6. 1 UNIDAD 6 DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas en los que apliques la factorización de polinomios cuyos términos tienen coeficientes reales. Objetivos específicos: 1. Recordarás a qué se llama factorización, factor primo y factor trivial y cuándo un polinomio está completamente factorizado.. Recordarás y aplicarás el método de factorización del factor común por divisor común y por agrupación de términos. 3. Recordarás y aplicarás el método de factorización de un trinomio cuadrado perfecto.. Recordarás y aplicarás el método de factorización de la diferencia de cuadrados perfectos.. Recordarás y aplicarás el método de factorización de trinomios con un término común. Objetivo 1. Recordarás a qué se llama factorización, factor primo y factor trivial y cuándo un polinomio está completamente factorizado. Como se sabe, la multiplicación algebraica consiste en obtener el producto de dos o más epresiones dadas, a las que se llama factores. La factorización es el proceso inverso: encontrar los factores de un producto dado. Si un polinomio está escrito como el producto de otros polinomios, cada uno de ellos se llama factor del polinomio original.
6. La mayor parte de los tipos de factorización tienen como base las fórmulas de los productos y los cocientes notables estudiados en la unidad. Una epresión algebraica está completamente factorizada, si está epresada como el producto de dos o más factores y si ninguno de ellos puede ser factorizado. Cada factor epresable únicamente como una veces él mismo o menos una veces él mismo se llama factor primo. Generalmente la factorización se hace sobre un conjunto dado que puede ser el conjunto de los números enteros: el conjunto de los números racionales: o el conjunto de los números reales: 6 3 9y 3y 3y Cuando la factorización se hace sobre el conjunto de los números reales, cualquier polinomio tiene un factor trivial c 0 : y 11yz c c 11 y yz c En general lo que interesa es encontrar factores no triviales de un polinomio, que serán polinomios con variables de grado mayor a cero. Una ecepción ocurre cuando los coeficientes son enteros y múltiplos, en cuyo caso es usual tomar el factor común entero de cada término del polinomio: 3 3 16a b z a b z El proceso de factorización consiste en dos etapas básicas de identificación: 1. Analizar si la epresión que se busca factorizar tiene factor común, y. Determinar si tal factor es un binomio o un trinomio.
6. 3 Objetivo. Recordarás y aplicarás el método de factorización del factor común por divisor común y por agrupación de términos. a) Divisor común Este método de factorización consiste en buscar un coeficiente y una literal que divida a todos los términos. El término será el factor común y se formará por el máimo común divisor de los coeficientes del polinomio y la literal o literales, elevadas al menor eponente con el que aparezcan en alguno de los términos: ab ac a b c Ejemplos: 1.) Para factorizar 1 y 3y : El máimo común divisor de 1 y 3 es: 3 En cada término se encuentran las literales y, y el menor eponente con el que aparecen es 1, por lo tanto el factor común es 3 y : 1 y 3y 3y 1 3 3.) Para factorizar 9s t 1s t 6s t : El máimo común divisor de {9, 1, 6} = 3; las literales en cada término son s y t La menor potencia a la que aparece s es y la menor potencia de t en el polinomio es 1, por lo tanto el factor común es 3 s t y la factorización: 3 3 9s t 1s t 6s t 3s t3s t t 3.) Para factorizar 8 1 71y 1 : Dado que 8 y 71 no son múltiplos, no eiste un máimo común divisor numérico; pero observa que cada término de este polinomio es divisible por el binomio 1. La potencia a la que aparece el binomio es la misma en los dos términos, por lo tanto el factor común es 1 y la epresión factorizada: 1 71y 1 8 11 71y 8
