Funciones de varias variables

Capítulo 2 Funciones de varias variables 1. Definiciones básicas En este texto consideraremos funciones f : A R m, A R n. Dichas funciones son comúnmente denominadas como funciones de varias variables, ya que cada coordenada de x A se puede ver como una variable independiente de f. De hecho escribimos, para x A, f(x) = f(x 1,x 2,...,x n ). Para cada x A, f(x) R m, y escribimos las coordenadas deeste vector como f i (x). Entonces f(x) = (f 1 (x),f 2 (x),...,f m (x)). Las funciones f i : A R son llamadas componentes de f. Recordemos que la imagen de f es el conjunto y la preimagen de B R m bajo f es f(a) = {f(x) R m : x A}, f 1 (B) = {x A : f(x) B}. Si f : A B, B R m, y g : B R p, entonces la composición g f : A R p está dada por g f(x) = g(f(x)). 25

26 2. Funciones de varias variables Si f : A R m es inyectiva, entonces existe f 1 : f(a) R n tal que f 1 (y) = x si y solo si f(x) = y. En tal caso, f 1 f : A A es la función identidad en A (x x), y f f 1 : f(a) f(a) es la identidad en f(a). También definiremos las proyecciones π i : R n R, las cuales están dadas por π i (x) = x i. Notemos que, para f : A R m, f i = π i f. Definición 2.1. Si x 0 es un punto de acumulación de A, decimos que f : A R m tiene límite en x 0 si existe L R m tal que, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que, si 0 < x x 0 < δ, entonces f(x 0 ) L < ε. De existir, el punto L es único (ejercicio 1) y es llamado el límite de f en x 0. Escribimos lím x x 0 f(x) = L, o simplemente lím x0 f = L. En la definición de límite notamos que x 0 no necesariamente está en A, y en tal caso f no está definida en x 0. De hecho, cuando f sí está definida en x 0, no necesariamente f(x 0 ) = L. La relación entre el límite de una función y el límite de una sucesión está dada por la siguiente proposición. Proposición 2.2. Sea f : A R m y x 0 un punto de acumulación de A. Entonces lím x x 0 f(x) = L si, y solo si, para toda sucesión (x k ) en A que converge a x 0 y x k x 0 para todo k, la sucesión (f(x k )) en R m converge a L. Dejamos su demostración como ejercicio (ejercicio 2). 2. Continuidad En esta sección estudiaremos las propiedades básicas de la funciones continuas de varias variables. Definición 2.3. Sea f : A R m. Decimos que f es continua en x 0 A si, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que, si x x 0 < δ, entonces f(x) f(x 0 ) < ε. La definición de continuidad es local; es decir, la propiedad de continuidad se verifica en cada punto. Si una función f : A R m es continua en cada punto x A de su dominio, simplemente diremos que es continua. De manera similar, diremos que f es continua en B si es continua en cada punto x B A.

2. Continuidad 27 Ejemplo 2.4 (Constantes). Sea c R m, y f : A R m dada por f(x) = c para toda x A. Entonces f es continua. Ejemplo 2.5 (Identidad). La función identidad f : R n R n, dada por f(x) = x, también es continua. Ejemplo 2.6 (Proyecciones). Las proyecciones π i : R n R son continuas: Sea x R n y ε > 0. Si δ = ε y x x 0 < δ, entonces π i (x) π i (x 0 ) = x i x i 0 x x 0 < ε. De hecho, el ejemplo anterior implica que una función f es continua si, y solo si, cada una de sus componentes es continua (ejercicio 3.) Ejemplo 2.7 (Operaciones vectoriales). Las operaciones vectoriales suma (x,y) x+y y multiplicación escalar (λ,x) λx también son continuas. Dejamos al lector su demostración como ejercicio (ejercicios 5 y 6). Similarmente, la multiplicación (x, y) xy de dos números reales es una función continua (ejercicio 7). La composición de dos funciones continuas es continua. Proposición 2.8. Sean f : A B, B R m, g : B R p, f continua en x 0 A y g continua en f(x 0 ), entonces g f : A R p es continua en x 0. Demostración. Sea ε > 0, y sea η > 0 tal que, si y f(x 0 ) < η, entonces g(y) g(f(x 0 )) < ε. Tal η existe porque g es continua en f(x 0 ). Ahora bien, por la continuidad de f en x 0, existe δ > 0 tal que, si x x 0 < δ, entonces f(x) f(x 0 ) < η. Por lo tanto, si x x 0 < δ, entonces f(x) f(x 0 ) < η y g f(x) g f(x 0 ) = g(f(x)) g(f(x 0 )) < ε. Así que g f es continua en x 0. Esta proposición y los ejemplos anteriores implican el siguiente resultado, cuya demostración de deja como ejercicio al lector (ejercicio 9). Proposición 2.9. Sean f,g : A R m continuas en x 0 A. Entonces 1. f +g es continua en x 0. 2. λf +µg es continua en x 0, λ,µ R. 3. fg es continua en x 0. 4. Si m = 1 y g(x 0 ) 0, entonces f/g está definida en un abierto alrededor de x 0 y es continua en x 0. La relación entre continuidad y sucesiones es muy importante, y está dada por la siguiente proposición.

