12 uepos en el espacio 1. Elementos básicos en el espacio ibuja a mano alzada un punto, una ecta, un omboide y un cubo. P I E N S A Y A L U L A Recta Punto Romboide ubo ané calculista 489,6 : 7,5 = 65,28; R = 0 1 2 Escibe tes ejemplos eales que epesenten intuitivamente una ecta. a) Un ilo de cose completamente estiado. b) Una cueda completamente estiada. c) Un cable completamente estiado. ibuja un cubo, ponle letas a los vétices y epesenta cada una de las caas po las cuato letas de sus vétices. A AB,AEH, EFH, BF,ABH, EF E H B F 3 4 ibuja un ángulo diedo ecto. ibuja un poliedo de cuato caas y en el que todos los ángulos poliedos estén fomados po tes caas. Es un tetaedo. π' 90 A P L I A L A T E O R Í A π 308 SOLUIONARIO
5 ibuja una ecta secante a un plano. Qué tienen en común la ecta y el plano? Tienen en común un punto,a 6 ibuja dos planos paalelos. A π π' π 7 ada la ecta geneada po la aista EH del otoedo: E A a) qué aistas cotan a la ecta? b) qué aistas son paalelas a la ecta? c) qué aistas se cuzan con la ecta? d) qué caas polongadas contienen a la ecta? e) qué caas polongadas son paalelas a la ecta? f) qué caas polongadas son secantes con la ecta? g) cuánto mide cada uno de los ángulos diedos? a) AE, H, EF y H b) A, B y F c) AB,, BF y d) AHE y EFH e) AB y BF f) ABFE y H g) 90 H A P L I A L A T E O R Í A F B 2. Poliedos A pati de los ecotables que venden en las papeleías, constuye los poliedos egulaes. onsiste en ecota, pega y obseva cuántas caas tiene cada uno y qué son. P I E N S A Y A L U L A ané calculista 8 ibuja un tetaedo y alla el oden de cada vétice. 10 9 3 + 1 : 3 = 4 5 2 4 3 9 lasifica los siguientes poliedos: a) b) c) A P L I A L A T E O R Í A ada vétice es de oden 3 a) Poliedo iegula y convexo. b) Poliedo egula y convexo. c) Poliedo iegula y cóncavo. TEMA 12. UERPOS EN EL ESPAIO 309
10 ibuja un tetaedo y compueba el teoema de Eule en él. + V = 4 + 4 = 8 A + 2 = 6 + 2 = 8 11 ibuja un mosaico egula fomado po tiángulos equiláteos. Paa calcula el áea ay que alla peviamente la altua de uno de los tiángulos equiláteos. 6 cm 3 cm 12 Se puede constui un poliedo egula con caas exagonales? Justifica la espuesta. 120 2 + 3 2 = 6 2 2 + 9 = 36 2 = 27 = 27 = 5,20 A = 4 6 5,20 = 62, 2 2 14 ibuja el poliedo que se obtiene al uni los puntos centales de las caas de un cubo. Qué poliedo se obtiene? Qué elación ay ente las caas y los vétices de ambos poliedos? No se puede. Si unimos tes caas, el ángulo fomado es: 3 Ò 60 = 180 y se obtiene un mosaico. 13 ibuja el desaollo plano de un tetaedo de 6 cm de aista. escibe el desaollo y calcula su áea. El desaollo está fomado po 4 tiángulos equiláteos iguales. Se obtiene un octaedo. ubo V 6 8 8 6 Que el númeo de caas de uno es igual al númeo de vétices del oto, y po ello son duales. V Octaedo 310 SOLUIONARIO
