IV. SISTEMAS DE COORDENADAS Y ALGUNOS CONCEPTOS BÁSICOS

IV. SISTEMS DE OORDENDS Y LGUNOS ONEPTOS ÁSIOS 4.. LOLIZIÓN DE PUNTOS EN L RET NUMÉRI El métoo e coorenaas es un proceimiento que nos permite eterminar la posición e un punto en el espacio, en un plano en particular sobre la recta meiante el uso e números llamaos coorenaas. Por ejemplo, cuano viajamos por alguna carretera, la posición e un punto se inica en pequeños postes ubicaos a un costao el camino, inicano el kilometraje, sieno este la coorenaa e ese lugar. La recta numérica o eje numérico es la recta sobre la que están inicaos el origen e coorenaas, la unia e meia la irección positiva meiante una flecha. Una vez que se ha establecio una corresponencia biunívoca entre números reales puntos e la recta, one resulta que a caa punto e la recta correspone un número eterminao viceversa. Para eterminar la posición e un punto sobre esta recta numérica (o recta real), es suficiente esignar un número, por ejemplo el 4 (esto significa que icho punto se localiza a una istancia e 4 uniaes e meia el origen e coorenaas en la irección positiva). En general, la coorenaa e un punto sobre la recta numérica, es el número que etermina la posición e icho punto sobre este eje. La coorenaa e un punto sobre la recta numérica, es igual a la istancia entre el punto el origen e coorenaas e acuero con la unia e meia elegia, con signo positivo si el punto se encuentra en la irección positiva el origen con signo menos en caso contrario. La coorenaa el origen es el cero. Es costumbre enotar puntos sobre la recta numérica como: ( 4), T, M (.), S( a), etc. 7

EJEMPLOS 7. ) Localice sobre la recta numérica los puntos ( ),, () 5 ) Encuentre sobre la recta numérica os puntos M S que estén a la istancia e uniaes el punto T. ) uál e los puntos ( a) ( a) está a la erecha si a <? omo a es negativa, entonces a es positiva, por lo tanto el punto está a la erecha el punto. 4) Localice sobre la recta numérica los puntos ( ) ( 9) punto meio el segmento obtenga la coorenaa el 9 6 ; M () 74

5) Señale sobre la recta numérica o recta real toos los puntos para los cuales se cumple que: a) < b) c) 5 > ) < < e) < a) b) c) ) e) EJERIIOS 5 ) Marque sobre la recta numérica los puntos 4 ) Marque sobre la recta numérica el punto ( ), (.), ( 7), D ( 4.5), ( ) E. F encuentre las coorenaas e os puntos sobre la misma recta que estén a la istancia e.5 uniaes el punto F. ) uál e los puntos o está a la erecha en caa inciso? a) ( ), ( ) b) () c, ( c + ) c) ( ), ( ) ) ( ), ( a) 75

4) Localice sobre la recta numérica los puntos M ( 5) ( ) punto meio el segmento MR. R obtenga la coorenaa el 5) Señale sobre la recta numérica los puntos, para los cuales se cumple: a) b) < c) 5 ) > > e) 4.. OORDENDS RTESINS Y POLRES EN EL PLNO Recoremos el capítulo I que el Proucto artesiano genera too el Plano artesiano, en el que se han consierao ejes o rectas numéricas (en los que generalmente las uniaes e meia se toman iguales) perpeniculares entre si cuo origen e coorenaas coincien, al eje horizontal se le llama eje e las abscisas o eje, al eje vertical se le llama eje e las orenaas o eje, queano así efinias 4 regiones llamaas cuarantes I, II, III IV como se muestra en la figura. La posición e cualquier punto sobre el Plano artesiano quea totalmente eterminaa cuano se conocen sus coorenaas escribiénose así: (, ). En primer lugar se anota la abscisa (la ) en seguno lugar se anota la orenaa (la ). Tomemos sobre el plano un punto cualquiera N tracemos ese él perpeniculares a los ejes, los puntos e intersección N N se les llama proecciones el punto N sobre los ejes coorenaos, al punto N le correspone un número eterminao (su coorenaa sobre este eje ), al punto N le correspone un número eterminao (su coorenaa en este eje ). De esta manera, a caa punto situao sobre el plano coorenao le corresponen os números e, llamaos coorenaas rectangulares cartesianas el punto N viceversa, a caa pareja orenaa e números (, ) le correspone un punto el Plano oorenao artesiano, a esto se le llama una corresponencia biunívoca entre,. puntos el plano pares orenaos e números ( ) De este moo, las coorenaas rectangulares cartesianas e cualquier punto en el plano son las coorenaas e las proecciones e este punto sobre los ejes coorenaos. 76

EJEMPLOS ) Localizar sobre el plano coorenao los siguientes puntos: ( 6,), ( 4, ) D (, ), E (,), F (,5), G ( 4,), H (, 4), O (,),, 4, ) onteste caa uno e los siguientes incisos: a) Sin ibujar, iga en qué cuarante está situao el punto (, ). b) Si la abscisa e un punto es negativa, en qué cuarante puee estar situao icho punto? c) Un punto situao sobre el eje con coorenaa, cuáles son sus coorenaas en el plano? a) uarto cuarante b) En el tercero o el seguno cuarante, c) ( ) ) Halle cuatro puntos (cualesquiera) que sean los vértices e un cuarao. Por ejemplo los puntos (,), (, ), (, ), D (,) 77

4) Sobre el plano coorenao se an los puntos ( ),, ( ),,, se pregunta cuáles eben ser las coorenaas el punto para que el cuarilátero O sea un paralelogramo? O, ( ) 5) onteste caa una e las siguientes preguntas: a) Qué signo tienen las coorenaas e cualquier punto situao en el cuarante II en el cuarante IV? b) uál es el valor e la orenaa e cualquier punto situao sobre el eje? a) El signo e cualquier punto situao en el cuarante II es (, + ) en el cuarante IV es ( +, ). b) ualquier punto situao sobre el eje tiene orenaa cero (,) con. En el plano también se cuenta con otros sistemas e coorenaas que se iferencian e las cartesianas, por ejemplo, las oorenaas Polares. En one las coorenaas polares e un punto en el plano se puee efinir e la siguiente manera: Se traza en el plano un eje numérico horizontal llamao Eje Polar, el origen e coorenaas O se llama polo. Un punto N cualquiera (iferente el origen o polo) sobre el plano polar quea eterminao inicano os números: r (raio polar) que es la istancia el punto N al polo O θ que es el ángulo polar (es el ángulo e rotación que se mie ese el eje polar hasta el raio polar) puee meirse en raianes o en graos, se acostumbra escribir como N r,θ. ( ) 78

El origen e coorenaas polares tiene coorenaas O (,). Un ángulo polar positivo ( θ > ) se genera en el sentio contrario al movimiento e las manecillas el reloj es negativo ( θ < ) si es generao en el sentio e estas, el punto N se localiza en sentio contrario a partir el origen, una vez que se ha generao el ángulo θ, esto es: girano π θ + π. uano el raio polar r es negativo ( r < ) θ + ó ( ) En el plano polar no poemos hablar e corresponencia biunívoca entre pares ( r,θ ) puntos el plano polar a que un mismo punto puee quear representao por múltiples pares ( r,θ ) si agregamos al ángulo θ un múltiplo entero e π, es ecir, r, θ + nπ con n. ( ) EJEMPLOS Localice sobre un plano polar los siguientes puntos: 5 ), ) ( 4,45 ) ), π 4), π ) ) ) D 5) E (, 6 ) 79

