Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 1 1 Límites de funciones En general, en la recta real R podemos considerar la noción de distancia entre dos puntos y a dada por la fórmula d (, a) = a Con respecto a ésta, los dos puntos estarán ( o se considerarán) próimos cuando d (, a) = a < δ donde δ > 0 es un número pequeño. Por ejemplo, la condición 0 < a < 10 5 significa que 6= a yladistancia entre ellos es menor que 0, 00001. O sea, son bastante parecidos o próimos (aunque distintos). Considere ahora la función f definida por f () = 1 1 en su dominio R {1}. Aunque no es posible calcular f (1), sí podemos evaluar f en puntos tan cercanos de 1 como queramos. Piense por ejemplo en f (0, 9),f(0, 99) f (0, 999),....,f (0, 9999999999). Qué comportamiento podemos detectar en estos valores? El siguiente cálculo muestra una tabla de valores para f evaluada en puntos próimos de 1. Obs.- Las cuatro siguientes líneas son para construir la tabla que viene a continuación, no es necesario que las considere o trate de entenderlas. Sólo mire la tabla en la próima página: la primera columna es un valor de y enla segunda aparece su imagen f (). δ =0.0000 n =5 g (i) =1 δ + i δ n h (i, j) =( j) g (i)+(j 1) f (g (i))
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC.. 999 980 8 1. 999 980 8. 999 981 6 1. 999 981 6. 999 98 4 1. 999 98 4. 999 983 1. 999 983. 999 984 1. 999 984. 999 984 8 1. 999 984 8. 999 985 6 1. 999 985 6. 999 986 4 1. 999 986 4. 999 987 1. 999 987. 999 988 1. 999 988. 999 988 8 1. 999 988 8. 999 989 6 1. 999 989 6. 999 990 4 1. 999 990 4. 999 991 1. 999 991. 999 99 1. 999 99. 999 99 8 1. 999 99 8. 999 993 6 1. 999 993 6. 999 994 4 1. 999 994 4. 999 995 1. 999 995. 999 996 1. 999 996. 999 996 8 1. 999 996 8. 999 997 6 1. 999 997 6. 999 998 4 1. 999 998 4. 999 999 1. 999 999 Se ve que: en la medida que se aproima a 1, su imagen f() se acerca al valor L =. Este característica de la f, cerca de 1, se formaliza en la siguiente definición. 1.1 Definición de límite Definición 1 Sea f definida en un intervalo abierto I, con la posible ecepción del punto a I yseal un número real. Se dice que f () =L si y sólo si Considerando que Dado ε > 0, eisteunδ > 0 tal que :0< a < δ f () L < ε 0 < a < δ ]a δ,a+ δ[ 6= a f () L < ε f () ]L ε,l+ ε[
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 3 la definición puede reescribirse: Dado ε > 0, eisteunδ > 0 tal que : ]a δ,a+ δ[ 6= a f () ]L ε,l+ ε[ loquedebeentenderseenelsentidoque: si es próimo de a, entonces f () es próimo de L. Ejemplo Use la definición de límite para mostrar que: a) [ +3]=5 1 b) =4 c) =3 9 a) Sea ε > 0. Se debe encontrar δ > 0 tal que :0< 1 < δ ( +3) 5 < ε Cómo se encuentra? Ejercicio 1 Use la definición de límite para mostrar que: [c] = c = a = a,paraa>0 Observaciones.- 1.- En la demostración de f () =L, si primero probamos que, cerca del punto a f () L M a para alguna constante positiva M, entonces dado ε > 0 basta elegir δ = ε/m yse tiene :0< a < ε f () L M a < ε M.- La fórmula para el cálculo del límite de la función también se puede obtener para raíces de otros índices: n = n a 3.- Una observación importante con respecto a la definición de límite es:
