Transformadas integrales

Cpítulo 3 Trnformd integrle Objetivo Conocer l propiedde de l trnformd de Lplce y de Fourier. Aplicr l trnformd de Lplce y de Fourier l reolución de ecucione diferencile linele. 3.1. Trnformd integrle L trnformd integrle on operdore que ocin nuev funcione funcione de un determindo conjunto medinte integrción repecto un determindo prámetro, F() b K(t, )f(t) dt. (3.1) A l función K(t,) e l denomin núcleo integrl de l trnformción y el intervlo de integrción (,b) uele er infinito. A l función F() e l denomin trnformd de l función f. Normlmente l trnformd integrl e puede invertir por medio de un trnformd inver, con un núcleo integrl precido l inicil. Obvimente l trnformd integrle on trnformcione linele. Pr f,g funcione trnformble y,b R, h(t) f(t)+bg(t) H() F()+bG(), l etr definid por medio de integrción, que e un operción linel. L ide de l trnformd integrle e decomponer l función f en um infinit de funcione de l form K(t, ), egún interee pr el problem concreto. Por ejemplo, en electromgnetimo, óptic, hidrodinámic... puede interer decomponer un eñl f(t) e um de eno y coeno de ditint frecuenci ω y mplitud A ω, l llmd ond pln A ω e iωt, F(ω) 1 e iωt f(t)dt, f(t) 1 59 e iωt F(ω)dω,

6 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADAS INTEGRALES e decir, F(ω) e eencilmente l mplitud A ω correpondiente l frecuenci ω en l decompoición de l eñl f(t) en ond pln. En teorí de control, circuito, reitenci de mterile e importnte otr trnformd integrl, l trnformd de Lplce, F() e t f()dt, (3.2) que, como u pecto indic, e epecilmente útil pr nlizr problem en lo que predomine un comportmiento exponencil, como, por ejemplo, lo item y ecucione linele de coeficiente contnte que e etudiron en el tem nterior. Et erá l principl plicción que le dremo en ete tem. En el co de l trnformd de Lplce, l trnformd inver no e encill, y que recurre técnic de vrible complej. Aprte de l trnformd de Lplce, exiten much otr, l trnformd de Hnkel, Mellin, Hilbert, Z...que e plicn problem concreto de l teorí de l eñl. 3.2. Propiedde de l trnformd de Lplce L principl propiedd de l trnformd integrle e que permiten reducir un problem dinámico, dependiente del tiempo, con derivd de l función eñl, un problem lgebrico, obre el ppel mucho má encillo de reolver. Integrndo por prte, u e t, v f(t) e t f (t)dt [ e t f(t) ] + e t f(t)dt F() f(), obtenemo un importnte reultdo, G() F() f(), g(t) f (t), (3.3) i e t f(t) tiende cero pr lgún vlor de cundo t tiende infinito. Obervmo que l trnformd h cumplido u objetivo: h convertido l derivd de f en un producto por l vrible independiente. Ete reultdo e puede iterr pr obtener expreione de derivd uperiore, h(t) f n) (t), H() n F() f n 1) () f n 2) () n 2 f () n 1 f(), (3.4) i f, f,...,f n) dmiten trnformd convergente. Por tnto, etmo utituyendo eencilmente derivd de orden n por potenci de grdo n de l vrible independiente. Ejemplo 3.2.1 Trnformd de l función exponencil f(t) e t. Por integrción direct, pr >. F() [ e e t e t ( )t dt ] 1,

3.2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 61 Ejemplo 3.2.2 Trnformd de l función potenci f(t) t n, n N. Por integrción por prte, u t n, v e t / ] F() e t t n dt [t ne t + n e t t n 1 dt n e t t n 1 dt n! n e t dt n! [ e t n pr >. Recurriendo l función Gmm de Euler, definid pr x >, Γ(x) : ] n! n+1, e t t x 1 dt, (3.5) que no e má que un generlizción del fctoril, y que, pr n N, Γ(n) (n 1)!, Γ(n+1) nγ(n), como e comprueb fácilmente, Γ(1) integrndo por prte, u t x, v e t, Γ(x+1) y, por tnto, e t dt [ e t ] 1!, e t t x dt [ e t t x ] +x e t t x 1 dt xγ(x), Γ(n) (n 1)(n 2) 1 Γ(1) (n 1)!, podemo extender l trnformd de Lplce culquier potenci no enter, α > 1, con el cmbio de vrible u t, e t t α dt 1 α+1 e u u α du Γ(α+1) α+1, que, obvimente, e reduce l expreión conocid pr n N, e t t n dt Γ(n+1) n+1 n! n+1. Ejemplo 3.2.3 Trnformd de l función f(t) t. Como f(t) t 1/2, podemo plicr l fórmul pr potenci no nturle con α 1/2, F() e t tdt Γ(3/2) π 3/2 2 3/2, Γ(3/2) 1 2 Γ(1/2) π 2.

62 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADAS INTEGRALES Γ(x) -3-2 -1 x Figur 3.1: Gráfic de l función Γ(x) Ejemplo 3.2.4 Trnformd de l funcione f(t) int, g(t) cot. L podrímo obtener por integrción direct, pero reult má cómodo ur l trnformd de l exponencil, F() e t intdt 1 e t( e it e it) dt 2i 1 ( 1 2i i 1 ) +i 2 + 2, G() e t cotdt 1 2 1 ( 1 2 i + 1 ) +i e t( e it +e it) dt 2 + 2. Et últim trnformd l podrímo obtener tmbién directmente, teniendo en cuent que g(t) f (t)/. Por tnto, G() F() f() 2 + 2. Hy producto de funcione cuy trnformd e encill, como e el co de l exponencile: Se g(t) e t f(t). Entonce, G() F( ), (3.6) e decir, l exponencil e trduce en un trlción del prámetro, como e comprueb, G() e t e t f(t)dt Y tmbién el producto por monomio: Se g(t) t n f(t). Entonce, e ( )t f(t)dt F( ). G() ( 1) n F n) (), (3.7)

