El conjunto de los números complejos.

Tema 1 El conjunto de los números complejos. 1.1. Introducción. Suponemos conocido el conjunto de los números reales R y sus propiedades. En consecuencia sabemos que en tal conjunto no tiene solución la ecuación x +1 = 0. Esto motiva el que existan polinomios con coeficientes en R que no tengan raíces en R, o equivalentemente, no todo polinomio con coeficientes en R se puede factorizar como producto de polinomios de primer grado con coeficientes en R. Por ejemplo el polinomio x + x + 1 no se puede factorizar como producto de polinomios de primer grado con coeficientes en R. Otro problema sin solución en R es el siguiente: Dado un número a R encontrar otro número b R tal que b = a. Sabemos que, cuando existe b, es llamado raíz cuadrada de a, pero sabemos también que b existe si y sólo si a 0, es decir en R un número negativo no tienen raíz cuadrada. Se introduce ahora un conjunto de números que contiene al conjunto de los números reales (es decir, es una extensión de tal conjunto) y en el cual tengan solución positiva las cuestiones planteadas. Se llama el conjunto de los números complejos, que se denota C. Estudiaremos las propiedades de este conjunto, las operaciones elementales y algunas funciones definidas sobre él. 1

1.. Operaciones y primeras propiedades. Definición 1.1. El conjunto C de los números complejos se define por: C = {z = (a, b) : a, b R} Dado un número complejo z = (a, b), tienen mucho interés los siguientes números reales relacionados con él: a es llamado parte real de z, b parte imaginara de z y a +b es llamado módulo de z. Se denotan respectivamente Re(z), Im(z), z. A a, b se les llama componentes de z y finalmente, al complejo (a, b) se le llama conjugado de z y se denota z. Operaciones: Dos complejos z = (a, b), z = (c, d) son iguales si y solamente si a = c y b = d. Además se definen la suma y el producto respectivamente por: z + z = (a + c, b + d) y zz = (ac bd, ad + bc). Ambas operaciones verifican las propiedades asociativa y conmutativa, que si z 1, z, z 3 son tres complejos, consisten en: z 1 +(z +z 3 ) = (z 1 +z )+z 3, y z 1 +z = z + z 1 para la suma, e igual para el producto. Además el producto es distributivo respecto de la suma, es decir, z 1 (z + z 3 ) = z 1 z + z 1 z 3. Al complejo (0, 1) se le llama unidad imaginaria y se suele denotar por i. Tiene mucho interés como enseguida veremos. Cada número real a se identifica con el complejo (a, 0) y recíprocamente, un número complejo con parte imaginaria nula, de la forma (p, 0) es identificable al número real p. En particular, el (1, 0) es el número real 1. Un complejo con parte real nula se llama imaginario puro. La primera propiedad a destacar de i es que i = 1. En efecto: i = (0, 1)(0, 1) = ( 1, 0) = 1. Observemos también que para cualquier número real r y cualquier complejo z = (a, b) se tiene que rz = (ra, rb) porque rz = (r, 0)(a, b) = (ra 0b, rb + 0a)

Ejemplo 1.. Dados los números complejos z = (5, ) y w = ( 1, 3), calcula z, w, 4z w, z y zw. Solución. Es fácil comprobar que z = 5 + ( ) = 9, w = ( 1) + 3 = 10, 4z w = 4(5, ) ( 1, 3) = (0, 8) + (, 6) = (, 14), z = (5, ), zw = ( 5, )( 1, 3) = (5 6, 15 ) = ( 1, 17). Ejercicio 1.3. Realiza las mismas operaciones siendo z = ( 4, 3) y w = (, 9) Forma binómica. A partir de la definición de la suma y el producto, todo número complejo (a, b) se puede expresar por: (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + bi. La expresión así obtenida a + bi es llamada forma binómica del número complejo (a, b). Realmente es otro modo de expresar el número complejo, pero tiene la ventaja de que permite tratar las operaciones con números complejos como operaciones con binomios, siendo i la indeterminada. Así se tiene: (a + bi) + (c + di) = a + c + (b + d)i, y (a + bi)(c + di) = ac + (ad + bc)i + bdi = ac bd + (ad + bc)i. Se puede comprobar que la suma y el producto de números complejos tienen elemento neutro, que son respectivamente (0, 0) y (1, 0) (identificables por lo que se ha dicho con el 0 y el 1 respectivamente) y cada número complejo (a, b) tiene como opuesto al ( a, b). Además si (a, b) (0, 0) entonces tiene elemento inverso (a, b) 1 para el producto. Calculémoslo, empleando la forma binómica: 1 a + bi = a bi (a + bi)(a bi) = a bi a + b = 3 a a + b + b a + b i

