ADVERTIMENT. L'accé al cntingut d'aqueta tei dctral i la eva utilització ha de repectar el dret de la perna autra. Pt er utilitzada per a cnulta etudi pernal, així cm en activitat material d'invetigació i dcència en el terme etablert a l'art. 3 del Text Refó de la Llei de Prpietat Intel lectual (RDL /996). Per altre utilitzacin e requereix l'autrització prèvia i exprea de la perna autra. En qualevl ca, en la utilització del eu cntingut caldrà indicar de frma clara el nm i cgnm de la perna autra i el títl de la tei dctral. N 'autritza la eva reprducció altre frme d'expltació efectuade amb finalitat de lucre ni la eva cmunicació pública de d'un llc aliè al ervei TDX. Tampc 'autritza la preentació del eu cntingut en una finetra marc aliè a TDX (framing). Aqueta reerva de dret afecta tant al cntingut de la tei cm al eu reum i índex. ADVERTENCIA. El acce a l cntenid de eta tei dctral y u utilización debe repetar l derech de la perna autra. Puede er utilizada para cnulta etudi pernal, aí cm en actividade materiale de invetigación y dcencia en l términ etablecid en el art. 3 del Text Refundid de la Ley de Prpiedad Intelectual (RDL /996). Para tr u e requiere la autrización previa y exprea de la perna autra. En cualquier ca, en la utilización de u cntenid e deberá indicar de frma clara el nmbre y apellid de la perna autra y el títul de la tei dctral. N e autriza u reprducción u tra frma de expltación efectuada cn fine lucrativ ni u cmunicación pública dede un iti ajen al ervici TDR. Tampc e autriza la preentación de u cntenid en una ventana marc ajen a TDR (framing). Eta reerva de derech afecta tant al cntenid de la tei cm a u reúmene e índice. WARNING. Acce t the cntent f thi dctral thei and it ue mut repect the right f the authr. It can be ued fr reference r private tudy, a well a reearch and learning activitie r material in the term etablihed by the 3nd article f the Spanih Cnlidated Cpyright Act (RDL /996). Expre and previu authrizatin f the authr i required fr any ther ue. In any cae, when uing it cntent, full name f the authr and title f the thei mut be clearly indicated. Reprductin r ther frm f fr prfit ue r public cmmunicatin frm utide TDX ervice i nt allwed. Preentatin f it cntent in a windw r frame external t TDX (framing) i nt authrized either. Thee right affect bth the cntent f the thei and it abtract and indexe.
OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO DE CONVERTIDORES DE POTENCIA CC-CC TESIS DOCTORAL Departament d Enginyeria Electrònica, Elèctrica i Autmàtica
OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO DE CONVERTIDORES DE POTENCIA CC-CC TESIS DOCTORAL Dirigida pr: Ramn Leyva y Pedr Garcé Departament d Enginyeria Electrònica, Elèctrica i Autmàtica. TARRAGONA 05
OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO DE CONVERTIDORES DE POTENCIA CC-CC pr: Departament d Enginyeria Electrònica, Elèctrica i Autmàtica Univeritat Rvira i Virgili Tarragna, 05 RESUMEN La electrónica ha experimentad una gran evlución en la última década. El númer de dipitiv y aplicacine electrónica ha aumentad expnencialmente hata cnvertire en element indipenable en nuetra vida ctidiana. Cncretamente, en el camp de la electrónica de ptencia, l cnvertidre cnmutad CC-CC, ampliamente utilizad en l itema de alimentación de equip electrónic, requieren de una eficiencia elevada. Ejempl de ell n l equip electrónic prtátile, que requieren de una autnmía determinada; cuant mejr ea u eficiencia, má e incrementará u autnmía y la vida útil de u batería. La eficiencia de et cnvertidre e ecgida delimitada en el prce de dieñ de l mim. Aí, la tei e preenta un nuev métd para el dieñ de cnvertidre CC-CC que ptimiza una función bjetiv n lineal cn retriccine n lineale. En el métd, la variable de dieñ n hallada a partir de un prgrama de ptimización que n precia de cncimient previ para encntrar, cn eguridad, el cnvertidr óptim.
El mdel dearrllad abrda, en la mayría de l ca, un prblema que cnite en el dieñ óptim de mínima pérdida, e decir, máxima eficiencia. Sin embarg, también e preenta, a md de ejempl, el dieñ óptim de cnvertidre maximizand el anch de banda. Se pretende mtrar aí la facilidad cn que puede er mdificad el prgrama de dieñ, tant a nivel de retriccine cm de función bjetiv. El prblema ha id mdelad cm un prgrama de Prgramación Gemétrica para aprvechar la ventaja que frece la ptimización cnvexa. V
ÍNDICE GENERAL ÍNDICE GENERAL: CAPÍTULO : INTRODUCCIÓN.... DISEÑO DE CONVERTIDORES CONMUTADOS CC-CC... 6. ESTADO DEL ARTE DE LA OPTIMIZACIÓN EN ELECTRÓNICA DE POTENCIA... 5.3 PROGRAMACIÓN GEOMÉTRICA....4 OBJETIVOS DE LA TESIS... 4 CAPÍTULO : CONCEPTOS PRELIMINARES... 6. OPTIMIZACIÓN NO LINEAL... 7. PROGRAMACIÓN CONVEXA... 8.. Intrducción... 8.. Cnjunt cnvex y Función cnvexa... 3.3 PROGRAMACIÓN GEOMÉTRICA... 33.3. Funcine mnmiale y pinmiale... 34.3. Prgrama gemétric... 35.3.3 Tranfrmacine de un PG... 39.3.4 Algritm y ftware... 44 CAPÍTULO 3: APLICACIÓN DE LA PG A LOS CONVERTIDORES BÁSICOS... 45 3. CONVERTIDORES BUCK Y BUCK SÍNCRONO... 46 3.. Magnitude de dieñ de l cnvertidre buck... 46 3.. Frmulación e ilutración del prcedimient prpuet. Ca buck y buck íncrn... 6 3. CONVERTIDOR BOOST... 75 3.. Magnitude de dieñ del cnvertidr bt... 75 VI
ÍNDICE GENERAL 3.. Frmulación e ilutración del prcedimient prpuet. Ca bt... 80 3.3 CONVERTIDOR BUCK-BOOST... 90 3.3. Magnitude de dieñ del cnvertidr buck-bt... 90 3.3. Frmulación e ilutración del prcedimient prpuet. Ca buck-bt... 95 3.4 CONCLUSIONES SOBRE EL DISEÑO ÓPTIMO DE CONVERTIDORES BÁSICOS... 05 CAPÍTULO 4: APLICACIÓN DE LA PG A LOS CONVERTIDORES EN CASCADA... 08 4. CONVERTIDOR DOBLE-BUCK Y DOBLE-BUCK SÍNCRONO... 09 4.. Magnitude de dieñ de l cnvertidre dble-buck... 0 4.. Frmulación e ilutración del prcedimient prpuet. Ca dble-buck y dble-buck íncrn... 7 4. CONVERTIDOR DOBLE-BOOST... 36 4.. Magnitude de dieñ del cnvertidr dble-bt... 36 4.. Frmulación e ilutración del prcedimient prpuet. Ca dble-bt... 4 4.3 CONCLUSIONES SOBRE EL DISEÑO ÓPTIMO DE CONVERTIDORES EN CASCADA... 5 CAPÍTULO 5: CONCLUSIONES... 54 5. APORTACIONES DE LA TESIS... 54 5. FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN... 56 REFERENCIAS... 58 VII