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 4 puede eistir un número L que verifique la proposición (*) que define a f (), en cuyo caso se dice que f () eiste. obienpuedequenoeistaunnúmerol con esas características, en cuyo caso se dice que f () no eiste. Ahora bien, en el primer caso el valor del límite es único, enelsentidoqueno pueden haber dos números L 1 y L distintos que verifiquen la proposición (*). TRABAJO PARA LA CASA.- Para la función f () =sin 1,definida para 6= 0, investigue el límite f (). 0 O sea, estudie µ 1 sin 0 Para esto: 1. Usando una calculadora, construya una tabla de valores para f considerando al menos 50 valores para, con0 <<0.1. Considere la sucesión n = 1.Calcule nπ n y f ( n ) n n 3. Considere la sucesión y n = π 1.Calcule +nπ y n y f (y n ) n n 4. Es posible que 0 sin 1 = L, paraalgúnl R? 5. Use una graficadora para obtener la gráfica de f, para 1 << 1 1. Teoremas sobre límites Teorema 3 (Algebra de límites).- Sean f y g funciones tales que f () =L y g () =M. Se tiene entonces: 1. [f ()+g ()] = L + M.. [c f ()] = c L. 3. [f () g ()] = L M
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 5 f () 4. = L,siemprequeM 6= 0 g () M Dem. De (1).- Sea ε > 0. Por hipótesis eisten: δ 1 > 0 tal que :0< a < δ 1 f () L < ε/ δ > 0 tal que :0< a < δ g () M < ε/ Luego, se elige δ =min{δ 1, δ } ysetiene 0 < a < δ f ()+g () L M f () L + g () M < ε/+ε/ =ε lo que muestra la fórmula 1. 1..1 Aplicaciones del teorema Ejemplo 4 Cálculo de [ ].- Usando la propiedad número 3: = [ ] = = a a = a Por inducción se generaliza a, n N : [n ]=a n yusandolapropiedadnúmero, n N : [] [] [c n ]=c a n, cualquiera sea la constante real c Ejemplo 5 Cálculo de [4 5 + ].- Usando la propiedad número 1 y el ejemplo anterior: 4 5 + = 4 5 + = 4() 5 +() = 136 Ejemplo 6 Cálculo de [4 5 + 7].- Usando la propiedad número 1 y el ejemplo anterior: 4 5 + 7 = 4 5 + +[ 7] = 136 14 = 1
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 6 El desarrollo en el ejemplo anterior se generaliza para el cálculo del límite de una función polinomial: an n + a n 1 n 1 +... + a + a 1 + a 0 = a n n + a n 1 n 1 +... + a + a 1 + a 0 = a n (a) n + a n 1 (a) n 1 +... + a (a) + a 1 (a)+a 0 O sea el límite se obtiene reemplazando la variable por el punto a. Por ejemplo, 5 4 3 +6 + π 5 =8 π 1 Las propiedades 1 y del teorema se generalizan a [c 1f 1 ()+c f ()+... + c n f n ()] = c 1 f 1 ()+c f ()+... + c n f n () siempre que todos los límites del lado derecho eistan. h Ejemplo 7 Cálculo de h Ejemplo 8 Cálculo de 1 Ejemplo 9 Cálculo de i 3 5+1 3 i 1 1 h 3 1 1 1 h i Ejemplo 10 Cálculo de 4 4 i Teorema 11 (de sustitución para límites).- Sean f y g funciones tales que: f () =c, g (y) =L, g f está definida en una vecindad ]a r, a + r[ del y c punto a y f () 6= c para todo en esta vecindad. Entonces se tiene que Este resultado puede escribirse como g (f ()) = L g (f ()) = g (y) y c fórmula que se obtiene al sustituir la variable por la variable y = f ()
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 7 1.. Aplicaciones del teorema Ejemplo 1 Cálculo de +1.- 4 Con y = f () = +1 se tiene ( +1)=9=c y 4 + 1 = y =3 4 y 9 8 Ejemplo 13 Cálculo de 64 3 4.- Con y = 6 se tiene 6 ==c y = y 3, 3 = y. Luego 64 8 64 3 = 4 y3 8 y y 4 (y ) (y +y +4) = y (y ) (y +) (y +y +4) = y (y +) = 3 Ejemplo 14 Cálculo de r,conr número racional. r = p con p, q enteros y q>0. Luego, q r = p/q = q p Mediante la sustitución y = p,tenemosc = p = a p yportanto r = q p = y a p = q a p = a p/q = a r con las consideraciones para a según el índice q sea par o impar. Teorema 15 (del acotamiento) Sean f,g y h funciones definidasenunintervalode la forma ]a r, a + r[ con f () g () h () en dicho intervalo. Si f () = h () =L, entonces g () =L Idea gráfica.- Gráficos de f, g y h de colores negro, rojo y azúl respectivamente. q y
