CMPO GRVIORIO FC 0 NDLUCÍ. a) Explique qué se entiende po velocidad de escape y deduzca azonadamente su expesión. b) Razone qué enegía había que comunica a un objeto de masa m, situado a una altua h sobe la supeficie de la iea, paa que se alejaa indefinidamente de ella.. Dos masas puntuales m 5 kg y m 0 kg se encuentan situadas en los puntos (-3, 0) m y (3, 0) m, espectivamente. a) Detemine el punto en el que el campo gavitatoio es ceo. b) Compuebe que el tabajo necesaio paa taslada una masa m desde el punto (0, 4) m al punto B (0, -4) m es nulo y explique ese esultado. 3. a) Indique las caacteísticas de la inteacción gavitatoia ente dos masas puntuales. b) Explique en qué punto, ente dos masas puntuales, puede encontase en equilibio una tecea masa puntual y cuál seía su enegía potencial. 4. Un satélite de 00 kg descibe una óbita cicula alededo de la iea con un peiodo de dos hoas. a) Calcule azonadamente el adio de su óbita. b) Qué tabajo tendíamos que ealiza paa lleva el satélite hasta una óbita de adio doble. G 6,67 0 - N m kg - ; M 6 0 4 kg 5. La masa de la iea es 8 veces la de la Luna y la distancia ente sus centos es 3,84 0 5 km. a) Calcule en qué punto, ente la iea y la Luna se encontaía en equilibio un meteoito de 00 kg. b) Cuál seía la enegía potencial del meteoito en ese punto? G 6,67 0 - N m kg -, ML 7,35 0 kg 6. a) Enuncie las leyes de Keple. b) Demueste la tecea ley de Keple a pati de la ley de gavitación univesal de Newton paa un óbita cicula. 7. a) Explique qué se entiende po velocidad obital y deduzca su expesión paa un satélite que descibe una óbita cicula alededo de la iea. b) Razone cómo vaiaía la enegía mecánica del satélite si se duplicaa su masa.
CMPO GRVIORIO FC 0 NDLUCÍ 8. Dos masas puntuales m 0 kg y m 5 kg están situadas en los puntos (0,3) m y (4,0) m, espectivamente. a) Dibuje el campo gavitatoio poducido po cada una de las masas en el punto (0,0) m y en el punto B (4,3) m y calcule el campo gavitatoio total en ambos puntos. b) Detemine el tabajo necesaio paa desplaza una patícula de 0,5 kg desde el punto B hasta el. Discuta el signo de este tabajo y azone si su valo depende de la tayectoia seguida. G 6,67 0 - N m kg - 9. Un satélite de 3 0 3 kg gia alededo de la iea en una óbita cicula de 5 0 4 km de adio. a) Detemine azonadamente su velocidad obital. b) Suponiendo que la velocidad del satélite se anulaa epentinamente y empezaa a cae sobe la iea, con qué velocidad llegaía a la supeficie teeste? Considee despeciable el ozamiento del aie. G 6,67 0 - N m kg - ; M 6 0 4 kg; R 6370 km
CMPO GRVIORIO FC 0 NDLUCÍ.- a) Es la velocidad mínima que hay que comunicale a un cuepo situado en la supeficie de cualquie asto paa que abandone de manea definitiva el campo gavitatoio de este. Suponiendo que dicho asto fuese la iea el cuepo que se halla en la supeficie del planeta con la coespondiente enegía potencial EP G es dotado de la enegía cinética necesaia paa que llegue a una distancia infinita (E P 0) donde su velocidad y po consiguiente su enegía cinética, se haga ceo. El pincipio de consevación de la enegía mecánica exige que + 0 mvescp G despejando v escp Gm b) ntes de esolve este apatado, hemos de supone dos cosas, pimeo, que el cuepo inicialmente está paado con especto a la iea (E c 0) a una altua h de su supeficie ya que el enunciado del poblema no dice que esté en obita, segundo, que el sentido de la fase alejalo indefinidamente significa, sacalo de la influencia de su campo gavitatoio, es deci, ponelo en el infinito (E p 0) a velocidad ceo (E c 0). Si llamamos E a la enegía que hay que comunicale, el pincipio de consevación de la enegía nos dice E ( ) 0 p h + E G E 0 + h + E G + h.