3.2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 63 como e comprueb fácilmente, derivndo bjo el igno de integrl, G() ( 1) n dn d n e t t n f(t)dt ( 1) n d n (e t ) d n f(t)dt e t f(t)dt ( 1) n F n) (). Ejemplo 3.2.5 Clculr l trnformd de h(t) t n e t. No e precio relizr integrl lgun, y que, i utilizmo l trnformd de f(t) t n, H() e t e t f(t)dt F( ) n! ( ) n+1, pero tmbién podímo hberl clculdo undo l trnformdde g(t) e t, ( ) H() e t t n g(t)dt ( 1) n G n) () ( 1) n dn 1 n! d n ( ) n+1. No ólo eo, l diviión por t tmbién tiene trnformd encill: Se g(t) f(t)/t tl que lím t g(t) e finito. Entonce, G() L demotrción e encill. Pr t >, [ e e ut ut du t por tnto, utituyendo et expreión, G() e tf(t) dt t du F(u)du. (3.8) ] dtf(t)e ut e t, t due ut dtf(t) Ejemplo 3.2.6 Clculr l trnformd de g(t) int. t F(u)du. Llmemo f(t) int. Sbemo que F() 1/( 2 +1). Por tnto, plicndo el reultdo nterior, G() du u 2 +1 [rctnu] π rctn rccot. 2 Tmbién e interente l expreión de l trnformd de un función f periódic de periodo T, f(t) f(t+t), F() 1 T 1 e T e t f(t)dt, (3.9)

64 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADAS INTEGRALES como e comprueb fácilmente, in má que decomponer l integrl de l trnformd en intervlo correpondiente un periodo, F() n (n+1)t nt 1 1 e T T e t f(t)dt e u f(u)du, T e nt e u f(u)du hciendo el cmbio u t nt y undo l um de un erie geométric de rzón e T < 1. 3.3. Inverión de l trnformd de Lplce Ddo que l trnformd de Lplce permite implificr y reolver lo problem de ecucione diferencile, reduciéndolo problem lgebrico, e necerio ber cómo invertir l trnformd de Lplce pr devolver l olución del problem l vrible originle. Defortundmente, no hy un expreión de l trnformd inver de Lplce l etilo de l que exite pr l trnformd de Fourier. Sin embrgo, í e puede bordr el problem con técnic de vrible complej: Teorem 3.3.1 Se F(), función holomorf complej, lvo en un conjunto finito de punto {,..., n } itudo en el emiplno R() <. Si exiten K,R,α > tle que F() α < K pr > R, entonce, pr R() >, F() e l trnformd de Lplce de un función f(t) dd por f(t) n n Re ( e t ) F(), k, t >. (3.1) k El reultdo nterior proviene de plicr el teorem de lo reiduo l integrl 1 +ir lím de t F(), i R ir cerrndo el circuito complejo de modo que l cotción de F() permit nulr l integrl obre l rect que cierrn el circuito. Ejemplo 3.3.1 Hllr l función cuy trnformd e F() ( ) (n+1). Podemo plicr el teorem nterior, pue clrmente e cumple l cotción con K 1, α. Tenemo un polo único de orden n+1 en, luego el reiduo erá Re ( ) e t ( ) (n+1), 1 n! d n (e t ) d n tn n! et f(t), de cuerdo con el reultdo del ejemplo 3.2.5. No obtnte lo nterior, en l myorí de lo co e preferible bordr el problem de l inverión de l trnformd de Lplce, bien decomponiendo l función trnformd en umndo que en frccione imple de fácil identificción, e inverión, por tnto. O decomponer l función trnformd en

3.4. CONVOLUCIÓN DE FUNCIONES 65 producto de funcione encill cuy trnformd inver e conozc, de modo que l inverión e pued relizr por convolución. Et últim técnic tiene, no obtnte, el problem de tener que relizr l integrl de convolución, Reumiendo, exiten l meno tre form de invertir l trnformd de Lplce: recurrir l integrl complej por el teorem de lo reiduo, decomponer l función en frccione imple e identificr lo término reultnte o decomponer l función en producto de funcione encill y relizr el producto de convolución de u primitiv. 3.4. Convolución de funcione Otr operción importnte, relciond con l trnformd integrle e el producto de convolución de do funcione, ( ) t f g (t) : f(u)g(t u)du. (3.11) En relidd l definición uul de convolución de funcione e ( ) f g (t) : f(u)g(t u)du, (3.12) pero como pr l trnformd de Lplce ólo intervienen lo vlore f(t), g(t), t >, e como i hubiérmo tomdo nulo lo vlore f(t), g(t), t <. Et operción e conmuttiv, f g g f. Comprobémolocon un cmbio de vrible de integrción v t u, dv du, ( ) t f g (t) f(u)g(t u)du t f(t v)g(v)dv ( g f ) (t). Tmbién e encillo comprobr que et operción e ocitiv, (f g) h f (g h). El origen de et operción, independientemente de u propiedde mtemátic, e múltiple. Supongmo que queremo utituir un función f(t) con ml propiedde de continuidd y derivbilidd por otr función má uve f(t). Un poibilidd erí utituir f(t) por el promedio de et función en lo vlore próximo t. Pr ello, integrrímo l función f por un función de integrl unidd que tome vlore en torno t y decig muy rápidmente, de modo que ólo contribuyn l promedio lo vlore próximo t, por ejemplo, l función g(u t) e (t u)2 /2 / π. L nuev función f(t) erá, pue, f(t) f(u)g(u t)du, que e eencilmente l convoluciónde f y g i g e imétric,g(t u) g(u t). De ete modo, per de que f pued no er iquier continu, u utitut uvizd, f(t), erí tn uve como g, y que l cle de derivbilidd de f erá l de g, y que e et función l que e deriv l derivr f. Ecogiendo un función g de cle C etrímo utituyendo f por un función f de cle C.