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 8 1.05 1 0.95 0.9 0.85 0.8 0.75-1 -0.5 0.7 0 0.5 1 1..3 Aplicaciones del teorema Ejemplo 16 Cálculo de sin 1 0 Podemos considerar los acotamientos evidentes: µ 0 1 sin con 0 [0] = 0 = 0.El teorema garantiza que Gráficamente, sin 1 : µ 1 sin =0 0 0.3 0. 0.1-0.3-0. -0.1 0 0.1 0. 0.3-0.1-0. -0.3 Ejemplo 17 Cálculo de límites trigonométricos.- En la figura siguiente, para 0 <<π/ ::
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 9 Q() P()=(cos,sin) P() O R A A=(1,0) OR =cos, RP =sin, dap =. Deaquísesigue: 0 sin AP dap = 0 1 cos = RA AP dap = Estas desigualdades se pueden etender a π/ <<π/ : 0 sin 0 1 cos Ahora, aplicando el teorema del acotamiento: sin =0y sin =0 0 0 1 cos =0, (1 cos ) =0y cos =1 0 0 0 Nuevamente analizamos la figura: Area OAP = sin, Area sector OAP = AQ yarea OAQ = OA = 1 sin cos.de donde se sigue que sin 1 sin cos yluego cos sin 1 Estas desigualdades se etienden a π/ <<π/, 6= 0. Porteoremadel acotamiento sin 0 =1
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 10 Ejemplo 18 Otros límites trigonométricos.- 1 cos 1 cos, 0 0 1.3 Límites laterales Cuando una función f está definida en un intervalo de la forma ]a, b[ o ]a, + [ no es posible estudiar el concepto f (), donde se requiere que f esté definida en un intervalo de la forma ]a r, a + r[. Siqueremosestudiarelcomportamientode f (de sus imágenes) cerca del punto a, sólo podemos considerar próimos de a ya la derecha de este punto. Esto da origen al concepto de límite lateral por la derecha: + = L dado ε > 0, δ > 0 tal que : a<<a+ δ f () L < ε La condición anterior (segunda línea) es la de la definición de límite restringida a puntos que estén a la derecha de a. Por esto es evidente la implicación f () =L f () =L + Ejemplo 19 Para la función f () =, 0, sólo es posible considerar en a =0el límite lateral por la derecha. Mostremos que 0 + =0. Dem. Sea ε > 0. Se debe encontrar un δ > 0 tal que :0<<δ 0 < ε Basta elegir δ = ε ysetiene :0<<ε 0 = <ε Queda de ejercicio definir el concepto de límite lateral por la izquierda: f (). La relación entre los conceptos de límite y límites laterales está dado a continuación: Teorema 0 Sea f definida en un intervalo de la forma ]a r, a + r[. Se tiene entonces: f () =L f () = f () =L + Según el teorema, en el caso que los límites laterales sean diferentes o alguno de ellos no eista, el límite f () no eiste.
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 11 1.3.1 Aplicaciones del teorema Ejemplo 1 Estudio del límite. 0 Ejemplo Sea f () = ½ 1 1 si <1 +4 si 1. Calcule 1 f () Continuidad Se nos pide calcular el área de una región circular. Para ello medimos, con una huincha, su diámetro y a partir de esto obtenemos su radio. La huincha indica que su radio es r =30cm. Con este resultado calculamos el área de la región obteniendo A = π (30) =87. 43 cm. Es este resultado correcto? Mejor dicho, es este resultado eacto? La huincha, como cualquier instrumento de medida, no es eacta. Quizás el valor eacto del radio sea 9, 985 cm. y por lo tanto el valor eacto del área es A = π (9.985). Sin embargo nos damos por satisfechos con el resultado inicial, porque su valor es aproimado al valor eacto. Esta idea está formalizada en la siguiente definición. Definición 3 Sea f : I R y a I. Sedicequef es continua en a si y sólo si f () =f (a) Las condiciones de la definición se pueden detallar en: f está definida en a. f () =L eiste L = f (a) Ejemplo 4 Según vimos anteriormente, para una función polinomial f () =a n n +... + a 1 + a 0 se tiene f () = an n +... + a + a 1 + a 0 = a n (a) n +... + a (a) + a 1 a + a 0 = f (a) Esto muestra que f es continua en todo punto a R.