- a) m 5 kg en el punto (-3,0) y m 0 kg en el punto (3,0) x y 6 x x m g P g m Como vemos en la figua el campo gavitatoio se anula en el punto P (más cecano a m ya que esta es más pequeña), donde ambos campos se anulan al se iguales en módulo y de sentido contaio. Si llamamos x a la distancia ente m y P, la distancia ente m y P seá, 6 x. Planteamos la ecuación de la igualdad ente módulos g m m g G G x (6 x)
CMPO GRVIORIO FC 0 NDLUCÍ.- a) (continuación) 5 0 x 36 x+ x 5 60 80 x + x 0 esolviendo y escogiendo la solución adecuada nos sale x,48 m, po lo tanto el punto P seá ( 0,5, 0) b) y d d m m x d d B Como vemos en la figua, las cuato distancias macadas ente los puntos y B y ambas masas son iguales, aplicando Pitágoas obtenemos d + 3 4 5 m calculamos el potencial en sumando los potenciales que cean en dicho punto las masas m y m m m G V V + V G G ( m+ m) d d d calculamos el potencial en sumando los potenciales que cean en dicho punto las masas m y m m m G VB VB + VB G G ( m+ m) d d d como vemos ambos potenciales son iguales y po lo tanto el tabajo paa taslada una masa m desde hasta B es nulo poque es nula la difeencia de potencial.
CMPO GRVIORIO FC 0 NDLUCÍ 3.- a) La inteacción gavitatoia ente dos cuepos es atactiva y puede expesase mediante una fueza cental diectamente popocional al poducto de las masas de los cuepos e invesamente popocional al cuadado de la distancia que los sepaa. La constante de popocionalidad es la llamada constante de gavitación univesal G, vectoialmente, expesamos esta fueza de la siguiente manea: m m' F G u G es la ley de gavitación univesal desaollada po Newton. La fueza que actúa sobe m es igual que la actúa sobe m, peo diigida en sentido contaio. b) El punto ente dos masas puntuales en que puede encontase en equilibio una tecea masa puntual es aquel en que las fuezas gavitatoias que ejecen cada una de las masas sobe la tecea, que se encuenta ente ellas, son iguales y de sentido contaio con lo que se anulan ente ellas y la esultante es ceo. La enegía potencial de la tecea masa en ese punto seía mínima con especto a la que tendía en cualquie ota posición del eje X ya que se encuenta en equilibio. 4.- a) Paa calcula el adio de la óbita aplicamos la tecea ley de Keple teniendo en cuenta que la constante que apaece en esta ley sólo depende de la masa del cuepo sobe el que se obita, en este caso, la iea y que el peiodo es de dos hoas (700 s) 3 k k GM GM 3 4 GM 700 6,67 0 6 0 3 s Nmkg kg 3 8,07 0 b) El tabajo lo calculamos como la difeencia de enegía mecánica del satélite ente las dos óbitas de adio y ( 8,07 0 6 m) W Δ Em Em( ) Em( ) G G ( ) 4 4,48 9 9 W G G G J 6 m