6. a 7 a 3 a 7 :.) Para factorizar 3 En los dos términos aparece el binomio a 7, por lo tanto es un divisor común. La menor potencia a la que aparece es, de manera que el factor común es a 7 y la factorización a 3a 7 a 7 3 a 7 a 3 a 7.) Para factorizar n n3 8 y n y n : El máimo común divisor de {8, } = y tanto como y aparecen en los dos términos. La menor potencia de es n y la menor potencia de y es (n 3), entonces el factor será n 3 y n. Para determinar el otro factor se deben aplicar las leyes de los eponentes de manera que, al sumar los eponentes, se obtenga cada término del polinomio: Y la factorización es: n 3 y n n 7 n 3 y n 3 11y 8 n 3 y n, n y n n n3 n n 3 8 y y n y n 3 7 n 11y a 3a 6.) Para factorizar a b : 6 Se debe considerar el máimo común divisor de los denominadores de las dos primeras fracciones que, por supuesto, quedará en el denominador del factor común: el máimo común divisor de {6, } = 6. El monomio entero (tercer término), al factorizarlo tendrá que quedar de manera que al multiplicarse por el factor común, se obtenga a b. En cuanto a las literales, únicamente a aparece en los tres términos y la menor potencia a la que se encuentra es 1. El factor común es entonces 6 a y la factorización completa: a a Conviene observar que 6ab 6 3a a 3 a b a 6ab 6 6 a b
6. b) Factorización por agrupación Generalmente se trata de polinomios de cuatro o más términos, que no tienen un divisor común pero sí un divisor parcial. El procedimiento consiste en obtener el divisor común parcial de cada grupo de términos que lo comparten y posteriormente determinar el factor común de los términos restantes: ac bc ad bd ca bd a b a bc d Ejemplos: 1.) Para factorizar por agrupación a 3ay 8b 1by : Primero se deben identificar los términos que tienen divisor común. Si se toman a las literales y y para agruparlos: El divisor parcial de los dos primeros es factor común de cada par es a 8b 3ay 1by y el de los dos últimos es 3 y, por lo tanto el a b 3ya b Ahora el factor común en la nueva epresión es a b que deja la factorización como a 3ay 8b 1by a b 3y.) Para factorizar por agrupación 3 3 8y y y : En este polinomio se pueden agrupar los términos de la siguiente manera 3 3 y 8y y, que son divisibles por, que son divisibles por La factorización hasta este punto será y Y en esta epresión el binomio y es un factor común en los dos términos por lo 3 3 y y 8y y y y que la factorización última del polinomio propuesto es 3 3 y y 8y y y
6. 6 Objetivo 3. Recordarás y aplicarás el método de factorización de un trinomio cuadrado perfecto. En general es difícil factorizar polinomios con grados grandes. En casos más sencillos algunas de las reglas que se recordaron en la Unidad son útiles para establecer los factores de un polinomio que es el resultado de un producto notable. En estos casos, la epresión algebraica de la regla se lee y se aplica de derecha a izquierda, como se verá en este objetivo y en los siguientes. Como se recordará, se llama trinomio cuadrado perfecto al polinomio cuyos términos son tales que uno de ellos es el doble producto de dos cantidades y los otros dos son el cuadrado de cada una de estas cantidades. Este desarrollo corresponde precisamente al resultado de elevar al cuadrado un binomio, que puede ser la suma o la diferencia de dos cantidades. Por esta razón, cuando se requiere encontrar los factores de un trinomio, es conveniente corroborar primero si dicho polinomio corresponde al desarrollo del cuadrado de un binomio y, de ser así, estos serán los factores que se buscan. Ejemplos: Para encontrar los factores de los siguientes polinomios: 1.) 8 9 y 9y Lo primero que se debe hacer es verificar si en el trinomio eisten dos términos que sean cuadrados perfectos, condición necesaria (mas no suficiente) para que la epresión pueda corresponder al cuadrado de un binomio: 8 8 3 (que es lo mismo que 9 9y 7y 3 9 ) La otra condición que se debe corroborar para que efectivamente sea un trinomio cuadrado perfecto, es que el otro término sea el doble producto de los dos anteriores:
6. 7 3 7 y y Por lo tanto, el trinomio propuesto es el resultado de los factores: 9 y 3 7 y 3 7y 3 7y 8 y 9.) 10 1 10a a Como se puede ver, en este trinomio los únicos cuadrados perfectos son corresponden a 10 a a y 1 1 En tanto que el otro término es ciertamente el doble producto de los dos anteriores: a 1 10a 10 a y 1, que Por lo tanto, el trinomio corresponde al resultado de un binomio elevado al cuadrado, pero como el término del doble producto es negativo, el binomio es la diferencia de las dos cantidades y su factorización es 1 a 1 a 1 a 1 a 10 10a 3.) y 9z 6z 1yz Dado un polinomio que de entrada ni siquiera es un trinomio, es necesario que se maneje algebraicamente la epresión para ver si puede corresponder a un trinomio cuadrado perfecto. Como en los ejemplos anteriores, primero se deberá buscar si hay dos cuadrados perfectos y, como se ve, el primero y el segundo términos lo son: y y y 9z 3z Con la ayuda de estas epresiones, el siguiente paso será comprobar si los otros dos términos del polinomio corresponden al doble producto de los anteriores: y3 z 6z yz 6z 1yz Puesto que esta condición se comprueba, los factores buscados son