ÍNDICE DE FIGURAS ÍNDICE DE FIGURAS: Figura. Cnum de energía mundial Figura. Prttip de etiqueta energética 3 Figura.3 Dipitiv electrónic cmúnmente utilizad 4 Figura.4 Pblación mundial veru númer de ucripcine de teléfn móvile 5 Figura.5 Equema báic de un cnvertidr CC-CC 6 Figura.6 Eficiencia repect frecuencia de cnmutación 9 Figura.7 Equema del dieñ actual de un cnvertidr 0 Figura.8 Equema del dieñ prpuet de un cnvertidr 3 Figura.. a) Métd Simplex, b) Un métd de punt interir 9 Figura.. a) Cnjunt cnvex, b) Cnjunt n cnvex. 3 Figura.3 Función cnvexa 3 Figura 3.Cnvertidr buck 47 Figura 3. a) Frma de nda de la tranición a OFF. b) Frma de nda de la tranición a ON. 50 Figura 3.3 Frma de nda de la tranición a ON del tranitr QLA. 5 Figura 3.4 Frma de nda de l tranitre Q LA y Q LB 55 Figura 3.5 Eficiencia repect variacine de valre de inductancia alrededr de L* a) buck b) buck íncrn. 7 Figura 3.6 Eficiencia repect variacine de valre de capacitancia alrededr de C* a) buck b) buck íncrn. 7 Figura 3.7 Eficiencia repect variacine de valre de frecuencia de cnmutación alrededr de f* a) buck. b) buck íncrn. 74 VIII
ÍNDICE DE FIGURAS Figura 3.8 Cnvertidr bt 76 Figura 3.9 Frma de nda de la crriente en el cndenadr i c 78 Figura 3.0 Eficiencia repect variacine de valre de inductancia alrededr de L*.87 Figura 3. Eficiencia repect variacine de valre de capacitancia alrededr de C*.88 Figura 3. Eficiencia repect variacine de valre de frecuencia de cnmutación alrededr de f *. 89 Figura 3.3 Cnvertidr buck-bt 9 Figura 3.4 Eficiencia repect variacine de valre de capacitancia alrededr de L*. 0 Figura 3.5 Eficiencia repect variacine de valre de capacitancia alrededr de C*. 03 Figura 3.6 Eficiencia repect variacine de valre de frecuencia de cnmutación alrededr de f * 04 Figura 4. a) Cnvertidr dble-buck cn cnmutación cn did, b) Cnvertidr dble-buck cn cnmutación íncrna 0 Figura 4. Eficiencia repect variacine de valre de inductancia alrededr de L *. a) dble buck, b) dble buck íncrn. 8 Figura 4.3 Eficiencia repect variacine de valre de inductancia alrededr de L *. a) dble buck, b) dble buck íncrn. 9 Figura 4.4 Eficiencia repect variacine de valre del cndenadr alrededr de C *. a) dble buck, b) dble buck íncrn. 3 Figura 4.5 Eficiencia repect variacine de valre del cndenadr alrededr de C *. a) dble buck, b) dble buck íncrn 3 Figura 4.6 Eficiencia repect variacine de valre de frecuencia de cnmutación alrededr de f *. a) dble buck, b) dble buck íncrn. 33 Figura 4.7 Eficiencia repect variacine de valre del cicl de trabaj alrededr de d *. a) dble buck, b) dble buck íncrn. 34 IX
ÍNDICE DE FIGURAS Figura 4.8 Cnvertidr dble-bt 36 Figura 4.9 Eficiencia repect variacine de valre de inductancia alrededr de L *. 48 Figura 4.0 Eficiencia repect variacine de valre de inductancia alrededr de L *. 49 Figura 4. Eficiencia repect variacine de valre del cndenadr alrededr de C *. 49 Figura 4. Eficiencia repect variacine de valre del cndenadr alrededr de C *. 50 Figura 4.3 Eficiencia repect variacine de valre de frecuencia de cnmutación alrededr de f * 5 Figura 4.4 Eficiencia repect variacine de valre del cicl de trabaj alrededr de d *. 5 X
ÍNDICE DE TABLAS ÍNDICE DE TABLAS: Tabla. Caracterítica generale de l métd de dieñ de cnvertidre reprtad. 0 Tabla 3. Magnitude de l ca cntemplad en el ejempl ilutrativ. 64 Tabla 3. Parámetr del MOSFET del ejempl ilutrativ. 64 Tabla 3.3 Retriccine y límite impuet bre la variable de dieñ. 64 Tabla 3.4 Reultad btenid para el prgrama gemétric (3.3). Ca buck. 66 Tabla 3.5 Reultad btenid para el prgrama gemétric (3.3). Cnvertidr buck-íncrn. 67 Tabla 3.6 Reultad btenid para el prgrama gemétric (3.3). 69 Tabla 3.7 Valre de ejempl para el dieñ del cnvertidr bt. 8 Tabla 3.9 Reultad btenid para el prgrama gemétric (3.47). 84 Tabla 3.0 Reultad btenid para el prgrama gemétric (3.48). 85 Tabla 3. Valre de ejempl para el dieñ del cnvertidr buck-bt. 97 Tabla 3. Límite de la variable para el ejempl de dieñ del cnvertidr buck-bt. 98 Tabla 3.3 Reultad btenid para el prgrama gemétric (3.63). 99 Tabla 3.4. Reultad btenid para el prgrama gemétric (3.64). 00 Tabla 4. Valre de ejempl para el dieñ del cnvertidr dble-buck. 0 Tabla 4. Límite de la variable para el ejempl de dieñ del cnvertidr dble-buck 0 Tabla 4.3 Reultad btenid a partir del prgrama (4.6). Ca dble-buck. Tabla 4.4 Reultad btenid a partir del prgrama (4.6). Ca dble-buck íncrn. 4 Tabla 4.5 Reultad btenid a partir del prgrama (4.7). Ca dble- buck íncrn 6 Tabla 4.6 Valre de ejempl para el dieñ del cnvertidr dble-bt 44 Tabla 4.7 Límite de la variable para el ejempl de dieñ del cnvertidr dble-bt 44 XI
ÍNDICE DE TABLAS Tabla 4.8 Reultad btenid para el prgrama gemétric (4.3). Ca dble-bt 46 Tabla 4.9 Reultad btenid para el prgrama gemétric (4.33).Ca dble-bt. 47 XII
CAPÍTULO INTRODUCCIÓN Vari infrme, bre la tendencia mundial del cnum de energía, prevén un cniderable aument de la neceidade energética durante el primer terci del igl XXI [.]. Según la Agencia Internacinal de la Energía (AIE), que publica td l añ u Wrld Energy Outlk, (dnde e analiza la evlución eperada del cnum de energía a nivel mundial) la demanda de energía crecerá a un ritm del,6% anual hata 030. Algun dat energétic relevante pueden viualizare en la gráfica de la figura.; a nivel mundial e cnume en 6 emana tant petróle cm el que e cnumía en el añ 950; en 00, la generación de electricidad erá el dble que actualmente. En et análii, [.], e muetra que el cnum creciente de energía debe hacer frente a ret muy imprtante: pr una parte la ecaez de recur energétic y l elevad preci de l mim y, pr tra, el efect que u u tiene bre el mediambiente. Una lución para reducir el cnum de energía fóile ería la generación de energía eléctrica a partir de energía renvable, tra, la eficiencia energética.