3. Pismas y cilindos A pati de los ecotables que venden en la papeleía, constuye todos los pismas y cilindos. onsiste en ecota, pega y obseva cuántas caas tiene cada uno y qué son. P I E N S A Y A L U L A ané calculista 305,26 : 8,5 = 35,91; R = 0,025 15 ibuja un pisma pentagonal y compueba el teoema de Eule en él. A P L I A L A T E O R Í A El desaollo plano está fomado po dos cuadados iguales que son las bases y cuato ectángulos iguales. Áea de las bases: 2 3 2 = 2 9 = 18 cm 2 Áea lateal: 4 3 5 = 60 cm 2 Áea total: 18 + 60 = 78 cm 2 17 ibuja un otoedo cuyas dimensiones sean 6 m, 3 m y 4 m, y dibuja una diagonal. alcula la longitud de dica diagonal. + V = 7 + 10 = 17 A + 2 = 15 + 2 = 17 16 ibuja el desaollo plano de un pisma ecto cuadangula en el que la aista de la base mide 3 cm, y la altua,. escibe el desaollo y calcula su áea. 3 m 4 m 6 m Aplicando el teoema de Pitágoas en el espacio: 2 = 6 2 + 3 2 + 4 2 = 36 + 9 + 16 = 61 = 61 = 7,81 m 3 cm 18 ibuja el desaollo plano de un cilindo ecto en el que el adio de la base mide 1,, y la altua, 3,. escibe el desaollo y calcula su áea. 3 cm El desaollo plano está fomado po dos cículos iguales, que son las bases, y un ectángulo. Áea de las bases: 2 π 1,5 2 = 14,1 2 Áea lateal: 2π 1,5 3,5 = 32,99 cm 2 Áea total: 14,14 + 32,99 = 47,13 cm 2 TEMA 12. UERPOS EN EL ESPAIO 311
6 m H = 3, 2πR 5 m R = 1, 10 m 19 Las dimensiones de una caja son 10 cm, y 6 cm. alcula si un lápiz de 12, cabe en su inteio. 20 Halla la apotema de la base de un pisma egula exagonal en el que la aista de la base mide, y la altua, 9 cm Nos piden alla la apotema de un exágono egula. Tenemos que ve si la diagonal es mayo o meno. Aplicando el teoema de Pitágoas en el espacio: 2 = 10 2 + 6 2 + 5 2 = 100 + 36 + 25 = 161 = 161 = 12,69 cm omo: > 12,, el lápiz sí cabe en la caja. a 2, a 2, a 2 + 2,5 2 = 5 2 a 2 + 6,25 = 25 a 2 = 18,75 a = 18,75 = 4,33 cm 4. Piámides y conos A pati de los ecotables que venden en las papeleías, constuye todas las piámides y conos. onsiste en ecota, pega y obseva cuántas caas tiene cada uno y qué son. ané calculista 1 ( 3 ) : 5 = 1 3 4 6 2 P I E N S A Y A L U L A 312 SOLUIONARIO
21 ibuja una piámide pentagonal y compueba en ella el teoema de Eule. 24 A P L I A L A T E O R Í A ibuja un cono ecto en el que el adio de la base mida 1,, y la altua,. alcula su geneatiz. H = + V = 6 + 6 = 12 A + 2 = 10 + 2 = 12 22 ibuja el desaollo plano de una piámide egula exagonal. escibe el desaollo. R = 1, 2 = 1,5 2 + 5 2 2 = 2,25 + 25 = 27,25 = 27,25 = 5,22 cm 1, 25 ibuja un tonco de piámide ecta cuadangula en el que la aista de la base mayo mida ; la aista de la base meno, 2,, y la altua, 1,. Halla su apotema. 2, 1,2 cm El desaollo plano está fomado po un exágono egula y 6 tiángulos isósceles iguales. 23 ibuja una piámide ecta cuadangula en la que la aista de la base mida, y la altua, 6 cm. alcula su apotema. 1, 2 = 0,8 2 + 1,5 2 2 = 0,64 + 2,25 = 2,89 = 2,89 = 1,7 cm 1,2 cm 2 cm 1, 0,8 cm H = 6 cm 6 cm 2 = 2 2 + 6 2 2 = 4 + 36 = 40 = 40 = 6,32 cm 2 cm 26 ibuja el desaollo plano de un tonco de cono ecto. escibe el desaollo. R El desaollo plano está fomado po dos cículos desiguales y un tapecio cicula. TEMA 12. UERPOS EN EL ESPAIO 313