6. 8 y 9z 6z 1yz y 3z.) 16 9y z yz Al analizar los términos para determinar si cumplen con las características de un trinomio cuadrado perfecto se ve que 16 ; Pero debe tenerse cuidado con el segundo término ya que, si se toma erróneamente sin considerar el signo, llevaría a suponer que 9 yz y z 3, y a calcular que 3 yz yz concluyendo que la epresión es un trinomio cuadrado perfecto. Sin embargo, en el trinomio dado el signo de uno de los cuadrados es ( ), y ningún cuadrado (en el conjunto de los números reales) puede ser negativo, es decir que 9y z no es un número real y por lo tanto el trinomio dado no es un trinomio cuadrado perfecto y no puede factorizarse por este método. Objetivo. Recordarás y aplicarás el método de factorización de la diferencia de cuadrados perfectos- Como se vio en la Unidad, el producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual a: y y y por lo tanto, cuando se busca factorizar la diferencia del cuadrado de dos cantidades, sus factores son la suma por la diferencia de dichas cantidades. Ejemplos:
6. 9 Para factorizar los siguientes binomios: 1.) 3 6y Lo primero que debe hacerse siempre es observar qué tipo de epresión se tiene. En este caso es un binomio que representa la diferencia de dos cantidades. El siguiente paso es corroborar si corresponde a una diferencia de cuadrados para, de ser el caso, aplicar la regla del producto notable en sentido inverso. Puesto que 9 7 y 6y 8y el binomio efectivamente es una diferencia de cuadrados, resultado del producto de la suma por la diferencia de las cantidades anteriores, por lo que sus factores son 6 7 8y7 8y 3 y.) 16 9 y La epresión es una diferencia de dos cantidades que se debe corroborar si son cuadrados perfectos para entonces aplicar la regla del producto de la suma por la diferencia de dos cantidades. Puesto que y 9 y 3y 16 el binomio 16 9 y es el resultado del producto de 3y por lo que su factorización es y 3y, 16 y 9 3y 3y 3.) 8 a 1 100b
6. 10 Aun cuando el primer término es un binomio al cuadrado, la epresión completa es la diferencia de dos cantidades y, como en los ejemplos anteriores, se debe probar si cada una es un cuadrado perfecto: 1 a 1 a y 8 100b 10b Entonces, la factorización es 8 a 1 100b a 1 10b a 1 10b a 10b 1 a 10b 1.) 3 y 16y Como se puede observar, ninguno de los términos es un cuadrado perfecto ya que la potencia de y es impar y 16 no es cuadrado, sin embargo la epresión sí es la diferencia de dos cantidades es posible hacer algún manejo algebraico para obtener una epresión que contenga una diferencia de cuadrados? Considerando que el binomio tiene un máimo común divisor: el coeficiente y la variable y a la primera potencia, entonces una primera factorización de la epresión es 3 y y 16 16 81y y como se ve, el factor en el paréntesis es la diferencia de los cuadrados de y 9y, por lo tanto 3 y y 16 9y 9y Objetivo. Recordarás y aplicarás el método de factorización de trinomios con un término común. Se llama trinomio con un término común a una epresión algebraica de la forma
6. 11 que no es un trinomio cuadrado perfecto. a b c La factorización de trinomios con un término común se analizará en dos partes: para a 1 y para a 1. a) Cuando el coeficiente del término al cuadrado es la unidad: b c La factorización de un trinomio de este tipo constará de dos factores: m y n, tales que m n b c Para que esta situación se cumpla deberá ocurrir que mn c y m n b Si c es positivo, las dos cantidades m y n tendrán el mismo signo; si c es negativo, serán de signo contrario, cuidando que su suma algebraica sea igual a b. Ejemplos: Para factorizar las siguientes epresiones: 1.) 6 En este ejemplo b = 1 y c = 6. De acuerdo con la regla anterior, se deben buscar dos números que multiplicados den 6 y sumados 1. La posibilidad que cumple ambas condiciones son los números 7 y 8. Como c es negativo, tendrán signos contrarios, pero el negativo debe ser, en valor absoluto, el mayor para que sumados se obtenga 1. Los números buscados son 8 y +7 y la factorización es 6 8 7 El resultado se puede comprobar efectuando la multiplicación de los binomios.
