OPERACIONES CON POLINOMIOS

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1 UNIDAD 4 OPERACIONES CON POLINOMIOS EJERCICIOS RESUELTOS Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas en los que apliques las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de polinomios. Objetivo 1. Diferenciarás monomios, binomios, trinomios y polinomios en general. a.) 1.) Identifica con una P si la epresión es un polinomio y con una X si no lo es: 6 y z 5 6 ( ) ( X ).) - y ( ) ( P ).) 5 6 ( ) ( P ) 4.) y 4a ( ) ( X )

2 5.) 4 a b c ( ) 1 ( P ) b.) Identifica con una M si la epresión es un monomio, con una B si es un binomio y con una T si es un trinomio: 1.) 7 a - 9b ( ) ( B ).) -71a ( ) ( M ) 1.) - 5 a b a b a b ( ) ( T ) 4.) y a ( ) ( M ) Objetivo. polinomio. Identificarás y determinarás el grado de un monomio y el de un Determina el grado de los polinomios: 1.) y La variable está elevada a la tercera potencia, y la variable y a la primera. El grado del monomio es 4. 7.) 1 c p m La suma de los eponentes de c, p y m es El grado del monomio es 6.

3 4.) P El término de grado más alto es el primero, que es de grado 4. El polinomio es de grado 4. 4.) P 5 En el polinomio solamente aparece una constante, diferente de cero. El grado es 0. 5.) 4 6 y 4y Los términos que aparecen en el polinomio son, respectivamente, de grados 4,, 6 y 6. El polinomio es de grado 6. Objetivo. Reducirás términos semejantes en un polinomio. Reduce los términos semejantes: 1.) =.) 1 a 1 a 1 1 a a = a..) 4 y y y y Agrupando los términos se obtiene 4 y y y y y 4y

4 4.) m n 7m n nm m Reacomodando las variables en los términos, queda m n 7m n m n m y agrupando m m n 7m n nm m m n 5 5.) y 4 7y 1 Quitando paréntesis y reagrupando queda y 4 7y 1 y 7y 4 1 5y 8 Objetivo 4. Determinarás cuándo dos polinomios son iguales. Identifica, si lo hay, cuál polinomio de la columna izquierda es igual al de la columna derecha: ) 6y y 6y 7.) y 9y yz 5 y 4y y.) 6 y y 7 y 6 y y ) y 4y 5 y 6y 5.) 6 y 6 y 1 y 7 6y y Objetivo 5. Recordarás el procedimiento general para sumar y restar polinomios.

5 a) Sumas: 1.) Suma los monomios: y 5y 8y y z y, 5 y, 8 y, y, z. Se reducen los términos semejantes: 8 y 5 y z El resultado final es: 10y 8y z..) Suma los monomios: , y, y, y,, y. y y 1 y 1 y Se reducen los términos semejantes: 1 1 El resultado es: y y y y..) Suma los polinomios: y 5 y, y 5 y, 8y y. y 5y y 5 y 8y y Se eliminan paréntesis:: y y y y y y El resultado se obtiene al reducir los términos semejantes: 4 y 6y. 4.) Suma los polinomios: y 4 y y, y y y.

6 4 y y y y y y 4 y y 4y 5.) Suma los polinomios: 4 6, 5 1, 4 1, b) Restas: 1.) Resta: 4y, de y. y ( 4 y) Es decir: y 4y Se reducen términos semejantes y se obtiene: y, que es el resultado final..) Resta: 4 y, de y. y 4 y Es decir: y 4 y Se reducen términos semejantes y se obtiene: 7 y, que es el resultado final.