66 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADAS INTEGRALES f(u) f(t) g(u) g(u-t) u f(t) ~ t Figur 3.2: Gráfic de f(u) y l función uvizd f(t) ( f g ) (t) Ejemplo 3.4.1 Convolución de l función igno(t) por g(t) e t2 / π. Hciendo lo cmbio v t u, w u t, y teniendo en cuent que g e un función pr, f(t) ( f g)(t) 1 π 1 π 1 t π t e (t u)2 du 1 π t igno(u)e (t u)2 du 1 e (t u)2 du π e v2 dv 1 π t e v2 dv 2 t e v2 dv erf(t). π e w2 dw Vemoqueehlogrdoelobjetivobucdo.Sehutituidolfunciónigno por un función imilr, l función error guino, con mejore propiedde de derivbilidd. Otr interpretción interente etá relciond con el proceo de medid de un eñl f(t), que involucr l intercción con un prto de medid, un detector, un filtro, que podemo modelizr en regimen linel por un función g(t) trvé de un integrl, f(t) : f(u)g(u t)du. Por ejemplo, un modelo encillo e idelizdo de filtro o detector e el que integr l eñl que le lleg en un intervlo centrdo lrededor del intnte t, [t /2,t+/2], pr dr l medid de l eñl, g(u) θ(u+/2) θ(u /2) χ [ /2,/2](u) f(t) : 1 t+/2 t /2 f(u)dt. Vemo que en ete co, en el límite de un intervlo muy pequeño,, recuperrímo l eñl originl, lím t f(t) f(t). Pero l propiedd má relevnte nuetro efecto e que, l plicr l trnformd de Lplce l convolución de do funcione, obtenemo el producto ordinrio de l funcione trnformd. Se h f g, H() F()G(). (3.13)

3.4. CONVOLUCIÓN DE FUNCIONES 67 g(u) g(u-t) f(u) ~ f(t) f(t) -/2 /2 t u t Figur 3.3: Gráfic de l eñl f(u), el filtro g(u) y l eñl medid f(t) Comprobémolo hciendo el cmbio de vrible T t u, U u, H() e t( f g ) (t)dt e U f(u)du e t dt t f(u)g(t u)du e T g(t)dt F()G(). Et expreión v er útil pr invertir trnformd de Lplce, y que no d l función cuy trnformd e un producto ordinrio de funcione. Y tiene un notble importnci, y que no permite fctorizr el efecto del filtro o de l función regulrizdor g(t). Ejemplo 3.4.2 Trnformd inver de H() 1/( 2 2 ). Podemo coniderr l función como un producto, H() F()G(), F() 1 +, G() 1, f(t) e t, g(t) e t, de funcione cuy trnformd e conocid. Por tnto, podemo invertir l trnformción recurriendo l producto de convolución, h(t) ( f g ) (t) et e t 2 t f(u)g(t u)du inht, t e u e (t u) du e t [ e 2u 2 unque ete reultdo e podrí hber obtenido de mner direct, decomponiendo en frccione imple H(), H() 1 { 1 2 1 } h(t) et e t. + 2 Tmbién podímo hberlo reuelto undo teorí de reiduo, y que l función e clrmente holomorf, cotd pr grnde vlore de y tiene ólo do polo imple, ±. Por tnto, Re ( e t ( 2 2 ) 1,± ) ( )e t e t ±e±t lím ± 2 2 lím ± ± 2, ] t

68 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADAS INTEGRALES con lo cul, de cuerdo con lo reultdo nteriore, f(t) Re ( e t ( 2 2 ) 1, ) +Re ( e t ( 2 2 ) 1, ) et 2 e t 2. Ejemplo 3.4.3 Clculr l trnformd de l primitiv h(t) un función f. t f(t)dt de De l expreión de h deducimo que et función e l convolución de f con l función contnte unidd g(t) 1. Por tnto, u trnformd e H() F()G() F(). Ete reultdo, in embrgo, e conecuenci direct de l expreión de l trnformd de un derivd. Como f(t) h (t), F() H() h() H() F() + h(), expreión que coincide con l nterior, y que hemo ecogido l primitiv h(t) de modo que e nule en el origen, h() 3.5. Ditribucione f(t)dt. Con l ide de repreentr funcione definid trozo, e conveniente introducir l función po, eclón o de Heviide θ, { t < θ(t) 1 t, (3.14) que multiplicd por un función f tiene el efecto de nulr lo vlore de f(t) en lo negtivo. θ(t) t Figur 3.4: Gráfic de l función θ (t)

3.5. DISTRIBUCIONES 69 Del mimo modo, podemo definir θ (t) θ(t ), { t < θ (t) 1 t. (3.15) Por ejemplo, podemo exprer l función crcterític, o filtro contnte, del intervlo [,b] como el producto χ [,b] (t) θ(t )θ(b t), χ [,b] (t) { t [,b] 1 t [,b]. (3.16) En prticulr, prece l relción entre definicione de convolución, ( ) f g (t) : f(u)θ(u)g(t u)θ(t u)du t f(u)g(t u)du, pr funcione f, g que e nuln obre lo negtivo. Ejemplo 3.5.1 Trnformd de Lplce de l función po θ, >. Θ () e t θ (t)dt [ e e t t dt ] e, pr >. L función po e epecilmente útil pr exprer de mner condend funcione trozo. Ejemplo 3.5.2 Exprer l función vlor boluto con funcione po. { t t < t t t t( θ(t) θ( t) ). Ejemplo 3.5.3 Exprer l función igno con funcione po. { 1 t < igno(t) 1 t > θ(t) θ( t), que podemo ver como l derivd de l función vlor boluto, d t dt igno(t). Tmbién e útil l expreión de l trnformd de g(t) f(t )θ(t ), Hciendo el cmbio de vrible u t, G() G() e F(). (3.17) e t f(t )θ(t )dt e e u f(u)du e F(). e t f(t )dt L función po θ (t) e dicontinu en t, con lo cul no tiene entido clculr u derivd. Serí nul en todo lo punto, por trtre de contnte,

