ECUACIÓN DE LA RECTA

ECUCIÓN DE L RECT.- PRIMERO DE BCHILLERTO.- TEORÍ Y EJERCICIOS. Pág. ECUCIÓN DE L RECT Sistema de referencia. Es el conjunto formado por: Un punto O del plano llamado origen. Una base B {i, j } para los ectores. Cuando la base es ortonormal se tiene el sistema de referencia habitual que utilizaremos a partir de ahora. j O i Vector de posición. Dado un punto P, del plano llamaremos ector de posición de dicho punto al ector que se obtiene uniendo dicho punto con el origen. P O Coordenadas del ector que une dos puntos. (, ) B(, ) O

ECUCIÓN DE L RECT.- PRIMERO DE BCHILLERTO.- TEORÍ Y EJERCICIOS. Pág. O + B OB de aquí resulta que B OB O Si las coordenadas de son (, ) las de B son (, ) resulta: B (, ) (, ) (, ) es decir, las coordenadas del ector que une los puntos B se obtienen restando a las coordenadas de B las de. Punto medio de un segmento. P M B O Sea el segmento B cuo punto medio es M Si sumamos los ectores O OB por la regla del paralelogramo obtenemos que OP O + OB multiplicando por ½ la igualdad resulta: OP OM.( O + OB) Y si las coordenadas de los puntos son: (, ), B(, ) M( m, m ) obtenemos: + + ( m, m ) (( o, o ) + (, ) ),, es decir, las coordenadas del punto medio de un segmento se obtienen haciendo la semisuma de los puntos etremos del segmento. Ecuación ectorial de la recta. Una recta queda determinada cuando se conoce un punto un ector director de la misma. Vector director es aquel que tiene la misma dirección que la recta.

ECUCIÓN DE L RECT.- PRIMERO DE BCHILLERTO.- TEORÍ Y EJERCICIOS. Pág. 3 Sea el siguiente sistema de referencia, también llamado sistema de coordenadas cartesianas: P O Conocemos el punto el ector director. El punto P es un punto cualquiera de la recta. Utilizando los ectores de posición de los puntos dados, resulta: OP O + P demás eiste un número real λ tal que P λ. Por tanto, OP O + λ. La ecuación obtenida OP O + λ. recibe el nombre de ecuación ectorial de la recta dada. Se llama ectorial porque la conocemos a traés de los ectores de posición de cada uno de sus puntos. Si las coordenadas de cada uno de los ectores son: OP (, ) ; O (, ) (, ) se obtiene, ) (, ) + λ(, ) ( que es la ecuación ectorial de la recta epresada en coordenadas. Para cada alor que le demos a λ se obtiene un punto de la recta si le dados todos los alores de los números reales se obtienen todos los puntos. Ecuaciónes paramétricas Se obtienen a partir de la ecuación ectorial epresando por separado cada ariable: + λ. + λ.

ECUCIÓN DE L RECT.- PRIMERO DE BCHILLERTO.- TEORÍ Y EJERCICIOS. Pág. 4 Ecuación continua. Se obtiene a partir de las ecuaciones paramétricas eliminando λ en el sistema: En la primera ecuación, Y en la segunda, λ + λ. + λ. λ Igualando los alores de λ se obtiene la ecuación continua: Ejemplo : La ecuación de la recta que pasa por el punto (, - ) tiene como ector director a i 4j, será: El ector lo epresamos como (, -4) entonces, (, ) (, ) + λ(, 4) (Forma ectorial) + λ (En paramétricas) 4λ + 4 (Forma continua) Ecuación general o implícita Se obtiene a partir de la ecuación continua operando simplificando hasta llegar a la forma + B + C Puesta la ecuación de una recta en forma general, el ector (- B, ) es un ector director de la misma, en efecto,. Si quitamos denominadores, ( ) ( ) Y eliminado paréntesis ordenando en forma adecuada resulta: + lo que nos dice que - B

