TEOREMA DE BERNOULLI HIDRODINÁMICA A continuación estudiaremos la circulación de fluidos incompresibles, de manera que podremos explicar fenómenos tan distintos como el vuelo de un avión o la circulación del humo por una chimenea. El estudio de la dinámica de los fluidos fue bautizada hidrodinámica por el físico suizo Daniel Bernoulli, quien en 1738 encontró la relación fundamental entre la presión, la altura y la velocidad de un fluido ideal. El teorema de Bernoulli demuestra que estas variables no pueden modificarse independientemente una de la otra, sino que están determinadas por la energía mecánica del sistema. expresarse en la forma: Supongamos que un fluido ideal circula por una cañería como la que muestra la figura. Concentremos nuestra atención en una pequeña porción de fluido V (coloreada con celeste): al cabo de cierto intervalo de tiempo Δt (delta t), el fluido ocupará una nueva posición (coloreada con rojo) dentro de la cañería. Cuál es la fuerza exterior a la porción V que la impulsa por la cañería? Sobre el extremo inferior de esa porción, el fluido que viene de atrás ejerce una fuerza que, en términos de la presiónp1, puede expresarse corno P 1. A 1, y está aplicada en el sentido del flujo. Análogamente, en el extremo superior, el fluido que está adelante ejerce una fuerza sobre la porción V que puede expresarse como P. A, y está aplicada en sentido contrario al flujo. Es decir que el trabajo (T) de las fuerzas no conservativas que están actuando sobre la porción de fluido puede r = F. Δx F. Δx = P. A. Δx P. A. Δx T 1 1 1 1 1 Si tenemos en cuenta que el fluido es ideal, el volumen que pasa por el punto 1 en un tiempo Δt (delta t) es el mismo que pasa por el punto en el mismo intervalo de tiempo (conservación de caudal). Por lo tanto: = A. Δx = A. Δx entonces Tr = P. V P. V V 1 1 1 El trabajo del fluido sobre esta porción particular se invierte en cambiar la velocidad del fluido y en levantar el agua en contra de la fuerza gravitatoria. En otras palabras, el trabajo de las fuerzas no conservativas que actúan sobre la porción del fluido es igual a la variación de su energía mecánica Tenemos entonces que: = ΔE + ΔE = (E E ) + (E E ) T cinética potencial c c1 p p1. V P. V = (1/.m. V 1/. m. V ) + (m. g. h m. g. h ) P 1 1 1 Considerando que la densidad del fluido está dada por d=m/v podemos acomodar la expresión anterior para demostrar que: + 1/. δ. V + δ. g. h = P + 1/. δ. V + δ. g. h P 1 1 1 Noten que, como los puntos 1 y son puntos cualesquiera dentro de la tubería, Bernoulli pudo demostrar que la presión, la velocidad y la altura de un fluido que circula varían siempre manteniendo una cierta cantidad constante, dada por: P + 1/. δ. V² + δ. g. h = constante Veremos la cantidad de aplicaciones que pueden explicarse gracias a este teorema. Fluido humano. Una multitud de espectadores pretende salir de una gran sala de proyecciones al término de la función de cine. El salón es muy ancho, pero tiene abierta al fondo sólo una pequeña puerta que franquea el paso a una galería estrecha que conduce hasta la calle. La gente, impaciente dentro de la sala, se aglomera contra la puerta, abriéndose paso a empujones y codazos. La velocidad con que avanza este fluido humano antes de cruzar la puerta es pequeña y la presión es grande. Cuando las personas acceden a la galería, el tránsito se hace más rápido y la presión se alivia. Si bien este fluido no es ideal, puesto que es compresible y viscoso (incluso podría ser turbulento), constituye un buen modelo de circulación dentro de un tubo que se estrecha. Observamos que en la zona angosta la velocidad de la corriente es mayor y la presión es menor.