7 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADAS INTEGRALES lvo en t, donde no etá definid (e común repreentrl en lo libro de fíic como un función impulo que e nul en todo lo punto, lvo en t, donde tom el vlor infinito ). Por ello e por lo que decimo que l derivd de θ no e un función, ino un ditribución o función generlizd, que ólo tiene entido cundo ctú obre otr funcione. Por ejemplo, un función ordinri f ctú obre otr funcione φ por imple integrción, f[φ] : f(t)φ(t) dt, (3.18) pr lo cul retringiremo φ, función de prueb, un epcio de funcione con buen propiedde. Normlmente e exige que e de cle C y que decrezc en infinito má rápido que culquier polinomio o que e de oporte compcto, pr que l integrl nterior eté iempre bien definid. Por ejemplo, l propi función po ctú obre funcione de mner trivil, θ [φ] θ (t)φ(t)dt φ(t) dt. De et mner, provechndo l buen propiedde de l funcione de prueb, podemo definir l derivd de ditribucione por imple integrción por prte, f [φ] f (t)φ(t)dt [f(t)φ(t)] f(t)φ (t)dt f(t)φ (t)dt, unque el primer término pued no tener entido directmente, y que f puede no er derivble: f [φ] : f(t)φ (t)dt. (3.19) De et mner, definimo un ditribución delt de Dirc como δ (t) δ(t ) θ (t), de modo que δ [φ] δ (t)φ(t)dt δ(t )φ(t)dt : θ (t)φ (t)dt φ (t)dt [φ(t)] φ(), de donde concluimo que l ctución de l delt de Dirc obre un función implemente e evlur e función en, δ [f] δ (t)f(t)dt δ(t )f(t)dt f(). (3.2) Por ello, ólo import cómo e comport l función prueb en l proximidde de. L ditribución δ tiene un erie de propiedde importnte: δ(t ) 1, (3.21) como e comprueb hciendo ctur l ditribución obre un función que vlg l unidd en torno t. f(t)δ (t) f()δ (t), (3.22)

3.5. DISTRIBUCIONES 71 como e comprueb directmente. En ete entido, podemo clculr l trnformd de Lplce de l ditribución δ, { e () e t δ(t )dt <, (3.23) pr >. Obérvee que e h incluido el co en el cálculo nterior, ignndo l ditribución δ(t) l trnformd de Lplce () 1 por continuidd en el prámetro, () () lím + () lím e 1, i >. Eto e hce í ddo que l integrl, e t δ(t)dt δ(t) dt, no etá bien definid, l incluir el vlor t en el borde del intervlo. Por u propiedde, l delt de Dirc e emple en fíic pr modelizr fuerz que ctún durnte un breve lpo de tiempo. Ejemplo 3.5.4 Derivd de l delt de Dirc. Tmbién podemo clculr l derivd de l ditribución delt de Dirc, undo l definición de l derivd de un ditribución, δ [φ] δ(t )φ (t)dt φ (), por lo que l derivd de l delt e un ditribución que proporcion el vlor de l derivd de l función obre l que ctú en, cmbido de igno, En prticulr, δ (t)φ(t)dt φ (). δ (t)dt. Elproductode unfunción derivblef(t) porl derivdde ldelt tmbién tiene un expreión locl, pero no tn encill como pr l delt, f(t)δ (t) f()δ (t) f ()δ (t), como e comprueb con un función prueb φ(t), {f(t)δ (t)}φ(t)dt ( fφ ) () f()φ () f ()φ() {f()δ (t) f ()δ (t)}φ(t)dt.

72 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADAS INTEGRALES Y u trnformd de Lplce e, denotndo g(t) δ (t), G() e t δ (t)dt { e <, δ(t ) de t dt dt δ(t )e tdt pr >. De idéntic mner e pueden definir derivd de orden uperior, δ n) [φ] ( 1) n δ(t )φ n) (t)dt ( 1) n φ n) (), por lo que l derivd n-éim de l delt proporcion el vlor de l derivd n-éim de l función obre l que ctú en, lvo un igno en lo órdene impre, En prticulr, δ n) (t)φ(t)dt ( 1)n φ n) (). δ n) (t)dt. Su trnformd de Lplce e, denotndo h(t) δ n) (t), H() e t δ n) (t)dt ( 1)n δ(t ) dn e t dt n dt { n δ(t )e tdt n e <. Por tnto, l trnformd de l derivd δ n) (t) e n. 3.6. Reolución de ecucione diferencile Conideremo un item fíico, un circuito, por ejemplo, modelizdo por un ecución diferencil linel con coeficiente contnte x n) + 1 x n 1) + + n x f(t), que proporcion l repuet x(t) del item un fuerz f(t). Supongmo que queremo hllr l olución de l ecución con condicione inicile trivile, x() x () x n 1) (). E decir, inicilmente el item etá en repoo. Si plicmo l trnformd de Lplce l ecución, el primer miembro e convierte en un expreión linel pr X(), P()X() F() X() F() P(), P() ( n + + n ), y, por tnto, permite reolver l ecución directmente. El problem reidirá en invertir l trnformd de Lplce.