28 2. Funciones de varias variables Proposición 2.10. Sea f : A R m y x 0 A. Entonces f es continua en x 0 si, y solo si, para toda sucesión (x k ) en A que converge a x 0, f(x k ) f(x 0 ). Demostración. Suponemos primero que f es continua en x 0. Sea entonces x k x 0 en A y ε > 0 dado. Como f es continua en x 0, existe δ > 0 tal que x x 0 < δ implica que f(x) f(x 0 ) < ε. Como x k x 0, entonces existe N tal que para k N, x k x 0 < δ. Entonces, para k N, f(x k ) f(x 0 ) < ε. De manera inversa, suponemos que f no es continua en x 0. Entonces existe ε 0 > 0 tal que, para todo δ > 0, existe x A tal que x x 0 < δ y f(x) f(x 0 ) ε 0. Entonces, para cada k 1, podemos escoger x k A tal que x k x 0 < 1 k y f(x k ) f(x 0 ) ε 0. Tal sucesión (x k ) satisface que x k x 0 y f(x k ) f(x 0 ). La proposición 2.10, junto con la proposición 2.2, implica la relación entre continuidad en un punto de acumulación y el límite de una función (ejercicio 11). Los resultados anteriores se refieren a la continuidad de una función de manera local (en un punto). La siguiente proposición, sin embargo, analiza la continuidad global de una función, es decir, en todo su dominio. Proposición 2.11. f : A R m es continua si, y solo si, para todo abierto V R m existe un abierto U R n tal que f 1 (V) = U A. Demostración. Supongamos que f es continua y sea V R m abierto. Tomamos x f 1 (V). Como V es abierto, existe ε > 0 tal que B 0 ε(f(x)) V. Como f es continua en x, existe δ x > 0 tal que, si x y < δ x, entonces f(x) f(y) < ε, es decir f(y) B 0 ε(f(x)). Entonces f ( B 0 δ x (x) A ) B 0 ε(f(x)) V, así que Bδ 0 x (x) A f 1 (V). Tomamos entonces U = Bδ 0 x (x). U es abierto y f 1 (V) = U A. x f 1 (V) Supongamos ahora que para todo abierto V R m existe un abierto U R n tal que f 1 (V) = U A. Sea x A y ε > 0, y tomamos V = B 0 ε (f(x)).

3. Funciones lineales 29 Entonces existe un abierto U R n tal que U A = f 1 (V). Como x U, existe δ > 0 tal que Bδ 0 (x) U. Esto implica que es decir B 0 δ (x) A f 1 (V), f(b 0 δ (x) A) B0 ε(f(x)). Esto significa que si x y < δ, entonces f(x) f(y) < ε, por lo que entonces f es continua en x. La proposición anterior nos da un criterio muy cómodo de continuidad, y además muy útil para entender las propiedades topológicas de las funciones continuas. Proposición 2.12. Si A es compacto y f : A R n es continua, entonces f(a) es compacto. Demostración. Sea{V α }unacubiertadef(a). Comof es continua, porla proposición2.11, paracada α existe unabierto U α tal queu α A = f 1 (V α ). Entonces {U α } es una cubierta de A y, como A es compacto, tiene una subcubierta finita, digamos {U α1,u α2,...,u αk }. Como A U α1 U α2... U αk, f(a) V α1 V α2... V αk. Así que {V α1,v α2,...,v αk } es una cubierta finita de {V α } para f(a). Por lo tanto, f(a) es compacto. 3. Funciones lineales Definición 2.13. Sea f : R n R m. Decimos que f es lineal si, para x,y R n, λ R, f(x+y) = f(x)+f(y) y f(λx) = λf(x). En esta sección repasaremos las propiedades básicas de las funciones lineales. Primero, debemos observar que f(0) = 0 y, para cualquier combinación lineal, (2.1) f(α 1 x 1 +α 2 x 2 +...+α k x k ) = α 1 f(x 1 )+α 2 f(x 2 )+...+α k f(x k ). De la ecuación (2.1) podemos concluir que, para x = (x 1,...,x n ), f(x) = x 1 f(e 1 )+x 2 f(e 2 )+...+x n f(e n ), por lo que los valores f(e 1 ),f(e 2 ),...,f(e n ) definen la función f en todo R n.

