VECTORES EN EL ESPACIO

VECTORES EN EL ESPACIO (,4,3) MATEMÁTICAS II º Bachillerato Alfonso Gonále IES Fernando de Mena Dpto. de Matemáticas

I. DEFINICIONES Módlo: Indica la intensidad, iene dado por la longitd de la flecha qe representa al ector. Magnitdes Vectoriales: Un ector es n segmento orientado qe, para ser definido, precisa de los sigientes tres elementos: Dirección: Viene dada por la recta sobre la qe está la flecha qe representa al ector. Sentido: Es el qe apnta la flecha qe representa al ector (Para na misma dirección, ha dos posibilidades). Ejemplos: La elocidad, la fera, la aceleración, etc. Escalares: Basta n número n escalar- para ser definidas (Por ejemplo, la temperatra, masa, tiempo, densidad, energía, etc.). Notación: B Como emos en el dibjo al margen, n ector se representa mediante na flecha. En concreto, se trata de n ector qe a del pnto A al pnto B, por lo qe se representa como AB. En otros casos, se pede nombrar simplemente como. Nótese qe el ector tiene na dirección, es decir, está constrido AB A sobre na recta. Por otra parte, s módlo, qe, como hemos dicho arriba, es la longitd de la flecha, se representa como o AB, es decir, con el nombre del ector entre. A eces, se indica con dobles barras, esto es, AB, se sele denominar norma del ector. Nosotros tiliaremos indistintamente ambas notaciones. Finalmente, el sentido del ector es el qe apnta s flecha. Por lo tanto, se define el ector nlo como AA 0. Vector nlo: Se designa como 0, es aqel qe tiene módlo cero. Se representa por n pnto (por lo cal, no tiene mcho sentido considerar s dirección sentido ). Vector opesto: Dado n ector, se define s opesto, qe se designa como el mismo módlo, la misma dirección, pero distinto sentido:, como aqel qe tiene Teto bajo licencia Cratie Commons: se permite s tiliación didáctica así como s reprodcción impresa o digital siempre cando se respete la mención de s atoría, sea sin ánimo de lcro. En otros casos se reqiere el permiso del ator (alfonsogonalope@ahoo.es)

Vector nitario: Es todo ector qe tenga módlo 1. Por ejemplo, los sigientes ectores son nitarios: 1 Vector igales o eqipolentes: «Dos ectores son eqipolentes si tienen el mismo módlo, dirección sentido». Se indica como ~, anqe, en general, también se sele poner simplemente. d c a En la figra, a b son eqipolentes, lo mismo podemos decir de c d. b Pesto qe, si trasladamos n ector de forma eqipolente, es decir, sin ariar s módlo, dirección sentido, sige siendo el mismo ector, se dice qe los ectores son libres en el espacio. Por lo tanto, se define: V 3 Conjnto de todos los ectores libres del espacio. Acabamos de hablar de ectores libres. Ahora bien, si los referimos a n pnto, entonces serán ectores fijos. El pnto qe habitalmente se tilia es el origen: Coordenadas de n ector referido al origen: Coinciden con las coordenadas del pnto etremo del ector: (4,3) (,4,3) O EN EL PLANO EN EL ESPACIO Teto bajo licencia Cratie Commons: se permite s tiliación didáctica así como s reprodcción impresa o digital siempre cando se respete la mención de s atoría, sea sin ánimo de lcro. En otros casos se reqiere el permiso del ator (alfonsogonalope@ahoo.es)

En el sigiente apartado amos a er más formalmente el porqé de esto. Solamente na última obseración: la orientación del triedro,, no es arbitraria; las 3 posibilidades álidas son las sigientes: ectorial. Pero la más frecente es la primera. Veremos la eplicación de esto en el apartado IV, prodcto Ejercicios final tema: 1 II. OPERACIONES II.I SUMA DE VECTORES Gráficamente: Ha dos formas posibles de smar ectores; ambas, obiamente, condcen al mismo ector sma. Para maor simplicidad, amos a er ambas en el plano, para ectores referidos al origen: + + REGLA DEL PARALELOGRAMO Como emos, en la 1ª forma (qe se sa más en Matemáticas) se engancha el segndo ector al etremo del primero, el ector sma de ambos será aqel qe tiene s origen en el del primero s etremo en el del último. En el caso de la regla del paralelogramo (m tiliada en Física, para smar feras), los dos ectores se ponen con origen común, se traa a continación el paralelogramo qe definen; el ector sma será entonces la diagonal de dicho paralelogramo qe arranca del origen de ambos ectores. Pede comprobarse analíticamente qe ambas formas fncionan. En el espacio se procedería de manera análoga. Analíticamente: (,, ) (,, ) + ( +, +, + ) Propiedades: CONMUTATIVA: ASOCIATIVA: + + + ( + ) (+ ) + Teto bajo licencia Cratie Commons: se permite s tiliación didáctica así como s reprodcción impresa o digital siempre cando se respete la mención de s atoría, sea sin ánimo de lcro. En otros casos se reqiere el permiso del ator (alfonsogonalope@ahoo.es)