4) 5) EJERIIOS ) Localizar sobre el plano coorenao cartesiano los siguientes puntos:, P, P ( 4,), P (.5, ), P (, 5), P (, ) 4 5 ) onteste caa uno e los siguientes incisos: a) Si la orenaa e un punto es negativa, en qué cuarante puee estar situao icho punto? b) Un punto cualquiera situao sobre el eje, cuáles son sus coorenaas en el plano? c) Sin ibujar, iga en qué cuarante está situao el punto (, ) ) Halle puntos (cualesquiera) que sean los vértices e un triángulo rectángulo. 4) Daos los puntos (,4) ( 4,), encuentre las coorenaas el punto ( ) que sea el punto meio el segmento 5) onteste caa una e las siguientes preguntas: M, tal M M a) Qué signo tienen las coorenaas e cualquier punto situao en los cuarantes I III? b) uál es el valor e la abscisa e cualquier punto situao sobre el eje? 6) Localice sobre un plano polar los siguientes puntos: 5 a), F, b) ( 4, 45 ) G, c), π H, ), π I, e) J (,6 ) 8

4.. OORDENDS RTESINS EN EL ESPIO TRIDIMENSIONL La posición e un punto cualquiera en el espacio e tres imensiones se puee eterminar por meio e coorenaas cartesianas rectangulares si consieramos rectas o ejes numéricos perpeniculares entre si coinciieno sus orígenes como se muestra en la siguiente figura: ualquier punto que se localice sobre este espacio triimensional se escribe en forma orenaa (,, z) con z,, primero la (la abscisa), luego la (la orenaa) por último la z (la cota). El punto O (,) es el origen e referencia e los tres ejes coorenaos. En este espacio triimensional quean eterminaos planos e coorenaas, el plano que pasa por los ejes e, one se localizan toos los puntos e la forma (,,), el plano z que pasa por los ejes z, one se localizan toos los puntos e la forma (,, z) por último el plano z que pasa por los ejes z one se localizan toos los puntos e la forma (,, z), queano así iviio en 8 regiones (octantes), 4 arriba el plano 4 abajo el mismo. 8

Una forma para obtener las coorenaas e un punto cualquiera N (, z), en el espacio es proceer a encontrar las proecciones el punto N sobre los ejes coorenaos, meiante las perpeniculares bajaas ese el punto N hasta los ejes coorenaos: primero bajamos la proección el punto N al plano, meiante paralelas a los ejes obtenemos los puntos N N, con estos puntos el punto N formamos un paralelepípeo como se muestra en la figura, para obtener el punto N, las coorenaas e N, N N N,, z. son las coorenaas e ( ) Recíprocamente, cualquier punto e coorenaas (, z), le correspone un punto el espacio triimensional así poemos ecir que se ha establecio una corresponencia biunívoca entre puntos el espacio ternas orenaas e números reales. EJEMPLOS ) Dibujar en el espacio triimensional la ubicación el punto e coorenaas (,,) ) Encontrar las coorenaas e toos los vértices el paralelepípeo el ejemplo anterior. (,,), (,,), (,,), D (,,), (,,), (,,), D (,,), (,,) 8

) Los puntos e coorenaas (,,4), (,,4), (,,4 ), D (,,4), (,,) (,,), (,, ), D (,,) son los vértices e un cubo, ibujarlo., 4) Dibujar un plano que pase por el punto (,,) que sea paralelo al plano z. 5) Dibujar un plano que pase por el punto (,,) sea paralelo al plano z. 8

EJERIIOS ) Dibuje en el espacio triimensional la ubicación el punto e coorenaas T (,,) ) Obtener las coorenaas e toos los vértices el paralelepípeo el ejercicio anterior. ) Los puntos e coorenaas (,,), (,,), (,,), D (,,), E (,4,), (,4,) (,,), (,,) son los vértices e un trapezoie, ibújelo. 4) Dibujar un plano que pase por el punto P (,,) que sea paralelo al plano 5) Dibujar un plano que pase por los puntos Q (,,), R (,,) S (,,) F, 4.4. EN L RET: SEGMENTO DIRIGIDO. DISTNI ENTRE DOS PUNTOS. OORDENDS DEL PUNTO QUE DIVIDE L SEGMENTO EN UN RZÓN DD Hasta ahora, el métoo e coorenaas en matemáticas nos ha permitio eterminar numéricamente la posición e un punto cualquiera sobre una línea recta, en el plano en el espacio triimensional, esto nos a la posibilia e estuiar iversos tipos e problemas geométricos e figuras en general, representánolos numéricamente estuiarlos por meio e álgebra. SEGMENTO DIRIGIDO Toa recta tiene os irecciones contrarias, cuano se elige una e ellas se le llama recta orientaa, cua irección quea bien eterminaa es costumbre marcarla por meio e una flecha. Un segmento e recta es una parte e esta, limitaa por os puntos llamaos etremos el segmento, llamano a uno e ellos el primero al otro el seguno el primero recibe el nombre e origen (o inicial) el seguno se llama final el segmento. Un segmento e recta cuos etremos se han orenao como se ha icho se llama segmento irigio se enotan meiante letras cuo oren como se ha icho es mu importante, por ejemplo, el segmento irigio inica que el origen es el final es el segmento irigio es iferente el pues son e sentios contrarios e iferente signo. Geométricamente en un segmento irigio se eben eterminar os irecciones, la el propio segmento la e la recta que lo contiene. 84

La irección el segmento es iferente a la irección el segmento o sea Para obtener la istancia irigia el segmento, la regla es obtener la iferencia entre el punto final el segmento el punto inicial, o sea: o EJEMPLOS Obtener la istancia irigia en caa inciso: ) ( ), ( 7) ) ( ), ( 5) ) ( 8), ( ) 4) ( 6), ( ) 5) ( ), ( 6) ) 7 5 ; 7 5 ) 5 ( ) 5 + 8 ; 5 8 + 8 + ) ( 8) 8 5 ; ( ) 8 5 4) 6 8 6 + ; ( ) 6 8 85

5) 6 ( ) 6 + 5 ; ( 6) + 6 5 DISTNI ENTRE DOS PUNTOS onsieremos os puntos cualesquiera sobre un eje numérico eterminaos por sus coorenaas ( ) ( ), la istancia entre el punto el punto es la misma que la istancia entre el punto el punto esta se representa con el valor absoluto e la iferencia e coorenaas e los puntos, esto es: ( ) ( ) Nota: No olviar que el valor absoluto e too número real es no negativo o sea que si a entonces: a a si a a a si a < gráficamente significa la istancia ese el punto a hasta el origen e coorenaas, por lo tanto los puntos a a están a la misma istancia el origen e coorenaas. EJEMPLOS En caa inciso hallar la istancia entre los puntos ) ( 5), ( ), ) ( ), ( ) ) ( ), ( 5), 4) ( 7), ( ) 5) ( 4), ( 4) ) ( ) ( 5) + 5 4 4 ( ) 5 ( ) 5 + 4 4 se tiene que ( ) ( ) 4 ) ( ) ( ) + 6 6 86