CMPO GRVIORIO FC 0 NDLUCÍ 5.- a) Paa que el meteoito se encuente en equilibio, la fueza esultante ha de se nula y los módulos de la fueza gavitatoia de la iea y de la Luna han de se iguales F G F GL m m ml m G G x d x ( ) ( ) m d x m x L desaollando obtenemos la siguiente ecuación de segundo gado (m 8m L 5.95 0 4 kg) ( m m ) x m d x m d + 0 L 4 33 4 5,9 0 x 4,59 0 x+ 8,8 0 0 ( ) 4,59 0 ± 4,59 0 4 5,9 0 8,8 0 x 4 5,90 33 33 4 4 8 siendo los dos esultados x 4, 8 0 m y x 3,49 0 8 m como x ha de se meno 8 que d, en este caso el esultado que se nos pide es x 3, 49 0 m medidos desde la iea. b) La enegía potencial del meteoito en ese punto es la suma de la enegía potencial del meteoito con especto a la iea y la que tiene con especto a la Luna 6.- a) Ve teoía L Ep G G,55 0 x d x b) Consideemos un planeta de masa m que obita en tono al Sol (de masa m S ) a una distancia, si tenemos en cuenta que la fueza gavitacional es centípeta G S mω 8 J
CMPO GRVIORIO FC 0 NDLUCÍ 6.- b) (continuación) como ω π /, entonces S G m eoganizando la anteio igualdad se obtiene Gm 3 S llamando k a los valoes constantes obtenemos la tecea ley de keple k k Gm S 3 7.- a) La velocidad obital de un satélite, es aquella que debe tene paa que su óbita sea estable y ha de cumplise que la fueza gavitatoia que le ejece la iea sea la fueza centípeta mv Gm G despejando v obital siendo el adio de la óbita medida desde el cento de la iea ( + h) b) La enegía mecánica del satélite en obita viene dada po la siguiente expesión Em G si se duplicaa la masa del satélite, se duplicaía la enegía mecánica. 8.- a) m 0 kg m 5 kg y m g g g B g B B g B g m Calculamos las intensidades de campo ceadas po las masas m y m en el punto (0,0)
CMPO GRVIORIO FC 0 NDLUCÍ 8.- a) (continuación) m N 7,4 0 g G i j m N,08 0 g G j i sumando vectoialmente obtenemos g,08 0 i + 7,4 0 j N Calculamos las intensidades de campo ceadas po las masas m y m en el punto B (4,3) m N gb G i 4,7 0 i B m N 3, 7 0 g B G j j B sumando vectoialmente obtenemos g B i 4,7 0 3,7 0 j N b) Calculamos el potencial gavitatoio ceado po las masas m y m en los puntos (0,0) y (4,3) m m 0 5 J + + g 0 V(0,0) G 6,67 0 3,05 0 3 4 K m m 0 5 J + + g 0 V(4,3) G 6,67 0,78 0 B B 4 3 K calculamos el tabajo paa taslada una caga de 0,5 desde el punto (4,3) hasta el punto (0,0) mediante la expesión que lo elaciona con la difeencia de potencial ( ) ( ) 0 0 W m V V + J J (0,0) (4,3) 0,5 3,05 0,78 0 /,35 0 el signo negativo nos indica que la enegía potencial aumenta ( W Δ Ep ), es deci, que el tabajo se ealiza conta las fuezas del campo. Puesto que es un campo consevativo, su valo no depende de la tayectoia seguida.
CMPO GRVIORIO FC 0 NDLUCÍ 9.- a) La velocidad obital de un satélite, es aquella que debe tene paa que su óbita sea estable y ha de cumplise que la fueza gavitatoia que le ejece la iea sea la fueza centípeta mv Gm G despejando v obital v ob 4 6,67 0 Nm kg 6 0 kg 89m 7 50 m s b) Si la velocidad del satélite se anulaa epentinamente, en ese instante sólo tendía enegía potencial E () p, al llega a la supeficie de la iea tendía enegía cinética Ec y enegía potencial E ( ), aplicando el pincipio de consevación de la enegía mecánica p E () E + E ( ) E E () E ( ) p c p c p p E G G c 3,03 0 + J sustituyendo la enegía cinética po su expesión calculamos la velocidad 3,03 0 mv J 3,030 J v 4m 3 30 kg s