.-INTRODUCCIÓN Figura. Cnum de energía mundial. N cabe duda que l paíe indutrializad etán haciend un efuerz imprtante en el camp de la energía renvable. De hech, egún la pryeccine de la Adminitración de Infrmación de la Energía de l Etad Unid (EIA), [.], e etima que el pe de la energía renvable en l paíe de la OCDE (Organización para la Cperación y el Dearrll Ecnómic) aumentará 0 punt en l próxim añ y e ituará en el 6% del ttal de la energía eléctrica prducida. Sin embarg, egún la previine de la EIA, eta energía ól aprtarán un 7% de la demanda energética mundial. Pr cniguiente, para reducir el cnum de energía y la emiión de GEI (gae de efect invernader) ería intereante, ademá del u de energía renvable, centrar efuerz en mejrar la eficiencia energética. En l últim añ, han urgid dede ditint ámbit (adminitracine pública, rganizacine in ánim de lucr, etc.) iniciativa cn el bjetiv de reducir la emiine de CO, reduciend el cnum eléctric. Ejempl de eta iniciativa n: Climate Saver Cmputing y Alliance t Save Energy [.3-.4]. Eta rganizacine intentan, tant cncienciar al uuari prmviend el ahrr energétic, cm incentivar la cmpra de
.-INTRODUCCIÓN equip má eficiente. La iniciativa n ól cmprmeten a l participante crprativ a cmprar prduct energéticamente eficiente, in que también bligan a l fabricante, de equip y cmpnente, a prducir dipitiv que cumplan cn una epecificacine energética regulada. Exiten múltiple ejempl de eta práctica; un buen ejempl de eta práctica e el u del etiquetaje energétic. Dede abril de 0, e bligatri el etiquetaje energétic de td l electrdmétic y material de cmunicación vendid en la Unión Eurpea. Dicha etiqueta permite al cnumidr cncer de frma rápida la eficiencia energética de un electrdmétic. Figura. Prttip de etiqueta energética. La etiqueta, figura., tienen una parte cmún que hace referencia a la marca, denminación del aparat y clae de eficiencia energética; y tra parte que varía de un electrdmétic a tr y que hace referencia a tra caracterítica, egún u funcinalidad: 3
.-INTRODUCCIÓN pr ejempl, la capacidad de cngelación para frigrífic el cnum de agua para lavadra. Actualmente, pr l cmentad hata el mment, tant para l fabricante, cóm para l cnumidre e de epecial interé fabricar y emplear equip cmpnente cn una elevada eficiencia. Para dearrllar equip cmpnente de alta eficiencia e neceari cniderar eta epecificación en el dieñ. Exiten equip que pr u gran cnum energétic e bvi que requieren de la minimización de u pérdida. En cambi, exiten dipitiv, que, a pear de u reducid cnum, u u etá tan extendid que elevar u eficiencia upndría un imprtante ahrr energétic. Much de et cmpnente, de u tan extendid, n, ademá, dipitiv prtátile. Pr tant, elevar u eficiencia upndría, también, mejrar u autnmía. La figura.3 muetra tre dipitiv electrónic de l que dipne, prácticamente, cada individu de un paí dearrllad. Figura.3 Dipitiv electrónic cmúnmente utilizad. 4
.-INTRODUCCIÓN Exactamente, egún el infrme realizad pr la ITU (Unión Internacinal de Telecmunicacine), agencia de la ONU, en 03 exitían 6.800 millne de dipitiv móvile en el mund, ét repartid entre 7.00 millne de perna. Tal y cm puede vere en la gráfica de la figura.4, el añ 005 había.00 millne de línea móvile activa para 6.500 millne de perna. La diferencia e de lej ntria y repalda la idea que aegura que, para finale de ete 04, en la Tierra habrá una mayr cantidad de dipitiv móvile que perna. Figura.4 Pblación mundial veru númer de ucripcine de teléfn móvile. A partir de l dat prprcinad bre el u de dipitiv móvile, figura.4, y bre el u, en general, de l dipitiv de la figura.3; e hace má evidente, tdavía, el benefici de mejrar tant la eficiencia, cm la autnmía de et equip. Un de l element preente, entre tr much equip, en l dipitiv de la figura.3 n l cnvertidre de ptencia CC-CC. El bjetiv de eta tei e garantizar un dieñ de cnvertidre de ptencia capaz de cumplir cn una epecificacine energética regulada. 5
.-INTRODUCCIÓN. DISEÑO DE CONVERTIDORES CONMUTADOS CC-CC La función de un cnvertidr cnmutad CC-CC [.4-.6] e adaptar el vltaje de una fuente primaria de tenión cntinua a la neceidade de la carga cntinua. Se hace necearia la utilización de et dipitiv cnvertidre de tenión cuand e precia de una tenión diferente a la de la fuente primaria, de un determinad requerimient dinámic frente a perturbacine en la fuente de energía primaria a variacine de la mima carga. Un cnvertidr e un dipitiv electrónic frmad pr cnmutadre (tranitre y did) y element almacenadre de energía (cndenadre y bbina). En la figura.5 e preenta el equema general de cnvertidre CC-CC. Figura.5 Equema báic de un cnvertidr CC-CC. El cntrl de dich dipitiv e hace a travé del accinamient de l interruptre, que junt cn l element reactiv cntituyen el dipitiv cnvertidr. Entre la fuente de entrada e encuentran: batería electrlítica, pila de cmbutible, panele lare y la red eléctrica rectificada. 6
.-INTRODUCCIÓN Según la aplicación, l cnvertidre CC-CC pueden tener ditinta tplgía, ya ean báic, cn l d element almacenadre de energía (una bbina y un cndenadr), de rden elevad, cn mayr númer de et element. L cnvertidre báic pueden er: reductre de vltaje (cnvertidr buck), elevadre de vltaje (cnvertidr bt) y reductre-elevadre de vltaje (cnvertidr buck-bt). En la preente tei e abrdan tant l cnvertidre báic cm alguna tplgía de rden elevad. L cnvertidre de ptencia CC-CC n element preente, pr ejempl, en alimentacine de tarjeta micrprceadre y DSP, ubicada en equip infrmátic y de telecmunicacine [.5-.3], en bue de alimentación embarcad en itema cm atélite, autmóvile avine. En l últim añ, l cnvertidre de ptencia cnmutad CC-CC han mejrad pretacine gracia a la dipnibilidad de tranitre MOSFET de ptencia cn mejr cmprtamient en cnmutación, did de alta velcidad y materiale magnétic avanzad. La innvacine han bucad también reducir el tamañ de l cmpnente magnétic (para aplicacine prtable); cm cntrapartida, e ha aumentad la frecuencia de cnmutación y pr cniguiente han aumentad la pérdida aciada a éta. Actualmente, l cnvertidre CC-CC cnllevan requiit de dieñ muy exigente cóm: eficiencia elevada, lew-rate pendiente de variación de crriente muy grande, rizad pequeñ, frecuencia de cnmutación actada, dimenine limitada de l element reactiv, etc. Td et requiit prvcan que el dieñ de cnvertidre de ptencia repreente una tarea labria. A pear de la exigencia de l ditint ectre, el dieñ actual de cnvertidre de ptencia e caracteriza pr er un dieñ n autmatizad, dnde el dieñadr requiere de 7