) ( ) 5 ( ) 5 5 4) ( ) 7 4 4 5) ( ) 4 4 OORDENDS DEL PUNTO QUE DIVIDE L SEGMENTO EN UN RZÓN DD Supongamos tres puntos istintos sobre una recta numérica eterminaos por sus el origen e un segmento coorenaas ( ), ( ) ( ), consieremos el punto ( ) irigio, el punto ( ) el final el segmento el punto ( ) el punto ivisorio. La razón en la que el punto ivie al segmento irigio se esigna con la letra r se escribe r Las posibiliaes e ubicación el punto respecto al segmento pueen ser las siguientes: Esto quiere ecir que el punto en el caso () ivie al segmento interiormente en los casos () () lo ivie eteriormente en cualquiera e los casos la razón r es la misma. r puee tomar cualquier valor real: r o (, ) r. El valor r será positivo si el punto se localiza entro el segmento será negativo cuano se encuentre fuera el segmento. Si el punto coincie con el punto el segmento irigio el valor e r si coincie con el punto, el valor e r no está efinio (se puee representar con el símbolo r ). Si el valor e r, no eiste solución. El problema e la ivisión e un segmento en una razón r tiene una sola única solución (ecepto cuano r como a se ijo). 87

caa valor r le correspone en la recta numérica que contiene al segmento un cierto punto recíprocamente, a esto recoremos, se llama una corresponencia biunívoca. La forma en que se istribuen los iferentes valores e r gráficamente e acuero a la posición el punto es: De acuero al sistema e coorenaas, analíticamente se tiene: Si r (I) espejano se tiene: r ( ) r r r + + r r + + r + + r ( r) quí tenemos os fórmulas, la (I) permite eterminar r a través e, la (II) permite eterminar a través e r, no poemos iviir entre cero. EJEMPLOS (II), ánonos cuenta porqué r, a que En caa inciso, obtener la coorenaa el punto que ivie al segmento según la razón aa. ) ( ), (), r r + nalíticamente aplicano la fórmula (II) + r ( )( ) + ( ) 6 4 sustitueno valores: + gráficamente se tiene: 88

Esto qué significa?, observa que la istancia que ha e a son la istancia e 5 a son, entonces la relación e istancias 5 que es la razón aa. ) ( ), (), r En la misma forma r + + r + () + ( ) 4 7 7 Si 5 que es la razón aa. ) ( ), (), r r + + r sustitueno valores: ( )( ) + ( ) + ( ) 9 5.5 89

5 Si 5 que es la razón aa. En caa inciso obtener la razón en que el punto ivie al segmento 4) ( ), (), () plicano la fórmula (I) r sustitueno valores: ( ) r + gráficamente: miieno istancias: que es la razón calculaa. 5) ( ), (), ( 7) De la misma manera: r ( ) 7 7 7 + 4 9 4 con istancias: 9 4 9 4 que es la razón calculaa. 9

EJERIIOS En caa inciso, obtenga la istancia irigia 5, ) ( 4) ) (.5), () 8 6 ) 4) ( ), () 5, ( ) 5) () 5, ( ) En caa inciso obtenga la istancia entre los puntos T N. 6) T ( 7), N ( ) 7) N 4 8) T ( 5), N ( ) 9) T (.5), N () 8 N 4 T, () ) ( ) T, ( ) En caa inciso, obtenga la coorenaa el punto que ivie al segmento según la razón aa. ) (), ( ) ) ( ), ( ) ) ( 5), r 7, r, r, ( ) En caa inciso, obtenga la razón en que el punto ivie al segmento. 4), (.5), ( 4) 5) ( ), ( 4), ( 5) 9

4.5. EN EL PLNO: DISTNI ENTRE DOS PUNTOS. OORDENDS DE UN PUNTO QUE DIVIDE UN SEGMENTO EN UN RZÓN DD DISTNI ENTRE DOS PUNTOS Encontrar la istancia entre puntos el plano conocias sus coorenaas, requiere e un proceimiento algebraico que con solo inicar las operaciones que se eben realizar con los números aos (las coorenaas e los puntos) el oren en que estas se eben efectuar se puea obtener el número buscao (la istancia entre los puntos). Para mostrar esto, es e gran aua recurrir al ibujo el problema empezano por el más sencillo, que es el que uno e los puntos aos sea el origen e coorenaas el otro P,. punto sea cualquier otro ( ) P P son las proecciones el punto P sobre los ejes coorenaos. La istancia el origen O a P es ( ( OP ) ) la istancia e P a P es ( ( P P) ). El triángulo OP P es rectángulo por el Teorema e Pitágoras: ( OP) [ ( OP )] + [ ( P P) ] + Repitieno el mismo razonamiento para el caso general, es ecir, cuano ninguno e los puntos coincia con el origen e coorenaas se tiene que: ( ) [ ( ) ] [ ( D) ] + ( ) [ ( )] [ ( )] + ( ) ( ) + ( ) o también ( ) ( ) + ( ) Nota: Observar que el oren correcto e las operaciones es mu importante para evitar errores. Si los puntos quean ubicaos en cualquier lugar el plano e coorenaas, la fórmula no cambia. 9

EJEMPLOS ) Obtener la istancia entre los puntos (, ) ( 4,) ( ) ( ) + ( ) [ ( 4) ] + ( ) ( ) ( 7) + ( ) 49 + 5 7. 7 o en el otro oren: Este resultao quiere ecir que e acuero a la unia e meia elegia, la istancia el punto al punto es e 7. 7 uniaes aproimaamente. ) Los puntos (, ), (,) (,4 ) perímetro. son los vértices e un triángulo, obtener su Sabemos que el perímetro e un triángulo es igual a la suma e las longitues e sus laos: P + +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( 4 ) + ( ) ( ) ( 7) + ( ) 49 + 5 7. 7 ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) 6 + 4 4 ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( 4 ) ( ) 4 + 6 5 ( ) ( ) + ( ) [ ( ) ] + [ 4 ( )] ( ) 6 + 6 5 P + 5 + 8. 9

) Si los puntos (,), (, ) (, ) emostrarlo. se ubican sobre una misma linea recta, on aua e la figura el problema, bastaría comprobar que la istancia e a más la istancia e a es igual a la istancia e a, o sea: ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) [ ( ) ] + [ ( ) ] + ( ) + [ ( ) ] [ ( ) ] + [ ( )] 5 + + + 4 5 + 9 6 + 4 6 + 6 4 6 6 6 Por lo tanto, sí están alineaos o lo que es lo mismo, son colineales. 4) Verificar que los puntos (,), (,5), ( 7,) ( 4, ) D son los vértices e un cuarao. Es importante señalar que si intentamos resolver un problema geométrico e esta naturaleza one se pien ciertas magnitues, miiénolas con una regla irectamente sobre el ibujo el problema lo más seguro es que se obtienen errores, por esto, se recurre al análisis (álgebra) que si nos proporciona resultaos que se pueen consierar eactos, auiliánonos con la figura para efinir criterios e solución. 94

En este caso basta comprobar que las D, pues la istancia ( D) estaría obligaa por contrucción a ser igual que las otras. istancias ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( 5 ) ( ) 9 + 6 5 5 ( D ) ( ) + ( ) ( 7 4) + [ ( )] D D ( D ) 9 + 6 5 5 ( ) ( ) + ( ) ( 7 ) + ( 5 ) Por lo tanto sí es un cuarao. ( ) 6 + 9 5 5 5) Verificar que los puntos (, ), ( 8,4) ( 5,) son vértices e un triángulo rectángulo. poánonos con la figura observamos que bastaría comprobar con el Teorema e Pitágoras que: [ ( ) ] + [ ( )] [ ( )] [ ( ) ] ( ) + ( ) ( 8 ) + [ 4 ( ) ] + 6 6 [ ( ) ] ( ) + ( ) ( 5 ) + [ ( ) ] 9 + 5 4 [ ( ) ] + [ ( ) ] 6 + 4 7 [ ( ) ] ( ) + ( ) [ 5 ( 8) ] + ( 4) 69 + 7 luego entonces sí es un triángulo rectángulo su ángulo recto ( 9 ) se localiza en el vértice. 95