7 .) Resta: 4 4, de Es decir: Se reducen términos semejantes y se obtiene: 7, que es el resultado final. 4.) Resta: y y 4, de y 4y 5 y 4y 5. y y 4 y y y ) Resta: 6y y 4, de 9y y. 9y y 6y y 4 15y 6y 4 Objetivo 6. Recordarás la multiplicación de monomios. Multiplica los monomios que se dan: 1.) a 5 b 4 a b a 5 b 4 a b a b a b

8 .) y z yz y z yz.) y z y z Objetivo 7. monomio. Recordarás la regla para la multiplicación de polinomios por un Efectúa los productos indicados: 1.) por ) por yz yz yz.) 6a b c a b c por ab c 4 yz 6a b 4 c a b cab c 1a b c 4a b c a b c ab c a b c ab c 4 Objetivo 8. polinomios por polinomios. Recordarás el procedimiento general para la multiplicación de Efectúa las multiplicaciones indicadas:

9 1.) 4 por ) por y y y y.) 5 por 5 5 y 15 y 5y 5y y y 15 y 9 y 4 5 y 9 y 4 Objetivo 9. Recordarás la división entre monomios. Efectúa las divisiones indicadas: 1.) y z entre 4yz

10 4yz y z y z 4 y z 11 y z.) 1a b entre ab c 5 7 1a b ab c a b 1 a b c 4a b c 4 4.) 18p r t entre p r t 18p r t p r t 6 pt 18 p r t p r t Objetivo 10. monomio. Recordarás la regla para la división de un polinomio entre un Efectúa las divisiones indicadas: 1.) entre a ab a a ab a a ab a a a b.) y 5a entre 4 y 5a 4 4 y 5a 5 y a

11 .) 5 6 entre m m m1 m1 m 5 6 m m m m1 m m m m1 m1 m m m m Objetivo 11. polinomios entre polinomios. Recordarás el procedimiento general para la división de 1.) Divide: a a, entre a. a 1 a a a a a a a 0 5.) Divide: f 1 5, entre g

12 .) Divide: pa a a, entre qa a 1. a a 1 a a 1 a 0a 0a a 1 a a a a a 1 a 1 1 a a a 0 4.) Divide: a ab b, entre 1 a 1 b a 1 b a b a ab b a 1 1 ab ab b ab b Objetivo 1. Aplicarás las operaciones con polinomios en la resolución de ejercicios algebraicos.

13 Obtén el resultado de las operaciones indicadas: a b ab 1.) ab ba ab ab y Por tanto: a b ab ab a b ab ba ab 6a b 9a b ab 6ab a b ab ab ba ab ab a b 6a b 9a b ab 6ab 1a b 18a b 4a b 1a b 18a b 7a b 6ab 18ab 1a b 18a b 4a b 0a b 7a b 6ab 18ab.) 4 a b a ab a b b b ab a b a 4a b 4ab ab 6ab a b 4b a b a b a ab a b b b 4ab a b a 4a b 4ab ab 6ab a b 4b a b a a b a b 4ab ab b b a a b a b 4a b ab 6ab 4ab 4b a b

14 Como: a a b ab ab b a b a a b a b 4a b ab 6ab 4ab 4b a a b a b a b 4a b ab 6ab 4ab 4b a b a b a b a b ab 6ab 4ab 4b a b 6ab a b ab 4ab 4b a b 4ab ab 4b ab 4b 0 Entonces: a a b a b 4ab ab b b a a b a b 4a b ab 6ab 4ab 4b a b a a b a b 4ab ab b b a a b ab ab b a b a b ab 5 ab b..)

15 Como: 1 y: entonces: yqueda:

16 4.) y y z 1 y y zy y z 1 yz z yz y y y y z 1 y y y yz z yz y y Por lo que: y y z 1 y y zy y y zy y yz z yz y y y yz z yz y y y y zy yz y z y yz y como: yz 5y y z 1 yz y z y yz y z yz 5y y yz yz y z yz yz 5y y z y 4yz yz 5y 5y 5yz 5y y z 6y 9yz yz 5y

17 queda: y y z 1 y y zy y z 1 y z 6y 9yz yz 5y yz 5y y z 1 Objetivo 1. de casos reales. Aplicarás las operaciones con polinomios en la resolución de problemas 1.) En una comisión del Congreso los diputados del PRD son la mitad que los del PRI. Los del PRI con los del PAN suman 8 y los del PT son la mitad que los del PAN Cuántos diputados forman la comisión? La información del enunciado establece que el número de los diputados de los diferentes partidos es: 1 PRD PRI PRI PAN 8 PRI 8 PAN 1 PT PAN Al sumar a los diputados de todos los partidos y sustituir las igualdades anteriores queda PRD PRI PAN PT 1 PRI 8 PAN PAN 1 PAN La comisión tiene 1 miembros PAN 8 PAN PAN+ PAN PAN 8-PAN PAN PAN 8 4 1

