Introducción a las transformaciones lineales

178 Capítulo 4 Elespacio vectorial Rn Introducción a las transformaciones lineales Una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto exactamente un elemento de otro conjunto. Las funciones se emplean en muchas áreas de las matemáticas y son importantes en las aplicaciones para describir la relación de una variable con otra. Por ejemplo, la altura que alcanza un proyectil es una función del tiempo, el costo total de producción de un producto es una función del número de artículos, y así sucesivamente. En esta sección se analiza una clase importante de funciones entre espacios vectoriales denominadas transformaciones lineales. En la sección siguiente se estudiarán las aplicaciones de las transformaciones lineales en áreas como las gráficas por computadora y la geometría de los fractales. DEFINICiÓN Una transformación T de Rn en Rm, que se denota T:Rn - Rm, es una regla que asigna a cada vector u en Rn un vector único ven Rm. Rn recibe el nombre de dominio de T y Rm es el codominio. Se representa esta relación mediante T(u) = v; ves la imagen de u bajo T. El conjunto de imágenes recibe el nombre de rango de T. El rango está formado por Rm o una parte de éste. Los términos aplicación o mapeo* y función también son sinónimos de transformación. Por ejemplo, considere la transformación T: R3 - R2, definida mediante T(x, y, z) = (2x, y - z) El dominio de T es R3 y el codominio es R2. La imagen de cualquier vector de R3 se puede determinar usando la definición. Por ejemplo, la imagen del vector (1, 4, 2) se puede determinar estableciendo x = 1, y = 4 Yz = 2. La imagen es (6, 4). Un espacio vectorial Rn posee dos operaciones definidas sobre él: la adición y la multiplicación por un escalar. Las transformaciones entre espacios vectoriales con mayor importancia son aquellas que conservan estas estructuras lineales en el siguiente sentido. DEFINICiÓN Sean u y v vectores en Rn y sea c un escalar. Se dice que una transformación T: Rn - Rm es lineal si T(u + v) = T(u) + T(v) T(cu) = ct(u) La primera condición implica que T transforma la suma de dos vectores en la suma de las imágenes de dichos vectores, "la transformación de una suma es igual a la suma de las transformaciones". La segunda condición implica que Ttransforma la multiplicación de un vector por un escalar en la misma multiplicación del escalar por la imagen, "la transformación de un escalar por un vector es igual que el escalar por la transformación del vector". Por lo tanto, las operaciones de adición y multiplicación por un escalar se conservan bajo la transformación. Esta estructura que determina las ideas de una transformación lineal se ilustran en la figura 4.16. *Nota del revisor técnico: Algunos autores usan indistintamente los términos transformación, aplicación, "mapeo o función.

4.3 Introduccióna lastransformacioneslineales 179 Rn/n o T(n) v o T(v) n+v T(en) } T es lineal si T(n + v) = T(n) + T(v) T(en) = et(n) T Figura 4.16 P lo 1 Demuestre que la transformación T: R2 ~ R2 es lineal, donde ~QJución T(x, y) = (x - y, 3x) Primero se demostrará que T conserva la adición. Sea (x, y ) y (x2' Y2) elementos de R2. De esta manera, T((x, y ) + (x2' Y2)) = T(x + x2' Y + Y2) = (xl + x2 - Y - Y2' 3x + 3x2) = (x - Yl' 3x ) + (x2 - Y2' 3x2) = T(x, Y ) + T(x2' Y2) Por la adición vectorial Por la definición de T Por la adición vectorial Por la definición de T Así, T conserva la adición vectorial. Ahora se demostrará que T conserva la multiplicación por un escalar. Sea e un escalar. T(e(xl' Y )) = T(exj' ey ) = (ex - eyl' 3ex ) = e(x - Yl' 3x ) = et(x, y ) Debido a la multiplicación de un vector por un escalar Por la definición de T Debido a la multiplicación de un vector por un escalar Por la definición de T Así, T conserva la multiplicación por un escalar. Por lo tanto, T es una transformación lineal. Una transformación lineal de un espacio vectorial en consecuencia recibe el nombre de operador lineal. T: R2 ~ R2, definida por T(x, y) = (x - y, 3x), es un ejemplo de operador lineal. El ejemplo siguiente ilustra una transformación que no es lineal. Demuestre que la transformación T: R3 ~ R2 no es lineal, donde T(x, y, z) = (xy, z)

180 Capítulo 4 El espacio vectorial Rn.~~plución Haciendo primero la prueba de la adición. Sean (xl' Yl' z ) y (x2' Y2' Z2) elementos de R3. Entonces, T((xl' Yl' z ) + (x2' Y2'Z2» = T(x + x2' Y + Y2' z + Z2) = ((x + x2)(y + Y2)' z + Z2) = (x Y + x2y2+ x Y2 + x2y 'z + Z2) y T(x, Yl' z ) + T(x2' Y2' Z2) = (x Yl' z ) + (x2y2' Z2) = (x Y + x2y2' z + Z2) Se tiene que, T((xl' Yl' z ) + (x2' Y2' Z2» 0;6 T(xl' Yl' z ) + T(x2' Y2' Z2) Ya que la adición vectorial no se conserva, entonces T no es lineal. Ahora se mostrará que toda matriz define una transformación que, además, es lineal. Por ejemplo, considere la matriz de 2 X 3: A ~ [~ ~ -~] y el vedo, columna x ~ [:] de R3 E,ta mattiz define la ttan,fonnadón T(x) = Ax de R3 en R2, usando la multiplicación entre matrices de la siguiente manera. ; T(x) = 11 3-2l = X + 3y - 2Z lo 4 1J [ 4Y + z ] [ z] Las imágenes de los vectores se pueden determinar utilizando valores adecuados de x, y y z. Por ejemplo, se tiene que T([~]] - [1~] y T(n] = [l~]

