Lugares Geométricos Ejercicio nº.- Halla el lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que su distancia a Q(, ) sea igual a. De qué figura se trata? Ejercicio nº.- Obtén la ecuación de la mediatriz del segmento de etremos A(, ) B(, ). Ejercicio nº.- Cuál es el lugar geométrico cua suma de distancias a los puntos A(0, ) B(0, ) es 8?. Halla su ecuación. Ejercicio nº.- Identifica halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que su distancia a la recta r : 0 sea igual que su distancia a la recta r : 0. Ejercicio nº.- Halla la ecuación de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas r : 0 r : 0. Ejercicio nº 6.- Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que su distancia al punto A(, 0), es el triple de su distancia a la recta. Identifica la figura que obtienes. Ejercicio nº 7.- Halla el lugar geométrico de los puntos, P, del plano cua distancia a A(, 0) sea el doble de la distancia a B(, 0). Identifica la figura resultante. Ejercicio nº 8.- Halla el lugar geométrico de los puntos del plano, P(, ), tales que el triángulo ABP sea rectángulo en P, siendo A(, ) B(6, ). Interpreta la figura que obtienes. Ejercicio nº 9.- Halla el lugar geométrico de los puntos del plano cua suma de cuadrados de distancias a los puntos A(, 0) B(, 0) es 0. Identifica la figura resultante.
Ejercicio nº 0.- Obtén el lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que: dist P, A dist P, r, siendo A,0 r : Qué figura obtienes? Circunferencia Ejercicio nº.- Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(, ) B(, ) tiene su centro en la recta. Ejercicio nº.- Halla la ecuación de la circunferencia tangente a la recta 0 cuo centro es el punto de intersección de las rectas 7 0 0. Ejercicio nº.- Escribe la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (, ) que es tangente a la recta 0. Ejercicio nº.- Obtén la ecuación de la circunferencia de radio que pasa por los puntos (, 0) (, ). Ejercicio nº.- a) Halla el centro el radio de la circunferencia de ecuación: 8 8 0 b) Escribe la ecuación de la circunferencia de radio, que es concéntrica a la del apartado anterior. Ejercicio nº 6.- Halla la posición relativa de la recta r: con respecto a la circunferencia 0
Ejercicio nº 7.- Estudialaposiciónrelativ ade larecta 6 0 0. 8 la circunferencia Ejercicio nº 8.- Halla la posción relativa de la recta 0 con respecto a la circunferencia 0. Si se cortan en algún punto, halla sus coordenadas. Ejercicio nº 9.- Estudia la posición relativa de la recta r: la circunferencia 0. Ejercicio nº 0.- Obtén el valor de k para que la recta s: k 0 sea tangente a la circunferencia 6 6 0. Cónicas Ejercicio nº.- Identifica estas cónicas, halla sus elementos dibújalas: a) 6 b) 0 Ejercicio nº.- Describe las siguientes cónicas, obtén sus elementos represéntalas: a) 00 b) Ejercicio nº.- Identifica las siguientes cónicas, dibújalas halla sus focos su ecentricidad: a) 6 b) 9
Ejercicio nº.- Dadas las siguientes cónicas, identifícalas, obtén sus elementos característicos represéntalas gráficamente: a) 6 9 b) 9 9 Ejercicio nº.- Halla los elementos característicos de las siguientes cónicas, descríbelas represéntalas gráficamente: a) 9 b) 00 00 Ejercicio nº 6.- Escribe la ecuación de la siguiente hipérbola halla sus semieje, sus focos, su ecentricidad sus asíntotas: Ejercicio nº 7.- Halla el foco, la directriz la ecuación de la siguiente parábola:
Ejercicio nº 8. Pon la ecuación de la siguiente hipérbola, su semieje, sus focos, su ecentricidad sus asíntotas: Ejercicio nº 9.- Escribe la ecuación de la siguiente elipse halla sus semiejes, sus focos su ecentricidad: Ejercicio nº 0.- Halla los semiejes, los focos la ecentricidad de la siguiente elipse. Escribe su ecuación:
Soluciones ejercicios de Lugares Geométricos Ejercicio nº.- Halla el lugar goemétrico de los puntos, P, del plano tales que su distancia a Q(, ) sea igual a. De qué figura se trata? Es una circunferencia de centro (, ) radio. Hallamos su ecuación: Si P(, ) es un punto del lugar geométrico, tenemos que: dist (P, Q), es decir:. Elevamosalcuadrado operamos: 9 8 0 Ejercicio nº.- Obtén la ecuación de la mediatriz del segmento de etremos A(, ) B(, ). Los puntos P(,) de la mediatriz cumplen que: dist (P, A) dist (P, B), es decir: Elevamos al cuadrado en los dos miembros operamos: 6 9 8 6 0 0 Es una recta perpendicular al segmento AB, que pasa por su punto medio. Ejercicio nº.- Cuál es el lugar geométrico cua suma de distancias a los puntos A(0, ) B(0, ) es 8?. Halla su ecuación. Es una elipse de focos A B constante k 8. Hallamos su ecuación: Si P(, ) es un punto del lugar geométrico, tenemos que: dist (P, A) dist (P, B), es decir: Elevamos al cuadrado operamos para simplificar: 6
7 8 6 8 6 6 8 8 6 8 Dividimosentre:. Esunaelipse.. Ejercicio nº.- Identifica halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que su distancia a la recta r : 0 sea igual que su distancia a la recta r : 0. Las dos rectas dadas, r : 0 r : 0, son rectas paralelas. Por tanto, el lugar geométrico pedido será otra recta, paralela a las dos, a igual distancia de ellas: Hallamos su ecuación: Si P(, ) es un punto del lugar geométrico, tenemos que: dist (P, r ) dist (P, r ), es decir: Observamos que la recta obtenida es paralela a r r.