3.6. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES 73 Obervmo, pue, que, nivel de trnformd, l repuet del item e el producto de l fuerz por un función X I () 1/P(), que e denomim función de trnferenci. Su interpretción e encill: conideremo como fuerz f un impulo en el intnte t, f(t) δ(t). En ete co F() 1 y l trnformd de l repuet l impulo, x I (t), e precimente l función de trnferenci. E clro que el comportmiento del item e conocido con ólo conocer l función de trnferenci. Si en lugr de un impulo ctú un fuerz f, l trnformd de l repuet x(t) dich fuerz viene dd por X() X I ()F(), con lo cul, x(t) ( x I f ) (t), e decir, l repuet culquier fuerz f e obtiene como convolución de et por l repuet l impulo. Obérvee que, conocid l función de trnferenci, e irrelevnte conocer el item, pue ell no bt pr conocer l repuet culquier fuerz. De hí u importnci en problem linele. Ejemplo 3.6.1 Reolver l ecución x + 3x + 2x te t pr t > con condicione inicile x(), x (). Trnformmo l ecución, 2 X() x x +3X() 3x +2X() 2 X()+3X()+2X() y podemo depejr l trnformd de l olución, X() 1 (+1) 3 (+2) 1 +2 + 1 +1 1 (+1) 2 + 1 (+1) 3, 1 (+1) 2, l cul, un vez decompuet en frccione imple, e puede invertir, identificndo lo término, x(t) e 2t +e t te t + t2 2 e t. L ventj de et mner de proceder e, no ólo que e horrn l integrcione, ino que permite obtener l olución del problem de vlore inicile directmente, in neceidd de pr por l olución generl. Lo cul no quit pr que e pued obtener l olución generl, i dejmo libre lo prámetro x() x, x () x, 2 X() x x +3X() 3x +2X() 1 (+1) 2, X() x +x +3x (+2)(+1) + 1 (+1) 3 (+2) 1+x +x +2 + 1+2x +x +1 1 (+1) 2 + 1 (+1) 3,

74 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADAS INTEGRALES x(t) (1+x +x )e 2t +(1+2x +x )e t te t + t2 2 e 2t ( ) t k 1 e 2t 2 + 2 t+k 2 e t. Del mimo modo, e puede utilizr ete método pr reolver item de ecucione linele. Ejemplo 3.6.2 Reolver el item de ecucione x 3x+2y+9t, y 3y+9 pr t > con condicione inicile x(), y(). Trnformmo mb ecucione, X() x 3X()+2Y()+ 9 2, Y() y 3Y()+ 9, de donde podemo depejr ltrnformdde l olución,con x, y, X() Y() 18 ( 3) 2 + 9 2 ( 3) 1 3 2 1 3 + 6 ( 3) 2 9 ( 3) 3 + 3 3, e identificndo término, podemo invertir l trnformd y obtener l olución pedid, x(t) 1 3t e 3t +6te 3t, y(t) 3+3e 3t. Sin embrgo, hemo de er conciente de que ete método no port olucione nuev. E decir, lo problem que e pueden reolver por trnformd de Lplce on eencilmente lo mimo que e pueden reolver por otro método. L principl ventj de l trnformd de Lplce e que permite bordr má fácilmente problem en lo que el término inhomogéneo etá definido trozo o e ingulr. Ejemplo 3.6.3 Reolver l ecución x + 2x + 2x f(t) con f(t) t pr t [,π], f(t) t pr t [π,], f(t) pr t, con condicione inicile x(), x (). El término inhomogéneo e puede reecribir de mner cumultiv como f(t) t 2(t π)θ(t π)+(t )θ(t ), y u trnformd de Lplce e, teniendo en cuent que pr g(t) f(t )θ(t ), G() e F(), F() 1 2e π +e 2. Por tnto, l ecución e trnform en X() 1 2e π +e 2 ( 2 +2+2) 1 2e π +e 2 ( 1 2 1 ) + +1 (+1) 2. +1

3.7. APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 75 El egundo fctor e identific directmente, G() 1 2 1 + +1 (+1) 2 +1 g(t) t 1+e t cot, con lo cul podemo invertir l trnformd de l olución, x(t) 1 ( ) 2 (t 1+e t cot) (t π) 1+e (t π) co(t π) θ(t π) ( ) θ(t ) + (t ) 1+e (t ) co(t ), 2 que derrolld dopt l expreión t 1+e t cot 2 ( 1 t x(t) +π +e t cot e π + 1 ) 2 2 ( 1+2e π +e ) e t cot 2 t [,π] t [π,] t [, ) 3.7. Apliccione de item de ecucione linele Acbmo l expoición de lo item de ecucione linele con uno cunto ejemplo de plicción direct problem fíico. Ejemplo 3.7.1 Circuito LRC En un circuito con un generdor de fuerz electromotriz E, continu o ltern, como el de l figur, circul un corriente de intenidd i(t). L diferenci de potencil, prte de l debid l propio generdor, on debid l reitenci R, V R ir, lo condendore de cpcidd C, que lmcenn un crg Q, V C Q/C, y l bobin de coeficiente de utoinducción L, V L Li.. i R E C L Figur 3.5: Circuito LRC Lo circuito e rigen por l do regl de Kirchoff, de modo que en cd nudo de l mll del circuito l um de intenidde e nul (l um de

76 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADAS INTEGRALES intenidde liente debe er igul l um de intenidde entrnte), y l um de diferenci de potencil debe er nul, teniendo en cuent que lo término nteriore e oponen l circulción de corriente y, por tnto, deben contre con igno negtivo. Aí pue, el circuito de l figur etá regido por un ecución diferencil linel con coeficiente contnte, recordndo que l intenidd e i(t) Q (t), LQ +RQ + Q C E(t), o bien, en función de l intenidd de corriente, Li +Ri + i C E (t). W(x) L x y Figur 3.6: Vig Ejemplo 3.7.2 Flexión de un vig. Conideremo un vig horizontl de longitud L ometid un crg verticl W(x) por unidd de longitud. L vig ufre un flexión en l dirección verticl y(x), regid por l ecución diferencil y IV ) W(x) EI, x (,L), donde E e el módulo de Young de l vig e I e el momento de inerci de un ección rect de l vig repecto u eje. L condicione de contorno de l ecución dependerán de l dipoición de l vig: Un vig empotrd por uno de u extremo,, L, tendrá ee extremo fijo, y() y (). Un vig rticuld por un extremo, tiene y() y (). Un vig con un extremo en voldizo, tiene y () y (). Ejemplo 3.7.3 Sitem mecánico de reorte copldo. L eprción x de un m m unid un muelle de contnte de rigidez k repecto u poición de equilibrio etá regid por l ecución del ocildor rmónico, mx kx.