4.3 Introducción a lastransformacioneslineales 181 TEOREMA Sea A una matriz m X n. Sea x un elemento de Rn, interpretado como una matriz columna. La transformación T: Rn ~Rm, definida por T(x) ==Ax, es lineal. En dicha transformación lineal A recibe el nombre de matriz de transformación. * DEMOSTRACiÓNPuesto que A es una matriz de m X n y x es una matriz de n Xl, entonces Ax es una matriz de m X i}.sí, T(x) ==Ax define una transformación ~e Rn en Rm..Falta demostrar que T es ljneal. Sean x y y elementos de Rn, expresados como matric.~scolumna, y sea c un.escalar. De la definición.de Ty por las propiedades de las matrices, se' tiene que T(x + y) ==A(x + y) ==Ax + Ay == T(x) + T(y) la adición se conserva T(cx)== A(cx) ==cax == ct(x) la multiplicación por un escalar se conserva Por lo tanto,.1a transforrnación.es.lineal. O 3 Considere la transformación lineal T definida por la matriz A de 3 X 2 siguiente. Determine la imagen de un vector cualquiera bajo T, y utilice este resultado para determinar la imagen del vector dado x. ~Iúción 1 - Il A == [ ~ ~J x == [-~] Puesto que A es una matriz de 3 X 2, ésta definela transformaciónlineal T: R2 ~ R3. Así, se tieneque Si x == 5 YY == -1, se obtiene T([~D~ [~ ~~j [~] ~ [xx+-~~ T( [- ~D ~HJ Véase la figura 4.17. *Nota del revisor técnico: Aparece una equivalencia de términos en esta sección; se debe entender como matriz de transformación a la matriz asociada a la transformación, entonces, también la transformación matricial se refiere a esta matriz.

182 Capítulo 4 Elespaciovectorial Rn. T-. Figura 4.17 ( E", p,rtedeld;'gmm, representa al conjunto de elementos que conforman R2 P10 4 Sea A una matriz de 3 X 2 YB una matriz de 4 X 6. Determine de las transformaciones lineales definidas por A y B. los dominios y codominios ~Solución Sea x un vector en el dominio de la transformación definida por A. De esta manera, T(x) = Ax. A es una matriz de 3 X 2. x debe ser una matriz de 2 X 1 o un vector en R2 para que el producto Ax exista. La imagen Ax será una matriz de 3 X 1 o un vector en R3. Así, el dominio de la transformación es R2 y el codominio es R3. Mediante argumentos similares se concluye que el dominio de la transformación definida por la matriz B de 4 X 6 es R6 y el codominio es R4. É'omposición de las transformaciones matriciales Quizá el lector se encuentre familiarizado con el concepto de combinación de funciones en funciones compuestas. También las transformaciones matriciales se pueden combinar. Sean TI: Rn ~ Rm y T2: Rm ~ RS transformaciones matriciales definidas por TI (x) = A x y T2(Y) = A2y. Estas transformaciones se pueden combinar de forma natural para obtener una sola transformación T de Rn ~ RS. Esta transformación compuesta T es la transformación que consiste en la transformación TI seguida de la transformación T2' Véase la figura 4.18. T se define como T(x) = TiT (x)). La notaciónt = T2 o TI representa la composición de dos transformaciones. Ahora se verá que la transformación compuesta T es una transformación matricial definida por el producto de las matrices A2 y Al'

4.3 Introducción a lastransformacioneslineales 183 Rm T Transformación compuesta T de TI y T2, T(x) =TiT] (x)). Figura 4.18 TEOREMA La transformación compuesta 1;de las dos transformaciones matriciales T :Rn~ Rmy 1;2:Rm~ RS,definidas por las watr,icesa y A2 respectivamente, es una transformación matricial T: Rn ~ RS, definidapor el producto matricial A~. DEMOSTRACiÓNDe acuerdo con la definición de T, se tiene que T(x) = T2(T (x)) = T2(A x) = A2(A x) Ya que la multiplicación de matrices es asociativa, la expresión. anterior se puede escribir de la siguiente manera: T(x) =(A~ )x A2 es una matriz de s X m, y Al es una matriz de m X n. La matriz.resultante del producto A~l es una matriz de s X n. Por.lo tanto, T es una transformación de Rn en RS, definida por el producto matricial A~1' PlO 5 Sean T (x) = A x y T2(x) = A2x, definidas por las matrices Al y A2 siguientes. Sea, además, T = T2 o T, Determine la imagen del vector x bajo T. 3 O-l A = [ 4 2 OJ 1-2l A2 = [ 4 OJ x ~ [~~ ~9"jción T se encuentra definida por el producto matricial A~. Se tiene que A A = 1-2l 3 O - l - 5-4 - l 2 1 [ 4 OJ[ 4 2 OJ [ 12 O - 4J =

184 Capítulo 4 Elespaciovectorial Rn Por lo tanto, T(x) - [~~ -~ =~m ~ [-2~ Se pueden generalizar estos resultados de manera natural. Sea TI' oo., Tn una sucesión de transformaciones lineales en RP, oo., RS, definidas por las matrices Al, oo., An' La composición T = Tn o... o TI' está determinada por el producto de matrices An... Al (si el producto existe). --~ *1. Muestre que la transformación T: R2 R2, definida por T(x, y) = (2x, x - y) es lineal. Determine las imágenes de los elementos (1, 2) Y (- 1, 4) bajo esta transformación. 2. DemuestrequeT(x,y) = (3x + y, 2y,x - y) define una transformación lineal T: R2 R3. Determine las imágenes de (1, 2) Y (2, -5) bajo esta transformación. *3. Muestre que T: R3 R3, definida por T(x, y, z) = (O, y, O)es lineal. Esta transformación recibe el nombre de proyección. Por qué es adecuado el término? 4. Muestre que las transformaciones siguientes T: R3... R2 no son lineales. * (a) T(x, y, z) = (3x, y2) (b) T(x, y, z) = (x + 2, 4y) 5. Muestre que T: R2 R, definida por T(x, y) = x + a, donde a es un escalar diferente de cero, no es lineal. En los ejercicios 6-11, determine si la transformación dada es lineal. *6. T(x, y, z) = (2x, y) de R3 R2 7. T(x, y) = x - y de R2 R 8. T(x, y) = (x, y, z) de R2 R3, cuando (a) z = O (b) z = 1 9. T(x) = (x, 2x, 3x) de R R3 *10. T(x, y) = (x2, y) de R2 R2 *11. T(x, y, z) = (x + 2y, x + y + z, 3z) de R3 R3 *12 Considere la transformación lineal T: R2 R3, definida por la siguiente matriz A. Determine las imágenes de los vectores dados x, y y z. A +: :] x = [-:l y = [~l z = [~] 13. Considere el operador lineal T en R2, definido por la siguiente matriz A. Determine las imágenes de los vectores dados x, y y z. A = [~ -~l x = [- ~l y = [~l z = [~] *14. Sea A una matriz de m X n y sea e un vector columna en Rn. Demuestre que la siguiente transformación, T: Rn Rm, no es lineal si e =FO. T(x) = Ax + c. 15. Sea T una transformación lineal con dominio en U. Si v y w son vectores en U, demuestre que (a) T(-v) = - T(v) (b) T(v - w) = T(v) - T(w)