18 .) Una persona camina a un ritmo de kilómetros por hora al subir una cuesta y al de 4 kilómetros por hora al bajarla. Cuál es la velocidad media para el recorrido total? Sea L la longitud de la cuesta. El tiempo que tarda en subirla es L/; mientras que el tiempo que tarda en bajarla es L/4; entonces el tiempo total será: L L L T 4 4 Como el recorrido total es de L, la velocidad media es: V m L T L L km/h.) El depósito del anticongelante de un autobús contiene 8 litros de una mezcla de 60% de agua y 40% de anticongelante puro. Sin embargo, las bajas temperaturas invernales requieren que la mezcla contenga 60% de anticongelante. Qué cantidad de la mezcla actual deberá desecharse y reemplazarse por anticongelante puro para que se obtenga la cantidad requerida? La cantidad de anticongelante puro en la mezcla actual es el 40% de 8 litros: litros; La cantidad que debe tener la nueva composición es: litros. Cuando se desechan litros de la mezcla actual se debe añadir una cantidad igual de litros de anticongelante para mantener el volumen total, pero con el desecho se pierden 0.4 litros del mismo anticongelante. Entonces, para obtener una mezcla con el 60% de anticongelante se tiene la epresión:

19 o bien litros ) Un padre al morir dejó establecido que el hijo mayor recibiría $100,000 más la quinta parte del resto. El siguiente recibiría $00,000 más la quinta parte del nuevo resto. Y en la misma forma cada hijo iría recibiendo $100,000 más que el anterior y la quinta parte del resto. Con esta forma de repartir la herencia, el padre se aseguró que todos recibieran la misma cantidad. Cuántos herederos había y qué cantidad recibió cada uno? Sea H el importe total de la herencia. El primer hijo recibió 100, ,000 H 5 El segundo hijo recibió $00,000 más la quinta parte de lo que quedaba después de que el primero recibió su parte y de los 00,000 que le correspondían a él: 1 H 100,00 00,000 H 100,000 00, Como cada hijo debe recibir la misma cantidad, se igualan los dos polinomios para obtener el valor de H: 100, ,000 H 5 1 H 100,00 00,000 H 100,000 00, Después de hacer las operaciones queda H H H 100,000 0,000 00,000 0,000 4,000 40,

20 y, al despejar H 00,000 0,000 4,000 40, ,000 0,000 5 H H 5 64,000 1,600,000 Entonces, dado que la herencia era de $1,600,000 y cada hijo recibió la misma cantidad, eran 4 hijos y cada uno recibió $400, ) La edad de Juan es el doble de la que tenía Pedro cuando Juan tenía la que ahora tiene Pedro. En total suman 49 años. Cuáles son sus edades? Sea la edad actual de Juan. Dado que la suma de las edades de ambos es 49, la edad actual de Pedro será 49. La epresión algebraica sobre la comparación de las edades: la edad actual de Juan es el doble de la que Pedro tenía cuando Juan tenía la que tiene ahora Pedro se obtiene como sigue: Pedro es menor que Juan y la diferencia de edades entre ellos es 49. En aquel momento, la edad de Juan era la edad actual de Pedro: 49 ; al restar a ésta la diferencia de edades entre ambos, se obtiene la edad que tenía Pedro cuando Juan tenía 49 y, como la edad actual de Juan es el doble de ésta entonces:

21 Y la edad de Pedro es: ) Encuentra tres números enteros consecutivos tales que cuando se forman las 6 fracciones posibles tomados de dos en dos, la suma de ellas es un número entero. Sean 1, y 1 los tres números enteros consecutivos que se buscan. Las 6 fracciones que se pueden formar con ellos, tomados de dos en dos son: ,,,,, Y la suma de las seis fracciones será: ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 1 ( 1)( 1) 1 6 ( 1) 6 1 Ahora bien, y 1 son números primos entre sí porque difieren en una unidad, por lo tanto esta fracción será un número entero sólo si 1 divide a 6, lo que ocurre para, por lo tanto, los tres números buscados son: 1 1; ; 1.