.-INTRODUCCIÓN aprximacine uceiva hata encntrar una lución que cumpla cn tda la retriccine de dieñ. En un de l prce actuale de dieñ de cnvertidre de ptencia, el dieñadr, habitualmente, inicia u tarea partiend del valr de la variable de ptencia; éta n: la tenión de entrada, la tenión de alida y la ptencia entregada a la carga, y la retriccine que e requieren en el funcinamient del mim, cm pr ejempl: eficiencia mínima, rizad de crriente máxim, rizad de tenión máxim, etc. Baánde en et dat, el dieñadr eleccina la tplgía del cnvertidr y, pr tant, el númer de interruptre, de cmpnente magnétic y de cndenadre. Dicha elección e realiza habitualmente en bae a u experiencia. Seguidamente, e prcede a la elección de l interruptre, que en el ca de cnvertidre de mediana y baja ptencia e implementan mediante tranitre MOSFET y did. Una vez eleccinad l MOSFET y dada la experiencia y cncimient del dieñadr, e elige la frecuencia de cnmutación a partir del análii de la pérdida en l tranitre. Eta elección, decrita pr Erickn en [3.], e baa en el cncept de la frecuencia de cnmutación crítica, valr en el que la pérdida pr cnmutación tienen el mim valr que la uma de la tra pérdida del cnvertidr. Si e elige una frecuencia de cnmutación pr encima del valr crític, la pérdida pr cnmutación dminan bre el ret de pérdida y la eficiencia decrece rápidamente cn el aument de la frecuencia de cnmutación. En cambi, i e elige una frecuencia de cnmutación pr debaj del valr crític, la pérdida de cnducción dminan bre la de cnmutación y entnce variacine en la frecuencia de cnmutación n depreciable en la eficiencia. 8
.-INTRODUCCIÓN La figura.6 repreenta eficiencia repect frecuencia de cnmutación, extraída de [3.]. Figura.6 Eficiencia repect frecuencia de cnmutación. La tarea de dieñ uele finalizar calculand l valre de inductancia y cndenadre a partir de la frecuencia de cnmutación hallada. El iguiente equema pretende intetizar la tarea del dieñ tradicinal de cnvertidre CC- CC, que e ha intentad reumir brevemente en l párraf anterire, dnde e berva la neceidad de tener un dat de partida, el rden de la etapa del dieñ y, finalmente, de iteracine en el dieñ. 9
.-INTRODUCCIÓN DATOS DE PARTIDA Variable de ptencia a prcear: tenión entrada, tenión alida, crriente alida. Retriccine de dieñ: eficiencia mínima, rizad crriente, rizad tenión Elección tplgía del cnvertidr Elección interruptre del cnvertidr Obtención frecuencia de cnmutación Obtención inductancia y capacitancia Cumple cn l requiit de dieñ? Figura.7 Equema del dieñ actual de un cnvertidr. El dieñ detallad y equematizad en la figura.7, precia de un dieñadr cn experiencia en el camp de la electrónica de ptencia, upne un prce lent y ademá el cnvertidr óptim rara vez e alcanzad ni tampc e cnce cn certeza la ditancia al óptim. Cn el bjetiv de encntrar cn certeza el cnvertidr óptim, a partir de una 0
.-INTRODUCCIÓN epecificacine dada, en la preente tei e prpne aplicar al dieñ decrit un métd de ptimización avanzad [.7-.9]. Para pder aplicar un métd de ptimización al dieñ de cnvertidre, deberem frmular el prblema de dieñ cm un prblema de ptimización cm un prgrama matemátic; un prgrama matemátic e aquél que puede er frmulad cm:. Encntrar : x = la cual minimice f(x).. xn ujet a retriccine (.) g ( x ) 0, j =,,..., m j l ( x ) = 0, j =,,..., p j x x dnde la variable de dieñ x i, i=,,,n; n clectivamente repreentada cm un vectr de dimenión n llamad vectr de dieñ, a f(x) e le denmina función bjetiv y, g j (x) y l j (x) n cncida cóm retriccine de deigualdad y de igualdad, repectivamente. La utilización de la técnica de ptimización matemática permite má preciión en el dieñ, utilizand men implificacine en el dieñ (pr ejempl ecgiend un valr de rizad de crriente, tal y cóm e ha mtrad en el dieñ tradicinal intetizad en la figura.7). Ademá, dicha técnica permiten btener un cnvertidr que cumpla cn una función bjetiv, en bae a la cual e realizará el dieñ; ete hech elimina la iteracine, preciada en el dieñ actual i e deean alcanzar un requiit determinad.
.-INTRODUCCIÓN El gran dearrll de l algritm cmputacinale y la velcidad cada vez mayr de l equip infrmátic, permiten dieñ óptim en tiemp relativamente pequeñ. Ademá, la aplicación de técnica de ptimización prprcina una mejr cmprenión de la ventaja y deventaja invlucrada en el dieñ (realizand, pr ejempl, análii de enibilidad). Para aplicar un métd de ptimización al prce e empieza eligiend, ademá de la epecificacine y requiit ya detallad en el itema actual, figura.7, una función bjetiv, f(x). Éta repreenta el criteri a ptimizar en el dieñ del cnvertidr, pr ejempl: pe ttal, pérdida ttale, etc. Se deberán ecger también la variable de dieñ X. La variable de dieñ cniderada en la tei n el valr de: inductancia, capacitancia y frecuencia de cnmutación. Se pdrá impner, i e deea, límite bre eta variable de dieñ (erán la retriccine: g j (x) y l j (x)).y, finalmente, e deberán intrducir la caracterítica de l cmpnente (que erán l parámetr preaignad del prblema de ptimización), eta caracterítica e upnen cncida pr l dieñadre extraída de hja de caracterítica de cmpnente y/ tra fuente cálcul, ejempl de l parámetr del prblema n: tiemp de cnmutación del tranitr y del did, reitencia erie equivalente (ESR) en l element almacenadre de energía, etc. Una vez intrducid l parámetr neceari, el prgrama de ptimización erá reuelt de manera autmatizada, bteniénde el valr óptim de la variable de dieñ y el valr óptim de la función bjetiv. El iguiente equema, crrepndiente a la figura.8, intenta intetizar el prce de ptimización del dieñ de un cnvertidr CC-CC prpuet en eta tei.