OORDENDS DE UN PUNTO QUE DIVIDE UN SEGMENTO EN UN RZÓN DD. onsieremos el segmento irigio un punto perteneciente al mismo segmento, las proecciones e estos puntos sobre los ejes coorenaos son,,,,. Para obtener las coorenaas el punto (, ) que ivia al segmento según la razón r, el proceimiento es una etensión el problema e la sección 4.4 anterior con eactamente las mismas consieraciones con las proecciones e los tres puntos, sobre los ejes coorenaos, como se muestra a continuación auánonos con la siguiente figura: r r espejano e ambos respectivamente se tiene que: r + r + + r + r razón r. Que son las coorenaas el punto ( ), que ivie al segmento según la uano la razón r el problema se convierte en el caso particular e que el punto es el PUNTO MEDIO el segmento como sigue: r r + + + + r r () () + + + + + + Por lo tanto, en general las coorenaas el punto meio M e un segmento irigio, (, ) son + + + + M,, cuos etremos son ( ) 96

97 EJEMPLOS ) Obtener las coorenaas el punto ( ) M M M, que ivie al segmento según la razón r, cuos etremos son ( ), ( ) 4,. ()( ) ( ) 4 4 + + + + r r M ()( ) ( ) + + + + r r M o también: ) ( ) 7,4 ( ) 4, son los etremos el segmento, hallar la razón r en que el punto ( ), ivie al segmento. Si r, r 6 7 r, ( ) 6 4 4 r La razón es r. No olviar que este resultao inica que la magnitu e a es veces la e a, o sea, M 4 + M + M

) Los etremos e un segmento RS son R ( 8, 4) S (,4). Hallar el punto ( ) ivie al segmento según la razón r. T T, T que T rs + + r R ( ) + 8 7 4 T rs + + r R ( 4) + ( 4) 6 T ( 4, ) La magnitu e T a S es os veces la e R a T en sentios contrarios por el signo negativo. 4) on los mismos atos el problema anterior. Hallar las coorenaas el punto V (, V V ) que ivie al segmento RS según la razón r. rs + R r S + R La respuesta poemos obtenerla aplicano las fórmulas: V, V + r + r RV V R V R o aplicano irectamente la razón r r espejano V V VS S V S V o sea: RT TS V V rs + R + r rs + R + r ( )( ) + 8 ( )( 4) + ( 4) 4 + 8 4 4 8 4 V ( 4,) o con la razón: 98

r r V R ; S S V V R ; V 8 V ; espejano V 4 V ( 4) ; V ; espejano V 4 V La magnitu e R a V es os veces la e V a S en sentios contrarios por eso es negativa. RV VS 5) Obtener las coorenaas e os puntos (, ) ( ) D D al segmento en segmentos e igual magnitu, sieno (, ) ( 7,6) D, que ivien internamente. Si, r + + r + ( 7) + ( ) 7 4 99

r + + r + ( 6) + ( ) (, ) D Si D ; D r + + r ( )( 7) + ( ) + 4 D r + + r ( )( 6) + ( ) + 9 D ( 4,) Por lo tanto D D EJERIIOS ) Obtenga la istancia entre los puntos (,5) (,) ) Los puntos ( 4, ), (,), (,4) D ( 4, ) obtenga la magnitu e sus iagonales.. ) Demostrar que los puntos (, ), (,) ( 5, ) isóceles. 4) Los cuatro puntos (, ), (,5), (,6 ) ( 9,) emuéstrelo., son los vértices e un cuarilátero, son los vértices e un triángulo D son los vértices e un paralelogramo, 5) uál es la istancia más corta ese a, si antes e llegar a ha que tocar en algún punto al eje? 6) Obtenga las coorenaas e un punto ( ) razón 5 r, sieno L ( 4, ) ( 5, ) M. W W, W que ivie al segmento LM según la

7) Hallar la razón r en que el punto P (,4) ivie al segmento QR, one (,6) R ( 6,). 8) Los etremos e un segmento son (,4 ), (, ) punto ( G G ) r. G, que ivie al segmento en la razón Q. Hallar las coorenaas el 9) Obtener las coorenaas el punto meio M ( M, M ) el segmento D sieno (,4 ) D ( 5, ). ) Obtenga las coorenaas e tres puntos (, ), (, ) ( ) internamente al segmento P (, ) P ( 6, ) en 4 partes iguales., que ivien 4.6. EN EL ESPIO: DISTNI ENTRE DOS PUNTOS. OORDENDS DEL PUNTO QUE DIVIDE UN SEGMENTO EN UN RZÓN DD DISTNI ENTRE DOS PUNTOS Iniciemos por el caso más sencillo, el e la istancia entre cualquier punto en el espacio triimensional P (,, z ) el origen e coorenaas O (,), auánonos e la siguiente figura: Por el Teorema e Pitágoras, en el triángulo rectángulo OQT se tiene que: ( OQ ) ( QT ) + ( OT ) ( OQ ) + En el triángulo rectángulo OQP se tiene: ( OP ) ( OQ) + ( QP ) ( OP ) + + z Por lo tanto, la istancia entre los puntos O P es: ( OP) + + z En el caso más general, cuano los os puntos son iferentes ninguno coincie con el origen e coorenaas, sean P (,, z ) P (,, z ) como se muestra en la siguiente figura:

Observemos que los triángulos ' rectángulos P QT P Q' T ' por el Teorema e Pitágoras: ' ' ( P Q' ) ( Q' T ') + ( T P ) ( ) + ( ) ' En el triángulo rectángulo ( P P ) ( PQ) + ( ) QP P P Q : como ' ( P Q) ( P Q ) ' ( P P ) ( ) + ( ) + ( z ) z La istancia entre P P es: ( ) ( ) ( ) ( ) P P + + z z Muchos e los resultaos e la Geometría nalítica plana (os imensiones) se generalizan a la geometría el espacio triimensional como en el caso e la sección 4.5 anterior el presente 4.6. EJEMPLOS En caa inciso, encuentre la istancia entre los os puntos que se an. ) O (,,), P ( ),, ( OP ) + + z ( ) + ( ) + ( ) 9 + 4 + 4. 74 ) P (,, ), P (,, ) ( P P ) ( ) + ( ) + ( z z ) ( + ) + ( + ) + ( + ) 9 + 5 + 4 8 6. 6 ) P (,,), P (,, ) ( P P ) ( ) + ( ) + ( z z ) ( ) + ( ) + ( ) + + 4 6. 45

4) Los puntos (,,), (, 4,) (,, ) triángulo es? son los vértices e un triángulo qué tipo e ( ) ( ) + ( ) + ( z z ) ( ) + ( 4 + ) + ( ) 9 + 9 + 8 ( ) ( ) + ( ) + ( z z ) ( ) + ( + 4) + ( ) 9 + 6 + 46 ( ) ( ) + ( ) + ( z z ) ( ) + ( + ) + ( ) 6 + 9 + 46 omo la magnitu e los laos son iguales, se trata e un triángulo isósceles. 5) Encontrar sobre el eje un punto cua istancia al punto (,8,4 ) sea igual a. Si el punto que se busca está sobre el eje, sus coorenaas eben ser e la forma P,,, entonces la istancia e a P ebe ser uniaes: ( ) ( P) ( ) + ( ) + ( z z ) P P P ( P) ( ) + ( 8 ) + ( 4 ) ( P) ( ) + ( 8 ) + ( 4 ) 44 ( P) 9 + 6 + + 64 + 6 44 + 6 55, 6 ± ( 6) 4( )( 55) 6 ± 56 6 () ± 6 5, La solución son os puntos sobre el eje que cumplen con la conición peia: ( 5,,) P (,, ). P