27 ibuja un tonco de cono ecto en el que el adio de la base mayo mida 3,5 m; el de la base meno, 2 m; y la altua, 6 m. Halla su geneatiz. 2 m 2 = 1,5 2 + 6 2 2 = 2,25 + 36 = 38,25 = 38,25 = 6,18 m 6 m 6 m 3,5 m 1,5 m 314 SOLUIONARIO
Ejecicios y poblemas 1. Elementos básicos en el espacio 28 Escibe tes ejemplos eales que epesenten intuitivamente un plano. a) Una planca de aluminio. b) Un espejo. c) Una oja de un libo. a) AB, A, B y b) Ninguna. c) B d) AB y A e) Ninguna. f) AB y B 32 ibuja una ecta paalela a un plano. 29 ibuja un ángulo diedo de 45 apoximadamente. π' π 45 π 33 ibuja dos planos secantes. Qué tienen en común? 30 ibuja un poliedo que tenga un ángulo poliedo fomado po 5 caas. π' π Tienen en común una ecta 34 ado el plano π que contiene la caa BFE del siguiente pisma: F El vétice supeio de una piámide pentagonal. π E 31 ada la ecta geneada po la aista A del siguiente tetaedo: A B A B a) qué aistas cotan a la ecta? b) qué aistas son paalelas a la ecta? c) qué aistas se cuzan con la ecta? d) qué caas polongadas contienen a la ecta? e) qué caas polongadas son paalelas a la ecta? f) qué caas polongadas son secantes con la ecta? a) qué aistas están contenidas en el plano π? b) qué aistas son paalelas al plano π? c) qué aistas cotan al plano π? d) qué caas son paalelas al plano π? e) qué caas cotan al plano π? a) B, BE, F y EF b) A c) AB,A, E y F d) Ninguna. e) Todas las demás:ab, EF, ABE y AF TEMA 12. UERPOS EN EL ESPAIO 315
Ejecicios y poblemas 2. Poliedos 35 ibuja un octaedo y alla el oden de cada vétice. 39 Se puede constui un poliedo egula con caas pentagonales? Justifica la espuesta. 36 108 108 108 ada vétice es de oden 4 36 lasifica los siguientes poliedos: a) b) c) a) Poliedo egula y convexo. b) Poliedo iegula y convexo. c) Poliedo iegula y cóncavo. Si unimos tes caas, el ángulo que se obtiene es 3 Ò 108 = 324, que es meno de 360, y sí se obtiene un poliedo egula, que es el dodecaedo. 40 ibuja el poliedo que se obtiene al uni los puntos centales de las caas de un tetaedo. Qué poliedo se obtiene? Qué elación ay ente las caas y vétices de ambos poliedos? 37 ibuja un octaedo y compueba el teoema de Eule en él. Se obtiene un tetaedo. Tetaedo V 4 4 4 4 V Tetaedo Que el númeo de caas de uno es igual al númeo de vétices del oto, y po ello son duales. + V = 8 + 6 = 14 A + 2 = 12 + 2 = 14 41 ibuja un cubo que tenga 3 cm de aista y su desaollo plano. alcula su áea. 38 ibuja un mosaico egula fomado po cuadados. 3 cm 3 cm A = 6 3 2 = 5 2 316 SOLUIONARIO