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 1 Ejemplo 5 Lo mismo resulta para la función f () = r,conr eponente racional. Ya que vimos que r = a r Definición 6 Se dice que f : I R es una función continua, en el intervalo abierto I, cuando f es continua en todo punto a de dicho intervalo. Ejemplo 7 f () =sin, R. Ya vimos que f () = sin =0=sin0=f (0). Luego,f es continua en 0 0 a =0. En a 6= 0: f () = = sin (a + h) h 0 = [sin a cosh + cos a sinh] h 0 = sina = f (a) Luego, f es continua en a. Así, f () =sin es una función continua. Observe que en el ejemplo anterior se usa el hecho que f () =L f (a + h) =L h 0 Queda de ejercicio mostrar que f () =cos es una función continua. Los teoremas sobre límites permiten probar las siguientes afirmaciones: Si f y g son funciones continuas en el punto a, entonces (f + g), (c f), (f g) son funciones ³ continuas en el punto a. También en el caso que g (a) 6= 0,la función es continua en el punto a. f g Debe entenderse que f y g están definidas en una vecindad de ]a r, a + r[ de a. Este resultado puede enunciarse de forma global para dos funciones f,g : I R continuas, indicando que las funciones f + g, cf y f g son continuas. Además, f es continua en su dominio: { I : g () 6= 0}. g Por ejemplo, la función tan = sin es continua en todo punto de su dominio. cos Lo mismo es válido para las restantes funciones trigonométricas.
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 13 En general, cualquier combinación de funciones continuas resulta una función continua: por ejemplo: es continua en todo punto R. f () =sin cos + 5 +1 +4 Si f es continua en el punto a y g es continua en el punto f (a), entoncesla compuesta g f es continua en a. En efecto: g (f ()) = g (y) =g (f (a)) y f(a) Debe entenderse que la compuesta está definida en una vecindad de a. En forma más general, la compuesta de dos funciones continuas es una función continua. Por ejemplo, las funciones q f () = 4 +, >0 g () = sin( +5), R son continuas. Los siguientes ejemplos discuten casos de discontinuidad de una función. Ejemplo 8 Se define la función f ( sin si 6= 0 f () = 1/ si =0 Es f continua en a =0? sin Como f () = =16= f (0),lafunciónf no es continua en a =0. 0 0 Sin embargo, dado que f () eiste se puede redefinir f en 0 poniendo 0 f (0) = 1 y la función resultará continua en a =0. Porestosedicequea =0es una discontinuidad evitable de f. Por otra parte, note que la función f es continua en todo punto a 6= 0. Ejemplo 9 Se define la función f 1 f () = si <1 1 +5 si 1
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 14 Es f continua en a =1? Se calculan los límites laterales 1 f () = ( +4)=3 + 1 + µ 1 f () = = 1 1 1 yseconcluyeque 1 f () no eiste. Luego, la función no es continua en a =1. En este caso la discontinuidad no es evitable. Como los límites laterales eisten (son distintos) se dice que a =1es una discontinuidad de salto. Es f continua en un punto a 6= 1? Gráfica de f.- 3 1-3 - -1 0 1 3 4-1 - -3 3 Límites infinitos Sea f () = 1 1 definida para 6= 0.Estudie 0. Como para >0 se tiene: <δ 1 > 1 δ Dado cualquier número real M>0 (tan grande como quiera) puedo elegir un número δ < 1 positivo tal que M :0<<δ f () = 1 > 1 δ >M Esto muestra que las imágenes de f () = 1 pueden ser tan grande como uno quiera, a condición de elegir >0 suficientemente próimo de 0. Por esto se escribe 0 + 1 =+
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 15 Debe entenderse que el límite de arriba diverge a +. Esto se produce porque en la fracción el denominador se hace cero, por valores positivos, mientras el numerador se mantiene constante. Geométricamente, la recta =0(eje y) es una asíntota vertical del gráfico de y = 1 6 5 4 3 1 0 0.5 1 1.5 En general, se tienen las definiciones: 1. + f () =+ Dado M > 0, eiste δ > 0 tal que : a<<a+ δ f () >M. + f () = Dado M < 0, eiste δ > 0 tal que : a<<a+ δ f () <M y las análogas para límite lateral por la izquierda (queda de tarea escribir cada una de ellas). En cualquiera de los 4 casos, la recta = a es una asíntota vertical del gráfico de y = f (). Ejemplo 30 La función f () = 1,6= 0,verifica 1 0 + =+, 0 1 =