OORDENDS DEL PUNTO QUE DIVIDE UN SEGMENTO SEGUN UN RZÓN DD Utilizano la misma figura anterior con la que obtuvimos la istancia entre os puntos el espacio triimensional, también poemos generalizar el problema e la sección 4.5 si consieramos os puntos P (,, z ) P (,, z ) que son los etremos el segmento irigio P P un tercer punto P (,, z ) que ivie al segmento según la razón r o sea P P z z r one r, r, r o espejano respectivamente a, z : PP z z r + + r ; r + + r ; rz + z + r EJEMPLOS En caa inciso, obtener las coorenaas el punto P (, z) según la razón aa. ) ( 4,,), (,, ) ; r, que ivie al segmento Si P P ; P P ; 4 ; 8 6 ; 5 ; 5 P P ; + ; + 4 9 ; 5 5 ; z z P z z P ; z z ; z 6 z ; 5 z ; z 5 Las coorenaas el punto son P,, 5 5 ) (,, ), (,,) ; r Si P P ; P P ; ; + ; ; 4

P P ; + ; + + ; ; z z P z z P ; z z ; z + z ; z ; z Las coorenaas el punto son P,, ; r ) ( 4,8,6), ( 6, 4, ) P Si P P ; P + 4 ; 6 ; + 4 + ; 4 + ; 6 P P 8 ; 4 ; 8 8 + ; 8 8 ; 6 z z P z z P z 6 ; z ; z 6 4 + z ; 6 4 z z ; z Las coorenaas el punto son P ( 6, 6, ) 4) Los vértices e un triángulo son (,,5), (, 4, ) (,, ) coorenaas e los puntos meios e caa lao. Punto meio el lao :, obtener las + + 4 ; + 4 z ; + z 5 M (,, ) Punto meio el lao : + ; + 4 + 4 z ; + z 4 M (,, ) 5

Punto meio el lao : + ; + + z ; + z 5 4 ; M (,, ) 5) Obtener las coorenaas e los etremos e un segmento que es iviio en tres,, Q 5,,. partes iguales por los puntos P ( ) ( ) Q omo los puntos P Q son internos, poemos consierar las razones QP Q Q 5 con la razón, se tiene ; ; 5 ; 8 QP 5 Q P Q ; ; ; 4 + P Q QP, P z z Q P z z Q z ; ; z ; z QP, con la razón, se tiene: P 5 P Q + ; ; ; ; ; ; ; Las coorenaas el punto son: ( 8, 4, ) P Q P P z z P z z Q P ; z ; z ; z 4 Las coorenaas el punto son: (,,4 ) EJERIIOS ) alcular la istancia el origen e coorenaas O (,,) a los puntos (,4, 4) P ( 5,, ), P (, 4,). ) Obtener sobre el eje e las orenaas un punto P (, z) P ( 7,, ) P ( ). 5,7,5 ) Los puntos (,,4 ), (, 6,) (,5,) longitu e caa lao. P,, que equiiste e los puntos son los vértices e un triángulo, calcular la 6

4) Daos los vértices e un triángulo (, 4,7), ( 5,, ) (, ) es? qué tipo e triángulo 5) El centro e gravea e una varilla e acero homogénea está en el punto G (,,5 ) uno e sus etremos está en el punto (,,7), cuáles son las coorenaas el otro etremo (,, z )? En caa inciso obtener las coorenaas el punto P (, z) según la razón aa: 6) P (,, ), ( ) P,, ; r 7) P ( 4,, 4), ( ) P 4,,6 ; r 8) P (, 4,), (,5,6) 9) P (,,8), ( 4,, ) P ; r P ; ) P (,,5), (,, ) r 4 P ; r, que ivie al segmento P P 4.7. LSIFIIÓN DE LOS POLÍGONOS POR SUS LDOS Y POR SUS ÁNGULOS POLIGONO se llama polígono a una porción e un plano limitaa por segmentos e recta. aa segmento e recta e un polígono se llama LDO. La abertura formaa por laos que parten e un mismo punto se llama ÁNGULO. El punto en el que concurren laos e un ángulo se llama VÉRTIE. Poemos clasificar a los polígonos como sigue: Por el Número e Laos triángulos ( laos), cuariláteros (4 laos), pentágonos (5 laos), heágonos (6 laos), heptágonos (7 laos), octágonos (8 laos), eneágonos (9 laos), ecágonos ( laos), enecágonos ( laos), oecágonos ( laos), penteecágonos (5 laos), icoságonos ( laos), etc. 7

ONVEXOS: Si por caa uno e sus laos se traza una recta prolongánola el polígono quea ubicao el mismo lao e la recta. ONVOS: Si por alguno e sus laos se traza una recta prolongánola el polígono quea ubicao en ambos laos e la recta. EQUILÁTEROS: Toos sus laos son e igual magnitu. EQUIÁNGULOS: Toos sus ángulos son iguales. REGULRES: Son EQUILÁTEROS EQUIÁNGULOS son ejemplos los triángulos equiláteros, los cuaraos, los pentágonos, los octágonos, etc. IRREGULRES ONVEXOS: Sus laos no toos son iguales, por ejemplo: triángulos isósceles escalenos, rectángulos, paralelogramos, trapecios, etc. ÓNVOS: omo el siguiente: Ángulo interior e un polígono se forma por laos consecutivos. Ángulo eterior e un polígono se puee formar prolongano un lao trazarlo con el lao consecutivo: 8 El número e laos e un polígono es igual al número e vértices o también igual al número e ángulos interiores. La suma e los ángulos interiores (Sai) e un polígono cualquiera se obtiene con la Sai 8 n ; n número e laos. epresión: ( )

La suma e los ángulos eteriores e un polígono conveo es e 6. Los ángulos interiores e un polígono regular son iguales sus ángulos eteriores también son iguales. Diagonal en un polígono conveo es un segmento e recta que une vértices no consecutivos. Los triángulos son una clase mu importante e polígonos que poemos clasificar como sigue: Equiláteros (el latín significa laos iguales ): tienen sus laos iguales sus ángulos iguales. POR SUS LDOS Y Isósceles (el griego significa piernas iguales ): tienen laos iguales ÁNGULOS otro iferente sus ángulos, son iguales el otro no. UNIMENTE POR SUS ÁNGULOS Escaleno (el griego significa isparejo ): tienen sus laos iferentes sus ángulos también. Rectángulo: Uno e sus ángulos es recto ( 9 ) Oblicuángulo: Ninguno e sus ángulos es recto cutángulo: Sus ángulos son aguos (menores e 9 ) Obtusángulo: Uno e sus ángulos es maor e Otro tipo e polígono que también son una clase mu importante son los cuariláteros, los poemos clasificar e acuero al paralelismo e iguala e sus laos ángulos opuestos como sigue: Escaleno: Sus 4 laos no son paralelos ni son iguales. 9 ometa: Dos pares e laos aacentes son iguales. Trapezoie: Un par e laos opuestos son paralelos. UDRILÁTEROS Trapecio: (o trapezoie isósceles) sus laos no paralelos son iguales. Paralelogramo: mbos pares e laos opuestos son paralelos. Rombo: Un paralelogramo con sus 4 laos iguales. Rectángulo: Un paralelogramo con sus 4 ángulos iguales. uarao: Un rectángulo con sus 4 laos iguales. 9