42 ibuja un cubo que tenga de aista y el poliedo dual inscito. alcula la longitud de la aista de dico poliedo. 2, 2, 2, a 2, 2 cm Aplicando el teoema de Pitágoas: a 2 = 2,5 2 + 2,5 2 a 2 = 6,25 + 6,25 = 12,5 a = 12,5 = 3,5 Paa calcula el áea ay que alla peviamente la apotema de la base. 2 cm a 2 cm a 2 cm 3. Pismas y cilindos 43 ibuja un pisma eptagonal y compueba el teoema de Eule en él. 1 cm 1 cm a 2 + 1 2 = 2 2 a 2 + 1 = 4 a 2 = 3 a = 3 = 1,73 cm Áea de las bases: 2 6 2 1,73 = 20,76 cm 2 2 Áea lateal: 6 2 5 = 60 cm 2 Áea total: 20,76 + 60 = 80,76 cm 2 45 Las dimensiones de una caja de zapatos son 40 cm, 20 cm y 1. alcula la longitud de su diagonal. + V = 9 + 14 = 23 A + 2 = 21 + 2 = 23 1 44 ibuja el desaollo plano de un pisma ecto exagonal en el que la aista de la base mide 2 cm, y la altua,. escibe el desaollo y calcula su áea. El desaollo plano está fomado po dos exágonos egulaes iguales y po 6 ectángulos iguales. 20 cm 40 cm Aplicando el teoema de Pitágoas en el espacio: 2 = 40 2 + 20 2 + 15 2 = 1 600 + 400 + 225 = 2 225 = 2 225 = 47,17 cm TEMA 12. UERPOS EN EL ESPAIO 317
Ejecicios y poblemas 46 ibuja el desaollo plano de un cilindo ecto en el que el adio de la base mida 2 cm, y la altua,. escibe el desaollo y calcula su áea. = 48 = 6,93 cm Po tanto: a = 1 6,93 = 2,31 cm 3 4. Piámides y conos 48 ibuja una piámide exagonal y compueba en ella el teoema de Eule. H = 2πR R = 2 cm + V = 7 + 7 = 14 A + 2 = 12 + 2 = 14 El desaollo plano está fomado po dos cículos iguales, que son las bases, y un ectángulo. Áea de las bases: 2 π 2 2 = 25,13 cm 2 Áea lateal: 2π 2 5 = 62,83 cm 2 Áea total: 25,13 + 62,83 = 87,96 cm 2 49 ibuja el desaollo plano de una piámide egula pentagonal. escibe el desaollo. 47 Halla la apotema de la base de un pisma egula tiangula en el que la aista de la base mide 8 cm, y la altua, 23 cm Nos piden alla la apotema de un tiángulo equiláteo. El desaollo plano está fomado po un pentágono egula y 5 tiángulos isósceles iguales. a 8 cm 8 cm 50 ibuja una piámide egula exagonal en la que la aista de la base mida, y la altua, 20 cm. alcula su apotema. Aplicando una popiedad de las medianas de un tiángulo, la apotema es un tecio de la mediana, que en un tiángulo equiláteo coincide con la altua. Paa alla la altua, se aplica el teoema de Pitágoas: 2 + 4 2 = 8 2 2 + 16 = 64 2 = 48 a a a 2, 318 SOLUIONARIO
En pime luga, ay que alla la apotema de la base. a 2 + 2,5 2 = 5 2 a 2 + 6,25 = 25 a 2 = 18,75 a = 18,75 = 4,33 cm H = 16 cm 26 cm 13 cm 13 cm 13 cm 26 cm 52 cm 20 cm 2 = 13 2 + 16 2 2 = 169 + 256 = 425 = 425 = 20,62 cm H = 16 cm 13 cm 4,33 cm Se aplica ota vez el teoema de Pitágoas: 2 = 4,33 2 + 20 2 2 = 18,75 + 400 = 418,75 = 418,75 = 20,46 cm 53 ibuja el desaollo plano de un tonco de piámide cuadangula ecta. escibe el desaollo. 51 ibuja un cono ecto en el que el adio de la base mida, y la altua, 10 cm. alcula su geneatiz. El desaollo plano está fomado po dos cuadados desiguales y cuato tapecios isósceles iguales. 10 cm 54 ibuja un tonco de cono ecto en el que el adio de la base mayo mida 7 m; el de la base meno, 4 m, y la altua, 10 m. Halla su geneatiz. 4 m 2 = 4 2 + 10 2 2 = 16 + 100 = 116 = 116 = 10,77 cm 52 ibuja un tonco de piámide ecta cuadangula en el que la aista de la base mayo mida 52 cm; la aista de la base meno, 26 cm, y la altua, 16 cm. Halla su apotema. 10 m 10 m 7 m 3 m 2 = 3 2 + 10 2 2 = 9 + 100 = 109 ò = 109 = 10,44 m TEMA 12. UERPOS EN EL ESPAIO 319