Así, (a, b) 1 a b = ( a + b, a + b ). Ejemplo 1.4. Realiza las operaciones iz, z 1, w z, w3, i 3 (z w), siendo z = 3 i y w = 1 + 3i Solución. Aplicando las propiedades de las operaciones tenemos: iz = i(3 i) = 3i i = + 3i. z 1 = 3 13 + 13 i. w z = wz 1 = ( 1 + 3i)( 3 13 + 3 i) = 13 13 13 i + 9 13 i + 6 13 i = 9 13 + 7 13 i. w 3 = ( 1 + 3i) 3 = ( 1) 3 + (3i) 3 + 3( 1) 3i + 3( 1)(3i) = = 1 + 7i 3 + 9i 7i = 6 18i. i 3 (z w) = i(z w) = i((3 i) ( 1 + 3i)) = i(4 5i) = 5 4i. Ejercicio 1.5. Realiza el mismo ejercicio sustituyendo z y w por z y w respectivamente. Algunas propiedades de módulo y conjugado. Si z 1, z, z son números complejos, entonces se verifica: z 1 + z = z 1 + z ; z 1 z = z 1 z ; zz = z ; z + z = Re(z); (z z)/i = Im(z). Además, z 0, z = 0 z = 0; z 1 z = z 1 z ; z 1 + z z 1 + z ; z 1 z z 1 z Soluciones de la ecuación cuadrática. Teorema fundamental del álgebra. Con la introducción de C no sólo se resuelve la ecuación x + 1 = 0, de la que partíamos. Si consideramos la ecuación cuadrática ax + bx + c = 0, sabemos que sus soluciones se expresan por x = b ± b 4ac a 4

Esta expresión se obtiene completando cuadrados en la ecuación, es decir, expresándola de la forma ( x + b ) 4ac b + = 0 a 4a En el caso en que b 4ac < 0, la ecuación admite como soluciones los dos números complejos z = b 4ac b a + i y z = b 4ac b a a i a Es decir, toda ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene dos soluciones que son reales y coincidentes o reales y distintas o complejas y conjugadas. En resumidas cuentas, tiene solución en el conjunto de los números complejos. Igual pasaría si los coeficientes fueran números complejos. En realidad se cumple un teorema más general, llamado teorema fundamental del álgebra cuyo enunciado es Toda ecuación polinómica de grado n 1, con coeficientes complejos (en particular con coeficientes reales) admite alguna solución en el conjunto de los números complejos. En realidad se puede enunciar de modo aparentemente más fuerte, aunque es equivalente: La ecuación polinómica de grado n 1 con coeficientes complejos admite n soluciones (no necesariamente distintas) en el conjunto de los números complejos. Además, si z C es solución, también lo es z. Ejemplo 1.6. Resuelve la siguientes ecuaciones y expresa los polinomios correspondientes como productos de factores de primer grado. x + x + 1 = 0, Solución. Las soluciones vienen dadas por la expresión x = 1 ± 1 4 y son x 1 = 1 3 + i y x 1 = 1 3 i La expresión del polinomio en factores de primer grado es entonces ( x + x + 1 = x ( 1 ) ( 3 + i) x ( 1 ) 3 i) 5