.-INTRODUCCIÓN DATOS DE PARTIDA Variable de ptencia a prcear: tenión entrada, tenión alida, crriente alida. Retriccine de dieñ: eficiencia mínima, rizad crriente, rizad tenión Función bjetiv: pe ttal, pérdida ttale Variable de dieñ: inductancia, capacitancia, frecuencia de cnmutación Caracterítica de l cmpnente: tiemp Intrducción de dat en el prgrama de cálcul Obtención del dimeninamient óptim del cnvertidr Verificación cnvertidr óptim Figura.8 Equema del dieñ prpuet de un cnvertidr. Obérvee que han deaparecid la línea que indicaban que la lución e btenía mediante aprximacine uceiva. Cmparand el prcedimient de dieñ de cnvertidre actual cn el prcedimient de dieñ prpuet en eta tei e berva que: ) L d dieñ parten de la variable de ptencia a prcear y de la tplgía cnvertidra elegida. 3
.-INTRODUCCIÓN ) La frecuencia de cnmutación, fundamental en el dieñ del circuit de ptencia, e actualmente eleccinada pr el criteri del dieñadr, que precia, pr tant de experiencia y cncimient previ. Cntrariamente, en el dieñ prpuet en eta tei, e hallada cm una variable de dieñ má, a partir de un prgrama de ptimización. 3) El dieñ prpuet en eta tei encuentra el cnvertidr óptim in aumentar l cte repect al prcedimient actual. 4) El prcedimient prpuet, aprta la pibilidad de verificación de l reultad y de análii de la dependencia de la variable repect la función bjetiv, e decir el prcedimient puede incluir una etapa de análii de la enibilidad de la lución btenida. Dich etudi de enibilidad permitirá cniderar variacine del dieñ que facilite la implementación pterir del cnvertidr. En el dieñ de cnvertidre de ptencia, el númer de variable de dieñ, generalmente, excede al de retriccine. Cnecuentemente, depué de definir la retriccine de dieñ, exite virtualmente un cnjunt infinit de lucine de dieñ. Para abrdar el dieñ de cnvertidre CC-CC e debe tener en cuenta, ademá, que tant la función bjetiv, cm la retriccine n n lineale. 4
.-INTRODUCCIÓN. ESTADO DEL ARTE DE LA OPTIMIZACIÓN EN ELECTRÓNICA DE POTENCIA La ptimización de pretacine de itema y ubitema en el camp de la electrónica de ptencia ha id abrdada pr un gran númer de autre. Un de l enfque má reprtad e el que utiliza únicamente herramienta gráfica. La herramienta gráfica upnen un prcedimient imple que permite lucinar prblema de ptimización que invlucren únicamente una d variable de dieñ. En l iguiente artícul e muetran alguna de la publicacine reciente que tratan la ptimización en el dieñ de cnvertidre CC-CC utilizand dich métd. En [.0], Yuefzadeh y Makimviḉ decriben cóm eleccinar el tiemp muert en la rectificación íncrna cn el fin de ptimizar la eficiencia de un cnvertidr. El métd ptimiza un l parámetr y éte e realiza mediante métd gráfic. Sin embarg, el dieñ n tiene prqué er óptim cuand e cnideren má parámetr y un mejr cnjunt de limitacine. Otr ejempl de dieñ ptimizad en el dmini de cnvertidre CC-CC e el decrit pr Muunuri y Chapman en [.3], dnde e lleva a cab una ptimización gráfica de la anchura de l tranitre CMOS para minimizar la pérdida en un cnvertidr buck mnlític. Cabe mencinar también que Yuefzadeh realizó una ptimización gráfica de la eficiencia de un amplificadr de cnmutación aitid linealmente para aplicacine de RF en [.4]. Finalmente, Gerber, en [.5], realizó una ptimización gráfica del cicl de trabaj de cnvertidre CC-CC en interleaving. Siguiend cn la herramienta gráfica, i el prblema de dieñ invlucra má de d variable, e pible dividir el prblema en etapa ptimizand d variable pr etapa. En cada etapa e debe fijar el valr de la variable que n e ptimicen, baánde en l 5
.-INTRODUCCIÓN reultad btenid en la etapa anterir. Kurun, en [.], muetra el dieñ de un cnvertidr buck mnlític ptimizand parámetr tale cm: rizad de crriente, frecuencia de cnmutación y cilación del vltaje en la puerta del driver del MOSFET, tant el de lad alt cm el de baj. Sin embarg, el prcedimient de ptimización e divide en d etapa: la primera etapa cnite en elegir el rizad de crriente y la frecuencia de cnmutación óptim mediante la utilización de gráfica D y 3D, mientra que en la egunda etapa utiliza tr análii gráfic para eleccinar l valre óptim de la cilación de tenión en el driver del MOSFET. La técnica de ptimización n tiene en cuenta la limitacine y, pr l tant, el prblema n lineal in retriccine e puede relver dividiend el prblema en varia etapa y ptimizand d parámetr pr etapa. Eta técnica n e cnveniente cuand e tienen en cuenta cierta limitacine que afectan cnjuntamente a parámetr ptimizad en etapa ditinta. A diferencia de l trabaj citad anterirmente, dnde la búqueda del óptim e realizó mediante herramienta gráfica, la maximización del vlumen y u impact en la eficiencia, debid a efect térmic, ha id analizada en [.]. El prcedimient evalúa varia tplgía para prpóit de telecmunicacine y reprta algun reultad de imulación que permiten a l dieñadre btener una guía práctica para mejrar la denidad de ptencia. Sin embarg, el prcedimient ptimiza la mejr pción de un númer limitad de pcine, pr l que n e precia de un algritm de prgramación matemática. Pr l cntrari, Takayama, en [.6], baó u ptimización en l prcedimient de análii y realizó un etudi exhautiv de la pérdida derivada de la cndicine de peración retringida de un cnvertidr buck. Depué de et calculó la derivada parciale de la función de pérdida cn repect a la variable de ptimización, que e traduj en un itema de ecuacine lineale cmpatible. El óptim e btuv al relver el itema de ecuacine 6
.-INTRODUCCIÓN lineale, pr l tant, en [.6] e decribe la aplicación de un métd de ptimización n lineal in retriccine en el cnvertidr de dieñ. Eta aprximación cincide cn la prpueta de eta tei de relver el prblema de dieñ mediante métd de ptimización n lineale, per e diferencia de la mima en n tener en cuenta retriccine. Otr trabaj, a pear de er preentad cm trabaj de ptimización, implemente decriben metdlgía de dieñ, analizan pérdida realizan una cmparativa entre varia alternativa de dieñ. En [.7], Zientarki decribe una metdlgía para el dieñ de un inductr en un cnvertidr bt cm crrectr del factr de ptencia. Cn el bjetiv de reducir el vlumen del element magnétic del cnvertidr, e implementa un ftware que eleccina un inductr a partir de un rang de frecuencia de cnmutación y de un rang de rizad de crriente. Cnigue, para cada punt de funcinamient, eleccinar la mejr cnfiguración magnética repect al aument de temperatura y la EMI generada pr el cnvertidr. El trabaj precia de un dieñadr cn experiencia previa para la elección de valre y la tma de deciine durante el prce de ptimización. Una ptimización detallada de l parámetr de un inverr renante LCCp e preenta en [.8], dnde e ptimizan la pérdida del inverr. Mediante una erie de análii y cálcul, y a partir de un ejempl cncret, e btienen l valre ideale del vltaje de entrada y de l cmpnente renante verificad experimentalmente en el mim trabaj. En la referencia [.9], e preenta un exhautiv análii y dieñ de un cnvertidr bt en interleaving, dnde la elección de cmpnente e lleva a cab baj retriccine de rizad de crriente y tenión. Del mim md, en la referencia [.9-.3], e preentan prcedimient para minimizar magnitude tale cm eficiencia EMI. 7