30 2. Funciones de varias variables Engeneral, siu 1,u 2,...,u n formanunabaseder n,entonces losvectores f(u 1 ),...,f(u n ) definen f en R n, ya que f(x) = f(a 1 u 1 +...+a n u n ) = a 1 f(u 1 )+...+a n f(u n ). Si escribimos f(e j ) = (a 1 j,a2 j,...,am j ), entonces f i (x) = a i 1x 1 +a i 2x 2 +...+a i nx n, así que f está determinada por la multiplicación matricial f 1 (x) a 1 f 2 1 a 1 2... a 1 n x 1 (x) (2.2). = a 2 1 a 2 2... a 2 n x 2........ f m (x) a m 1 a m 2... a m n x n La expresión (2.2) nos permite concluir el siguiente resultado. Proposición 2.14. Si f : R n R m es lineal, entonces existe M > 0 tal que f(x) M x para todo x R n. Demostración. Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, f i (x) = (a i 1,a i 2,...,a i n) (x 1,x 2,...,x n ) M i x, donde M i = (a i 1,ai 2,...,ai n). Entonces f(x) = (f 1 (x)) 2 +...+(f m (x)) 2 (M 1 x ) 2 +...+(M m x ) 2 = M1 2 +...+M2 m x, por lo que la proposición es cierta con M = M 2 1 +...+M2 m. Esta proposición nos permite ahora garantizar la continuidad de las funciones lineales: Si f : R n R m es lineal y x R n, para cada ε > 0 dado, tomamos δ = ε/m, donde M es la constante de la proposición (2.14). Entonces, si x y < δ, f(x) f(y) = f(x y) M x y < M ε M = ε. Una función f : A R m tal que existe M > 0 que satisface f(x) f(y) M x y es llamada una función de Lipschitz, y el ínfimo de tales M es llamada la constante de Lipschitz de f. Por el párrafo anterior vemos que toda función de Lipschitz es continua. De hecho, podemos decir más, lo cual discutiremos en la siguiente sección.

4. Continuidad uniforme 31 4. Continuidad uniforme Definición 2.15. Decimos que la función f : A R p es uniformemente continua si, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que x y < δ implica f(x) f(y) < ε, para todo x,y A. La diferencia entre una función continua y una función uniformemente continua es que, en el segundo caso, para cada ε > 0 podemos encontrar el δ > 0 de la definición de continuidad independiente del punto donde queremos verificar continuidad. Es decir, cuando una función es continua, garantizamos que existe un δ > 0, que satisface la definición, para cada ε y para cada x A, o sea, tal número δ depende de x. De los comentarios finales de la sección anterior vemos que las funciones lineales son uniformemente continuas. En general, las funciones de Lipschitz son uniformemente continuas. Los detalles los dejamos al lector (ejercicio 12). Ejemplo 2.16. Consideremos la función f : (0, ) R dada por f(x) = 1/x. Esta función es continua por la proposición 2.9. Sin embargo, no es uniformemente continua: Para cualquier δ > 0, si δ 1, tomamos x = 1 y y = 1/2, entonces x y < δ y f(x) f(y) = 1; mientras que, si δ < 1, si x = δ y y = δ/2, entonces x y < δ y f(x) f(y) = 1 2δ > 1. En el ejemplo anterior, f no es acotada en ninguna vecindad de 0. De hecho, una función uniformemente continua en A tiene límite en cualquier punto de acumulación de A. Teorema 2.17. Sea f : A R m uniformemente continua y x 0 un punto de acumulación de A. Entonces f tiene límite en A. Demostración. Sea (x k ) una sucesión en A que converge a x 0. 1 Mostraremos que la sucesión (f(x k )) es de Cauchy, y por lo tanto converge en R m. Sea ε > 0. Como f es uniformemente continua, existe δ > 0 tal que, si x y < δ, entonces f(x) f(y) < ε. Como (x k ) converge, entonces es una sucesión de Cauchy en R n y existe N tal que, para k,l N, x k x l < δ. Entonces, para k,l N, f(x k ) f(x l ) < ε, y por lo tanto (f(x k )) es una sucesión de Cauchy. Entonces converge, digamos, a L R m. Mostraremos que lím f(x 0 ) = L. x x 0 1 No haremos explícita la condición xk x 0, ya que, en caso de que x 0 A, f de hecho tiene límite en x 0 y lím x0 f = f(x 0 ), por la continuidad de f.