Ejecicios y poblemas Paa amplia 55 ibuja un cubo y compueba el teoema de Eule en él. a) Poliedo iegula y cóncavo. b) Poliedo iegula y convexo. c) Poliedo egula y convexo. 59 Halla la apotema de la base de un pisma ecto cuadangula en el que la aista de la base mide 10 cm, y la altua, 27 cm + V = 6 + 8 = 14 A + 2 = 12 + 2 = 14 omo la base es un cuadado, la apotema es la mitad de la aista de la base. a = 10 cm a 56 ibuja un mosaico egula fomado po exágonos egulaes. 60 ibuja un pisma exagonal y compueba el teoema de Eule en él. + V = 8 + 12 = 20 A + 2 = 18 + 2 = 20 57 ibuja un mosaico semiegula fomado po cuadados y tiángulos equiláteos. 61 ibuja el desaollo plano de un pisma egula pentagonal. escibe el desaollo. 58 lasifica los siguientes poliedos: a) b) c) El desaollo plano está fomado po dos pentágonos egulaes iguales, que son las bases, y 5 ectángulos iguales. 320 SOLUIONARIO
62 ibuja una piámide tiangula y compueba en ella el teoema de Eule. + V = 4 + 4 = 8 A + 2 = 6 + 2 = 8 ada lado es la ipotenusa de un tiángulo ectángulo cuyos catetos son iguales y miden la mitad del lado, es deci, 2 cm 2 cm a 2 cm 63 ibuja el desaollo plano de una piámide ecta cuadangula. escibe su desaollo. a 2 = 2 2 + 2 2 a 2 = 4 + 4 = 8 a = 8 = 2,83 cm El tiángulo es equiláteo, poque los tes lados son iguales. El desaollo plano está fomado po un cuadado y 4 tiángulos isósceles iguales. 66 alcula la diagonal de un otoedo cuyas dimensiones son 3,, 1, y 2, 64 Qué poliedo egula tiene como vétices el cento de las caas de un dodecaedo? Un icosaedo y po ello son duales. 2, 65 alcula la longitud de los lados del tiángulo coloeado en ojo de la siguiente figua, edondea el esultado a dos decimales y clasifica el tiángulo obtenido. 2 cm 1, 3, Se aplica el teoema de Pitágoas en el espacio: 2 = 3,5 2 + 1,5 2 + 2,5 2 2 = 12,25 + 2,25 + 6,25 = 20,75 = 20,75 = 4,56 cm TEMA 12. UERPOS EN EL ESPAIO 321
Ejecicios y poblemas Poblemas 67 ompueba el teoema de Eule en el dodecaedo. 71 ibuja un cubo de 3 cm de aista y alla la longitud de su diagonal. + V = 12 + 20 = 32 A + 2 = 30 + 2 = 32 68 ibuja un pisma octogonal y compueba el teoema de Eule en él. 3 cm 3 cm 3 cm + V = 10 + 16 = 26 A + 2 = 24 + 2 = 26 69 ibuja un mosaico semiegula fomado po cuadados y octógonos egulaes. Se aplica el teoema de Pitágoas en el espacio: 2 = 3 2 + 3 2 + 3 2 2 = 9 + 9 + 9 = 27 = 27 = 5,20 cm 72 lasifica el tiángulo coloeado en amaillo de la figua y calcula la longitud de sus lados. ada lado es la ipotenusa de un tiángulo ectángulo cuyos catetos son dos aistas. Po tanto, es un tiángulo equiláteo. 70 ibuja un mosaico semiegula fomado po tiángulos equiláteos, cuadados y exágonos egulaes. a a 2 = 5 2 + 5 2 a 2 = 25 + 25 = 50 ò a = 50 = 7,07 cm 73 Si tienes un otoedo cuyas aistas miden a = 8 cm, b = y c = 3 cm, cuál seá la longitud máxima de una vailla que quieas intoduci en su inteio? 322 SOLUIONARIO