EJEMPLOS En caa inciso obtener la suma e los ángulos internos e caa polígono: ) Triángulo Los triángulos tienen laos por lo que Sai 8 ( ) 8 ) Decágono El ecágono tiene laos, entonces la Sai 8 ( ) 44 ) Icoságono Un icoságono tiene laos, por lo tanto: Sai 8 ( ) 4 4) Demuestre que la suma e los ángulos eternos e un pentágono regular es e 6. Un pentágono tiene 5 laos 5 vértices, la suma e sus ángulos internos es: Sai 8 ( 5 ) 54. 54 8. aa vértice mie: 5 aa ángulo eterno mie: 8 8 7 La suma e los ángulos eternos es: ( 7 )( 5) 6 5) Trace las iagonales ese cualquiera e los vértices e un polígono conveo e 5 laos compruebe que se cumple la fórmula N n ; n número e laos. Sea el siguiente polígono: N 5 Solo iagonales

EJERIIOS ) Qué clase e polígono es el que la suma e sus ángulos interiores es e ) uánto mie caa ángulo interior e un octágono regular? 4? ) Qué tipo e polígono regular es el que caa uno e sus ángulos internos mie 4) uánto mie caa uno e los ángulos eternos e un oecágono regular? 5) Si el ángulo interno e un polígono regular mie 56? 56, cuánto mie su ángulo eterno? 4.8. SEMEJNZ DE TRIÁNGULOS ONGRUENI. Dos objetos cualesquiera que son réplica eacta uno el otro, se ice que son congruentes. En geometría, os figuras planas son congruentes si al ponerse juntas una con la otra coincien eactamente en forma tamaño (es ecir, son iguales). SEMEJNZ. Objetos que tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño, son semejantes. En geometría, toas las figuras que son congruentes, también son semejantes. Toos los segmentos rectilíneos son semejantes entre si (tienen la misma forma). D La razón e semejanza es: Definición: Dos triángulos son semejantes, si sus ángulos corresponientes son congruentes (iguales) las longitues e los laos corresponientes son proporcionales. ' ; ' ; ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' se lee el triángulo es semejante al triángulo ' ' '.

En too triángulo, toa recta paralela a un lao forma con los otros os laos un triángulo semejante al original. El PQO MNO Una forma práctica e ver si os triángulos son semejantes, es meiante las siguientes reglas: a) (..) Si tienen ángulos respectivamente iguales. b) (L..L.) Si os e sus laos son respectivamente proporcionales el ángulo que forman es igual. c) (L.L.L.) Si laos son respectivamente proporcionales. EJEMPLOS ) Un triángulo es semejante al triángulo ' ' ', el lao 6, el 8 el, en el triángulo ' ' ' el lao ' ' 8, cuánto mien los laos ' ' ''? Si ' ' ' entonces la razón e sus laos corresponientes es: sustitueno valores: ' ' ' ' ' ' 6 8 separano igualaes se tiene: ' ' ' ' 8 6 ( 6)( ) 8 ( 8)( ) 6 ; ' ' 4 ; ; ' ' ' ' ' ' ) En la siguiente figura se muestra el triángulo rectángulo, aplicano el concepto e semejanza obtener las magnitues e la altura h el lao. omo D D se tiene: D D 9 h ; D D h 4 ; ( )( ) 9 4 h ; h 6 h 6 ; h 6

omo D se tiene: 7 ; D D 4 6 ; 4 7 ; 7. 6 ) Un señor e.8 [ m] e estatura proecta un asombra e. [ m] a las : [ hr] misma hora junto a el, un poste proecta una sombra e. [ m] 4 a la 4, calcular la altura el poste. Si ' ' ' entonces: 4 ; ; ' ' ' '.8 7. [ m] ( 4)(.8) 4) En el triángulo se traza una paralela al lao a uniaes el vértice sobre el lao, calcular la magnitu e a. El DE 6.7 4.5 ; DE D a. 5 a ( 6.7)(.5) 4.5 7.86 5) En la siguiente figura se muestra una semicircunferencia con un triángulo inscrito, emostrar que la magnitu es 7. poánonos en la propiea geométrica que too triángulo inscrito en una semicircunferencia con el lao O como iámetro el vértice en cualquier punto sobre la semicircunferencia, es un triángulo rectángulo. El métoo consiste en trazar una línea O e longitu 8 uniaes (una más e 7 ) hacieno centro a la mita e O (en el 4 ) se traza una semicircunferencia por el punto que marca el 7 levantamos la perpenicular a O hasta el punto por semejanza e triángulos:

O ; O ; ( O )( ) ( ) ; ( 7)( ) ( ) ; 7 EJERIIOS ) Los triángulos JKL J ' K' L' son semejantes, el lao K ' J ' 7, el L ' K' el L ' J ' 4, el LJ 8 cuál es la magnitu e los laos LK KJ? ) En el triángulo rectángulo e la figura, se traza una paralela al lao a 5 uniaes el vértice sobre el cateto, se pie obtener la magnitu el lao DE E. ) En una margen e río, se localiza un árbol ( ), en la otra margen un topógrafo localiza con sus aparatos los puntos,,, D E, con este trabajo, se quiere conocer el ancho el río ( a ). 4) En un triángulo rectángulo KLM se traza la altura h el lao ML cua longitu es e 9 [ m], se pie calcular la longitu e los segmentos MS SL si el segmento MS es [ m] menor que el segmento SL. 5) Obtener la magnitu e 4

4.9. PENDIENTE DE UN RET. ONDIIONES DE PRLELISMO Y PERPENDIULRIDD PENDIENTE DE UN RET En un sistema e coorenaas cartesiano rectangular tracemos una línea recta irigia L, el ángulo α que se mie en el sentio positivo ese el eje hasta la recta L se llama ángulo e inclinación e la recta su variación es e cero graos a ciento ochenta graos, es ecir: α 8. La tangente el ángulo e inclinación α e una recta con el eje se llama PENDIENTE e la recta es una característica funamental e la irección e la recta. Denotaremos con la letra m minúscula la peniente e cualquier recta. m tanα Si α tan ; m Si α 9 tan 9 no está efinia por lo tanto la peniente m no eiste. Si α es un ángulo aguo o sea maor que menor que 9 ( < α < 9 ), la peniente es positiva, m >. Si α es un ángulo obtuso, maor que 9 menor que 8 ( 9 < α < 8 ), la peniente es negativa, m <. El valor e la peniente e cualquier recta en el plano puee ser cualquier número real ( m ). Una regla mu simple para recorar este concepto el signo e la peniente e una recta es la siguiente: Imaginemos coches circulano en una carretera e izquiera a erecha, si bajan los coches la peniente es negativa, si van en planito la peniente es nula, si suben, la peniente es positiva si puieran ir como moscas sobre un camino vertical, la peniente no eiste. 5