Ejercicio nº.- Halla la ecuación de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas r : 0 r : 0. Los puntos P(, ) de las bisectrices cumplen que: dist (P, r ) dist (P, r ), es decir: 0 0 Son dos rectas perpendiculares entre sí, que se cortan en el mismo punto que r r. Ejercicio nº 6.- Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que su distancia al punto A(, 0), es el triple de su distancia a la recta. Identifica la figura que obtienes. Si P(, ) es un punto del lugar geométrico, tenemos que: dist P, A dist P,, esdecir :. Elevamosal cuadrado operamos: 9 9 6 6 8 0. Esunahipérbola. Ejercicio nº 7.- Halla el lugar geométrico de los puntos, P, del plano cua distancia a A(, 0) sea el doble de la distancia a B(, 0). Identifica la figura resultante. Si P(, ) es un punto del lugar geométrico, tenemos que: dist P, A dist P, B, esdecir:. Elevamosal cuadrado operamos: 8
9. radio 0 Esunacircunferenciadecentro. 0 0 8, Ejercicio nº 8.- Halla el lugar geométrico de los puntos del plano, P(, ), tales que el triángulo ABP sea rectángulo en P, siendo A(, ) B(6, ). Interpreta la figura que obtienes. Para que el triángulo sea rectángulo en P, se ha de cumplir que: 0 6 0,, PB PA PB PA esdecir: 0 ; 0 6 0 6 6 Obtenemos una circunferencia de centro (, ) (que es el punto medio del segmento AB) de radio. Ejercicio nº 9.- Halla el lugar geométrico de los puntos del plano cua suma de cuadrados de distancias a los puntos A(, 0) B(, 0) es 0. Identifica la figura resultante. Solucion: Si P(, ) es un punto del lugar geométrico, ha de tenerse que: : esdecir 0; B P, dist A P, dist 8 0 6 8 6 8 0 Obtenemos una circunferencia de centro (0, 0) radio.
Ejercicio nº 0.- Obtén el lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que: dist P, A dist P, r, siendo A,0 r : Qué figura obtienes? Si P(, ) es un punto del lugar geométrico, tenemos que: dist P, A dist P, r, esdecir: dist P, A dist P, r. Elevamosal cuadrado operamos: 8 6 6 0. Esunahipérbola. 6 Circunferencia Ejercicio nº.- Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(, ) B(, ) tiene su centro en la recta. Si tiene su centro en la recta, las coordenadas de este son C(, ). La distancia de A al centro ha de ser igual que la distancia de B al centro (esta distancia es el radio de la circunferencia): dist (A, C) dist (B, C) 8 6 6 El centro de la circunferencia es C(, ). Elradioes: r dist A, C La ecuación será: ( ) ( ) 0 0
Ejercicio nº.- Halla la ecuación de la circunferencia tangente a la recta 0 cuo centro es el punto de intersección de las rectas 7 0 0. Hallamos su centro: 7 0 0 7 7 0 9 0 El centro es C(, ). El radio, R, es igual a la distancia del centro a la recta tangente: R dist 8 0 C, r La ecuación será: ( ) ( ) 6 0 Ejercicio nº.- Escribe la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (, ) que es tangente a la recta 0. El radio, R, de la circunferencia es igual a la distancia del centro a la recta dada: R dist C, r La ecuación será: 6 9 0 6 0 00 0 0 0
Ejercicio nº.- Obtén la ecuación de la circunferencia de radio que pasa por los puntos (, 0) (, ). El centro de la circunferencia pertenece a la mediatriz del segmento de etremos A(, 0) B(, ): 0 Punto mediode A B M,, Pendientedelarecta quepasa por A B 0 m Pendientedelamediatriz(perpendic ular) m Ecuación de la mediatriz: ( ) Las coordenadas del centro de la circunferencia son C(, ). La distancia del centro a los puntos A B debe ser igual a : dist A, C 9 6 8 6 0 0 6 0 Ha dos soluciones: Centro (, 0) radio : ( ) 6 0 Centro (, ) radio : ( ) ( ) 0 Ejercicio nº.- a) Halla el centro el radio de la circunferencia de ecuación: 8 8 0 b) Escribe la ecuación de la circunferencia de radio, que es concéntrica a la del apartado anterior. a) 8 8 0 6 0
6 Centro,, Radio 9 9 b) La circunferencia tiene radio centro (, ). Su ecuación será: ( ) ( ) 6 0 Ejercicio nº 6.- Halla la posición relativa de la recta r: con respecto a la circunferencia 0 Hallamos el centro el radio de la circunferencia: Centro C,, Radio R Hallamos la distancia del centro a la recta dada: dist C,r, radio Por tanto, la recta es eterior a la circunferencia. Ejercicio nº 7.- Estudialaposiciónrelativ ade larecta 6 0 0. 8 la circunferencia Hallamos el centro el radio de la circunferencia: Centro C, 6 6, Radio r 6 9 0 Hallamos la distancia del centro a la recta dada: 8 s : 8 8 0 dist 9 8 C, s radio Como la distancia del centro a la recta es igual al radio, la recta es tangente a la circunferencia.