H 2 + 6 2 = 15 2 H 2 + 36 = 225 c = 3 cm H 2 = 189 ò H = 189 = 13,7 b = a = 8 cm Se aplica el teoema de Pitágoas en el espacio: 2 = 8 2 + 5 2 + 3 2 2 = 64 + 25 + 9 = 98 = 98 = 9,90 cm 76 alcula la diagonal de un pisma ecto cuadangula cuya base tiene de aista, y de altua, 10 cm 74 ibuja una piámide egula cuadangula en la que la aista de la base mida 10 cm, y la apotema, 13 cm. alcula su altua. 10 cm H 10 cm H 2 + 5 2 = 13 2 H 2 + 25 = 169 H 2 = 144 H = 144 = 12 cm 13 cm Se aplica el teoema de Pitágoas en el espacio: 2 = 4 2 + 4 2 + 10 2 2 = 16 + 16 + 100 = 132 ò = 132 = 11,49 cm 77 alcula las dimensiones del ectángulo coloeado en ojo de la figua siguiente: 75 ibuja un cono ecto en el que el adio de la base mida 6 cm, y la geneatiz, 1. Halla su altua. La altua vale La base es la ipotenusa de un tiángulo ectángulo de catetos de H H 6 cm 6 cm = 1 b TEMA 12. UERPOS EN EL ESPAIO 323
Ejecicios y poblemas b 2 = 4 2 + 4 2 b 2 = 16 + 16 = 32 ò b = 32 = 5,66 cm 80 Se tiene un cono inscito en una esfea, como se indica en la figua adjunta. 78 Halla la geneatiz del tonco de cono siguiente: = 4 m H = 12 m 4 m R = 9 m H = 12 m 5 m 2 = 5 2 + 12 2 2 = 25 + 144 = 169 ò = 169 = 13 m Sabiendo que el adio de la esfea es R = 9 cm y que la altua del cono es = 7 cm, alla cuánto mide el adio de la base del cono. Haciendo una sección se tiene un tiángulo isósceles inscito en una cicunfeencia. 79 Se tiene un cilindo inscito en un cono, como se indica en la figua adjunta. 7 cm H Sabiendo que la altua del cono es H = 12 cm, que el adio es R = y que el adio del cilindo mide = 2 cm, alla cuánto mide la altua del cilindo. Haciendo una sección se tiene un ectángulo inscito en un tiángulo isósceles. R B El tiángulo dibujado AB es ectángulo en A poque un lado, es un diámeto y el ángulo opuesto está inscito en una cicunfeencia y vale la mitad del cental coespondiente: 180 /2 = 90 Aplicando el teoema de la altua: 2 = 7 2 = 14 2 = 14 = 14 = 3,7 A H 2 cm B A H = 12 cm = 2 cm Los tiángulos AB y AB son semejantes. AB' = B'' ò 3 = AB B 5 12 x = 7,2 cm B ' B' 3 cm A 81 Halla el adio de la base de un cono ecto que mide 12 m de altua y cuya geneatiz es de 13 m R 2 + 12 2 = 13 2 R 2 + 144 = 169 R 2 = 25 R = 25 = 5 m 324 SOLUIONARIO
2 = 8 2 + 15 2 2 = 64 + 225 = 289 ò = 289 = 17 cm = 13 m H = 12 m H = 12 m 84 La diagonal de un otoedo mide 7 cm, y dos de sus aistas, 2 cm y 3 cm. Halla la tecea aista. = 13 m R R 7 3 2 82 Halla la diagonal de un otoedo de aistas 15 m, 7 m y 8 m. Redondea el esultado a dos decimales. Se aplica el teoema de Pitágoas en el espacio: 2 = 15 2 + 7 2 + 8 2 2 = 225 + 49 + 64 = 338 = 338 = 18,38 m 83 a = 15 m alcula la apotema del siguiente tonco de piámide: 2 c = 8 m b = 7 m Se aplica el teoema de Pitágoas en el espacio: x 2 + 2 2 + 3 2 = 7 2 x 2 + 4 + 9 = 49 x 2 = 36 ò x = 36 = 6 cm 85 Un acuaio con foma de otoedo tiene unas dimensiones de 1,2 m de lago, 0,5 m de anco y 0,6 m de alto. Se podía intoduci en su inteio un administado de oxígeno en foma de vailla de 1,4 m de lago? = 7 cm x cm 2 cm 3 cm 1 40 cm 0,6 m 2 12 cm 1 40 cm 1 12 cm 8 cm 20 cm 8 cm 1,2 m 0,5 m Se aplica el teoema de Pitágoas en el espacio: 2 = 1,2 2 + 0,5 2 + 0,6 2 2 = 1,44 + 0,25 + 0,36 = 2,05 ò = 2,05 = 1,43 m omo > 1,4 m, el administado de oxígeno sí cabe en el acuaio. TEMA 12. UERPOS EN EL ESPAIO 325