APLICACIONES: EL TEOREMA DE TORRICELLI Consideremos un depósito ancho con un tubo de desagote angosto como el de la figura. Si destapamos el caño, el agua circula. Con qué velocidad? Cuál será el caudal? En A y en B la presión es la atmosférica PA=PB=P atm. Como el diámetro del depósito es muy grande respecto del diámetro del caño, la velocidad con que desciende la superficie libre del agua del depósito es muy lenta comparada con la velocidad de salida, por lo tanto podemos considerarla igual a cero, VA = 0 La ecuación de Bernoulli queda entonces: δ. g. h A + p A = 1/. δ. h B + p B Entonces es: De donde se deduce que: g. h A = 1/. v B ² + g. h B de donde V B ²=..g. (h A -h B ) V B ² =. g.(h A - h B ) Este resultado que se puede deducir de la ecuación de Bernoulli, se conoce como el teorema de Torricelli, quien lo enunció casi un siglo antes de que Bernoulli realizara sus estudios hidrodinámicos. La velocidad con que sale el agua por el desagote es la misma que hubiera adquirido en caída libre desde una altura h A, lo que no debería sorprendernos, ya que ejemplifica la transformación de la energía potencial del líquido en energía cinética. EL GOL OLIMPICO A: Una pelota que rota sobre si misma arrastra consigo una fina capa de aire por efecto del rozamiento. B: Cuando una pelota se traslada, el flujo de aire es en sentido contrario al movimiento de la pelota. C: Si la pelota, a la vez que avanza en el sentido del lanzamiento, gira sobre sí misma, se superponen los mapas de las situaciones A y B. El mapa de líneas de corrientes resulta de sumar en cada punto los vectores VA ~i VB. En consecuencia, a un lado de la pelota, los módulos de las velocidades se suman y, al otro, se restan. La velocidad del aire respecto de la pelota es mayor de un lado que del otro.
D: En la región de mayor velocidad, la presión (de acuerdo con el teorema de Bernoulli) resulta menor que la que hay en la región de menor velocidad. Por consiguiente, aparece una fuerza de una zona hacia la otra, que desvía la pelota de su trayectoria. Éste es el secreto del gol olímpico. EL AEROGRAFO Las pistolas pulverizadoras de pintura funcionan con aire comprimido. Se dispara aire a gran velocidad por un tubo fino, justo por encima de otro tubito sumergido en un depósito de pintura. De acuerdo con el teorema de Bernoulli, se crea una zona de baja presión sobre el tubo de suministro de pintura y, en consecuencia, sube un chorro que se fragmenta en pequeñas gotas en forma de fina niebla.
Presión Lateral Pr Medición de Presión Lateral : Tubo de Venturi La presión lateral es una presión manométrica que se puede medir por tubos abiertos colocado perpendicularmente a la pared del tubo que contiene el fluido; o como se ve en la última imagen con tubos cerrados con un fluido manométrico no miscible con el fluido que se transporta. Presión Hidrodinámica Medición de Presión Hidrodinámica : Tubo de Pitot + Pr La presión hidrodinámica calcula la presión lateral (manométrica) MAS la presión debida al movimiento del fluido, tiene en cuenta la energía cinética, es decir el término que contiene la velocidad. Por ello el tubo debe enfrentar la corriente
Estos ejemplos de tubo de Pitot, son los medidores de velocidad de los aviones, que transforman el término de la presión en velocidad. TIPOS DE FLUJO Flujo laminar: Se caracteriza porque el movimiento de las partículas del fluido se produce siguiendo trayectorias bastante regulares, separadas y perfectamente definidas dando la impresión de que se tratara de laminas o capas mas o menos paralelas entre si, las cuales se deslizan suavemente unas sobre otras, sin que exista mezcla macroscópica o intercambio transversal entre ellas. Flujo turbulento: Este tipo de flujo es el que mas se presenta. En este tipo de flujo las partículas del fluido se mueven en trayectorias erráticas, es decir, en trayectorias muy irregulares sin seguir un orden establecido, ocasionando la transferencia de cantidad de movimiento de una porción de fluido a otra, de modo similar a la transferencia de cantidad de movimiento molecular pero a una escala mayor. En este tipo de flujo, las partículas del fluido pueden tener tamaños que van desde muy pequeñas, del orden de unos cuantos millares de moléculas, hasta las muy grandes, del orden de millares de pies cúbicos en un gran remolino dentro de un río o en una ráfaga de viento. Cuando se compara un flujo turbulento con uno que no lo es, en igualdad de condiciones, se puede encontrar que en la turbulencia se desarrollan mayores esfuerzos cortantes en los fluidos, al igual que las pérdidas de energía mecánica, que a su vez varían con la primera potencia de la velocidad.