.-INTRODUCCIÓN En l artícul reviad, [.0-.3], e ptimiza un l parámetr, el prcedimient de ptimización e divide en etapa y ól e ptimiza un d parámetr en cada etapa, implemente e realiza un etudi exhautiv de un dieñ. En cnecuencia, et prcedimient n permiten tener en cuenta un gran númer de retriccine impueta de frma imultánea. Para pder tener en cuenta un gran númer de retriccine imultáneamente, algun autre han utilizad métd de prgramación n lineal en el dieñ de cnvertidre CC- CC, que e baan en multiplicadre de Lagrange entre tr. Cabe reeñar en ete camp l trabaj realizad en [.33], dnde e ptimiza el tamañ del cndenadr de un cnvertidr aí cm el límite de almacenaje de energía, mediante funcine de Lagrange. Del mim md, en la referencia [.34-.36], e decribe la ptimización de cnvertidre CC-CC mediante algritm de lagrangiana aumentada. Otr métd, cm la prgramación cuadrática, han id utilizad para ell, cm en [.37], dnde e dieña un cnvertidr bt crrectr del factr de ptencia utilizand dich métd, en [.3], dnde e parte el prblema en d etapa: en la primera e eleccina la frecuencia de cnmutación del cnvertidr y en la egunda la eficiencia dependiend de la carga. L métd mencinad de prgramación n lineal [.3-.37] n n iempre adecuad al aplicarl al prblema de dieñ de cnvertidre CC-CC. A cntinuación e cmenta brevemente el prqué de eta afirmación (para una explicación má detallada bre cada un de l métd e remite al lectr a [.55-.57]). La Lagrangiana aumentada requiere, al igual que el métd de l multiplicadre de Lagrange, que el prblema ea cnvex, puet que, para aplicar dich métd, e neceari garantizar la cndicine de Karuh-Kuhn-Tucker 8
.-INTRODUCCIÓN (KKT). La cndicine de Karuh-Kuhn-Tucker n la cndicine necearia y uficiente para garantizar que una función f(x) de n variable tenga punt extrem. Del mim md, la Prgramación Cuadrática requiere que la retriccine ean lineale l cual garantiza que el epaci de lucine e cnvex, aunque permite que la función bjetiv ea cuadrática. Ademá de la técnica de prgramación n lineal mencinada, tr métd de ptimización han id utilizad en la ptimización de cnvertidre, cm l algritm genétic métd prbabilític. Un algritm genétic fue utilizad para ptimizar el ruid armónic en cnvertidre AC / AC en [.38]. El métd de Mnte Carl e ha utilizad para ptimizar el cte, el pe y el vlumen de l cnvertidre para aplicacine de autmción en [.39], y una cmbinación de un métd heurític y un prgrama matemátic e utilizan en [.40] para la elección de tranitre. L métd utilizad en [.38-.40] utilizan algritm de búqueda heurítica. El bjetiv de ete tip de algritm e encntrar una buena aprximación al valr óptim de la función, per n aeguran que el valr óptim de la función ea encntrad en td l ca. La tabla. reume algun de l incnveniente y ventaja principale de l métd reviad, aplicad hata el mment, al dieñ óptim de cnvertidre. 9
.-INTRODUCCIÓN Herramienta gráfica [.0-.5] Prgramación n lineal [.3-.37] Métd heurític [.38-.40] Incnveniente: Máxim variable. Multiplicadre de Lagrange: requiere funcine cnvexa. Cuadrática: requiere retriccine lineale. Mnte Carl, Algritm genétic: Decncen i el valr alcanzad e el óptim. Puede quedare en un extrem lcal. Ventaja Prcedimient imple Permite gran númer de retriccine. Mejra la eficacia del prce (reduciend l nd recrrid en una búqueda requerida) Tabla. Caracterítica generale de l métd de dieñ de cnvertidre reprtad. La mayría de l métd reviad n utilizan ningún prcedimient matemátic, pr l que, indudablemente, el tema dearrllad en la tei e nved en ete dmini. 0
.-INTRODUCCIÓN.3 PROGRAMACIÓN GEOMÉTRICA A diferencia de l prcedimient crrepndiente a la referencia citada en el apartad anterir, en la tei e preenta un nuev métd para el dieñ de cnvertidre CC-CC, que ptimiza una función bjetiv n lineal cn retriccine n lineale. Tant la función bjetiv cm la retriccine deberán er expreada en una frma particular que e cnce cm frma pinmial, en ete nuev métd, y que e detalla en el egund capítul, l que permite mdelar el prblema de dieñ cm un prgrama gemétric. L prgrama gemétric pueden er reuelt mediante algritm numéric eficiente [.40-.4] ya que mediante un cambi de variable pueden er expread cm un prblema de ptimización cnvex [.43-.45]. La principal ventaja de mdelar un prblema de ptimización n lineal cm un prgrama gemétric, e que a pear de tratar cn bjetiv y retriccine n lineale, e btiene el óptim glbal e indica la infactibilidad del dieñ rápidamente. Otra ventaja imprtante e que la lución n depende del punt de partida, e decir, el dieñ inicial e irrelevante y n tiene ningún efect bre el dieñ óptim final. Una explicación detallada de la ptimización cnvexa y u aplicacine de ingeniería e puede encntrar en [.46]. L invetigadre e han interead pr la ptimización gemétrica dede la década de l 60 [.47], in embarg, la ventaja reale de eta técnica e empiezan a apreciar ahra. La razón de ell, e el imprtante dearrll de l métd de punt interir para relver prblema de ptimización cnvexa en l últim quince añ [.48,.49].
.-INTRODUCCIÓN El métd de la PG prprcinan herramienta de lución glbal de prblema que, a priri, ét n n cnvex. El métd, que en eta tei e ha adaptad al dieñ de cnvertidre CC-CC, ha id aplicad cn éxit en variad camp del ámbit del cncimient. Un ejempl de la aplicación de la técnica PG a la ecnmía agraria e dearrlla en la tei [.50]. En la cual e plantea un prblema del cálcul de la ración para el vacun de prducción cárnica que preenta d dificultade prpia: la variabilidad de l preci de l ingrediente en la ración y la n linealidad de la función prducción que e utiliza en u frmulación. El trabaj, ademá, tiene en cuenta un intereante etudi ecnómic de la interrelacine de mercad en Epaña de l pien de imprtación. Una aplicación bien ditinta e encuentra en [.5], dnde e ptimiza el preci óptim que deberían tener un determinad ervici de internet dependiend de la demanda de l mim, de la banda ancha dipnible, etc. En un ámbit cmpletamente ditint, en [.5] e ptimiza un prblema de getión de un inventari dad baj limitacine de epaci y retriccine de rtura de tck. Otr ejempl en el ámbit de la ecnmía, e encuentra en [.53] dónde e frmula un prblema de inventari cn ct de parámetr aleatri que dependen, pr ejempl, de la demanda del mercad. En el artícul e afirma que el métd de análii e fácilmente extenible a tr prblema cncret, cm pr ejempl, prblema de inventari pr deterir de artícul, etc. Pr últim, cabe cmentar la referencia [.54], dnde e ptimiza el cntrl de tráfic aére. El trabaj muetra la enibilidad a retard adicinale de la aerlínea.