ECUCIÓN DE L RECT.- PRIMERO DE BCHILLERTO.- TEORÍ Y EJERCICIOS. Pág. 5 Ecuación eplícita. Tiene la forma general: m + n. Y podemos llegar a ella despejando en la ecuación m se le llama pendiente de la recta a n ordenada en el origen. Si + B + C, entonces Haciendo B m C n B C resulta la ecuación eplícita. Ejemplo : + 5 Dada la recta de ecuación, su ecuación general será: 3 3 + 3 3 + 3 3 3 Y la ecuación implícita: 3 + 3 + La pendiente es 3/ la ordenada en el origen 3/. También se erifica que m como puede erse en el dibujo. V α O V M En el triángulo OM, la pendiente de la recta es la tangente de α cateto opuesto es decir, m tgα cateto contiguo

ECUCIÓN DE L RECT.- PRIMERO DE BCHILLERTO.- TEORÍ Y EJERCICIOS. Pág. 6 Ecuación punto-pendiente. Tiene la forma m( ) se emplea cuando se conoce un punto de la recta (, ) la pendiente m. Podemos llegar a ella a partir de la ecuación continua de la forma siguiente: Si quitamos denominadores, ( ) ( ) ( ) Y como m se obtiene m( ) Ejemplo 3: Dada la ecuación general de una recta 3 + 4, escribir su ecuación puntopendiente. La pendiente podemos obtenerla despejando la : + 4 4 3 + 4 +. La pendiente es /3. 3 3 3 hora necesitamos un punto cualquiera que se obtiene dando un alor arbitrario a una de las incógnitas obteniendo el correspondiente alor de la otra, por ejemplo, si hacemos, se obtiene, luego un punto es (, ) plicando la fórmula estudiada obtenemos: ( ). (Ecuación punto-pendiente) 3 Ecuación canónica o segmentaria. a Su forma es la siguiente: + b Su entaje es la facilidad para ser representada gráficamente. Para llegar a ella podemos partir de la ecuación general: + B + C + B C B Diidimos por C: + C C Pasamos B al denominador:

ECUCIÓN DE L RECT.- PRIMERO DE BCHILLERTO.- TEORÍ Y EJERCICIOS. Pág. 7 + B C C. Haciendo a C b B C, se obtiene la ecuación canónica. Ejemplo 4: La ecuación general de una recta es +5 4., epresarla en forma canónica. 5 4 4 5 4 4 5 + + + Recta que pasa por dos puntos. Una recta queda determinada también cuando se conocen dos puntos de la misma. Conocidos los puntos (, ) B(, ) podemos obtener un ector director restando las coordenadas de los mismos: ), ( ), ( ), ( a podemos escribir su ecuación en cualquiera de las formas que a conocemos, utilizando el ector obtenidos uno de los puntos conocidos, por ejemplo, la ecuación continua usando el ector el punto, será: También podemos escoger el punto B en lugar del. a b + b a B O

ECUCIÓN DE L RECT.- PRIMERO DE BCHILLERTO.- TEORÍ Y EJERCICIOS. Pág. 8 Posición relatia de dos rectas. Rectas dadas en forma general: Sean las rectas + B + C + B + C a) Si b) Si c) Si B C las rectas son coincidentes. B C B C las rectas son paralelas. B C B las rectas son secantes (Se cortan en un punto) B Rectas dadas en forma eplícita. Sean las rectas m + n m + n a) Si m m n n rectas coincidentes. b) Si m m pero n n rectas paralelas c) Si m m las rectas son secantes. En el caso de rectas secantes, para hallar el punto de intersección sed resuele el sistema formado por ambas rectas. Ejemplo 5: Determina la posición relatia de las rectas + t 5 3t t 3 6t Como las rectas ienen dadas en forma paramétrica podemos terminar facilmente el ector director de cada una de ellas, a partir de este, las respectias pendientes: En la primera: (, - 3) m -3/ - 3 En la segunda: (, - 6) m - 6/ - 3 Las rectas son paralelas. Otra manera podría de hacerlo sería pasando las ecuaciones a su forma general a continuación estudiar si los coeficientes de las incógnitas son proporcionales.

ECUCIÓN DE L RECT.- PRIMERO DE BCHILLERTO.- TEORÍ Y EJERCICIOS. Pág. 9 Ángulo formado por dos rectas. r α s α α Lo hacemos en primer lugar a traés de sus pendientes: El ángulo formado por las rectas r s es α La pendientes de la recta r es m tgα La pendiente de la recta s es m tgα Entonces resulta: tgα tgα tgα tg( α α ) + tgα. tgα m m + m. m Para obtener el menor de los ángulos lo hacemos en alor absoluto, es decir, m m tgα + m. m Si el ángulo es de º, m m tg m m, es decir, m m (Condición de paralelismo) + m. m Si el ángulo es de 9º, tg 9 + m. m, es decir, m (Condición de perpendicularidad) m En el caso de rectas dadas en su forma general, r : + B + C s : + B + C el ángulo formado por ellas es el de sus ectores directores.