3.8. TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE 77 k1 m1 k2 m2 x1 x2 Figur 3.7: Sitem de do reorte copldo Por tnto, l evolución del item de l figur, formdo por do muelle de longitude l 1, l 2, etá determind por el item, m 1 x 1 k 1(x 1 l 1 )+k 2 (x 2 x 1 l 2 ), m 2 x 2 k 2(x 2 x 1 l 2 ). 3.8. Tbl de trnformd de Lplce f(t) F() f(t) F() f (t) F() f() f n) (t) n 1 n F() i f n 1 i) () e t 1, > et f(t) F( ) t n n!, n N t n f(t) ( 1) n F n) () n+1 t α Γ(α+1) 1 T, α > 1 f(t) de periodo T α+1 1 e T e t f(t)dt in t 2 + cot 2 2 + 2 inh t 2 coht 2 2 2 t f(t)/t F(u)du f(t)dt F() e θ (t), > f(t )θ(t ) ( ) e F() δ (t), e f g (t) F()G() 3.9. Trnformd de Fourier Tl como enunciábmo l principio del tem, definimo l trnformd de Fourier de un función f(t) como un función F de un vrible ω, F(ω) 1 i e iωt f(t)dt. (3.24) Umo l vrible t, en cuyo co ω tiene l interpretción de un frecuenci. Pero tmbién e uele hcer trnformd de Fourier repecto un vrible temporl x. Si x e un vrible epcil, l nuev vrible k tiene l interpretción de un número de ond. Mntenemo l notción de myúcul pr l funcione trnformd, un riego de confundirl con l trnformd de Lplce. El contexto no indicrá de qué trnformd etmo hblndo y gnremo en implicidd en l notción.

78 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADAS INTEGRALES Exiten otr notcione pr l trnformd de Fourier. En lgun no prece el fctor, en otr prece en u lugr. O en lugr de ω prece ω. Son tod ell equivlente. Si optmo por et, e porque l identidd de l energí de Plncherel e implific en et notción. A u vez, definimo l trnformd inver de Fourier de un función F(ω) como f(t) 1 e iωt F(ω)dω. (3.25) Como u nombre indic, i trnformmo un función f con buen propiedde, l relizr l trnformd inver de F recupermo l función f. Aunque i l función f preent dicontinuidde en lguno punto, el reultdo de l trnformd inver puede no er el correcto en dicho punto. Pr que l trnformd de Fourier exit, tn ólo e necerio que f e bolutmente integrble en l rect rel, e decir, que f(t) e integrble en l rect rel, e iωt f(t)dt e iωt f(t) dt f(t) dt <. Pr ello e necerio que l función f(t) tiend cero en ±, unque no e uficiente. No obtnte, en generl bt con que f(t) e un función de cudrdo integrble, f(t) 2 dt <, pr definir l trnformd de Fourier como vlore de Cuchy de l integrle impropi, F(ω) f(t) 1 lím R 1 lím R R R R R,e iωt f(t)dt, e iωt F(ω)dω. (3.26) De ete modo grntizmo que tiene entido l identidd de l energí o identidd de Plncherel, f(t) 2 dt F(ω) 2 dω, (3.27) propiedd de l trnformd de Fourier que no demotrremo. Nótee que l trnformd inver de Fourier reflej precimente l interpretción heurític que hemo empledo, f(t) 1 e iωt F(ω)dω 1 F(ω)e iωt, e decir, hemo decompueto f en un um de ond pln de frecuenci ngulr ω y mplitud F(ω). L función F implemente ign cd frecuenci del epectro u mplitud correpondiente. L identidd de Plncherel indic que l energí de l eñl f, dd por l integrl de f(t) 2, e puede clculr bien como un integrl en todo el epcio, ω R

3.9. TRANSFORMADA DE FOURIER 79 bien como um de l energí de l ond pln contituyente, F(ω) 2, iendo dich energí igul l cudrdo de u mplitud. Aplicndo reitrdmente l trnformd de Fourier un función, cbmo recuperndo l función de prtid: Se F(ω), l trnformd de un función f(t). Si trnformmo u vez l función F, 1 e itω F(ω)dω 1 e iω( t) F(ω)dω f( t) : f(t), definiendo f como l función imétric de f repecto l eje de ordend. Por tnto, denotndo por T l trnformd de Fourier, de modo que F T(f), obtenemo que f T 2 (f). E decir, trnformndo do vece un función obtenemo l función reflejd. Y, u vez, trnformndo cutro vece, obtenemo l función originl, f T 4 (f), f f T 2 ( T 2 (f) ) T 4 (f). Y como T 3 (T(f)) f, reult que T 3 T 1 e l trnformd inver de Fourier. Reumiendo, F T(f), f T 2 (f), f T 3 (F), f T 4 (f). (3.28) Al igul que ucedí con l trnformd de Lplce, l trnformd de Fourier tiene un buen comportmiento repecto l producto por exponencile, imginri en ete co. L exponencile e convierten en trlcione l trnformr: Se g(t) e it f(t). Entonce, G(ω) F(ω ). (3.29) Clculmo l trnformd de Fourier directmente, G(ω) 1 e i(ω )t f(t)dt F(ω ). Ete reultdo tiene u recíproco, y que l trlcione e convierten en exponencile imginri l trnformr: Se h(t) f(t ). Entonce, Se comprueb fácilmente, H(ω) 1 H(ω) e iω F(ω). (3.3) e iωt f(t )dt e iω e iωy f(y)dy e iω F(ω), hciendo el cmbio de vrible y t. Ete reultdo e interente, y que muetr que un trlción e convierte en un defe l trnformr, y l inver. El iguiente reultdo e tmbién curioo, y que permite lgebrizr l derivd l convertire en un multiplicción por l vrible l trnformr. Eto erá de importnci pr reolver