4.4 Transformaciones matriciales, gráficas por computadora y fractales 185 16. Sean TI(x) = A IX Y Tz(x) = Azx, definidas por las matricesal yaz. Sea,T = Tz o T].Encuentrela matriz que define T y utilícela para determinar la imagen del vector x bajo T. *(a) A = 1 2l, A = s - l ol, x = I [ 3 OJ z [ l SJ [ 2] (b) A = O l 2l I [ 3 4 -IJ AZ = 2 2l - [ l - J' x - l [ 3 ] *17. Sean TI(x, y) = (2x, -y) y Tix, y) = (O,x + y). Sea T = Tz o TI, Encuentre una ecuación para T y utilícela para determinar la imagen de (2, -3) bajo T. 18. Sean TI(x, y) = (3x + y, 4y) YTz(x,y) = (2y, x - y). Sea T = Tz o TI' Encuentre una ecuación para T y utilícela para determinar la imagen de (1, 2) bajo T. *19. Sean TI(x, y) = (x + y, 2x, 3y) y Tz(x, y, z) = (x, x + y, 2x - z). Sea T = Tz o TI' Encuentre una ecuación para T y utilícela para determinar la imagen de (-2, S) bajo T. *20. Sean U, V Y W espacios vectoriales. Sea TI una transformación lineal de U --7 V, Tz una transformación lineal de V --7 W. Se cumple la igualdad Tz o TI - T] o Tz? *(c) Al = [~ -~] A, ~ [H', = [-~] Transformaciones matriciales, gráficas por computadora y fractales En la sección anterior se vio que una matriz define una transformación lineal. En esta sección se verá que cualquier transformación lineal T: Rn --7 Rm puede quedar definida por una matriz A. Dicha representación matricial de una transformación lineal es una herramienta importante para el análisis de las transformaciones lineales. Se determinarán las matrices que describen una gran cantidad de transformaciones lineales importantes, como las rotaciones y las expansiones. En el tema relativo a la geometría de los fractales, se estudiarán algunas aplicaciones. tación con respecto al origen Considere una rotación T: RZ--7 RZcon respecto al origen. Véase la figura 4.19(a). Sea T(u) = u' y T(v) = vi El paralelogramo G) se transforma en el paralelogramo @. Puesto que la diagonal del paralelogramo G) se transforma en la diagonal del paralelogramo @, T(u + v) = u' + vi = T(u) + T(v), la adición se conserva

186 Capítulo 4 Elespaciovectorial Rn y y y o x o x o e x (a) (b) (e) Figura 4.19 Además, en la figura 4.19(b), T(w) = w'. Puesto que la imagen del vector cw es cw', T(cw) = cw' = ct(w), la multiplicación por un escalar se conserva. Por lo tanto, una rotación con respecto al origen es un operador lineal. Una vez que se ha visto que una rotación constituye un operador lineal, formule ahora una expresión funcional para dicha rotación -una expresión que proporcione las coordenadas de la imagen de cualquier punto bajo una rotación. Considere una rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj en un ángulo e con respecto al origen. Véase la figura 4.19(c). Dicha rotación transformará el punto A en el punto B. La distancia OA es igual a OB; denote esta distancia con r. Sea a el ángulo AOC. Se tiene que x' = OC = r cos(a + e) = r cos a cos e - = x cos e - y sen e r sen a sen e y' = BC = r sen(a + e) = r sen a cos e + r cos a sen e = y cos e + x sen e = x sen e + y cos e Estas expresiones para x' y y' se pueden reducir a una sola ecuación matricial. Por consiguiente, IX' = cos e -senel x [y'] [ sen e cos ~ [ y] xl = ) T cose -sen~ x [[ yj [ sen e cos ~ [ y] Una rotación con respecto al origen se encuentra definida por una multiplicación entre matrices, lo cual confirma que una rotación es, también, un operador lineal. Observe que e es positivo en una rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj, y negativo si la rotación es en el sentido de las manecillas del reloj.

4.4 Transformaciones matriciales, gráficas por computadora y fractales 187 Por ejemplo, para determinar la imagen del punto [~] bajo una rotación de TrI2 radianes con respecto al origen. Usando cos(tri2) = O Y sen(tr/2) = 1 en la matriz de rotación, se obtiene T[[~]J = [~ -~] [~] = [-~] La imagen del punto [~] bajo una rotación de TrI2radianes con respecto al origen es [-~l En el caso de una rotación, cada transformación lineal puede definirse por una matriz. Aun cuando es posible emplear formas adecuadas para obtener representaciones matriciales de transformaciones lineales, como la matriz de rotación, es deseable tener un método general que se pueda aplicar a todos los casos. En seguida se desarrollará dicho método para las transformaciones lineales en Rn. liepresentación matricial Sea T: Rn ~ Rm una transformación lineal. En este estudio se expresan los vectores como vectores columna. Definiendo los vectores el' e2'..., en de Rn de la siguiente manera. Sea u un vector cualquiera en Rn. e = ~ e = ~ ]. n. [ OJ [ 1j u = al an Los vectores el'..., en se dice que son la base canónica de Rn. Estos vectores desempeñan un papel importante en este análisis de Rn en virtud de que cualquier vector, como u, puede expresarse en términos de dichos vectores de la siguiente manera: u = ale] +... + anen Ya que T es una transformación lineal, T(u) = T(a e +... + anen) = a]t(e ) +... + aj(en) ~ [T(o,)... 7'(0,,)] ~J En la expresión anterior, [T(el)... T(en)] es una matriz con las columnas T(e ),..., T(en)'