Representación gráfica: Sabemos que el conjunto R de números reales se representa sobre una recta (se suele llamar la recta real). El conjunto C de los complejos admite una representación sobre el plano (llamado plano complejo) de modo que, fijados dos rectas perpendiculares, y representados los numeros reales sobre cada una de ellas, situando el cero de ambas en el punto de corte, es decir fijado un par de ejes cartesianos, cada número complejo (a, b) viene representado por el punto P del plano que representa esas coordenadas, o también, por el vector fijo que tiene el origen en el (0, 0) y el extremo en (a, b). Ese punto del plano es llamado afijo del número complejo (a, b). El módulo de ese vector es el módulo del número complejo. A partir de esa representación se tienen otros dos modos de expresar un número complejo: Consideremos el ángulo α que forma el vector (a, b) con el eje de abscisas, y sea r el módulo del número complejo z. Entonces se llama forma polar de z a la expresión r α, que consiste en expresar el módulo de z y, como subíndice, el ángulo. A tal ángulo se le llama argumento del número complejo. Notemos que cada número complejo tiene infinitos argumentos, porque si α es un argumento, también lo es α+kπ, k Z, y es muy importante tener en cuenta que la igualdad de dos números complejos expresados en forma polar no implica que sean iguales los módulos y los argumentos de ambos, sino que serán iguales los módulos y los argumentos se diferenciarán en un múltiplo de π. Es decir: r α = r β r = r β = α + kπ, k Z Cada número complejo z tiene un único argumento en el intervalo ( π, π]. A ese argumento se le llama argumento principal de z, y lo representaremos por arg(z). La forma polar de los números 1 e i son respectivamente 1 0 y 1 π. 6

Es claro que el complejo (a, b) se puede expresar de la forma (r cos(α), r sen(α)) O equivalentemente, r(cos(α)+i sen(α)) A esta última expresión se le llama forma trigonométrica del número complejo. Producto y cociente de números complejos en forma polar. Consideremos dos números complejos r α y s β. Si los expresamos en forma binómica y realizamos su producto, entonces tendremos: r(cos(α) + i sen(α)) s(cos(β) + i sen(β)) = = rs((cos(α) cos(β) sen(α) sen(β) ) + i(sen(α) cos(β) + cos(α) sen(β) ) } {{ } } {{ } cos(α+β) sen(α+β) Esta expresión se puede poner, a partir de las fórmulas del seno y el coseno de la suma de ángulos, como: rs(cos(α + β) + i sen(α + β)). Se deduce de ello que el producto de números complejos expresados en forma polar verifica: r α s β = (rs) α+β. También, por lo que se ha dicho ya de la igualdad de números complejos, que dados z 1, z C, arg(z 1 z ) = arg(z 1 ) + arg(z ) + kπ, k Z. Dados dos número complejos z = (a, b), z = (c, d), z 0, el cociente z z se puede calcula a partir del inverso z 1, porque z z = z z 1. Sin embargo el cálculo del cociente se simplifica si se emplea la expresión en forma polar. Comencemos obteniendo la expresión del inverso: Si z = r α, entonces z 1 = ( 1 r ) α. Se justifica porque zz 1 = r α ( 1 r ) α = (r 1 r ) α α = 1 0 = 1 7

Ahora, si z = r β z, el cociente z se expresa por z z 1 y por tanto se tiene: z z = r β r α = r β( 1 r ) α = ( ) r Ejemplo 1.7. a) Expresa en forma binómica, trigonométrica y polar cada uno de los siguientes números complejos. z = 3i, w = 5 π 4, m = 4( 3 1 i). b) Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma binómica zw, m z, w z. Solución. a) z = 13. Ahora observemos que el afijo de z está en el cuarto cuadrante. Debe tenerse eso en cuenta para calcular el argumento α. Operando se obtiene que α = 0,98 (la medida de ángulos es siempre el radian). Así las formas polar y trigonométricas de z son: 13 0,98 y 13(0, 554 0, 83i). Ahora para w, se ha dado la forma polar. Las formas trigonométrica y binómica son, como se obtiene de forma inmediata: 5 (cos( π ) 4 ) + i sen(π 4 ) = 5( + i) y (5 5 + i). Ahora, para m observamos que la parte real es positiva y la parte imaginaria negativa, lo cual denota que, gráficamente, m está en el cuarto cuadrante. Además m = 4 y su argumento θ cumplirá tan(θ) = 1 3. Es decir θ = π 6, Así las formas polar y binómica son r 4 π 6 y ( 3 i) b) zw = ( 3i)( 5 + 5 i) realizando el producto en forma binómica se obitiene zw = ( 5 5 i) Para m z, operando en forma binómica se obtiene de modo inmediato: m z = ( 3 i) ( 3i) = (( 3 1) + i Finalmente, w z β α se obtiene de manera sencilla operando en foma polar. Se tiene ( ) ( w 5 z = 5 ) 13 = 13 π 4 ( 0,98) 13 8 1,76