8 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADAS INTEGRALES ecucione diferencile, convirtiéndol en ecucione lgebric, l igul que ucedí con l trnformd de Lplce. Clculemo l trnformd de Fourier de g f integrndo por prte y teniendo en cuent que l función f debe tender cero en el infinito pr poder er integrble en el intervlo infinito, G(ω) + 1 iω e iωt f (t)dt 1 [e iωt f(t)] e iωt f(t)dt iωf(ω). Por tnto, iterndo el reultdo, obtenemo l trnformd de culquier derivd, uponiendo que exit, g(t) f (t) G(ω) iωf(ω), h(t) f n) (t) H(ω) (iω) n F(ω). (3.31) Del mimo modo, i g(t) tf(t), derivndo con repecto ω bjo l integrl, G(ω) 1 e iωt tf(t)dt i d ( e iωt f(t) ) dt if (ω). dω De ete modo obtenemo el reultdo imétrico del nterior, g(t) tf(t) G(ω) if (ω), h(t) t n f(t) H(ω) i n F n) (ω). (3.32) Obérvee que eto reultdo, equivlente de lo obtenido pr l trnformd de Lplce, on entermente imétrico, l no precer lo término de vlore inicile, f(), f ()... Eto e lógico, y que integrmo en un intervlo infinito, no emiinfinito. L plicción principl de et propiedd de converión de derivd en multipliccione l tenemo en l reolución de problem de ecucione en derivd prcile: Ejemplo 3.9.1 Reolución de l ecución de l cuerd vibrnte infinit, u tt u xx. Supongmo que l función u(x, t) dmite trnformd de Fourier, U(ω,t) 1 e iωx u(x,t)dx. L ecución pr l función U e ordinri y encill de reolver, U tt +ω 2 U U(ω,t) A(ω)e iωt +B(ω)e iωt, con lo cul, invirtiendo l trnformd, l olución de l ecución de l cuerd vibrnte e ecribe como, u(x,t) 1 { A(ω)e iωt+iωx +B(ω)e iωt+iωx} dω, e decir,hemo decompuetolond de lcuerdvibrntecomoum de ond de frecuenci ω que recorren l cuerd en mbo entido con mplitude A(ω), B(ω), que deberán determinre por l condicione inicile del problem.

3.9. TRANSFORMADA DE FOURIER 81 Undo l propiedde de l trlción y l exponencil, u(x,t) (x+t)+b(x t), e decir, l eñl u e decompone en un eñl que vnz hci l izquierd y otr que vnz hci l derech. Supongmo como vlore inicile, u(x,) f(x), u t (x,) g(x). Entonce, f +b, g b f +g, b f g 2 2 f + g 2 +k, b f g 2 k, con lo cul l olución del problem de vlore inicile e, u(x,t) f(x+t)+f(x t) 2 + 1 2 x+t x t g(y) dy. Ejemplo 3.9.2 Reolución de l ecución del clor en un vrill infinit, u t u xx. Al igul que en el ejemplo nterior, uponiendo que u dmite trnformd de Fourier, obtenemo como ecución pr U, fácil de reolver, U t +k 2 U U(k,t) F(k)e k2t, cuy olución, depué de invertir l trnformción de Fourier, proporcion, u(x,t) 1 F(k)e k2 t+ikx dk, que depende de un función rbitrri F, que e determinrá prtir de lo dto inicile, u(x,) f(x), f(x) u(x,) 1 F(k)e ikx dk, que utituid en l expreión de u, no d l olución del problem de vlore inicile pr l vrill infinit, completndo cudrdo, e decir, hciendo el cmbio de vrible y k t i(x x )/2 t, u(x,t) 1 dk 1 t 1 4πt dy dx f(x )e k2 t+ik(x x ) dx f(x )e y2 (x x ) 2 /4t dx f(x )e (x x ) 2 /4t. El teorem de lo reiduo permite clculr de mner encill numero trnformd de Fourier:

82 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADAS INTEGRALES 1 -r r Figur 3.8: Recinto de integrción pr ω > Propoición 3.9.1 Se f un función meromorf (nlític lvo en un número finito de punto del plno complejo) con ingulridde ólo en punto fuer del eje rel { 1,..., n } C y que verific lím f(z). Entonce, z i Re(f(z)e iωz, i ) i ω > I F(ω) i< i Re(f(z)e iωz, i ) i ω < I i> E decir, pr evlur l integrl hy que clculr lo reiduo en lo polo del emiplno inferior (uperior) i ω > (i ω < ). Ejemplo 3.9.3 Trnformd de Fourier de f(t) (t+i) 1,. L función f e meromorf y tiene un único polo complejo en z i, en el emiplno inferior. Luego, l no hber polo en el emiplno uperior, F(ω) pr ω <. Pr ω >, F(ω) ( ) e iωz ire t+i, i ie ω. L trnformd de Fourier e puede plicr igulmente ditribucione: Ejemplo 3.9.4 Trnformd de Fourier de l delt de Dirc. (ω) 1 e iωt δ (t)dt 1 e iωt δ(t )dt e iω. (3.33) Eto tiene como conecuenci ineperd, relizndo l trnformd inver, que δ(t ) δ (t) 1 e iωte iω dω 1 e iω(t ) dω, (3.34) interente, y útil, repreentción integrl de l delt de Dirc: l delt de Dirc e un um de ond pln de mplitud unitri, e iω 1.