188 Capítulo 4 El espacio vectorial Rn Entonces, la transformación lineal T se encuentra definida por la matriz A = [T(e )... T(en)] A recibe el nombre de la matriz canónica de T. Observe que los vectores de Rn deben expresarse en forma de columnas con el objeto de poder utilizar la forma de representación matricial de una transformación lineal. En los siguientes ejercicios, se pide al lector que deduzca la matriz de rotación de esta forma. PL O 1 Determine la matriz canónica de T [[; ] J ~ción [2X3; yj Determine el efecto que tiene T sobre la base canónica. T[[~]J = [~l T[[~]J = [~] Estas matrices son las columnas de la matriz canónica A. A = [~ ~] T se puede expresar como una transformación matricial: T[[;]J = [~ ~] [;] Se determinarán ahora las matrices que describen transformaciones importantes. Iilatación y contracción Considere el operador T: R2 --- R2, definido por T [[;]J = r [;], donde r es un escalar. Si r > 1, entonces T aleja a los puntos del origen; esta operación recibe el nombre de dilatación de factor r. Si 0< r < 1, entonces T acerca los puntos al origen; esta operación recibe el nombre de contracción de factor r. Véase la figura 4.20(a). Se puede mostrar fácilmente que T es una transformación lineal.

4.4 Transformaciones matriciales, gráficas por computadora y fractales 189 definida por [~ ~] y y y definida por O ] [1 0-1.~, ", / /./ / / ~ - x O"-~.. '--... / ~/ --- // x ~ ó ", '. "-. o. x r> 1, dilatación < r < 1, contracción reflexión en el eje x (a) (b) Figura 4.20 Determine la matriz canónica de T. Determine el efecto que tiene T en la base canónica. La matriz canónica es: T([~]J = [~] T([~]J = [~] A = I~ ~l T se puede expresar como una transformación matricial: T(~]J = [~ ~]~] Por ejemplo, considere la dilatación T definida por la matriz [~ ~]. Se tiene que, T([~]J = [~ ~] m = [:] Por consiguiente, T transforma el punto ~] en el punto [:l La imagen se localiza en la misma dirección que el punto original a partir del origen, pero se encuentra tres veces más lejos del origen.

190 Capítulo4 Elespaciovectorial Rn [!eflexión Considere el operador T: R2 ~ R2, definido por T [~) = [:J, que transforma un punto en su imagen especular en el eje x. Véase la figura 4.20(b). T recibe el nombre de reflexión. Primero se puede mostrar fácilmente que T es lineal, determine ahora su matriz canónica. Luego el efecto de T en la base canónica es: La matriz canónica de 1es, T[[~]J = [~] T[[~) = [-~] A = 11 ol lo - lj Por lo tanto, una reflexión con respecto al eje x se puede expresar de la siguiente manera: T[~]J= [~ -~] [~] A menudo, las aplicaciones implican una sucesión de transformaciones lineales. Una sola transformación compuesta T = Tn o... o TI se encuentra descrita por el producto matricial de las transformaciones de los componentes, An... A l' Determine la matriz que describe una reflexión en el eje x, seguida de una rotación de 'IT/2,seguida a su vez por una dilatación de factor 3. Encuentre la imagen del punto [~] bajo esta sucesión de transformaciones. 8l'ólución Las matrices que definen la reflexión, la rotación y la dilatación son, respectivamente, cos ( 'IT/ 2) - sen ( 'IT/ 2)l, [~ - ~l [ sen( 'IT/ 2) cos ( 'ITI2)J [~ ~] Así, el siguiente producto matricial define la transformación compuesta: 13 ol COS('IT/2) -sen('it/2)lll ol = 13 lo 3J [ sen( 'IT/ 2) cos ( 'IT12 )J lo - J lo ol O - l 11 ol 3J[ 1 OJ lo - J = [~ ~]

4.4 Transformaciones matriciales, gráficas por computadora y fractales 191 La imagen del punto [~] es [~ ~] [~] = [l~] I!-ansformaciones Una transformación definidas por matrices no singulares no singular es una transformación T: Rn ---+Rn, definida por T(u) = Au donde A es una matriz no singular. Las transformaciones no singulares son importantes debido a que conservan la linealidad de un espacio vectorial en el siguiente sentido. TEOREMA Una transformación líneal no singular TJransforma: (a) rectas eij.jectas, (b) segmentos de recta en segmentos de recta,,iy (e) rectas paralelas en rectas paralelas, (d) rectas que pasan por el origen, t1nres,tasque pasan por el origen. En los siguientes ejercicios se le solicita al lector que analice estos resultados. LO 3 Considere el operador T: R2 ~ R2, definido por la matriz A = [~ del cuadrado unitario bajo esta transformación. ~]. Determine la imagen Ii.Siifúción El cuadrado unitario en R2 es el cuadrado cuyos vértices son, respectivamente, los puntos: p~, Qm, R~, o~

192 Capítulo 4 Elespaciovectorial Rn y Q' y. Q' R R o p x o p x (a) (b) Figura 4.21 Véase la figura 4.21(a). Calcule las imágenes de estos puntos bajo la transformación matricial. Resulta conveniente utilizar la notación u ~ Au para analizar las imágenes de puntos específicos. Si multiplica cada punto por la matriz, obtiene P P' Q Q' R R' O O' ~H~ mh~ ~H~ ~H~ Además, IAI = (4 X 3) - (2 X 2) = 8 0/=O. La matriz A es no singular; por lo que, el segmento de recta se transforma en segmentos de recta. Así, se tiene que OP ~ OP PQ ~ P Q QR ~ Q R OR ~ OR El cuadrado PQRO se transforma en el paralelogramo P' Q' R' O. Véase la figura 4.21(b). Estos operadores en R2 se utilizan en los programas de computadora para girar, alargar o contraer figuras. Más tarde se analizará esta aplicación. Los cuerpos sólidos se pueden describir de manera geométrica. Cuando se coloca una carga sobre un cuerpo, la forma de éste cambia y ocurre un fenómeno llamado deformación. Por ejemplo, el cuadrado PQRO de la figura 4.21 podría representar un cuerpo deformado, que adquiere la forma P' Q'R' O. Dichas deformaciones se pueden modelar y analizar en computadora con la ayuda de estas técnicas matemáticas. La elasticidad y la plasticidad son las áreas de la ciencia encargadas del estudio de dichos problemas.