En forma binómica se obtiene 5 13 13 ( 0,19 + 0,98i) = ( 0,6 + 1,36i) Potencias de números complejos. Generalizando la expresión del producto de números complejos para tres, cuatro,...,n números, se obtiene la siguiente expresión de la potencia con exponente natural de números complejos: (r α ) n = r n nα, n N. Esa fórmula es válida también para exponente entero (n Z). Se justifica del modo siguiente: Si n N, podemos poner: ( z n = ((r α ) 1 ) n = ( 1 ) n r ) α = ( 1 r )n nα = r nα Empleando la expresión de los números complejos en forma trigonométrica, la fórmula de la potencia se expresa por: (r(cos(α) + i sen(α)) n = r n (cos(nα) + i sen(nα)), n Z. De ello se deduce la importante igualdad, conocida como fórmula de De Moivre, siguiente: (cos(α) + i sen(α)) n = cos(nα) + i sen(nα), n Z. Raíces de números complejos. Sea n N. El número complejo z = r α se dice que es una raíz n esima del número complejo z = r β, y se denota z = n z, si (z) n = z. La expresión de la potencia permite deducir que: r β = r n nα, y entonces r = r n, nα = β +kπ, k Z. Es decir, r = n r y α = β n + k π, k Z. n Ahora en esta expresión, cuando k toma los valores 0, 1,,... n 1 se obtienen n valores distintos para α que son: β n, β n + π n, β n + 4π n,..., β n 9 (n 1)π +. n

Para cualquier otra valor que se le de a k Z se obtiene un valor de α que se diferencia de alguno de estos en un múltiplo de π, y por tanto corresponde a otro argumento del mismo número complejo. Es decir: existen n números complejos distintos que son raíces n ésimas de z, todos ellos con módulo igual a n r y cuyos argumentos son los que se obtienen de la fórmula β n + k π, para los valores de k = 0, 1,... (n 1). n Es fácil observar que los afijos de los n números complejos, raíces n ésimas de z, si se representan en el plano complejo, son los vértices de un polígono regular de n lados. Ejemplo 1.8. Resuelve las ecuaciones a) x 6 1 = 0 b) x + 3x 10i = 0 c) z 6 + 64z = 0 Solución. Las soluciones de la ecuación a) son las raíces sextas de la unidad, es decir 6 1. La unidad escrita en forma polar es 10. Tiene seis raíces sextas, todas con módulo uno y cuyos argumentos atienden a la expresión x k = 0 + kπ, k = 0, 1,, 3, 4, 5. 6 Así las soluciones pedidas son: 1 0, 1 π 3, 1 π 3, 1 π, 1 4π 3, 1 5π 3. Observemos que las dos últimas no están dadas con su argumento principal (ponedlas así como ejercicio). También que la diferencia entre los argumento de dos raíces consecutivas es constante, en concreto vale π 6. Esto se verifica en general, es decir, la diferencia entre los argumentos de dos raíces n esimas consecutivas de un número complejo z es π n. b) Las soluciones de la ecuación viene dadas por la expresión x = 3 ± 9 + 40i. Basta pues calcular las raíces cuadradas de w = 9 + 40i. En forma polar, w = 41 1,34948. Ahora las dos raíces cuadradas son m 1 = 41 0,67474 y m = 41 3,81633. Si ambas las escribimos en forma binómica obtenemos: 10