3.1. CONVOLUCIÓN Y CORRELACIÓN 83 Et repreentción proporcion un demotrción ingenio de l identidd de l energí, F(ω) 2 dω 1 1 F(ω)F(ω)dω dtf(t) dω dtf(t) f(t) 2 dt. dte iωt f(t) dyf(y) dyf(y)δ(y t) dye iωy f(y) dωe iω(y t) f(t)f(t)dt Ejemplo 3.9.5 Trnformd de Lplce de l exponencil imginri. Sbemo que l trnformd de g(t) e it f(t) e G(t) F(ω ). Por tnto, i tommo f(t) 1, con trnformd F(ω) δ(ω), obtenemo que l exponencil imginri g(t) e it tiene por trnformd G(ω) δ(ω ) δ (ω). Ete ejemplo muetr un reultdo obvio: como un ond pln e it ólo tiene un frecuenci y l trnformd implemente ign mplitude l frecuenci del epectro de l eñl, tendrá et que etr concentrd en ω. E decir, tiene que er un delt de Dirc centrd en dich frecuenci. 3.1. Convolución y correlción Tmbién podemo relcionr l convolución de funcione con l trnformd de Fourier, como hicimo con l trnformd de Lplce. Sólo que, l etr mnejndo funcione definid en tod l rect rel, uremo l definición 3.12 de convolución, ( ) f g (t) : f(u)g(t u)du. L integrl de convolución etá bien definid, y que, por l deiguldd de Cuchy-Schwrz, (f g)(t) f(u)g(t u)du f(u) 2 du g(t u) 2 du f(u) 2 du g(y) 2 dy, hciendo el cmbio de vrible u t y en l egund integrl. Luego (f g)(t) etá cotd uperiormente i f, g on funcione de cudrdo integrble. Al igul que ucedí con l trnformd de Lplce, l trnformd de Fourier permite fctorizr el producto de convolución de do funcione: h(t) (f g)(t) H(ω) F(ω)G(ω). (3.35)

84 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADAS INTEGRALES Hciendo el cmbio de vrible t y +u, H(ω) e iωt (f g)(t)dt Ete reultdo tiene u recíproco, e iωt dt f(u)g(t u)du e iωy g(y)dy e iωu f(u)du F(ω)G(ω). j(t) f(t)g(t) J(ω) (F G)(ω). (3.36) Se puede demotrr hciendo l trnformd inver del nterior reultdo, pero podemo proceder tmbién de et mner, prtir del egundo miembro de l identidd, (F G)(ω) 1 1 F(u)G(ω u)du dtf(t) du dtf(t) dte iut f(t) dye iωy g(y) dye iωy g(y)δ(y t) e iωt f(t)g(t)dt J(ω), dye i(ω u)y g(y) due iu(y t) undo l repreentción integrl de l delt de Dirc. Emprentd directmente con l convolución etá l operción de correlción: Definimo l correlción de do funcione f, g como (f g)(t) f(u)g(u+t)du. (3.37) Si f g, denominremo f f l utocorrelción de f. L interpretción de l integrl de correlción e direct. Etmo clculndo l integrl del producto de do funcione, un de ell trldd t. El reultdo erámyorcuntomyoreeláredelgráficdelfunciónproducto,edecir, cunto má olpen l gráfic, de hí el nombre de correlción. Aí pue, l vrir t vmo deplzndo l gráfic de un función obre l otr fij bucndo coincidenci entre l do funcione. Et operción no e, en generl, conmuttiv. Se podrí hber definido tmbién l correlción, hciendo el cmbio de vrible u u t, como (f g)(t) f(u)g(u+t)du f(u t)g(u )du ) f(t u )g(u )du ( f g (t),

3.11. TABLA DE TRANSFORMADAS DE FOURIER 85 lo cul upone que l utocorrelción de funcione rele e pr (egund iguldd), (f f)(t) (f f)( t), y que f g f g, expreión que relcion convolución y correlción. L relción entre trnformd de Fourier y correlción, h(t) (f g)(t) H(ω) G(ω)F(ω), (3.38) e deduce de mner inmedit, bien undo l propiedde de l convolución, bien por integrción, hciendo el cmbio de vrible t y u, H(ω) e iωt (f g)(t)dt dte iωt duf(u)g(u+t) dye iωy g(y) due iωu f(u) G(ω)F(ω). Como curioidd, nótee que T(f f) FF F 2, e decir, l trnformd de Fourier de l utocorrelción proporcion el módulo l cudrdo de l trnformd de l función. Por tnto, l utocorrelción pierde l informción referente l fe de l función complej, l contrrio de lo que ucede con l utoconvolución, que proporcion el cudrdo de l función y, por tnto, no pierde l informción de l fe, y que e recuper l función complet tomndo l ríz cudrd. En prticulr, l cotción de l convolución conduce, pr l utocorrelción,, f f(t) f(u)f(u)du (f f)(), (3.39) lo cul indic que l utocorrelción etá cotd uperiormente por u vlor en t. A vece e define dividiéndol por f(u) 2 du (f f)(), de modo que l utocorrelción tome vlore con módulo inferior o igul l unidd. 3.11. Tbl de trnformd de Fourier f(t) F(ω) f(t) F(ω) f (t) iωf(ω) f n) (t) (iω) n F(ω) t n f(t) i n F n) (ω) F(t) f( ω) ( f(t ) ) e iω F(ω) e it f(t) F(ω ) f g (t) F(ω)G(ω) f(t)g(t) (F G)(ω)/ δ (t) e iω / e it δ(ω )