4.4 Transformacionesmatriciales,gráficaspor computadoray fractales 193 Las transformaciones no singulares también son importantes en virtud de que poseen una transformación inversa. Sea T una transformación no singular, definida por una matriz A, y sea Au = v. Ya que A es no singular, A -1 existe, y A-Iv = u. Define, por lo tanto, una transformación, denominada la inversa de T, que se denota T-I. Las rotaciones, dilataciones, contracciones y reflexiones son transformaciones no singulares. Por lo que, tienen inversas. Se demostrará que la inversa de una dilatación de factor r es una contracción de factor l/r. La matriz de dilatación A y su inversa son: A = [~ ~] A -, ~ [~ J Por lo tanto, A -1 define una contracción de factor l/r. En los siguientes ejercicios se le pide que analice las inversas de rotaciones y reflexiones. I!!:anslaciones y transformaciones afines Concluye esta sección con un análisis de las transformaciones que, aunque no son lineales, son importantes en las matemáticas y las aplicaciones. Una translación es una transformación T: Rn ~ Rn, definida por T(u) = u + v donde v es un vector fijo. Una translación desplaza puntos en una dirección y a una distancia definidas por el vector v. Por consiguiente, las translaciones conservan rectas, ángulos y distancias, con gran naturalidad. Por ejemplo, considere la siguiente translación en R2. T[[~])= [~] + [~] Determine el efecto de T sobre el triángulo PQR, cuyos vértices son [~], [~] y [~J. Vea que p p' [~] H [~ Q Q' 12lH 6l L8J [ l~ R R' [~] H [:] El triángulo PQR se transforma en el triángulo P' Q'R' de la figura 4.22.

194 Capítulo 4 Elespaciovectorial Rn 10 Q' 8'1 Q 6+ 4+ 2+ A IJ p' p R R' I I I I I I I I ) 01 x 2 4 6 8 Translación Figura 4.22 p.t O 4 Determine la ecuación de la imagen de la recta y = 2x + 3 bajo la translación T[~) = ~ + [~l l/iiimución La ecuación y = 2x + 3 describe puntos sobre la recta con pendiente 2 y ordenada al origen y = 3. T desplazará esta recta convirtiéndola en otra recta. Se quiere determinar la ecuación de esta imagen recta. Se tiene que xl ) T - xl + 2 - X + 2 - X + 2l - X' [[ yj [ yj [ 1J [ 2x+3 J [ 1J [ 2x+4J [ y' ] Vea que y' = 2x' para el punto imagen. Por lo tanto, la ecuación de la imagen recta es y = 2x. Una transformación afín es una transformación T: Rn ~ Rn, definida por donde A es una matriz y v es un vector fijo. T(u) = Au + v

4.4 Transformaciones matriciales, gráficas por computadora y fractales 195 Una transformación afín puede interpretarse como una transformación matricial seguida por una translación. Por ejemplo, considere la siguiente transformación afín en R2. T(~]J = [~ ~]~] + [~] Al determinar la imagen del cuadrado unitario de la figura 4.23. Se tiene que, P P' Q Q' R R' O O' [~] H [~] [~]H [~ [~ H [~] [~] H [~] En virtud de que la matriz es no singular, los segmentos de recta se transforman en segmentos de recta. Así, se tiene que OP --1 O P PQ --1 P Q QR --1 Q R OR --1 O R El cuadrado PQRO se transforma en el paralelogramo P' Q'R' O'. y 1 4 Q' 3 2 I R = p o 2 3 4 x Transformación afín Figura 4.23 En los siguientes ejercicios se le pide que demuestre que las translaciones y las transformaciones afines no son transformaciones lineales. En esta sección se analizaron algunas transformaciones fundamentales. En los siguientes ejercicios se encontrará con otras transformaciones-proyección, escalamiento y corte-. Estas transformaciones básicas constituyen los cimientos que permiten crear otras transformaciones con ayuda de la composición. Ahora se analizarán las aplicaciones de las transformaciones en las gráficas elaboradas en computadora.