m 1 = 41(0,7808 + 0,647i) = 5 + 4i y m = 41( 0,7808 0,647i) = 5 4i. Sustituyendo m 1, m en la expresión de x, teniendo en cuenta los dos signos ±, se obtienen cuatro soluciones, dos a dos iguales, que son 4 i y 1 + i. c) z (z 4 + 64) = 0. Así la soluciones son las de z = 0 y las de z 4 + 64 = 0. La primera tiene como solución z = 0 (doble). La segunda tiene como solución z = 4 64. Calculemos pues las raíces cuartas de -64. En forma polar es 64π. Las cuatro raíces cuartas tienen por módulo 8 y los cuatro argumentos serán π 4, π 4 + π, π 4 + π, π 4 + 3π. En forma binómica serán: 1 + i, 1 + i, 1 i, 1 i. 1.3. Funciones complejas. Se definirán algunas funciones de C en C que vienen a generalizar esas mismas funciones, que son bien conocidas pero cuando se han definido de R en R. La generalización se hace de modo que las funciones mantengas las propiedadas que tenían para el caso real. Hablamos de las funciones exponencial, logarítmica y trigonométricas complejas. La función exponencial. Recuérdese la función real exp(x) = e x, x R. Verifica las propiedades: e p+q = e p e q y e 0 = 1. Además es una función derivable y su derivada es la misma función, (e x ) = e x. Si se busca una función exp(z) = e z, z C con esas propiedades, tendremos que, si z = a + bi entonces e z = e a+bi = e a e bi. Observamos que e a es un número real. Ahora sólo falta por definir e bi. Se puede demostrar (no lo haremos porque no tenemos los conocimientos suficientes para 11

ello) que la única definición posible para que se cumpla las propiedades de la exponencial es: e ib = cos b + i sen b. Es decir, la función exponencial compleja se define del modo siguiente: para el número complejo z = a + bi, su imagen es el complejo z dado por: z = e z = e a (cos b + i sen b) De la definición, y recordando las expresiones polar y trigonométricas de un número complejo, se deducen las siguientes propiedades: - El módulo de z es z = e a y un argumento de z es b. - Todo número complejo z = r α se puede poner de la forma z = re iα (de hecho algunos autores definen esta expresión como la forma polar del número complejo, y a partir de ella y de las propiedades de la exponencial se pueden deducir las propiedades de las potencias y de las raíces.) - Para cada b R el número complejo e ib tiene modulo uno y, recíprocamente, todo número complejo de módulo uno se puede expresar de forma e ip para algún número real p. Además de las dos propiedades que se le exigían a la función exponencial compleja en su definición, se tienen las siguientes: e z 0 para todo z C (porque e z e z = e 0 = 1, por tanto e z no puede ser cero). e z = 1 si y sólo si z = kπi, k Z e z 1 = ez si y sólo si z 1 z = kπi. La función exponencial compleja es periódica de periodo πi. En efecto. Dado z C, podemos considerar para cualquier k Z el número z + kπi. Se tiene: e z+kπi = e z e kπi = e z (cos(kπ) + i sen(kπ)) = e z. Ejemplo 1.9. a) Dados u = 3 + i, v = 1 i calcula e u, e u v y ie u+v 1