La PENDIENTE e una recta arbitraria L (que no sea perpenicular al eje ) conocias las coorenaas e e sus puntos iferentes P (, ) P (, ) como se muestra en la construcción e la siguiente figura: En el triángulo rectángulo P QP se tiene: Si m tanα ; el oren en que se tomen las coorenaas e los puntos puee ser también: m tanα ; el resultao e la peniente es el mismo. Gráficamente la peniente inica que para ir el punto P al punto P es la razón el avance vertical ( ) entre lo que se avanza horizontalmente ( ). ONDIIONES DE PRLELISMO Y PERPENDIULRIDD En Geometría nalítica plana es mu importante saber cuano rectas son paralelas o perpeniculares entre sí. Supongamos que conocemos las penientes m m e las rectas L L, si α α son sus ángulos e inclinación respectivamente, las rectas L L son PRLELS si solo si tanα tanα como tanα m tanα m, se conclue que la recta L es paralela a la recta L si solo si sus penientes m m son iguales, o sea: L L m m Dos rectas L L son PERPENDIULRES entre si cuano mm o lo que es lo mismo, m, lo cual se acostumbra icieno que sus penientes sean recíprocas e m signo contrario, o sea: L L m m Estas coniciones e paralelismo perpenicularia entre rectas nos auan a eterminar por simple inspección visual si eiste paralelismo o perpenicularia cuano conocemos las penientes respectivas. 6

EJEMPLOS En caa inciso etermine la peniente m el ángulo e inclinación α e la recta que pasa por los puntos aos ibuje su gráfica: ) P (, ), P (,5) 5 Si m, el mismo valor se obtiene si la 5 calculamos con m cuiano el oren. omo tan α m ; ) P (,), P (,) tan α ; α tan 56. m ; α ( ) tan 6.4 ) P (, ), P (, 4) ( 4) + 4 m como la peniente es negativa m, entonces α es ángulo obtuso 9 < α < 8 por lo que: α 8 tan 8 7.57 8.4 4) P (, ), P ( 4,) () m ; α tan ( ) 4 ( ) 6 7

5) P ( 4,), P ( 4, ) ( ) + 5 m ; no eiste 4 4 α 9 6) Demostrar que rectas perpeniculares entre sí cumplen la conición que sus penientes son recíprocas e signo contrario. Supongamos que en la siguiente figura, efectivamente las rectas L L son perpeniculares mutuamente. α α son los ángulos e inclinación e L L respectivamente. La geometría nos inica que el ángulo eterior α en el vértice el triángulo es igual a la suma e los ángulos opuestos interiores α 9 o sea: α α + 9 consecuentemente la tan α tan( α + 9 ) como ( α 9 ) tan + cotα si tanα m tanα m, tanα entonces m m Nota: En esta figura, se muestra porqué la tan( α + 9 ) cotα, e la figura vemos que b b tanα tan( α + 9 ) si cotα entonces a a b cotα, por lo tanto tanα cotα a tanα 7) Los vértices e un triángulo son ( 4,), (,) (,9) triángulo rectángulo. alculano la peniente e caa lao:, emuestre que pertenecen a un 8

9 8 m ; m 4 4 4 4 m 9 4 9 9 omo las penientes e los laos son recíprocas e signo contrario, si es un triángulo rectángulo. 8) Verificar que los puntos P (, ), P (,) ( 6,7) P son colineales. Si la peniente e P a P es igual que la peniente e P a P, entonces si son colineales + 5 7 + 5 (o sea que están sobre la misma recta): m ; m + 4 6 + 4 luego entonces, si son colineales. 9) Dibujar las rectas que pasan por el mismo punto (,4) m. 4 P cuas penientes son m La forma que se recomiena es la siguiente: el enominaor será siempre el número positivo se avanzará hacia la erecha a partir el punto P el numeraor si es positivo irá hacia arriba si es negativo hacia abajo espués el avance horizontal el enominaor como se muestra en la figura e la izquiera. ) Muestre que los segmentos que unen los puntos meios el cuarilátero cuos vértices, 4 5,, D,5 forman un paralelogramo. son ( ), ( ), ( ), ( ) Primero calculamos los puntos meios e caa lao: 9

: M + +, +, D D +, + + 5 4 5,, + 5 : M, ( 4,) + D : M, (,4) D + 5 + D : M D D + D +, 5 4, 5, hora calculamos las penientes e los segmentos que unen los puntos meios e caa lao: 5 7 M M : 7 m 5 4 5 ; M M : 4 D m 4 4 7 5 6 4 7 m ; M M : 6 D m 5 8 8 + + 4 M M : D D 5 5 5 omo el lao es paralelo al M M es paralelo al lao M D D M D M M (penientes iguales) el lao M M D, entonces si es un paralelogramo. EJERIIOS ) Los puntos (, 4), (, ), (,5), D ( 5,) ( 4, ) E son los vértices e un polígono, obtener la peniente e caa lao su ángulo e inclinación. ) Demuestre que si os rectas L L son paralelas entonces m m. ) Los puntos ( 4,), (, ) (,) están alineaos, emostrarlo. 4) En caa inciso, ibujar la recta que pasa por el punto P con peniente aa: a) P (,4), m ; b) P ( 4,), m ; c) P ( 5,), m ; ) P (, ), m no efinia; e) P (,), m. 5 5) Los puntos P (, ), P ( 4, ), P ( 4,) ( ) P, 4 son la vértices e un cuarao muestre que sus iagonales son perpeniculares entre sí.

4.. ÁNGULO ENTRE DOS RETS onsieremos os rectas L L que se intersectan en un punto P cualquiera el plano coorenao, sus ángulos e inclinación sus penientes son respectivamente α, m α, m como se muestra en la siguiente figura: El problema consiste en eterminar la meia e θ θ que como se ve, son ángulos suplementarios o sea que θ + θ 8, al conocer alguno e los os se conoce el otro e inmeiato. Toos los ángulos están trazaos en el sentio positivo, e la figura observamos que θ α α calculano la tangente en ambos miembros se tiene: tanθ tan ( α α ) entonces tanθ tan tanα tanα ; si + tanα tanα m m θ ; con m m + mm tanα m tanα m Una forma sencilla para recorar esta fórmula es la siguiente: con aua e la figura el trazo e los ángulos θ θ, ecimos que la tangente el ángulo θ es igual a la peniente e la recta one termina la flecha ( m ), menos la peniente e la recta one inicia la flecha ( m ), esta iferencia iviia entre uno más el proucto e las os penientes + m m ). ( De esta forma, para calcular el ángulo suplementario θ es: EJEMPLOS ) Dos rectas L L cuas penientes son en el punto P (,) tan m m θ ; con m m + mm m, m respectivamente, se cruzan 4 7, obtener el ángulo que forman hacer un ibujo el problema.