196 Capítulo 4 Elespaciovectorial Rn c:..transformaciones en gráficas por computadora El campode las gráficaspor computadoraabarcala creacióny tratamientode imágenes conla ayudadeunacomputadora.el impactodelasgráficaselaboradasencomputadorase percibeenmuchoshogaresa travésdelosjuegosdevideo.el ampliocampode aplicación de las gráficas por computadora en la investigación, la industria y los negocios cada vez se diversifica más. Los arquitectos estudian diseños con la ayuda de las gráficas por computadora; los biólogos moleculares penetran la estructura de moléculas gracias a las imágenes generadas en la computadora; los pilotos reciben entrenamiento mediante simuladores de vuelo gráficos, y los ingenieros de transporte emplean aerofotografías generadas por computadora en su trabajo de planificación, sólo por mencionar unas cuantas aplicaciones. El tratamiento de imágenes en gráficas por computadora se lleva a cabo mediante sucesiones de transformaciones. Las rotaciones, reflexiones, dilataciones y contracciones se definen por medio de matrices, utilizando la multiplicación matricial. Una sucesión de transformacionese puedellevara cabomedianteuna sola transformaciónlinealdefinida por el producto de las matrices. Por desgracia, la translación, según se definió, se vale de la adiciónde matrices,y cualquier sucesiónde transformacionesqueincluyatranslaciones no puede reducirse a una sola matriz. No obstante, si se describen los puntos de un plano con ayuda de las llamadas coordenadas homogéneas, entonces las translaciones también se pueden llevar a cabo a través de la multiplicación de matrices; por consiguiente, cualquier sucesión de transformaciones se puede definir en términos de una matriz. En las coordenadas homogéneas, se añade a cada coordenada una tercera componente con un valor de 1; así, la rotación, la reflexión y la dilatación, la contracción y la translación -R, Re' D y T, respectivamente- se definen por medio de las siguientes matrices. x R Re A = sen{1 cos{1 B = O -1 O [00'" O -seno O [1O O O 1 j punto rotación reflexión D T [,o J [1 O j C= O r O E= O 1 k O O 1 O O 1 dilatación/contracci ón translación (r> O) De esta manera, una dilatación D seguida por una translación T y finalmente por una rotación R quedaría definida por RTD(x) = AEC(x). La transformación compuesta RTD quedaría descrita por el producto matricial AEC. Algunos lenguajes de programacióncontienen subrutinaspara la rotación, la translación, la dilatación, la contracción (asimismo, para el escalamiento y el corte, véanse los ejercicios 15y 18), que permiten mover imágenes en la pantalla. Para hacerlo, la subrutinas conviertenlas coordenadasde la pantalla en coordenadashomogéneasque definenestas transformaciones en coordenadas homogéneas por medio de las matrices.

4.4 Transformacionesmatriciales,gráficaspor computadora y fractales 197 Se ilustrará ahora la aplicación de las transformaciones para imprimir un movimiento de rotación a una figura geométrica con respecto a un punto distinto del origen. fe~#e~p L o 5 Determine la matriz que define una rotación con un ángulo 8 de un plano con respecto a un punto P(h, k). Utilice este resultado para encontrar la matriz que define una rotación del plano con un ángulo 'Tr/2con respecto al punto (5, 4). Encuentre la imagen del triángulo con los siguientes vértices: A(l, 2), B(2, 8) YC(3, 2) bajo esta rotación. Véase la figura 4.24. y B p. C' o A' x Rotación con respecto a P Figura 4.24 t//solución La rotación con respecto a P se puede llevar a cabo por medio de una sucesión de tres transformaciones como las indicadas: (a) Una translación TI del plano que lleva P al origen O. (b) Una rotación R del plano con respecto al origen un ángulo 8. (e) Una translación T2 del plano que restituye O a P. Las matrices que describen estas transformaciones son las siguientes. TI 1 O - h O l-k [ O O 1j R cos 8 - sen8 sen 8 cos 8 [ O O T2 1 O h O O 1 k 1j [ O O 1j

198 Capítulo 4 Elespaciovectorial Rn La rotación R con respecto a P se puede llevar a cabo de la siguiente manera: p X xl 10 hl cose-sene ~lrl O-hl R p [[ ~ J] = T2R T [[ ~J ] = [ ~ ~ ~J [ sen ~ cos ~ ~J l~ ~ - ~J [ ~J - cos e sene [ O - sene cose O - h cos e + k sen e + h - hsen e - k cos e + k y 1 j [ 1J X Xl Para obtener la matriz específica que define la rotación del plano un ángulo Ti/2 radianes con respecto al punto P(5, 4), establezca h = 5, k = 4 Y e = Ti/2. La matriz de rotación es O -1 9 M= 1 0-1 [ O O 1 Para determinar las imágenes de los vértices del triángulo ABC, exprese estos vértices en forma de columna como coordenadas homogéneas y multiplique por M. De los productos matriciales obtiene A A' B B' e C' [~]H [~] [:] H [j [j H[~] El triángulo con vértices A(1, 2), B(2, 8) Y C(3, 2) se transforma en el triángulo con vértices A'(7, O),B'(1, 1) Y C'(7, 2). Véase la figura 4.24. ~~mágenes de la naturaleza por medio de fractales Los sistemas de gráficas por computadora basados en la geometría euclidiana tradicional son adecuados para crear imágenes de objetos hechos por el hombre, como máquinas, edificios y aviones. Las imágenes de dichos objetos se pueden generar con la ayuda de líneas, circunferencias, etc. Sin embargo, estas técnicas no resultan adecuadas cuando se trata de construir imágenes de objetos del mundo natural, como animales, árboles y paisajes. En palabras del matemático Benoit B. Mandelbrot: "Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son circunferencias y la corteza de los árboles no es lisa, ni la luz viaja en línea recta." Sin embargo, la naturaleza despliega estas irregularidades de una forma asombrosamente ordenada; un sinnúmero de formas que

4.4 Transformaciones matriciales, gráficas por computadora y fractales 199 se repiten a diferentes escalas en el mismo objeto. En 1975, Mandelbrot creó un nuevo tipo de geometría, a la que llamó geometría fractal, que permite describir los fenómenos naturales. La palabra fractal es un término conveniente para referirse a formas similares irregulares y fragmentadas. Los fractales están formados por estructuras acopladas; las estructuras menores constituyen una réplica en miniatura, aunque no idéntica, de las estructuras mayores. La historia de la palabra fractal es interesante. Mandelbrot dio con el adjetivo latino fractus, del verbo frangere, "romper", que encontró en el libro de latín de su hijo. Los parónimos fractura y fracción le parecieron adecuados y acuñó la palabra fractal! Ahora se analizarán algunos métodos creados por un equipo de investigación del Instituto Tecnológico de Georgia para generar imágenes de objetos naturales mediante fractales. Estas imágenes fractales de la naturaleza se consiguen con ayuda de las transformaciones afines. La figura 4.25 muestra la imagen fractal de un helecho delineada gradualmente. La técnica para conseguirlo se tiene a continuación. (,~.to ~1,l'~.h'4'.;S"'- '~~Y~':~\'t ~~::..;:o~.4' l'!.....oo,o.~,.' o ':.1. I",:r" :~'I A \..'" :.'\- ':,.# Yil\#:~ i o~ :'.l t.. -=..::. :':- o:~" '~o "Y- ' '.0'0' _..;.,.\:.,:00'\ ".:'.::: í;: v oo..,'. ~."'. -' ". \r;:"/',/1 :.~<o.:l4 o o. '{oo. o; ;... ~'o;\, o o' " Figura 4.25 Considere las cuatro transformaciones afines siguientes TI'..., T4 con las probabilidades asociadas a esas transformaciones p l'..., P4' T{[ YxJ) = [-0.03 0.86 O.03J[xJ+[ol 0.86 Y 1.5 p = 0.83 T{[ 1) Y = [0.2 0.21-0.25J[xJ+ 0.23 Y [o 1.5l P2= 0.08 T3([ YxJ) = [-0.15 0.25 0.26 0.27J [xj Y + [o0.45j, P3 = 0.08 T{[]J = [.17] [] + [l P4 = 0.01