ELEMENTO NEUTRO: ELEMENTO OPUESTO: + 0 + ( ) 0 (Todas estas propiedades son de inmediata demostración, tanto analítica como gráficamente). II.II RESTA DE VECTORES Gráficamente: Para restar dos ectores, smamos al primero el opesto del segndo, es decir, + ( ). De las dos formas istas anteriormente amos a tiliar, por ejemplo, la regla del paralelogramo: Analíticamente, es obio qe se restan las componentes. De la resta de ectores peden dedcirse dos fórmlas importantes m tiliadas: Coordenadas del ector qe ne dos pntos: Se obtienen restando las componentes del pnto etremo A AB B menos el pnto origen del ector: AB B A (1) (Ver demostración en Internet) Coordenadas del pnto medio de n segmento: Dado n segmento de etremos A B, las coordenadas de s pnto medio serán la semisma de dichos etremos. A M B A + B M () (Ver demostración en Internet) II.III PRODUCTO POR UN ESCALAR Gráficamente: Veámoslo con n ejemplo. Si qeremos hacer 3, lo qe haremos es + + aplicamos la sma de ectores. Si lo qe qeremos constrir es ( ) + ( ) :, es decir,, haremos Teto bajo licencia Cratie Commons: se permite s tiliación didáctica así como s reprodcción impresa o digital siempre cando se respete la mención de s atoría, sea sin ánimo de lcro. En otros casos se reqiere el permiso del ator (alfonsogonalope@ahoo.es)

3 En resmen: Se define el ector k como aqel qe tiene MÓDULO: k k DIRECCIÓN: la de SENTIDO: el de, si k>0 opesto, si k<0 Todo esto pede comprobarse qe concerda analíticamente: Analíticamente: (,, ) k (k,k,k ) Propiedades: ASOCIATIVA: DISTRIBUTIVA respecto a la sma de ectores: DISTRIBUTIVA respecto a la sma de escalares: ELEMENTO NEUTRO: λ ( µ ) ( λ µ ) λ ( + ) λ + λ ( λ + µ ) λ + µ 1 (Todas estas propiedades son de inmediata demostración, tanto analítica como gráficamente). II.IV COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Se dice qe el ector es combinación lineal de,,... λ + µ + η +... si se pede epresar como donde λ, µ, η R Obseraciones: 1º) Algno de los λ, µ, η peden ser 0 º) Recordar: «Un conjnto de ectores es linealmente dependiente si algno de ellos se pede epresar como combinación lineal de los restantes; en caso contrario, son linealmente independientes». Veamos, en la sigiente tabla resmen, todas las posibilidades de dependencia lineal en fnción del número de ectores de s posición: Teto bajo licencia Cratie Commons: se permite s tiliación didáctica así como s reprodcción impresa o digital siempre cando se respete la mención de s atoría, sea sin ánimo de lcro. En otros casos se reqiere el permiso del ator (alfonsogonalope@ahoo.es)