.-INTRODUCCIÓN L trabaj reviad [.50-.54] difieren entre í pr la temática abrdada per preentan la gran imilitud de pder er tratad mediante la PG, puet que, pueden er expread mediante funcine pinmiale. En el capítul, e explicaran cncept matemátic, que e han citad en ete apartad, cm frma pinmial prgrama gemétric, y que n requerid para la crrecta cmprenión del métd de ptimización aplicad en ete trabaj. 3
.-INTRODUCCIÓN.4 OBJETIVOS DE LA TESIS En el apartad., e pne de manifiet la neceidad de la ptimización del dieñ de cnvertidre CC-CC. Una vez reviada la ditinta técnica aplicada hata el mment, apartad., e muetra que n exite ninguna, que cumpla cn la neceidade de dieñ requerida pr el itema. Pr et mtiv, eta tei preenta un métd de ptimización, apartad.3, capaz de abrdar el dieñ de cnvertidre de frma itemática, y que pr tant, reuelva n l el prblema latente de dieñ óptim de cnvertidre, in que l haga de manera autmatizada. En la preente tei e decribe la ptimización del dieñ de alguna tplgía cnvertidra, aunque extender la técnica utilizada a má cnvertidre [.58], upndría, implemente, adaptar la expreine utilizada y elegir l requiit que deben cumplir. Tra ete primer capítul intrductri, la tei pee cuatr capítul má. En el egund, baj el nmbre de cncept preliminare, e hace un repa de cncept de l que e hace u a l larg del trabaj, en epecial l que tienen relación cn el ámbit de la ptimización. Aí el egund capítul empieza, intrduciend algun cncept de ptimización n lineal; para detallar a cntinuación, un tip epecífic de prcedimient de ptimización, llamad prgramación gemétrica (PG). De ete métd, e define: función pinmial, prgrama gemétric y e decriben varia tranfrmacine, utilizada en la tei, para frmular el prblema cm un prgrama gemétric. Finalmente, e decribe tr métd ampliamente repetid llamad ptimización cnvexa. Definiend para ell l cncept de cnjunt cnvex, función cnvexa y prblema de ptimización cnvexa. 4
.-INTRODUCCIÓN En el capítul tre, e revian l cnvertidre báic (en epecial expreine de: rizad de tenión y crriente, pérdida de l cmpnente y tra expreine relacinada cn epecificacine del dieñ) y e preenta la aplicación de la PG en el dieñ de ét. Primer e definen la magnitude (inductancia, capacitancia y frecuencia de cnmutación) del cnvertidr reductr báic, y la expreine que e utilizan en la ptimización de u dieñ. Pterirmente y una vez btenid l reultad, e verifica que ét n óptim. El mim dearrll e lleva a cab para el cnvertidr elevadr y para el reductr- elevadr. El iguiente capítul, dedicad a l cnvertidre en cacada, e etructura del mim md que el capítul anterir. Primer e analizan en detalle la tplgía prpueta, para de ete md definir el prblema a ptimizar y finalmente e ilutran y cmentan l reultad btenid. La finalidad de ete capítul e mtrar la ventaja que preenta la aplicación de la Prgramación Gemétrica al dieñ de cnvertidre aun cuand et preentan un gran númer de variable y retriccine. Finalmente, en el capítul 5 e preentan la cncluine de eta tei y e cmentan la futura línea de invetigación que cmplementarían y extenderían la aprtacine realizada en la tei. 5
CAPÍTULO CONCEPTOS PRELIMINARES En ete capítul e da un repa a cncept matemátic utilizad a l larg del trabaj. Se inicia el reumen etableciend la frmulación de un prblema de ptimización n lineal, eguidamente e preentan d prcedimient aplicable a la relución de algun de et prblema: la ptimización cnvexa y la prgramación gemétrica. Repect a la ptimización cnvexa e expnen l cncept de: cnjunt cnvex, función cnvexa y e citan la ventaja de la ptimización cnvexa. Repect a la prgramación gemétrica e define: cóm deben er la ecuacine que frman el prblema a ptimizar y cuál e el métd de relución. 6
.-CONCEPTOS PRELIMINARES. OPTIMIZACIÓN NO LINEAL La ptimización del dieñ de cnvertidre CC-CC debe tener en cuenta una función bjetiv y una retriccine que n n lineale, tal y cm e ha mencinad en el capítul. Cm ejempl de ell, e verá en capítul pterire, que exiten expreine, de la que dependen la variable (cm pr ejempl el rizad de crriente) que n n lineale. Si alguna de la funcine bjetiv retriccine, de la expreión., n e lineal, el prblema e deigna cm un prblema de prgramación n lineal (PNL). Un prgrama n lineal e puede frmular, pr tant, reecribiend.: minimizar: f ( x) ujet a: (.) l ( x ) = 0, j k j g ( x ) 0, k + j m j dnde f(x), g j (x) y l j (x) n funcine n lineale, k e el númer de retriccine de igualdad, m-k el númer de retriccine de deigualdad. Un prblema de ptimización de ete tip; e decir, en el que la función bjetiv y/ la retriccine e etablecen cm funcine n lineale, n e adecuad relverl mediante el u de métd lineale de ptimización cm el cncid métd implex. Sin duda, el métd implex upne una herramienta fiable y cntratada para relver l prblema de prgramación lineal, e decir, prblema dnde la función bjetiv e lineal y ujeta a retriccine lineale; puet que preenta la prpiedad, en la mayría de l ca, de llegar al óptim glbal y la lución n depende del punt de partida. En cambi, i la funcine 7
.-CONCEPTOS PRELIMINARES n n lineale intentar encntrar el mínim glbal de un prblema de ptimización, en la mayría de l ca, puede upner ól llegar a un óptim lcal que dependerá, pr tant, del punt de partida e inclu puede preentar dificultad detectar la factibilidad n factibilidad del prblema. En el ca de un prgrama n lineal general i la función bjetiv, f(x), tiene una frma particular, tal y cm explicaré en el iguiente apartad, u relución puede n preentar dicha dificultad. Ete e el ca de l prblema que pueden er abrdad mediante prgramación cnvexa y mediante, cm e verá a cntinuación, una extenión de la mima llamada Prgramación Gemétrica (PG).. PROGRAMACIÓN CONVEXA.. Intrducción Narenda Karmarkar en 984 [.] dearrlló un algritm para prblema de prgramación lineal, que cntrariamente a cm relvía l prblema el métd Simplex, encntraba la lución óptima iterand a travé del interir de la región factible. La figura. muetra la trayectria eguida para alcanzar el punt óptim, x *, dede el punt inicial, x, pr l d métd mencinad: métd Simplex figura.a y métd de punt interir figura.b. L métd de punt interir reuelven, ademá de prblema de ptimización lineal, prblema cnvex; ét n, prblema cn una función bjetiv cnvexa y una retriccine cnvexa, a cntinuación, apartad.., e revian cncept cóm: cnjunt y función cnvexa. Cm e reviará en dich apartad, pr definición, expreión (.3), una función cnvexa n preenta óptim lcale. Pr l argumentad hata el mment, i el prblema que e preenta e cnvex, aplicar algritm de punt interir upne que la 8