Ejecicios y poblemas Paa pofundiza 86 ompueba el teoema de Eule en el icosaedo. + V = 20 + 12 = 32 A + 2 = 30 + 2 = 32 87 ibuja una piámide octogonal y compueba el teoema de Eule en ella. d 2 = 10 2 + 15 2 d 2 = 100 + 225 = 325 d = 325 = 18,03 cm 90 ibuja un cono ecto en el que la altua mida 7 cm, y la geneatiz, 9 cm. Halla el adio de la base. H = 7 cm = 9 cm H = 7 cm = 9 cm R R + V = 9 + 9 = 18 A + 2 = 16 + 2 = 18 88 ibuja un mosaico semiegula fomado po tiángulos equiláteos y exágonos egulaes. R 2 + 7 2 = 9 2 R 2 + 49 = 81 R 2 = 32 R = 32 R = 5,66 cm 91 Se tiene un cilindo inscito en una esfea, como se indica en la figua adjunta. = 2, R = 2 cm 89 Si tienes un bote de foma cilíndica, que mide de adio de la base y 1 de altua, cuál seá la longitud máxima de un lápiz que quieas intoduci en su inteio? d 10 cm 1 Sabiendo que el adio de la esfea es R = 2 cm y la altua del cilindo es = 2,, alla cuánto mide el adio de la base del cilindo. Haciendo una sección se tiene un ectángulo inscito en una cicunfeencia. B 0,75 H 3,25 A 326 SOLUIONARIO
El tiángulo dibujado AB es ectángulo en A poque un lado es un diámeto y el ángulo opuesto está inscito en una cicunfeencia y vale la mitad del cental coespondiente: 180 /2 = 90 A Aplicando el teoema de la altua: = 6 m = 6 m 2 = 3,25 0,75 = 2,44 = 1,56 cm H = 10 m B' B' ' 92 Un cono de 10 m de altua se cota, po un plano paalelo a la base, a 4 m de la misma. Si el adio de la base es de 3 m, qué adio tendá la cicunfeencia que emos obtenido en el cote? R = 3 m B R = 3 m Los tiángulos AB y AB son semejantes poque tienen los ángulos iguales; po tanto, los lados son popocionales: AB' = B'' ò 6 = ò = 1,8 m AB B 10 3 H = 10 m TEMA 12. UERPOS EN EL ESPAIO 327
Aplica tus competencias 93 ompueba que con tiángulos equiláteos se puede foma un mosaico egula. 95 ompueba que con pentágonos egulaes no se puede foma un mosaico egula. 60 60 60 108 60 60 108 60 108 36 Si en el plano unimos 6 tiángulos equiláteos iguales con un vétice común, se acoplan pefectamente; luego foman un mosaico. 94 ompueba que con cuadados se puede foma un mosaico egula. Si en el plano unimos 3 pentágonos egulaes con un vétice común, no encajan pefectamente, y 4 no caben; po tanto, no foman un mosaico. 96 ompueba que con exágonos egulaes se puede foma un mosaico egula. 90 90 90 90 120 120 120 Si en el plano unimos 4 cuadados iguales con un vétice común, se acoplan pefectamente; luego foman un mosaico. Si en el plano unimos 3 exágonos egulaes iguales con un vétice común, encajan pefectamente, luego, foman un mosaico. 328 SOLUIONARIO