Nº VECTORES POSICIÓN PLANO V ESPACIO V 3 DEPENDENCIA LINEAL? Alineados: λ l. d ( proporcionales) No alineados: l.i. ( son base de V ) 3 Coplanarios: No coplanarios: l. d. (, son comb. lin.) l. i. (, son base de V 3 ) 4 l. d. (,, son comb. lin.) 3º) Definición: «{,, } forman na base de V 3 si calqier se pede epresar como combinación lineal de los ectores de la base, es decir, λ, µ, η R / λ + µ + η» «Se dice entonces qe λ, µ η son las coordenadas de en la base {,,}» 4º) Como imos en el 4º caso del cadro anterior, «En V 3 tres ectores calesqiera no coplanarios 1 forman na base». En particlar, consideremos los ectores i (1,0,0 ) j k (0,1,0) (0,0,1) qe son perpendiclares entre sí, nitarios. Pes bien, { i, j, k } es na base ortonormal de V 3. i k j Definición: «Base ortonormal de V 3 son tres ectores perpendiclares entre sí nitarios». 1 Y no proporcionales, natralmente Teto bajo licencia Cratie Commons: se permite s tiliación didáctica así como s reprodcción impresa o digital siempre cando se respete la mención de s atoría, sea sin ánimo de lcro. En otros casos se reqiere el permiso del ator (alfonsogonalope@ahoo.es)

Nótese, por lo tanto, qe { i, j, k } no es la única base ortonormal de V 3, pero sí la más simple, por eso se denomina base canónica de V 3. Definición: «Una base ortogonal de V 3 está formada por tres ectores perpendiclares entre sí». Veamos, con n ejemplo, cál es la entaja de tiliar la base canónica en V 3 : 3 k En la figra, podemos epresar como combinación lineal de { i, j, k } : (,4,3) ( i + 4 j ) + 3 k [(,0,0) + (0,4,0)] + (0,0,3) (, 4,3) i 4 j + i 4 j Nótese qe, 4 3 son las coordenadas de en la base { i, j, k }. Por lo tanto, la entaja de tiliar la base canónica { i, j, k } es qe las coordenadas de n ector coinciden con las del pnto etremo. En otra base tendría distintas coordenadas. Ejercicios final tema: 3 a 9 III. PRODUCTO ESCALAR Vamos a definir el prodcto escalar de dos ectores,, qe se designa como n escalar:, co resltado es Definición: «El prodcto escalar de dos ectores es igal al prodcto de ss módlos por el coseno del ánglo qe forman»: cos α (3) α Consecencias: 1) 0 (Condición de perpendiclaridad) ) > 0 α < 90º 3) < 0 90º < α 180º Teto bajo licencia Cratie Commons: se permite s tiliación didáctica así como s reprodcción impresa o digital siempre cando se respete la mención de s atoría, sea sin ánimo de lcro. En otros casos se reqiere el permiso del ator (alfonsogonalope@ahoo.es)

Epresión analítica : (,, ) (,, ) + + (4) Propiedades: CONMUTATIVA: ASOCIATIVA MIXTA: λ ( ) ( λ ) ( λ ) DISTRIBUTIVA: ( + ) + (Todas estas propiedades son de inmediata demostración 3, tanto analítica como gráficamente). Una obseración sobre notación: Es m importante, a la hora de simboliar el prodcto escalar de dos ectores, no olidar el entre ambos:. Ahora bien, si de lo qe se trata es de mltiplicar n escalar por n ector, para distingir es recomendable no indicar el prodcto con n : λ Aplicaciones del prodcto escalar: 1º) Módlo de n ector: Consideremos el prodcto escalar de n ector consigo mismo: cos 0º Despejamos : Si las componentes del ector son (,,), nos qeda: + + (5) Consecencias: a) Distancia entre dos pntos: Spongamos dos pntos en el espacio, P( 1, 1, 1 ) Q(,, ), ca P PQ d(p,q) Q distancia de separación, d(p,q), qeremos conocer. Es obio qe dicha distancia (er dibjo) coincidirá con el PQ : PQ Q P (,, ) (,, ) (,, ) 1 1 1 1 1 1 PQ d(p,q) ( ) + ( ) + ( ) 1 1 1 (6) Pede encontrarse en Internet la demostración de qe esta fórmla la definición gráfica coinciden. 3 Nos remitimos, para ello, a Internet. Teto bajo licencia Cratie Commons: se permite s tiliación didáctica así como s reprodcción impresa o digital siempre cando se respete la mención de s atoría, sea sin ánimo de lcro. En otros casos se reqiere el permiso del ator (alfonsogonalope@ahoo.es)

