esa smulacón arano el olaje e la fuene, el olaje ncal en el conensaor prouco por la carga almacenaa y obserar cómo camban las correnes en los procesos e carga y escarga y cómo afeca la respuesa el crcuo el hecho e que exsa un olaje ncal poso o negao. Anono José Salazar Gómez Unersa e los Anes 43