32 2. Funciones de varias variables Sea ε < 0 dado, y sea δ > 0 tal que f(x) f(y) < ε 2 para todo x y < δ. Ahora bien, fijamos K tal que, para k K, x k x 0 < δ 2 y f(x k ) L < δ 2, donde (x k ) es la sucesión anterior. Entonces, si x x 0 < δ/2, x x K x x 0 + x 0 x K < δ 2 + δ 2 = δ, y luego f(x) f(x K ) < ε/2. Por lo tanto, si 0 < x x 0 < δ/2, tenemos f(x) L < f(x) f(x K ) + f(x K ) L < ε 2 + ε 2 = ε. El ejemplo 2.16, junto con la proposición 2.17, muestran que una función continua, en general, no es uniformemente continua. Sin embargo, el siguiente teorema establece cuándo podemos garantizar continuidad uniforme. Teorema 2.18. Si f : A R m es continua y A es compacto, entonces f es uniformemente continua. Demostración. Sea ε < 0 dado. Para cada x A, sea δ x > 0 tal que y x < δ x implica que f(y) f(x) < ε/2. La colección de bolas {Bδ 0 x/2 (x) : x A} es una cubierta de A. Como A es compacto, existen x 1,...,x k tales que A B 0 δ x1 /2 (x 1)... B 0 δ xk /2 (x k). Mostraremos que δ = 1 2 mín{δ x 1,...,δ xk } satisface la definición de continuidaduniforme.seanx,y Atales que x y < δ.seaitalquex B 0 δ xi /2 (x i). Entonces f(x) f(x i ) < ε/2. Ahora bien, y x i y x + x x i < δ + δ x i 2 δ x i 2 + δ x i 2 = δ x i, y luego f(y) f(x i ) < ε/2. Entonces f(x) f(y) f(x) f(x i ) + f(x i ) f(y) < ε 2 + ε 2 = ε. El teorema 2.18 será muy importante más adelante, cuando estudiemos la integral de Riemann en R n. En particular, este teorema garantiza que una función continua definida en un rectángulo cerrado es uniformemente continua.

5. Oscilación 33 5. Oscilación En esta sección estudiamos la oscilación de una función en un punto, la cual mide, de manera precisa, qué tan discontinua es una función. Esta idea será de utilidad, al igual que continuidad uniforme, en nuestro estudio de la integral de Riemann. Sea A R n y f : A R acotada. Definimos, para x 0 A y δ > 0, Observemos que, si η < δ, por lo que M(f,x 0,δ) = sup{f(x) : x A, x x 0 < δ}, m(f,x 0,δ) = ínf{f(x) : x A, x x 0 < δ}. M(f,x 0,η) M(f,x 0,δ) y m(f,x 0,η) m(f,x 0,δ), (2.3) M(f,x 0,η) m(f,x 0,η) M(f,x 0,δ) m(f,x 0,δ), y entonces la función δ M(f,x 0,δ) m(f,x 0,δ) es decreciente. Definición 2.19. Sea A R n y f : A R una función acotada. La oscilación de f en x 0 A está definida por el límite (2.4) O(f,x 0 ) = lím δ 0 ( M(f,x0,δ) m(f,x 0,δ) ). Por la observación anterior, este límite (2.4) siempre existe y es igual a ( M(f,x0,δ) m(f,x 0,δ) ). ínf δ>0 Ejemplo 2.20. Consideremos la función f : [0,1] R dada por 0 si x = 0 f(x) = ( 1 sen si x > 0. x) (Figura 1.) Entonces, para cualquier δ > 0, 1 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5-1 Figura 1. La función sen(1/x), x > 0, f(0) = 0. Notamos que O(f,0) = 2.