b) Cómo obtener n ector con la misma dirección qe no dado, pero nitario?: Spongamos qe nos dan n ector, qeremos obtener n ector con s misma dirección, pero nitario. La respesta, iendo el dibjo (lo hemos indicado en el plano, para na mejor isaliación; pero en el espacio sería análogo), es obia: habrá qe diidirlo por s módlo; es decir, se tratará del ector 1 (4,3) La demostración es también eidente: Si lo diidimos por n número, como es sentido)., obtendremos n ector con la misma dirección ( 1 es nitario, a qe s módlo es: 1 (C.Q.D.) Obseración: En realidad, habría otro ector con la misma dirección qe nitario, pero de sentido contrario; se trataría del ector opesto a (El del dibjo). º) Ánglo entre dos ectores: Se obtiene fácilmente, sin más qe despejar en cos α α (,, (,, ) ) cos α + + + + + + (7) Ejercicios final tema: 10 a 1 Ejercicios PAEG: 4B jn 008 Teto bajo licencia Cratie Commons: se permite s tiliación didáctica así como s reprodcción impresa o digital siempre cando se respete la mención de s atoría, sea sin ánimo de lcro. En otros casos se reqiere el permiso del ator (alfonsogonalope@ahoo.es)

IV. PRODUCTO VECTORIAL Vamos a definir el prodcto ectorial de dos ectores,, co resltado es n ector: Definición: El prodcto ectorial de dos ectores es igal a otro ector, denominado, qe tiene: α MÓDULO: DIRECCIÓN: sen α SENTIDO: El del aance de n sacacorchos 4 al llear a Obseración: El prodcto ectorial así definido aldrá cero en algno de los sigientes casos: 1) Cando algno de los dos ectores sea el ector 0 (caso triial), a qe, en tal caso, s módlo sería 0. ) Si ambos ectores tienen la misma dirección, es decir, son paralelos, o lo qe es lo mismo, ss componentes son proporcionales, pes en ese caso, sen α 0. Ha dos posibilidades: 180º MISMO SENTIDO SENTIDO OPUESTO Epresión analítica 5 : i j k (8) Propiedades: ANTICONMUTATIVA: No erifica la asociatia: ASOCIATIVA MIXTA: ) ( ) λ ( ) λ λ DISTRIBUTIVA respecto a la sma: (+ ) + 4 También pede tiliarse la regla de la mano derecha: si lleamos a en el sentido qe indiqen los catro dedos jntos de la mano derecha como indica el dibjo, el sentido de será el indicado por el plgar: 5 Ver en Internet la prolija demostración de esta fórmla. Teto bajo licencia Cratie Commons: se permite s tiliación didáctica así como s reprodcción impresa o digital siempre cando se respete la mención de s atoría, sea sin ánimo de lcro. En otros casos se reqiere el permiso del ator (alfonsogonalope@ahoo.es)

(Todas estas propiedades son de inmediata demostración 6, tanto analítica es decir, mediante las propiedades de los determinantes- como gráficamente). Interpretación geométrica: «El módlo del prodcto ectorial de dos ectores es igal al área del paralelogramo qe determinan». Dem: α h sen α h h sen α Mltiplicamos ambos miembros por : h sen α (C.Q.D.) Base Altra Área del paralelogramo Consecencia: Área del triánglo lo definan»: «El área de n triánglo es igal al semimódlo del prodcto ectorial de dos ectores calesqiera qe A AB B AC C S ABC 1 AB AC (9) Ejercicios final tema: a 33 Ejercicios PAEG: 4B jn 005, 4A jn 008 V. PRODUCTO MIXTO Vamos a definir n último prodcto ectorial, en este caso de tres ectores,,, llamado prodcto mito, co resltado es n escalar: Definición: Se define el prodcto mito de tres ectores,,, qe se designa como [,, ], al número qe reslta de la sigiente operación: [,, ] ( ) (10) 6 Nos remitimos, para ello, a Internet. Teto bajo licencia Cratie Commons: se permite s tiliación didáctica así como s reprodcción impresa o digital siempre cando se respete la mención de s atoría, sea sin ánimo de lcro. En otros casos se reqiere el permiso del ator (alfonsogonalope@ahoo.es)