ompueba lo que sabes 1 efine qué es un poliedo egula. i cuántos ay y cómo se llaman. Un poliedo es egula si todas sus caas son polígonos egulaes iguales y los vétices son del mismo oden. Son cinco: tetaedo, cubo o exaedo, octaedo, dodecaedo e icosaedo. 2 ado el plano π, que contiene la caa EFH del tonco de piámide: + V = 6 + 6 = 12 A + 2 = 10 + 2 = 12 E H F 4 ibuja el desaollo plano de un pisma exagonal egula de de altua y 2 cm de aista de la base, y descibe su desaollo. A B a) qué aistas están contenidas en el plano π? b) qué aistas son paalelas al plano π? c) qué aistas cotan al plano π? d) qué caas son paalelas al plano π? e) qué caas cotan al plano π? f) dibuja la distancia del vétice E al plano definido po la caa AB a) EF, F, H y HE b) AB, B, y A c) AE, BF, y H d) AB e) ABFE, BF, H y AHE f) Es la altua del tonco de piámide. El desaollo plano está fomado po dos exágonos egulaes iguales que son las bases y de 6 ectángulos iguales. 5 Las dimensiones de una caja de zapatos son 40 cm, 20 cm y 1. alcula la longitud de su diagonal. 2 cm H 1 E F 20 cm 3 A E' ibuja una piámide pentagonal y compueba en ella el teoema de Eule. B 40 cm Aplicando el teoema de Pitágoas en el espacio: 2 = 40 2 + 20 2 + 15 2 = 1 600 + 400 + 225 = 2 225 = 2 225 = 47,17 cm TEMA 12. UERPOS EN EL ESPAIO 329
ompueba lo que sabes 6 alcula la apotema de una piámide cuadangula de de aista de la base y 7 cm de altua. d 2 = 10 2 + 15 2 d 2 = 100 + 225 = 325 d = 325 = 18,03 cm 7 cm 8 alcula la apotema del tonco de la piámide del dibujo. 42 m 2 = 2,5 2 + 7 2 = 55,25 = 7,43 cm 2, H = 24 m 78 m 7 Si tienes un bote de foma cilíndica, que mide de adio de la base y 1 de altua, cuál seá la longitud máxima de un lápiz que quieas intoduci en su inteio? H = 24 m 42 m 21 m 21 m 18 m 39 m H = 24 m 2 = 18 2 + 24 2 = 900 = 30 m 18 m 78 m d 1 10 cm 330 SOLUIONARIO
Linux/Windows eoeba Windows abi Paso a paso 97 ibuja un cubo en pespectiva y las líneas ocultas en tazo discontinuo. Resuelto en el libo del alumnado. 98 99 ibuja el desaollo plano de un cubo. Resuelto en el libo del alumnado. Intenet. Abe: www.editoial-buno.es y elige Matemáticas, cuso y tema. Pactica 100 ibuja un pisma exagonal en pespectiva y las líneas ocultas en tazo discontinuo. 102 ibuja una piámide egula cuadangula en pespectiva y las líneas ocultas en tazo discontinuo. a) ibuja el polígono exteio y ellénalo. b) ibuja las aistas continuas. c) ibuja las aistas discontinuas. d) Aastando los vétices mejoa el diseño. 101 ibuja el desaollo plano de un pisma egula exagonal. a) ibuja el polígono exteio y ellénalo. b) ibuja las aistas continuas. c) ibuja las aistas discontinuas. d) Aastando los vétices, mejoa el diseño. 103 ibuja el desaollo plano de una piámide cuadangula. a) ibuja un exágono egula utilizando la eamienta polígono egula. b) Rellénalo de colo. c) Po simetías axiales dibuja el esto del desaollo. a) ibuja un cuadado utilizando la eamienta polígono egula. b) Rellénalo de colo. c) ibuja el tiángulo isósceles que tiene po base un lado del cuadado. d) Po simetías axiales dibuja el esto del desaollo lateal. TEMA 12. UERPOS EN EL ESPAIO 331