6. 1.) y 10y 9 Como se puede observar al comprobar el resultado del ejemplo anterior, el eponente de la variable se obtiene al multiplicar el primer término del primer binomio por el primer término del segundo binomio, por lo que en este caso el primer término de cada uno será y. Ahora b = 10 y c = +9 Las otras dos cantidades de los binomios, m y n, se obtienen conforme a la regla: dos números que sumados den 10 y multiplicados +9, que claramente son 9 y 1. Como c es positiva, deberán tener el mismo signo y, para que su suma sea 10, los dos tendrán que ser negativos. La factorización resulta entonces: 10 y y 9 y 9 y 1 3.) a 1 a La potencia de a es, por lo tanto el primer término de cada binomio será a a la primera potencia. Ahora 1 b y c, por lo que mn y 1 m n Dos cantidades cuyo producto tenga como denominador y su suma tenga como denominador, sólo se obtienen de dos fracciones con denominador ; para que el numerador del producto sea, necesariamente un numerador tendrá que ser 1 y el otro. 1 Entonces las cantidades son y Ahora bien, como c < 0, una fracción será positiva y la otra negativa y, para que el resultado de la suma de los numeradores sea +1, el positivo será y el negativo 1. Así, la factorización que se busca es
6. 13 1 1 a a a a b) Trinomios con un término común y coeficiente a 1: a b c La regla para factorizar un trinomio de este tipo es la siguiente: 1. Se buscan dos cantidades m y n tales que: mn ac y m n b. En el trinomio a factorizar se sustituye b por los números encontrados 3. Se factoriza el cuatrinomio que resulta por agrupación Ejemplos: 1.) Para factorizar a 13a 1 : a ; b 13; c 1 Siguiendo la regla, 1. Se deben encontrar dos cantidades m y n tales que mn = ac y m + n = b; ac = () ( 1) = 8, por lo que las cantidades deben dar 8 al multiplicarse y 13 al sumarse. Para encontrarlos es conveniente recurrir a los divisores primos de 8 y calcular cuál de las combinaciones de ellos sumados da 13. Los divisores primos de 8 son {,,,, 3, 1}. De las diferentes combinaciones que se pueden formar con ellos, se observa que la única con la que se obtiene 8 al multiplicarlos y 13 al sumarlos son 16 y 3, entonces m = 16 y n = 3. Determinadas las cantidades, en el trinomio se sustituye b = 13 por ambos números: a 13a 1 a 16a 3a 1 3. Finalmente se factoriza utilizando el método de agrupación: 16a 3a 1 a a a 3a a a 3
6. 1.) Para factorizar 9 9 10 : a = 9, b = 9 y c = 10. Paso 1. El producto ac = 90, por lo que mn = 90 mientras que m + n = 9. Los divisores primos de 90 son {,, 3, 3, 1} de las combinaciones que se pueden formar con ellos, por ejemplo 3 3 18 y, sumados algebraicamente (uno positivo y el otro negativo), no se obtiene 9, por lo tanto esta combinación no sirve. Otra de las combinaciones es 3 1 y 3 6, en la que si se obtiene 9 si a 1 se le resta 6, por lo tanto m = 1, n = 6 Paso. En el trinomio se sustituye 9 por (1 6): 9 1 6 10 Paso 3. Se agrupan los términos para factorizar dos a dos: 3 3 3 3 3 La factorización del trinomio es 9 9 10 = 3 3 3.) Para factorizar 8 y 1y : a = 8; b = ; c = 1 Paso 1. ac = (8) ( 1) = 10 ; mn = 10 ; m + n =. Probando con los factores de 10: {,,, 3, }, algunas combinaciones son y 30; 8 y 1; 6 y 0, pero estos números sumados algebraicamente de ningún modo dan. Analizando las demás se ve que los números buscados son 3 1 y 10 m = 1 y n = 10 Paso. En seguida se debe sustituir b = por m + n: 8 y 1y 8 1y 10y 1y
6. 1 Paso 3. Y ahora se deben agrupar los términos para factorizar: La factorización es 1y 10y 1 3y y 3y 8 y 3y y y 3y y 3 y 1 3y y 8 y