.-CONCEPTOS PRELIMINARES lución n dependa del punt de partida del valr inicial de la lución y que la lución crrecta ea encntrada rápidamente, i el prblema e factible; ademá, cuand el prblema n e factible, e detecta la inviabilidad de frma extremadamente rápida. Cm ya e ha mencinad, éte n e el ca de la mayría de l algritm de prgramación n lineal. L algritm de punt interir han evlucinad utancialmente durante la última d década y hy en día n capace de relver eficientemente prblema de ptimización cnvexa [.44,.]. La iguiente figura muetra la diferencia entre la trayectria eguida para alcanzar el óptim mediante Simplex y mediante un métd de punt interir. a) b) Figura.. a) Métd Simplex, b) Un métd de punt interir. En la ección.3, dnde e intrducían divera técnica de ptimización, e citarn referencia en ditint ámbit del cncimient. A cntinuación e referencian diver artícul que mdelan y reuelven prblema de ptimización cnvexa en el ámbit de la ingeniería. En l trabaj preentad en [.4-.7] e ptimiza el cntrl de un itema en tiemp dicret. 9
.-CONCEPTOS PRELIMINARES Se aplican deigualdade lineale matriciale (LMI) en [.8], cn el bjetiv de btener un cntrl rbut para cnvertidre CC-CC. En el trabaj e ilutra la veratilidad del cntrl para d ejempl cncret: el cnvertidr reductr báic y el elevadr. En [.9,.0] e utiliza la ptimización cnvexa para maximizar el rendimient y minimizar l retard de una red de cmunicacine inalámbrica. Cabe reeñar la referencia [.] dnde e preenta, a md de tutrial, un breve reumen de l cncept báic y de la técnica má relevante de la ptimización cnvexa, ademá, en una egunda parte de la mima referencia, e aplican a un prblema de cmunicación wirele multi-uuari. En el trabaj [.] e aplican algritm en el cntrl de cnum óptim de cmbutible y de tiemp mínim aplicad a la getión de una flta de nave epaciale bteniend cm reultad la arquitectura de la flta óptima. De ete md e muetra cm btener el mejr reultad en aplicacine aerepaciale que, cm cmentan l autre, pdría utilizare para la deciión dieñ de tr apect imprtante en dich ámbit. Otr ejempl de la utilización de la ptimización cnvexa en ingeniería e encuentra en [.3], dnde e ptimiza la elección de un cnjunt de medicine de un enr que minimizan el errr etimad frente a incertidumbre ruid en vari parámetr. El artícul reuelve un prblema cmbinatrial que upne una tarea, en general, cn elevad cte cmputacinal. En el mim ámbit, el artícul [.4] ptimiza la eficiencia de multiprceadre baj retriccine de cnum y temperatura de u. En el trabaj, ademá, e muetran reultad experimentale que permiten verificar la cnfiguración de la frecuencia óptima para cada prceadr, aí cm también garantiza a l dieñadre que la 30
.-CONCEPTOS PRELIMINARES temperatura del chip e mantendrá pr debaj del umbral máxim en td l tiemp de peración. Finalmente, cabe cmentar la cita [.5] dnde e ptimiza el dieñ de eñale de tet a partir del filtrad de ruid blanc para identificación dinámica de itema. A cntinuación, e definen l cncept de cnjunt cnvex y función cnvexa, cncept neceari para la buena cmprenión de la ventaja de ete ca particular de la PNL... Cnjunt cnvex y función cnvexa... Cnjunt cnvex Un cnjunt C e cnvex i el egment de línea que une d punt cualequiera en C etá en C; e decir para cualequiera x, x C y cualquier θ cn 0 θ : ( θ ) θ x + x C (.) En la figura. e bervan d cnjunt, el cnjunt a ería cnvex y el b n cnvex.... Función cnvexa a) b) Figura.. a) Cnjunt cnvex, b) Cnjunt n cnvex. n Una función f : R R e cnvexa i el dmini de f e un cnjunt cnvex y i para td l punt x, x perteneciente al dmini de f, dada una θ tal que 0 θ, e tiene que: 3
.-CONCEPTOS PRELIMINARES ( ( ) ) ( ) f θ x + θ x θ f x + ( θ ) f ( x ) (.3) Gemétricamente puede interpretare indicand que una función f e cnvexa i la línea, que une d punt cualquiera ( x, x ) perteneciente a la función f, queda bre la función. Si la función f e cnvexa, entnce f e cóncava. A menud, puede reultar cmplicad determinar i una función de varia variable e cnvexa aunque exiten técnica que e utilizan para verificar la cnvexidad. Para el ca particular que n= la cnvexidad e determina fácilmente dibujand la función y cmprband que la curvatura e pitiva, cm e repreenta en la figura.3. Para funcine cn varia variable e puede utilizar la certeza que una función e cnvexa i y l i e retringe a cualquier línea En la figura.3, e puede bervar una función cnvexa. Para má detalle bre cnvexidad, e remite al lectr a [.3]. Figura.3. Función cnvexa. Obviamente, tant la funcine lineale cm la afine n cnvexa. A cntinuación e citan tr ejempl de funcine que n cnvexa: 3
.-CONCEPTOS PRELIMINARES Expnencial. a x e e cnvexa en R, para cualquier a R. a Ptencia. x e cnvexa en R ++ cuand a a 0. ( R ++ indica el cnjunt de reale etrictamente pitiv). Lgarítmica. lg x e cóncava en R ++. Entrpía negativa. cnvexa. Función máxim. f x { x x } x lg x (ya ea en R ++, en R +, iend 0 cuand x = 0 ) e = e cnvexa en ( ) max,..., n La cnvexidad cncavidad de l ejempl que e han citad, puede er verificada cn la deigualdad (.3), cmprband que la egunda derivada e n negativa n pitiva. n R. Se demuetra que la función máxim, utilizada en el capítul cuatr, e cnvexa. La función f ( x)= max x i atiface parar 0 θ, i f ( θ x + ( θ ) y) = max( θ x + ( θ ) y ) i i θ max x + ( θ ) max y i i = θ f ( x) + ( θ ) f ( y) L cncept reviad muetran la ventaja de mdelar un prblema de PNL cm un prblema cnvex. Pr una parte, la eguridad de que i el prblema pee un óptim éte e el glbal (crrbrad gracia a la definición de función cnvexa) y pr tra, la pibilidad de utilizar para u relución l métd de punt interir (actualmente muy evlucinad). i i i En el iguiente apartad, apartad.3, e revia un ca particular de la ptimización cnvexa llamad Prgramación Gemétrica..3 PROGRAMACIÓN GEOMÉTRICA Un prgrama gemétric e un tip de prblema de prgramación n lineal, que puede er tranfrmad a un prblema cnvex mediante un cambi lgarítmic epecífic de variable. 33
.-CONCEPTOS PRELIMINARES Ete tip de prblema puede er expread aplicand l cncept de función mnmial y función pinmial, cncept que e detallan a cntinuación..3. Funcine mnmiale y pinmiale Dada la variable reale pitiva x,..., x a determinar en un prblema de ptimización y n un vectr que agrupa dicha variable x ( x x ) mnmi i tiene la frma iguiente: =,..., n, la función g(x) e define cm un ( ) n a a a g x = c x x x n (.4) dnde c e una cntante real pitiva llamada ceficiente mnmial, y a la cntante reale a,..., a e la cnce cm l expnente del mnmi. n Hay que eñalar que la definición de mnmi en el dmini de la PG difiere de la definición de mnmi en el dmini del álgebra, ya que en el álgebra, l expnente n númer enter y la variable n tienen que er pitiva, cm en el ca de un prgrama gemétric. También debem eñalar que el prduct de mnmi e un mnmi, y que la diviión elevación a una ptencia real de un mnmi igue iend un mnmi [.4]. Cualquier uma de mnmi e cnce cn el nmbre de función pinmial y e crrepnde cn: K f ( x ) = c x x x (.5) k= k a k a k ank n dnde c k n cntante reale y pitiva. La función pinmial mantiene u frma baj cndicine de uma, multiplicación y ptenciación. 34