. Flujo laminar alrededor de obstáculos de diferentes formas FLUJO LAMINAR Y TURBULENTO VISCOSIDAD La viscosidad es la oposición de un fluido a las deformaciones tangenciales A F= η v d η: Viscosidad Unidades SI.. cgs... N. s m dina. s cm = poise -
EJERCICIOS DE APLICACIÓN RESUELTOS 7.84 Por un tubo en desnivel fluyen 00 litros de agua por segundo. La presión en el extremo más bajo es de 1,9 atm. El extremo más alto se encuentra a 6 m de altura con respecto al nivel del extremo inferior. El diámetro del tubo en el extremo más bajo y más alto son, respectivamente, 30 cm y 0 cm. Cuál es la velocidad en ambos extremos? Cuál es la presión en el extremo más alto?
7. 87 Un chorro de agua sale horizontalmente del agujero cerca del fondo del tanque de la figura. Si el agujero tiene un diámetro de 3,5 mm cuál es la altura h del nivel de agua del tanque? Se calcula el tiempo de caída de una partícula de agua del chorro Δy. 1m Δy = voy. Δt 1/. g. Δt Δt = = = 0, 45 s g 9, 8m / s Se calcula la velocidad con que sale el chorro: Δx 0, 60m v ox = = = 1, 33m / s Δt 0, 45 s Al aplicar Bernoulli entre la superficie libre del líquido y la salida del chorro, como el diámetro del chorro es muy pequeño respecto de las dimensiones del tanque, la velocidad de salida del chorro es la misma que una partícula en caída libre desde la superficie libre del líquido (Ley de Torricelli) v =.g.h ( 133, m / s) v h = =.g. 9, 8m / s h = 0, 09m 9cm 7.88 Un tanque T de grandes dimensiones abierto a la atmósfera, alimenta a una cañería de sección variable que vierte agua en el recipiente R. Datos: La presión atmosférica es de 1,013. 10 5 Pa El caudal con que fluye el agua, cuando la canilla C está abierta, es de 0,005 m 3 /s La altura del tanque, desde la superficie libre del agua hasta la altura del punto A es h A = 10 m El diámetro de la cañería en el punto A es d A = 0 cm El diámetro de la cañería en el punto B es d B = 50 cm La cañería, entre los puntos A y B, tiene una diferencia de altura h= 4m El diámetro del recipiente R es d R = m y su altura es de 3m a) Qué presión soporta el punto B cunado la canilla C está cerrada? b) Qué velocidad tiene el agua en el punto A cuando la canilla C está abierta? c) Qué presión soporta el punto A cuando la canilla C está abierta? d) Cuál es la presión hidrodinámica que soporta el punto B cuando la canilla C está abierta? e) Cúanto tiempo se tarda en llenar el recipiente R? f) Cuántos m 3 contiene el recipiente R a los 10 segundos después de comenzar a llenarse? g) Si una vez que está lleno el recipiente R se le practica un agujero muy pequeño a la mitad de su altura con qué velocidad sale el agua por ese orificio? Indique qué consideraciones debe realizar.
a) h B = 0 b) c)velocidad del tanque despreciable frenta a las dimensiones del tanque d) Punto de referencia B h b = 0 e) f) g) La velocidad con que baja el nivel del agua en el tanque es despreciable frente a la velocidad de salida del orifico