ECUCIÓN DE L RECT.- PRIMERO DE BCHILLERTO.- TEORÍ Y EJERCICIOS. Pág. u ( B, ) es un ector de director de la recta r ( B, ) es un ector director de la recta s, entonces, según la definición de producto escalar, tenemos: cosα u. u.. + B. B + B. + B resultado que tomamos en alor absoluto para obtener el menor de los ángulos. Ejemplo 6: El ángulo formado por las rectas 3 + 5, - + será: Pendiente de la primera recta m 3 Pendiente de la segunda recta m - m m 3 ( ) tgα α 45º + m m + 3.( ) Distancia entre dos puntos. B(, ) (, ) La distancia entre dos puntos B es el módulo del ector B Sabemos que B, ), luego ( d(, B) ( ) + ( ) Ejemplo 7 Dados los puntos (-, ) B(3, 5), la distancia entre ellos será: d (, B) (3 + ) + (5 ) 4 También puede tomarse el ector B, en lugar de B

ECUCIÓN DE L RECT.- PRIMERO DE BCHILLERTO.- TEORÍ Y EJERCICIOS. Pág. Distancia de un punto a una recta P(, ) n (, B) R(, ) Q r: + B +C Operando con ectores resulta: RP RQ + QP Multiplicando por n: RP. n RQ. n + QP. n como RQ. n porque son perpendiculares, queda que RP. n QP. n, es decir, RP. n QP. n cosα, pero como los ectores QP n son paralelos, cos α ±, luego, tomando alores absolutos, RP. n QP. n QP RP. n n Por otra parte QP distancia del punto a la recta d RP (, ) n (, B) luego, d ( ) B( ) + + B + B + B B pero como el punto, ) está en la recta, + B + C entonces ( C B La distancia buscada queda definitiamente de la forma siguiente: d + B + B + C

ECUCIÓN DE L RECT.- PRIMERO DE BCHILLERTO.- TEORÍ Y EJERCICIOS. Pág. Ejercicios resueltos.- Comprueba que las rectas r + s + 4 son secantes halla el punto de intersección de las mismas. Solución:, es decir, los coeficientes de las incógnitas no son proporcionales, por tanto, las rectas son secantes. El punto de intersección se halla resoliendo el sistema formado por las dos ecuaciones: + + 4 + + 4 sumando se obtiene: 3 6 Sustituendo el alor de obtenido en cualquiera de las ecuaciones se obtiene Las rectas se cortan en el punto P(,) lo podemos epresar así: r s P(,).- Halla la ecuación de la recta que, pasando por el punto (, 5), es paralela a la recta + + Solución: (, 5) + +λ + + La recta paralela buscada será + +λ Y como pasa por el punto (, 5) tenemos: +.5 + λ λ - Por tanto, la recta pedida es +

ECUCIÓN DE L RECT.- PRIMERO DE BCHILLERTO.- TEORÍ Y EJERCICIOS. Pág. 3 3.- Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta r 5 + Solución: Hacemos λ Entonces, 5λ - + 5λ + Las ecuaciones paramétricas de r quedan en la forma siguiente: λ r : + 5λ Otra manera: º.- Hallamos un ector director de la recta: ( B, ) (,5) º.- Obtenemos un punto de r dando un alor arbitrario a una de las incógnitas: Para, 5.- + 6 Un punto de la recta es (, 6) plicando la fórmula: + λ + λ se obtiene: r: + λ 6 + 5λ 4.- Halla un punto de la recta 4 8 + 7 que equidiste de los puntos (, ) B(, -3). Solución: Sea P(, ) el punto que buscamos: Como pertenece a la recta r, se ha de cumplir que 4 8 +7 (*) demás, d(p, ) d(p, B), es decir, ( + ) + ( ) ( ) + ( 3) Eleando al cuadrado desarrollando los cuadrados,