Ejercicio nº 8.- Halla la posción relativa de la recta 0 con respecto a la circunferencia 0. Si se cortan en algún punto, halla sus coordenadas. Como tenemos que hallar los posibles puntos de corte, resolvemos el sistema: 0 0 0 60 9 0 6 60 9 00 0 6 Se cortan en el punto (, ). Por tanto, son tangentes. Ejercicio nº 9.- Estudia la posición relativa de la recta r: la circunferencia 0. Hallamos el centro el radio de la circunferencia: Centro C,, Radio R 9 Hallamos la distancia del centro a la recta dada: dist C,r 79, radio Por tanto, la circunferencia la recta son secantes. Se cortan en dos puntos. Ejercicio nº 0.- Obtén el valor de k para que la recta s: k 0 sea tangente a la circunferencia 6 6 0. Hallamos el centro el radio de la circunferencia: 6 6 0
6 Centro C,, Radio r 9 6 Hallamos la distancia del centro a la recta dada: dist C, s k k Para que la recta sea tangente a la circunferencia, esta distancia ha de ser igual al radio: k k k k k k Ha dossoluciones : k ; k Cónicas Ejercicio nº.- Identifica estas cónicas, halla sus elementos dibújalas: a) 6 b) 0 a) Es una elipse de centro P(0, ). Semieje maor: 6; semieje menor: Focos : F, F', Ecentrici dad: 0, 6 b) 0
Vértice: Esunaparábola: Foco: Directriz: 0,, 0 0 Ejercicio nº.- Describe las siguientes cónicas, obtén sus elementos represéntalas: a) 00 b) a) 00 Semiejemaor: Semiejemenor: Es una elipse: Focos : F Ecentricidad, 0 F', 0 0, 9 b) 6
Semieje: Focos : F Esunahipérbola: Ecentricidad Asíntotas: 0, F' 0, ;, Ejercicio nº.- Identifica las siguientes cónicas, dibújalas halla sus focos su ecentricidad: a) 6 b) 9 a) Es una hipérbola de centro P(, 0). Losfocosson: F, 0 F ', 0 Laecentrici dades: e, Lasasíntotasson: ; 7
b) Semiejemaor: 7 Semiejemenor: Es una elipse: Focos : F Ecentricidad 0, F' 0, 7 0, 7 Ejercicio nº.- Dadas las siguientes cónicas, identifícalas, obtén sus elementos característicos represéntalas gráficamente: a) 6 9 b) 9 9 a) Es una elipse de centro P(, ). Semieje maor: ; semieje menor: Focos: F 7, F' 7, Ecentrici dad: 7 0,66 b) 9 9 9 8
Esunahipérbola: Semieje: Focos : F 0 Ecentricidad 0, Asíntotas: ; 0, 0 F' 0, 0 Ejercicio nº.- Halla los elementos característicos de las siguientes cónicas, descríbelas represéntalas gráficamente: a) 9 b) 00 00 a) Es una hipérbola. Semieje: Focos: F 0, F' 0, Ecentrici dad:,8 Asíntotas: ; b) 00 00 00 9
Semiejemaor: 0; Esunaelipse: Focos: F Ecentricidad: 0 semiejemenor:, 0 F', 0 0, 87 Ejercicio nº 6.- Escribe la ecuación de la siguiente hipérbola halla sus semieje, sus focos, su ecentricidad sus asíntotas: Ecuación: 9 Semieje: Focos: F, 0 F ', 0 Ecentrici dad:, Asíntotas: ; Ejercicio nº 7.- Halla el foco, la directriz la ecuación de la siguiente parábola: 0
Directriz:. Foco (, 0). Ecuación: Ejercicio nº 8. Pon la ecuación de la siguiente hipérbola, su semieje, sus focos, su ecentricidad sus asíntotas: Ecuación: 9 Semieje: Focos: F 0, F ' 0, Ecentrici dad:,8 Asíntotas: ; Ejercicio nº 9.- Escribe la ecuación de la siguiente elipse halla sus semiejes, sus focos su ecentricidad:
Ecuación: 9 Focos: F, F ', Semieje maor: ; semieje menor: Ecentrici dad: 0,7 Ejercicio nº 0.- Halla los semiejes, los focos la ecentricidad de la siguiente elipse. Escribe su ecuación: Semieje maor: ; semieje menor: Focos : F 0, F' 0, Ecentrici dad: Ecuación: 0,87 6