34 2. Funciones de varias variables por lo que O(f,0) = 2. En general M(f,0,δ) = 1 y m(f,0,δ) = 1, O(f,x) = { 0 x > 0 2 x = 0. Ejemplo 2.21 (Función de Dirichlet). Consideremos ahora f : [0, 1] R dada por { 1 x Q f(x) = 0 x / Q. Para cualquier x [0,1] y δ > 0, M(f,x,δ) = 1 y m(f,x,δ) = 0, por lo que O(f,x) = 1 para todo x [0,1]. Ejemplo 2.22 (Función de Dirichlet modificada). Sea f : [0,1] R dada por { 1 q x = p q f(x) =,mcd(p,q) = 1 0 x / Q. No es muy difícil ver que O(f,x) = f(x) (ejercicio 15). En los ejemplos anteriores podemos observar que la oscilación es igual a 0 en los puntos donde cada función es continua. Esto, en general, es cierto. Proposición 2.23. Sea f : A R acotada y x A. Entonces f es continua en x si, y solo si, O(f,x) = 0. Demostración. Supongamos que f continua en x, y sea ε > 0. Entonces existe δ > 0 tal que, si x y < δ, entonces f(x) f(y) < ε/2. Para x y < δ, así que f(x) ε 2 < f(y) < f(x)+ ε 2, M(f,x,δ) f(x)+ε/2 m(f,x,δ) f(x) ε/2. y por lo tanto O(f,x) ε. Como ε es arbitrario, O(f,x) = 0. La inversa se deja como ejercicio (ejercicio 16). Más adelante estudiaremos la oscilación de una función con más detalle.

Ejercicios 35 Ejercicios 1. Si f : A R m tiene límites L y M en x 0, entonces L = M. 2. Demuestra la proposición 2.2. 3. Demuestra que la función f : A R m es continua en x A si y sólo si cada una de sus componentes f i : A R es continua en x. 4. Considera la función en R 2 definida por xy f(x,y) = x 2 +y 2 (x,y) (0,0) 0 (x,y) = (0,0). Muestraque,aunquecadaunadelasfuncionesx f(x,0)yy f(0,y) son continuas en R, la función f no es continua en (0,0). 5. Demuestra que la función + : R n R n R n dada por +(x,y) = x+y es continua. Es decir, la suma de vectores en R n es continua. 6. Demuestra que la función : R R n R dada por (λ,x) = λx es continua. Es decir, multiplicación escalar es continua. 7. Muestra que la función mult : R 2 R dada por mult(x 1,x 2 ) = x 1 x 2 es continua. 8. Sea f : A R m continua en x 0 A tal que f(x 0 ) 0. Entonces existe α > 0 y un conjunto abierto U R n tal que 0 U y f(x) > α para todo x U A. 9. Utiliza los problemas anteriores para demostrar la proposición 2.9. 10. Sea f : A R m continua. Muestra que la función f : A R m dada por f (x) = f(x) es continua. 11. Sea f : A R m y x 0 un punto de acumulación de A. Muestra que f es continua en x 0 si, y solo si, lím x0 f = f(x 0 ). 12. Muestra que una función de Lipschitz es uniformemente continua. 13. Sea E R n compacto y f : E R m continua. Muestra que existen x 1,...,x n y y 1,...,y n en E tales que f i (x i ) = máx{f i (x) : x E} y f i (y i ) = mín{f i (x) : x E}. Esdecir,cadaunadelascomponentesdef tomasumáximoysumínimo en E.

36 2. Funciones de varias variables 14. Similarmente al problema anterior, muestra que si E R n es compacto y f : E R m es continua, entonces existen x,x E tales que f(x ) = máx{ f(x) : x E} y f(x ) = mín{ f(x) : x E}. 15. Muestra que la oscilación O(f,x) en cada punto de la función 1 x = p f(x) = q q,mcd(p,q) = 1 0 x / Q, satisface O(f,x) = f(x). 16. Demuestra la inversa de la proposición 2.23.