200 Capítulo 4 El espaciovectorial Rn El siguiente algoritmo permite generar la imagen del helecho en una computadora. 1. 2. 3. 4. 5. 6. Sea x = O,Y = O. Emplee un generador aleatorio para seleccionar una de las transformaciones afines T de acuerdo con las probabilidades dadas. Sea (x', y') = T Cx,y). Localice (x', y'). Sea (x, y) = (x', y'). Repita los pasos 2, 3, 4 Y5 cinco mil veces. Conforme se ejecuta el paso 4 cada cinco mil veces, la imagen del helecho aparece gradualmente. Cada transformación afín T implica seis parámetros a, b, e, d, e yf, y una probabilidad p, de la siguiente manera: T{~]) = [: ~][;] + [;l p Las transformaciones afines y las probabilidades correspondientes que generan un fractal se representan como renglones de una matriz, este arreglo recibe el nombre de sistema de funciones iteradas (IFS, por sus siglas en inglés). El sistema de funciones iteradas para el helecho es el siguiente. Sistema de funciones iteradas para un helecho T a b e de f p 1 0.86 0.03-0.03 0.86 O 1.5 0.83 2 0.2-0.25 0.21 0.23 O 1.5 0.08 3-0.15 0.27 0.25 0.26 O 0.45 0.08 [ 4 O O O 0.17 O O 0.01~ Las transformaciones afines que generan un objeto fractal se obtienen al determinar las transformaciones que descomponen el objeto (denominado atractor) en varias imágenes compatibles, cuya unión forma el fractal. Un teorema denominadoteorema del fotomontaje o collaje, asegura que las transformaciones se pueden agrupar en un sistema de funciones iteradas para generar el fractal. Por lo general, diferentes probabilidades no dan lugar a diferentes imágenes, pero influyen en el modo que se produce la imagen. Las probabilidades adecuadas son: área de la imagen bajo la transformación T; p = área de la imagen del objeto Los lectores interesados en saber más sobre este fascinante tema pueden consultar el excelente artículo de Barnsley, Michael F. y Alan D. Sloan: "A Better Way to Compress Images", BYTE, vol. 13, núm. 1, 1988, pp. 215-223. El método creado en el Instituto Tecnológico de Georgia tiene una importancia considerable en virtud de que se le puede

4.4 Transformaciones matriciales, gráficas por computadora y fractales 201 aplicar para generar una imagen con cualquier grado de exactitud al utilizar un conjunto de datos altamente comprimido. La imagen de un fractal que contiene una infinidad de puntos con una organización difícil de describir, se puede reproducir con la ayuda de fórmulas matemáticas. Una introducción completa a la geometría de los fractales, que incluye detalles sobre la construcción de las transformaciones afines, aparece en Barnsley, Michael F: Fractals Everywhere, Academic Press Inc., 1988. El programa The Desktop Fractal Design Handbook and System, de Michael F. Barnsley, Academic Press Inc., 1989, se puede emplear para generar fractales. 1. Determine la matriz que define la rotación de un plano con respecto al origen de acuerdo con los siguientes ángulos. Defina la imagen del punto [~] bajo cada transformación. * (a) TI/2 *(d) (g) TI -TI/3 (b) (e) -TI/2-3TI/2 * (e) TI/4 * (f) TI/6 2. Deduzca la matriz de rotación encontrando el efecto de una rotación en la base canónica de R2. *3. Encuentre la ecuación de la imagen de la elipse 2 2 ~ 4 +L 9 = 1 bajo una rotación con un ángulo de TI/2radianes. *4. Encuentre la matriz que defina una rotación del plano a un ángulo TI/2radianes con respecto al origen, y que al mismo tiempo desplaza puntos al doble de su distancia original con respecto al origen. (Clave: construya una transformación compuesta.) 5. Determine una matriz que defina una rotación con respecto al origen un ángulo (j y una dilatación de factor r. *6. Encuentre la ecuación de la imagen del círculo unitario x2 + l = 1 bajo una dilatación de factor 3. *7. Considere la sucesión de transformaciones *8. Determine la matriz que define una reflexión en el eje y. Encuentre la imagen del punto [~] bajo esta transformación. 9. Determine la matriz que define una reflexión en la recta y = x. 10. Considere las transformaciones en R2 definidas por cada una de las siguientes matrices. Encuentre la imagen del cuadrado unitario bajo cada transformación. *(a) [~-~] (d) [~ -~] *(g) [~-~] (b) [~ ~] *(c) [~ ~ *(e) (h) -2-3l (f) -2-4l [ O ~ [-4 - J O 3l [-3 OJ 11. Determine la matriz canónica de los operadores lineales en R2 siguientes. *(a) T([;]) = [x~j (b) T([;]) = [::~] Tn(u) = (A)nu, n = 1,..., 4 *(c) T([;]] = [2X3~y5Y] donde A es una matriz de dilatación de factor 1.5. Dibuje las imágenes del círculo unitario en un sistema de coordenadas bajo esta sucesión de transformaciones. (d) T([;]) = [:~x]