Teto bajo licencia Cratie Commons: se permite s tiliación didáctica así como s reprodcción impresa o digital siempre cando se respete la mención de s atoría, sea sin ánimo de lcro. En otros casos se reqiere el permiso del ator (alfonsogonalope@ahoo.es) Epresión analítica: En la práctica, para s cálclo, lo más cómodo no es tiliar la definición anterior, sino el sigiente determinante: (11) Dem: (C.Q.D.) Obseraciones: El prodcto mito ],, [ aldrá cero en algno de los sigientes casos: 1) Cando al menos no de los ectores sea el ector 0 (caso triial), a qe, en tal caso, habría al menos na fila de 0 en el determinante. ) Si al menos dos ectores son igales o proporcionales es decir, tienen la misma dirección-, pes entonces tendríamos dos filas del determinante igales o proporcionales. 3) Si los tres ectores son combinación lineal, es decir, linealmente dependientes a qe. en ese caso, sabemos qe el determinante lógicamente aldría cero-. Ahora bien, como imos en la tabla resmen del apdo. II, ello significa qe los tres ectores son coplanarios. Por consigiente: Condición de coplanariedad (dependencia lineal): 0,] [ coplanarios(lin. dep.),, (1) Es decir: «La condición necesaria sficiente para qe tres ectores sean coplanarios es qe s prodcto mito sea cero» (Sería el 3 er caso de la tabla del apdo. II). Interpretación geométrica: «El alor absolto del prodcto mito de tres ectores es igal al olmen del paralelepípedo qe determinan»., ) det( ], [,,,, ),, ( ), ] [ + + k j i k j i,

Dem: α α h ( ) cos α Área base h Área base cos α h Vol paralelepípedo (C.Q.D.) Aplicación: Volmen del tetraedro «El olmen de n tetraedro es igal a la seta parte del alor absolto del prodcto mito de tres ectores calesqiera qe lo definan»: D AD V ABCD 1 [ AB, AC, AD] (13) 6 A B AB AC C Dem: Vamos a circnscribir el tetraedro ABCD anterior en el paralelepípedo (er figra inf.). Por lo tanto, ambos tendrán la misma altra. Recérdese qe el olmen de n paralelepípedo es igal al área de la base por la altra. Por otra parte, el área de la base del tetraedro es obiamente la mitad de la del paralelepípedo. Pongamos todo esto en fórmlas: D V S h S h h paralelpípedo ABCD ABC V paralelpípedo S ABC (14) B h Por otra parte, también ha qe recordar qe el olmen de n tetraedro es 1/3 del área de la base por la altra: A C 1 Vtetraedro S h 3 (14) ABC Finalmente, si sstitimos h de (14) en (15) obtenemos el resltado bscado: 1 1 Vparalelpípedo 1 V S h S V (C.Q.D.) tetraedro 3 ABC 3 ABC S 6 ABC paralelpípedo Ejercicios final tema: 34 ss. Ejercicios PAEG: 4B jn 011 (+ área triánglo) Teto bajo licencia Cratie Commons: se permite s tiliación didáctica así como s reprodcción impresa o digital siempre cando se respete la mención de s atoría, sea sin ánimo de lcro. En otros casos se reqiere el permiso del ator (alfonsogonalope@ahoo.es)

40 EJERCICIOS de VECTORES º BACH. VECTORES. OPERACIONES: 1. Comprobar si los ectores AB CD son eqipolentes, siendo A(,1,3), B(5,4,1), C(,1,5) D(3,,-1). En caso negatio, hallar las coordenadas del pnto D' para qe AB CD sean eqipolentes. (Solc: no son eqipolentes; D'(5,4,3)) G F. Considerar el cbo de arista nidad de la figra. Indicar las coordenadas de dos ectores eqipolentes a AB otro eqipolente a AD. Hallar AE AF 3. (S) Dos ectores a b son tales qe a 10, b 10 3 a + b 0. Hallar el ánglo qe forman los ectores. (Solc: 90 0 ) a b C A O D B E 4. Dados (1,4,3) (,3,), dibjarlos sobre los mismos ejes, hallar, gráfica analíticamente:,, 3 + 3 +, 5. Dados (5,,15), ( 1,,1), (, 1,3), se pide: a) Epresar 3 4 como combinación lineal de (Solc: + ) b) Epresar 1 3 como combinación lineal de (Solc: 4 4 ) c) Son linealmente dependientes o independientes,? d) Cál es el rango de,? e) Voler a hacer el apartado c por determinantes. 6. a) Hallar el alor de k para qe (1,, 1), (0,1,), ( 1,k,3) sean linealmente dependientes. (Solc: k-1) b) Obtener, en ese caso, na relación de dependencia entre, (Solc: ) 7. Considerar los ectores a) Raonar qe forman na base de V 3 b) Hallar las coordenadas de (7,0,3) c) Intentar dibjar la sitación anterior. a (3,1,0), b (1,4,0), c (0,5,3) 3 a b c en la base anterior. (Solc: + ) 8. Las coordenadas de dos értices consectios de n paralelogramo son A(1,0,0) B(0,1,0). Las coordenadas del centro M son M(0,0,1). Hallar las coordenadas de los értices C D. Dibjar la sitación. (Solc: C(0,-1,) D(-1,0,)) 9. (S) Dados los pntos A(,3,9) B(1,-,6), hallar tres pntos P, Q R qe diiden al segmento AB en catro partes igales. (Solc: P(7/4,7/4,33/4), Q(3/,1/,15/), R(5/4,-3/4,7/4)) Teto bajo licencia Cratie Commons: se permite s tiliación didáctica así como s reprodcción impresa o digital siempre cando se respete la mención de s atoría, sea sin ánimo de lcro. En otros casos se reqiere el permiso del ator (alfonsogonalope@ahoo.es)