( ) 8 tan ( ) 8 45 tan 5 5 θ 45 a que θ +θ + 45 θ θ 5 8 ) Los vértices e un triángulo son (, ), (,) (,) interiores hacer un ibujo el problema. omo en realia no se especifica claramente cuál ángulo es el que se pie calcular, lo más recomenable es conocer los os ángulos suplementarios θ θ como sigue: m m tanθ + m m 5 tanθ 5 8 8 4 7 + 4 7 4 8 8 se pie obtener los ángulos Las penientes e los laos el triángulo son: m + 6 m + 5 m + 4 4 4 4 9 m m tan α + mm 4 4 + () tan α ; α tan 55. 9 9 9

5 m m 5 5 tan β ; β tan 49.76 + m 5 + 6 m + () 5 5 4 6 + m m 5 5 6 tan 6 γ + m 4 5 8 7 + 5 ; γ tan 74.9 m 7 5 α + β + γ 55. + 49.76 + 74.9 8 ) Dos rectas se cortan formano un ángulo e 5, sabieno que la recta one termina la flecha que mie a este ángulo es, se pie calcular la peniente e la recta inicial ( m i ). Un bosquejo e la gráfica el problema puee ser el siguiente: tan5 mi + m ( )( m ) i ; ( )( mi ) mi mi + m m m + i + i 4m ; i i m i m i i 4 4) Verificar la fórmula tan m m θ ; con m m + mm Recorano la figura al inicio el tema 4., se tiene que θ α α calculano la tangente a ambos miembros: sen ( ) ( α α ) tanθ tan α α cos( α α ) one sen( α α ) senα cosα cosα senα cos( α α ) cosα cosα + senα senα sustitueno estas en la anterior tenemos: sen cos ( α α ) senα cosα cosα senα ( α α ) cosα cosα + senα senα

iviieno numeraor enominaor por cosα cosα : senα cosα cosα senα cosα cosα cosα cosα + senα senα cosα cosα senα senα cosα cosα senα senα + cosα cosα tanα tanα + tanα tanα como tanα m tanα m entonces: tan m m θ ; con m m + mm 5) uánto mie el menor ángulo interno el triángulo cuos vértices son (, ), ( 4,) (,5)? alculano la peniente e caa lao el triángulo: + 5 4 m ; m ; 4 + 5 4 m 5 + + 7 tan 5 + + 5 7 5 9 5 6 tan α 5 7 5 + 6 + 5 5 α tan 5.84 8 β ; ( ) 5 6 + ( ) 8 β 8 tan 8 85.6 94.4 5 5 7 6 7 tan γ ; γ tan 49.76 7 4 + ( ) El menor ángulo interno es α 5.84 Nota: omo el valor absoluto e la tan α es menor que el valor absoluto e las otras os, esto inica que será el valor el menor ángulo interno, esto es: < < solo 8 calculamos α. 4

EJERIIOS ) En el punto ( 4, ) P se intersectan las rectas L L cuas penientes son m 4 respectivamente, obtenga el ángulo que forman ibuje su gráfica. m ) Dos rectas se cruzan formano un ángulo e 5, se sabe que la recta one inicia la flecha que mie este ángulo es e peniente, obtenga la peniente e la recta one termina la flecha. ) Verificar a partir e la fórmula L son paralelas. tan m m θ ; con m + mm m, que las os rectas L 4) uánto mie el menor ángulo interno el triángulo cuos vértices son ( 4, ), ( 5, ) (,)? 5) La recta, 5, la recta L pasa por los puntos ( 4,) D (, ), las os rectas se cruzan en algún punto formano un ángulo e 4, se pie obtener la orenaa el punto D. L pasa por los puntos ( ) ( ) 4.. ÁLULO DEL ÁRE DE UN POLÍGONO El cálculo el área e cualquier polígono cerrao, como por ejemplo el que se muestra en la figura, se puee obtener componieno e varios trapecios como sigue: Área el polígono D Área el trapecio EFD + Área el trapecio DFG Área el trapecio EH Área el trapecio HG : Recoremos que el área e un trapecio es igual a la semisuma e sus laos paralelos multiplicaa por la altura. Área el polígono: D [( + )( ) + ( + )( ) ( + )( ) ( + )( )] D D D D rreglano algebraicamente esta epresión ( ), se puee presentar e las siguientes formas que simplifican su aprenizaje: 5

ª Forma. Eligieno arbitrariamente cualquier vértice el polígono D, igamos el vértice, se ice que el área el polígono es igual a la abscisa el vértice ( ) multiplicaa por la iferencia e orenaas el vértice que le sigue menos el que le antecee ( D ) se pasa al siguiente vértice en el sentio contrario al movimiento e las manecillas el reloj ( ) para que el área el polígono sea con valor positivo, en seguia se repite la regla, o sea que se suma el siguiente proucto e la abscisa e ( ) por la iferencia e orenaas el vértice que le sigue menos el que le así se continua la regla hasta llegar al último vértice D antecee o sea ( ) too se multiplica por, queano la forma como sigue: [ ( ) + ( ) + ( ) + ( )] D parentemente la eplicación es larga pero es mu fácil aprenerla. ª Forma. D El esarrollo algebraico e la epresión ( ) se puee epresar como un arreglo en forma e eterminante con las coorenaas e los vértices el polígono leénolas en el sentio contrario al movimiento e las manecillas el reloj, partieno también e un vértice arbitrario, por ejemplo el vértice o el que sea, hasta repetir el vértice inicial como sigue: D Para resolver este arreglo, eberán efectuarse los prouctos como inican las flechas. Nota: No olviar que el oren correcto e la lectura e los vértices es mu importante. EJEMPLOS ) Los vértices e un polígono son (,4), (, ), ( 4,) D (,5 ) área por las formas., se pie calcular su 6

ª Forma. Iniciemos con el vértice en el oren se tiene: ª Forma. Iniciemos con el vértice D : [ ( ) + ( ) + ( ) + ( )] D [( )( 4) + ( 4)( 5 ) + ( )( 4 ) + ( )( 5) ] (uniaes cuaraas) [ + 6 + + ] ( ) 5[ u ] D D ( 4 + + 5 + 4 4 ) ( ) 5[ u ] ) Muestre que los puntos P (, ), P (, ), ( 7, ) P están alineaos. Si el área es igual a cero, los tres puntos están alineaos, pues una línea recta no tiene área. + 7 ( ) [ u ] ( 9 7 ) Si estan alineaos P, P P. ) Si tiene un terreno e forma irregular como se muestra en la figura, se quiere saber cuál es su área aproimaa si se cuenta con las meias inicaas en metros. El ancho e los intervalos es e [ m] 7

olocamos la figura sobre un sistema coorenao rectangular unimos con rectas caa etremo meio así formamos un polígono como sigue: 4) La sección transversal e un río e [ m] 6 e ancho se muestra en la siguiente tabla, la profunia es meia a una istancia e la orilla, calcular su área aproimaa. [ m] 5 5 5 5 4 45 5 6 [ m] 4 7 9 5 8 8 5 8 8 5 7 6 6 65 ( + + 4 + 48 + 455 + 4 + 5 + 5 7 4 5 8 + + 8 + 5 45 4 4 5 5 6 5 8 5 9 4 ) 4[ m ] apro. ( 84) Los atos e la tabla los llevamos a un sistema coorenao rectangular para formar un polígono como sigue: 5 5 5 5 4 45 5 6 4 8 9 5 8 ( 4 9 8 5 6 8 9 + + + + + 4 + + 8 + + + 45 + 455 + 48 + 6 + 5 + [ ] 87 + + ) 45 m

5) alcular el área el triángulo cuos vértices son (,4), (, ) ( 4,) las formas. 4 4 4 ( 6 + 9 + + 8 + ) ( 4) 7[ u ] [ ( ) + ( ) + ( )] [ 4( 4 + ) ( ) + ( 4) ] [ 8 + 6] ( 4) 7[ u ] EJERIIOS ) alcular el área el triángulo P (,7), P (,) ( 4,4) P. ) alcular el área el polígono (, ), (,6), ( 4,), D ( 6,5), E ( 8,) (, ) ) Verifique que los puntos P (, ), P (,), P (,) ( 4,) F. P son colineales. 4, hacer esto en 4) La siguiente figura muestra la sección transversal e un túnel que se va a construir para el METRO, calcular su área si el ancho e los intervalos es e metros caa uno. 5) alcular el área el contorno punteao e la siguiente figura: 9