ECUCIÓN DE L RECT.- PRIMERO DE BCHILLERTO.- TEORÍ Y EJERCICIOS. Pág. 4 4 + 4 + + + + + 6 + transforma en + 8 +5 (**). Formando un sistema con las ecuaciones (*) (**), 4 8 + 8 + 7 + 5 9, que simplificando se Sumando, 6 + Y sustituendo el alor de en cualquiera de las ecuaciones del sistema, se obtiene /8 El punto buscado es P (, ) 8 5.- Halla la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos (, 3) B(-4, 5). Solución: mediatriz n (, 3) M B(-4, 5) La mediatriz es la perpendicular en el punto medio del segmento. + ( 4) 3+ 5 Coordenadas del punto medio: M, M (,4) Vector que une los puntos B: B ( 4,5 3) ( 6,) Un ector perpendicular a M será ector director de la mediatriz. Dicho ector lo podemos obtener cambiando de orden de las coordenadas de B el signo de una de ellas, es decir, n (, 6) es ector director de la mediatriz. La ecuación de la mediatriz será: ( ) 4 que se queda de la forma siguiente: 6 + 4 3

ECUCIÓN DE L RECT.- PRIMERO DE BCHILLERTO.- TEORÍ Y EJERCICIOS. Pág. 5 6.- Halla el punto simétrico de P(, ) respecto de la recta r: 4 Solución: P(, ) (, -) 4 M r P ( ) Recta que pasa por P(, ) es perpendicular a la recta r: + + 3 La intersección de las dos rectas nos da las coordenadas de M que es punto medio de P de P : 4 4 Sumando: 5 + 3 4 + 6 Sustituendo en cualquiera de las ecuaciones del sistema se obtiene - Luego las coordenadas de M son (, - ) Y aplicando las fórmulas del punto medio de un segmento se obtiene P + + 3; El simétrico de P(, ) es P ( 3, 3) 3 7.- Halla el área del triángulo cuos értices son los puntos (-, -), B(, 4) C(4, ) Solución: Para hallar el área pedida seguiremos los siguientes pasos:

ECUCIÓN DE L RECT.- PRIMERO DE BCHILLERTO.- TEORÍ Y EJERCICIOS. Pág. 6 C(4, ) (-, -) B(, 4) Base del triángulo: es la distancia entre los puntos B. base d(, B) ( + ) + (4 + ) 9 + 5 34 Recta que pasa por B: (3,5) ector director de la recta buscada. Con dicho ector uno de los puntos, por ejemplo, B(, 4) escribimos la ecuación: 4 3 5 5 3 5 3 + ltura del triángulo: es la distancia del punto C(4, ) a la recta 5 3 + h 5.4 3. + 5 + ( 3) 9 34 plicamos la fórmula rea base. altura 9 9 rea 34. 8,5 ; 34 rea 8,5u 8.- Dado el triángulo de értices (4, 5), B(-, 3) C(, -), Halla las ecuaciones de las medianas. Comprueba que se cortan en un punto llamado baricentro Comprueba que el baricentro puede obtenerse también hallando la media aritmética de las coordenadas de los tres értices. Solución: Una mediana es el segmento que une un értice con el punto medio del lado opuesto. Baricentro es el punto de intersección de las tres medianas.

ECUCIÓN DE L RECT.- PRIMERO DE BCHILLERTO.- TEORÍ Y EJERCICIOS. Pág. 7 C(, -) N(3, ) G M(-, ) Los puntos M, N P son los puntos medios de los lados del triángulo que se han obtenido como semisuma de los etremos de cada lado. Recta M: (5, 4) B(-3, 6) P(, 5) Un ector director de la misma será: M (6,). Con dicho ector el punto (5,4) escribimos la ecuación de la recta que contiene a la primera mediana. 5 4 6 Recta BN: 6 4 6 + 4 Un ector director de ella será: BN ( 6, 5). Con dicho ector el punto B(-3, 6) escribimos la ecuación que contiene a la segunda mediana: + 3 6 6 5 Recta CP: 5 5 6 36 5 + 6 Un ector director: CP (,7). Con dicho ector el punto C(, -) escribimos la ecuación de la tercera mediana: + 7 7 7 Para hallar el baricentro resolemos el sistema formado por dos de las ecuaciones obtenidas, por ejemplo, 6 + 4 De la ª ecuación se obtiene que. Y sustituendo en la ª,. 6 +4 6 8 6 3 Las coordenadas del baricentro son G (, 8 ) 3