PRODUCTO ESCALAR: 10. Dados A(1,,3) B(,1,4), se pide: a) Dibjar OA OB b) Hallar d(a,b) (Solc: 3 ) c) Hallar el ánglo entre OA OB (Solc: 1º 4' 14'') d) Hallar m tal qe (0,3,m) sea a OB (Solc: m-3/4) 11. Sean { i, j, k } los ectores de la base ortonormal canónica de V 3. Hallar: a) i b) i j c) i k d) j j e) j k f) k k (Solc: 1; 0; 0; 1; 0; 1) i 1. (S) Calclar los alores de e para qe el ector (,,1) sea ortogonal a los ectores (3,,0) (,1,-1) (Solc:, -3) 13. Considérese n triánglo eqilátero ABC de lado 6. Hallar AB AC, AB BC BC AC (Solc: 18, -18, 18) 14. Desarrollar las sigientes epresiones: a) ( - ) b) ( +3 ) ( + ) c) ( + ) ( - ) 15. Inentar tres ectores calesqiera,, comprobar qe se erifica la propiedad distribtia: ( + ) + 16. Demostrar qe el ector a ( b c ) d -( b d ) c es ortogonal al ector b 17. Sean dos ectores tales qe ( + ) 5 ( - ) 9. Calclar el prodcto escalar (Solc: 4) 18. Sean dos ectores tales qe 9 ( + ) ( - )17. Calclar el módlo del ector (Solc: 8) 19. Obtener tres ectores calesqiera a (3, 1,5 ) Cál es s epresión general? (Solc: (a,b,c) tal qe 3a-b+5c0) 0. Dados (3, 1,5 ) (3,0,3 ), se pide: a) Obtener n ector calqiera a ambos. (Solc: p. ej. (-1,,1)) b) Obtener n ector calqiera a ambos nitario. (Solc: (- 6/6, 6/3, 6/6); también ale el opesto) c) Obtener n ector calqiera a ambos de módlo 3 (Solc: (- 6/, 6, 6/); también ale el opesto) 1. Encontrar los ectores nitarios de IR 3 qe son perpendiclares a (1,0,1) forman n ánglo de 60º con 1, 1, (Solc: (1/, /,-1/) (-1/, /,1/)) Teto bajo licencia Cratie Commons: se permite s tiliación didáctica así como s reprodcción impresa o digital siempre cando se respete la mención de s atoría, sea sin ánimo de lcro. En otros casos se reqiere el permiso del ator (alfonsogonalope@ahoo.es)