b) Expresa en forma binómica los siguientes números complejos: e πi, i + e πi, 1 e πi 1 + e πi Solución. a) Basta aplicar la definición de exponencial compleja. Se tendrá: e u = e 6+4i = e 6 (cos 4 + i sen 4) = 403,49( 0,653 0,757i) = 63,7 305,316i. e u v = e 4+3i = e 4 (cos 3 + i sen 3) = 54,598( 0,990 + 0,141i) = 54, 05 + 7, 705i. ie u+v = ie +i = ie (cos 1 + i sen 1) = i(3,99 + 6,18i) = 6,18 + 3,99i. El apartado b) es también inmediato: e πi = cos( π ) + i sen(π ) = i. i + e πi = i + cos(π) + i sen(π) = 1 + i 1 e πi 1 + e πi. = 1 i 1 + i = (1 i) (1 + i)(1 i) = i = i La función logarítmica. Conocida la función exponencial compleja y sus propiedades, nos preguntamos ahora si, dado un número complejo z, existe un número complejo w tal que e w = z. Sabemos que para z = 0 no puede existir w (porque e w 0, w C). En este sentido se tiene el resultado siguiente: Para cualquier número complejo no nulo z, existen números complejos w tales que e w = z. Uno de tales números es log z + i arg(z) y todos los demás tienen la forma log z + i arg(z) + kπi, k Z. Para comprobarlo basta observar que e log z +i arg(z) = e log z e i arg(z) = z e i arg(z) = z. Lo que muestra que w = log z + i arg(z) es una solución de la ecuación e w = z. Ahora si w 1 es otra solución de tal ecuación, entonces e w = e w 1 y por tanto w w 1 = kπi. 13

Dado z, de cada número complejo w que cumpla e w = z se dice que es un logaritmo de z. En particular, al número log z + i arg(z) se le llama logaritmo principal de z y se denota Log(z). Es decir: Log(z) = log z + i arg(z). Ejemplo 1.10. Justifica las siguientes propiedades de la función logaritmo en C. a) Log( 1) = πi. b) Log(i) = πi/. c) Log(z 1 z ) = Log z 1 + Log z + nπi, Log(z 1 /z ) = Log z 1 Log z + nπi, siendo n un número entero. d) e Log z = z Solución. a) Log( 1) = log 1 + i arg( 1) = iπ b) Log(i) = log 1 + i arg(i) = iπ/ c) Log(z 1 z ) = log z 1 z + i arg(z 1 z ) = log z 1 + log z + i[arg(z 1 ) + arg(z ) + nπ] = Log z 1 + Log z + nπi, Empleando la función logarítmica se define la potencia compleja de números complejos. Así, si z, w son números complejos con z 0 se define z w por: Ejemplo 1.11. Calcular 1 i, i i y ( 1) i z w = e w Log z Solución. 1 i = e i Log 1 = e 0 = 1. i i = e i Log i = e i(πi)/ = e π/. ( 1) i = e i Log( 1) = e i(iπ) = e π Funciones trigonométricas. Finalizamos el tema con la definición de las funciones seno y coseno definidas y valoradas en el conjunto C de los números complejos. De hecho se definen por: cos z = eiz + e iz, sen z = eiz e iz i 1.4. Cuestiones y Problemas. 1. Realiza las siguientes operaciones con números complejos: a)(+3i) (1 i). b) i n, n N. c) (3 + i)(3 i). d) 4i 4 + i. e) (1 + i) 1. 14

. Escribe en todas sus formas el número complejo que resulte de las siguientes operaciones a)( 1 i). b) i5 i 8 i. 3. a)calcula las partes real e imaginaria del número (1+i)(+3i)(3+i)( i). 4m i b)determina m y n para que se cumpla la igualdad: = 3 + ni. 6 i 4. La suma de dos números complejos es 3 + i, la parte real de uno de ellos es y su cociente es imaginario puro. Determina dichos números. 5. Qué efecto geométrico produce multiplicar un número complejo por 1 α? Y dividirlo por su módulo, z z? 6. Calcula las raíces quintas de (1 + i). 7. Una raíz cuarta de un número complejo es 1 + i. Calcula las demás raíces cuartas así como dicho número. Representa gráficamente el número buscado y sus raíces cuartas. 8. Calcula e i, i ii, ( + i) ( 3 + i), Log(i), Log(( + 3i) 4 ), Log + 3i 1 i 9. a) Determina los tres números complejos a, b, c tales que para todo elemento del cuerpo C se tenga: z 3 + z (5i 6) + z(9 4i) + 13i + 18 = (z + i)(az + bz + c). b) Resolver en el cuerpo C la ecuación z 3 +z (5i 6)+z(9 4i)+13i+18 = 0. c) Representar en el plano complejo los afijos de las soluciones de la ecuación anterior. Si los consideramos vértices de un triángulo, de qué tipo es? 15