202 Capítulo 4 Elespaciovectorial Rn Proyección 12. Encuentre la matriz canónica del operador T([~]) = [~] Observeque esta transformaciónproyecta todos los puntos en el eje x. Esta transformación recibe el nombre de operador de proyección. *13. Determine la matriz que define una proyección en el eje y. *14. Determine la matriz que define una proyección en la recta y = x. Encuentre la imagen de [~] bajo esta proyección. Escalamiento *15. Determine la matriz canónica del operador *20. Determine la ecuación de la imagen de la recta y = 3x bajo un corte de factor 5 en la dirección x. 21. Demuestre que una transformación definida por una matriz no singular de 2 X 2 siempre transforma rectas en rectas. 22. Demuestre que las translaciones y las transformaciones afines no son lineales. 23. Encuentre la imagen de la recta y = 3x + 1 bajo la translación T[~] = [~] + [j donde *(a) p = 2, q = 5 y (b) p = -1, q = 1. 24. Encuentre y dibuje la imagen del cuadrado unitario y del círculo unitario bajo las transformaciones afines T(u) = Au + v, definidas por las siguientes matrices y vectores. T(UJ = [:~] donde a y h son escalares positivos. T recibe el nombre de escalamiento de factor a en la dirección x y de factor b en la dirección y. Un escalamiento deforma una figuraen virtud de que x y y no cambian de la misma manera. Dibuje la imagen de un cuadrado unitario bajo esta transformación si a = 3 y h = 2. *16. Determine la ecuación de la imagen de la recta y = 2x bajo un escalamiento de factor 2 en la dirección x y del factor 3 en la dirección y. 17. Determine la ecuación de la imagen del círculo unitario, x2 + i = 1, bajo un escalamiento de factor 4 en la dirección x y de factor 3 en la dirección y. Corte *18. Determine la matriz canónica del operador *(a) A = [ l v = [ (b) A = [ l v = [] 'e,) A r12-12l v [:] (d) A [: ;l v [:] T(UJ = [x: Cy] donde e es un escalar. T recibe el nombre de corte de factor e en la dirección x. Dibuje la imagen del cuadrado unitariobajo un corte de factor 2 en la dirección x. Observe cómo aumenta el valor de x de cada punto por un factor de 2y, lo que provoca un corte en la figura. 19. Dibuje la imagen del cuadrado unitario bajo un corte de factor 0.5 en la dirección y. 25. (a) Demuestreque la inversade una rotacióncon un ángulo e es una rotación con un ángulo - e. (b) Demuestre que la inversa de una reflexión en el eje x es una reflexión en el eje x. *26. Determine la inversa de la transformación afín T(u) = Au + v, donde A es no singular. 27. Construyamatricesde 2 X 2 quedefinanlas siguientes transformaciones en R2. Encuentre la imagen del punto [~ bajo cada transformación.

204 Capítulo 4 Elespaciovectorial Rn *41. Determine la imagen del triángulo con vértices A, B Y e (en coordenadas homogéneas), bajo la sucesión de transformaciones T seguida de R, seguida de S. Dibuje el triángulo original y el final. A[i] B[~ chl 1 O 4 T = O 1-3 [ O O 1~ 300 S=050 [ O O : 1 O 1 O R = -1 O O: [ O O 1 Capítu 1.0 4 Ejercicios eje repaso 1. Dibuje los siguientes vectores de posición en R2. --7 (a) OA = (l,4) 7 (e) oe = (4,-1) --7 (b) OB = (- 2, 3) 2. Dibuje los vectores de posición (2, O, O), (O, -1, O), (1,4,2) en R3. 3. Calcule las siguientes expresiones vectoriales para u = (3, -1,5), v = (2,3,7), Y w = (O, 1, -3). (a) u + w (b) 3u + v (e) u - 2w (d) 4u - 2v + 3w (e) 2u - 5v - w 4. Si u, v y w son los siguientes vectores columna en R2, determine: (a) u + v (e) 2u - v + 3w (b) y - 2w (d) ~2u - 3v + 5w u = [- ~ v = [-~] w = [-~] S. Determine los productos punto de los siguientes pares de vectores. (a) (1,2), (3, -4) (b) (1, -2,3), (4, 2, -7) (e) (2,2, -5), (3, 2, -1) 6. Calcule las normas de los siguientes vectores. (a) (1, -4) (b) (-2,1,3) (e) (1, -2, 3, 4) 7. Calcule los cosenos de los ángulos entre los siguientes vectores. (a) (-1, 1), (2, 3) (b) (1,2, -3), (4, 1,2) 8. Determine un vector ortogonal a (-2, 1, 5). 9. Determine las distancias entre los siguientes pares de puntos. (a) (1, -2), (5, 3) (b) (3, 2, 1), (7, 1, 2) (e) (3, 1, -1,2), (4, 1,6,2) 10. Encuentre los valores de e, tales que Ilc(l, 2, 3)11-196. 11. Indique si las siguientes transformaciones son lineales. (a) T(x, y) = (2x, y, y - x) de R2 -;> R3 (b) T(x, y) = (x + y, 2y + 3) de R2 -;> R2 12. Determine la matriz que transforma R2 -;> R2, tal que m H [~] y [ -~] H [~ ~] 13. Sea T una transformación entre espacios vectoriales, sean u y y vectores en el dominio y a y b escalares. Demuestre que T es lineal, si y sólo si T(au + by) = at(u) + bt(v) Este resultado constituye otra definición de la transformación lineal. 14. Determine una matriz que defina una rotación del plano con un ángulo TI/6radianes con respecto al origen, y que al mismo tiempo desplaza puntos alejándolos tres veces su distancia original con respecto al origen.

Capítulo 4 Ejerciciosde repaso 205 15. Determine la matriz que define una reflexión con respecto a la recta y = -x. 16. Determine la matriz que define una proyección en la recta y = -x. 17. Encuentre la ecuación de la imagen de la recta y = - 5x + 1 bajo un escalamiento de factor 5 en la dirección x y de factor 2 en la dirección y. 18. Encuentre la ecuación de la imagen de la recta y = 2x + 3 bajo un corte de factor 3 en la dirección y. 19. Construya una matriz de 2 X 2 que defina un corte de factor 3 en la dirección y, seguido de un escalamiento de factor 2 en la dirección x, seguido a su vez por una reflexión con respecto al eje y.