PRODUCTO VECTORIAL:. Dados los pntos del ejercicio 10, hallar OA OB. Obtener también el ánglo entre OA OB por prodcto ectorial, comprobar qe se obtiene el mismo resltado qe por prodcto escalar. 3. Dados los ectores (, 1,1 ) (1,, 1), se pide: a) Ánglo qe forman. (Solc: 60º) Solc : 3,3, 3 b) Un ector perpendiclar a ambos. ( ) c) Hallar el alor de m para qe el ector (,m, 4) sea a 4. Inentar tres ectores calesqiera,, comprobar qe el prodcto ectorial: a) Verifica la propiedad anticonmtatia. b) No erifica la asociatia. c) Sí erifica la asociatia mita, la distribtia respecto a la sma. 5. Dibjar el triánglo de értices A(1,3,5), B(,7,8) C(5,1,-11) calclar s área. (Solc: 1118 ) 6. Comprobar analíticamente qe i j k, j k i, k i j. Qé consecencia tiene este hecho? Obtener también i j k, i j k, i i j e 7. Hacer de neo el ejercicio 0 por prodcto ectorial. i j k i 8. Hallar los dos ectores nitarios ortogonales a (,-,3) (3,-3,). (Solc: ( /, /,0) (- /,- /,0)) 9. (S) Considérese la figra sigiente: A(1,1,0) D B(-1,-1,-1) C(,,0) Se pide: a) Coordenadas de D para qe ABCD sea n paralelogramo. (Solc: D(4,4,1)) b) Área de este paralelogramo. (Solc: S ABCD ) 30. (S) Eplicar cómo pede hallarse el área de n triánglo a partir de las coordenadas de ss tres értices (en el espacio). Aplicarlo a A(1,0,1), B(-1,0,0), C(0,,3). (Solc: 3 5/ ) 31. Dados ( 1,,1 ) (1,1,0 ) a) Hallar a b para qe sean a (a,,b) (Solc: a-, b-6) b) Hallar el ánglo qe forman (Solc: 73º 13' 17'') c) Hallar n ector perpendiclar a a ( 1,1,0 ) nitario.(sol: (- 3/3,- 3/3, 3/3); también ale el opesto) 3. Considerar el triánglo de értices A(1,0,), B(,,) C(3,-1,) a) Hallar s área. (Solc: 5/ ) b) Hallar el ánglo correspondiente al értice A (Solc: 90º) Teto bajo licencia Cratie Commons: se permite s tiliación didáctica así como s reprodcción impresa o digital siempre cando se respete la mención de s atoría, sea sin ánimo de lcro. En otros casos se reqiere el permiso del ator (alfonsogonalope@ahoo.es)

33. a) Demostrar (por eqipolencia de ectores) qe los sigientes pntos forman n paralelogramo en el espacio: C (-1,3,-) D (-1,6,-7) A (0,-1,) B (0,,-3) b) Hallar el área del triánglo ABC (Solc: ( 98 ) PRODUCTO MIXTO: 34. Comprobar con los ectores (3,, 4), (,1, 3) la epresión analítica coinciden. (, 4,0) qe la definición del prodcto mito 35. Dibjar el tetraedro de értices A(,1,0), B(0,1,0), C(3,3,7) D(0,0,0) hallar s olmen. (Solc: 7/3 3 ) 36. Hallar el olmen del tetraedro cos értices son A(,1,4), B(1,0,), C(4,3,) D(1,5,6) (Solc: 5 3 ) 37. Dados los pntos A(1,-,0), B(-,4,4) C(3,-1,-1), se pide: a) Hallar n ector a AB AC (Solc: (,-1,3)) b) Hallar el ánglo qe forman los ectores AB AC (Solc: 10º 4' 7'') c) Hallar el área del triánglo determinado por los tres pntos anteriores. (Solc: 5 14 ) d) Hallar el olmen del tetraedro de értices los tres pntos anteriores el origen. (Solc: 10/3 3 ) 38. Dados (a,,3), (3,, a) (a,,1), se pide: a) Hallar a para qe sea a (Solc: a1) b) Hallar a para qe, sean coplanarios. (Solc: a-, a3) 39. Hallar [ i, j, k ] e interpretar gráficamente el resltado obtenido. (Solc: 1) 40. TEORÍA: a) Demostrar qe si, son linealmente independientes, también lo son los ectores +, + b) Jstificar qe calqier conjnto de ectores qe contenga el ector nlo es L.D. c) Pede haber dos ectores tales qe 3, 1,? d) Jstificar por qé el prodcto mito de los ectores a, b a + b es siempre nlo. e) Si, podemos conclir qe? Y si es f) Si, qé podemos conclir del ánglo qe forman? g) Sean a, b c tres ectores linealmente independientes. Indicar raonadamente cáles de los sigientes prodctos mitos alen cero:? + + + a c,a c,a b c a + c,b,a+ b a c,b c,c a Teto bajo licencia Cratie Commons: se permite s tiliación didáctica así como s reprodcción impresa o digital siempre cando se respete la mención de s atoría, sea sin ánimo de lcro. En otros casos se reqiere el permiso del ator (alfonsogonalope@ahoo.es)