ECUCIÓN DE L RECT.- PRIMERO DE BCHILLERTO.- TEORÍ Y EJERCICIOS. Pág. 8 Puede comprobarse que se obtiene la misma solución escogiendo dos medianas cualesquiera. El baricentro obtenido puede obtenerse directamente mucho más rápido hallando la media aritmética de las coordenadas de los tres értices, es decir, 5 3 + 4 + 6 G, G 3 3 (, 8 ) 3 9.- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(, -3) forma un ángulo de 45º con la recta r: 3 + 3 Solución: Escribimos la recta dada en su forma eplícita: 3 + 3. Su pendiente es m 3. r P(, -3) La recta que buscamos tendrá de pendiente m plicando la fórmula del ángulo formado por dos rectas en función de sus pendientes, m m tg α + m. m es decir, 4 m 3 m tg45 º + 3m m 3 m + 3m 3 m + 3m De la recta que buscamos a conocemos su pendiente uno de sus puntos. Su ecuación será: + 3 ( ) (Ecuación punto-pendiente) Eiste otra solución que se obtiene llamando m a la pendiente de la recta dada, m a la pendiente de la recta que buscamos aplicando la misma fórmula.

ECUCIÓN DE L RECT.- PRIMERO DE BCHILLERTO.- TEORÍ Y EJERCICIOS. Pág. 9.- erigua el alor del parámetro m para que las rectas + ( m ) 3 m 6 + sean: a) Paralelas. b) Perpendiculares. Solución: a) Condición de paralelismo: B, por tanto, B m m 6, es decir, 6 m ( m ) m m 6 ± m ( ) 4( 6) ± 5 3 b) Condición de perpendicularidad:. + B. B, (Producto escalar nulo) por tanto, ( ). m + ( 6)( m ) m 6m +6 5m 6, es decir, m 6 5 Ejercicios propuestos.- Halla la recta que pasa por el punto (, -) es perpendicular a la recta de ecuación 3 + 4. Escribe la ecuación en forma canónica..- erigua la distancia entre el punto P(, -5) a la recta r: 3.- Halla la ecuación del haz de rectas que pasan por el punto (, -4) calcula cuál de ellas es la que tiene de pendiente m 3 4.- Dado el triángulo de értices (-3, ), B(-, 5) C(5, - 3), calcula la mediatriz del lado B la del lado C. Halla las coordenadas del circuncentro (Punto de intersección de las tres mediatrices). Sol. + 4; 3; Circuncentro: O(, ) 5.- Halla el área del triángulo que tiene por értices los puntos (, ), B(6, ) C(3, 5). Sol: 9/ unidades cuadradas

ECUCIÓN DE L RECT.- PRIMERO DE BCHILLERTO.- TEORÍ Y EJERCICIOS. Pág. 6.- Calcula el área de la región limitada por las rectas 3 4, + 3 6 7.- Halla el alor de k para que la recta + k + 3 forme un ángulo de 6º con el eje de abscisas. 3 k 3 8.- Halla el baricentro del triángulo cuos értices son los puntos (-, 3), B(6, -3) C(4, 5). Sol. G(8/3, 5/3) 9.- Dos értices opuestos de un cuadrado son (, ) C(6, 4) Calcula los otros dos értices el área. Sol. B(5, ); D(3, 5); Área u.- Calcula el alor de a para que las rectas r + a 3, s 3 + 5 sea paralelas. Sol. a /3.- Encuentra el simétrico del punto P(, 6) respecto de la bisectriz del primero tercer cuadrante. Sol. P (6, ).- Halla la distancia entre las siguientes rectas: + ; 3 + 3 Sol. 5 3 unidades 3.- Calcula en los siguientes casos el alor de k, para que la recta + k + a. Su pendiente sea 3 b. Pase por el punto (, ) c. Sea paralela a la recta + 5 d. Sea perpendicular a la recta + 4 4.- Halla el ángulo formado por las siguientes rectas: (, (,3) + λ(4,) ; (, ) ( 3, ) + λ(,4 )