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 16 4 - -1 0 1 - -4 El eje y es asíntota vertical. Ejemplo 31 Para a R fijo, se define f () = 1,6= a, ysetiene a 1 + a =+, 1 a = y Con respecto a límites infinitos se tienen las propiedades siguientes: Teorema 3 a) f () =+, + b) f () =L, + g () =+ + g () =+ + [f ()+g ()] = + + [f () g ()] = + + [f ()+g ()] = + + [f () g ()] = +, cuando L>0 + Ejercicio Determine las asíntotas verticales de f () = dominio es D = { R : 3 + 6= 0}. + [f () g ()] =,cuandol<0 +4, donde el 3 +
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 17 Como f eselcuocientededospolinomios,ellaescontinuaentodopuntodesu dominio. Esto es, para cada a D :f () =f (a) yluego = a no es asíntota vertical. Sólo pueden ser asíntotas rectas determinadas por puntos que anulan el denominador. Considerando que resulta: f () = +4 3 + = ( +4) ( +)( 1) +4 f () = =, implicaque =0no es asíntota vertical. 0 0 ( +)( 1) +4 1 f () = =+ 1 + 1 + + 1 +4 1 y f () = =. Luego, = 1es asíntota vertical. 1 1 + 1 +4 f () = 1 = + + 1 + +4 f () = 1 =+. Luego, = es asíntota vertical. 1 + A partir de aquí se puede describir geométricamente el comportamiento asintótico del gráfico de f. 4 y -3 - -1 0 1 - -4
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 18 4 Límites al infinito Ahora estudiaremos el comportamiento de f : R R en el infinito. Esto es, cómo son las imágenes f () para muy grande, o bien para grande en valor absoluto pero negativo. Esta característica de la función se representa por f () ypor f (). Más formalmente, se tiene: Definición 33 + f () =L, L R Dado ε > 0, M >0 tal que + : >M f () L < ε f () =L, L R Dado ε > 0, M <0 tal que : <M f () L < ε En cualquiera de los casos anteriores se dice que y = L es asíntota horizontal del gráfico de f. Ejemplo 34 Queda de ejercicio demostrar que con la función f () = 1 se tiene 1 + =0y 1 =0 lo que muestra que la recta y =0(eje ) esasíntotahorizontaldelgráfico de f. La gráfica de f () = 1 es: 4-4 - 0 4 - -4 Observación.- Sepuedeprobarquelosteoremassobrelímitesvistosanteriormente también son válidos para límites al infinito. Como aplicación de éstos se tiene: 1 + = 1 1 + = y por inducción, n N : Ahora, para c constante, + 1 + + 1 + =0 1 n =0. c n =0, n N
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 19 Con el mismo razonamiento se obtiene también c =0, n N n 3 +5 5 4 + = 4 3 + 6 3 +7 + 6+ 7 = = 1 6 3 3 Lamismaideaseaplicaparaelcuocientededospolinomiosdelmismogrado. 3 +5 4 = + 5 4 4 + 6 4 +7 + 6+ 7 = 0 =0 6 4 El mismo resultado se obtiene en cualquier cuociente de polinomios donde el grado del numerador es menor que el grado del denominador. + = + + = = + + + + " + # + + + + 1 q = 1 1+ 1 +1 Utilizando los límites al infinito se define el concepto de asíntota oblicua para el gráfico de una función f : R R Definición 35 La recta L : y = m+b es asíntota oblicua de la gráfica de y = f () cuando [f () m b] =0 obien [f () m b] =0 Un ejemplo importante son las asíntotas oblicuas y = ± b de la hipérbola a Como a y b =1 [f () m b] = 0 [f () m] =b f () m =0 f () = m se concluye que la gráfica de y = f () tiene asíntota oblicua y = m + b ssi eisten los límites: f () = m [f () m] =b
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 0 5 Límites infinitos en el infinito La última situación a considerar está precisada en la siguiente definición. Definición 36 f () =+ + Dado N > 0, eiste M>0 tal que : >M f () >N Queda de ejercicio escribir las definiciones análogas para f () =, + f () =+ y En este conteto se puede mostrar que: [] =+, + También, Cuando c<0, + [ ]=+ y en general f () = + [n ]=+, n N + [c n ]=+, n N, dondec>0 es una constante. + [c n ]=, n N. Para un polinomio f () =a n n + a n 1 n 1 +... + a 1 + a 0,cona n 6=0 ³ f () = h n a n + a n 1 + + +... + a 1 + a i 0 ½ n 1 n + si an > 0 = si a n < 0 El caso de una función racional donde el grado del numerador es mayor que el grado del denominador se trata en un ejemplo particular + 4 3 5 + 7 3 +5 +3 = 4 5 + 7 + 3 +5 +3 = 4 5 + 7 3 + 3+ 5 + 3 = Quedadeejerciciorehacertodoslositemsanteriorespara.