Formulación de un Modelo de Programación Lineal Para facilitar el planteamiento del modelo matemático general de la PL considere el siguiente problema: La planta HBB fabrica 4 productos que requieren para su elaboración: materia prima de la cual hay una disponibilidad diaria de 180 libras, espacio de almacenamiento del cual se dispone de 230 pies cúbicos y un tiempo de producción de 8 horas/día. Para elaborar una unidad de cada uno de los productos se necesitan los siguientes insumos: Producto Materia prima lbs/unidad Espacio pies 3 /unidad Tasa producción unidades/hora Utilidades $/unidad. 1 2 2 15 5 2 2 2.5 30 6.5 3 1.5 2 10 5 4 1 1.5 15 5.5 La gerencia desea determinar cuántas unidades de cada producto deben fabricarse para maximizar el beneficio. Solución A partir de esta descripción cualitativa del problema se va a convertir en una forma matemática que se pueda resolver, este proceso se llama formulación del problema y tiene los siguientes pasos con sus características claves. I) Identificación de las variables de decisión. Identificar las variables de decisión y obtener sus valores proporciona la solución del problema. Como los valores de estos elementos son desconocidos se les da un símbolo. La elección de estas variables no es única y no existen reglas fijas, sin embargo se pueden formular algunas preguntas que son útiles en la identificación de un conjunto adecuado de variables de decisión. Diana Cobos 8
CARACTERÍSTICAS CLAVES Qué elementos afectan los costos y/o ganancias como objetivo global? Qué elementos se pueden elegir y/o controlar? Qué decisiones se tienen que tomar? Qué valores posibles constituyen una solución para el problema? La respuesta a estas preguntas es fabricar cuatro tipos de productos simbolizados por: X 1 = cantidad de unidades a producir del producto 1 X 2 = cantidad de unidades a producir del producto 2 X 3 = cantidad de unidades a producir del producto 3 X 4 = cantidad de unidades a producir del producto 4 II) Identificación de los datos del problema La finalidad de resolver un problema es proporcionar los valores reales para las variables de decisión. Para esto se requiere determinar los recursos disponibles. Para nuestro ejemplo: Cantidad de materia prima disponible (180 lbs/día) Cantidad de espacio disponible (230 pies 3 ) Tiempo de producción disponible (8 hrs/día). CARACTERÍSTICA CLAVE. La necesidad de determinar los datos del problema para lograr el objetivo al desarrollar el problema y verificar si se necesita información adicional para determinar las variables de decisión. Diana Cobos 9
III) Identificación de la función objetivo En esta parte se pretende expresar el objetivo organizacional en forma matemática usando las variables de decisión y los datos conocidos. Se puede considerar que cada una de las variables de decisión tiene una función especifica dentro del contexto del objetivo general (optimizar), con el fin de obtener un único valor. Para el caso: Maximizar las utilidades a partir de los aportes o beneficios de cada unidad fabricada ( por ejemplo, $5 el producto 1 (X 1 )), y totalizar todos los aportes para las respuestas de las variables de decisión. La función objetivo será entonces: Maximizar Z = 5X 1 + 6.5X 2 + 5X 3 + 5.5X 4 CARACTERÍSTICA CLAVE La función objetivo depende de: El enunciado del objetivo de manera verbal. Descomponer el objetivo en una suma, diferencia y/o producto de términos individuales (combinación lineal) Expresar los términos individuales usando las variables decisorias y los datos. IV) Identificación de las restricciones. Las restricciones son condiciones que las variables de decisión deben satisfacer para constituir una solución aceptable de un problema. Estas pueden ser de limitaciones físicas (horas de trabajo de una planta), restricciones administrativas (satisfacer una demanda de un cliente especial), restricciones externas que las puede dar el mercado, restricciones lógicas sobre las variables (respuestas enteras). Diana Cobos 10
Considerando nuestro ejercicio se pueden dar restricciones por los recursos disponibles como son, por ejemplo, la materia prima, ya que se disponen únicamente 180 libras para los cuatro productos, de modo que: 2X 1 + 2X 2 + 1.5X 3 +X 4 180, Además se dispone de 230 pies 3 de espacio de almacenamiento, lo que puede traducirse como: 2X 1 +2.5X 2 + 2X 3 + 1.5X 4 230 y la tasa de producción que está expresadas en unidades por hora, por lo que tenemos que convertirla primero en horas por cada unidad, por ejemplo, si 15 unidades del producto 1 se producen en una hora, una unidad en cuánto tiempo se producirá?. Entonces se tiene que las horas/ unidad de cada producto son: 1/15 =.067 para el producto 1, 1/30 = 0.033 para el producto 2, 1/10 = 0.1 para el producto 3 y 1/15 = 0.066 para el producto 4. De este modo la restricción del tiempo de producción se puede expresar como: 1/15 X 1 + 1/30 X 2 +1/10 X 3 + 1/15 X 4 8 Las limitaciones son lógicas cuando la respuesta de las variables de decisión debe ser positiva o sea la restricción de no negatividad. CARACTERÍSTICA CLAVE. X 1 0, X 2 0, X 3 0, X 4 0. Es importante tener en cuenta las variables de decisión y los datos del problema para definir cada una de las restricciones. Expresarlas como una suma, diferencia o producto de cantidades individuales. Establecer la magnitud de la dirección, teniendo en cuenta las limitaciones formuladas. Diana Cobos 11
Una vez reunidos todos estos elementos descritos se hace una formulación matemática del problema de acuerdo a : Sujeta a: Maximizar: 5X 1 +6.5X 2 + 5X 3 + 5.5X 4 (ganancia) 2X 1 + 2X 2 + 1.5X 3 + X 4 180 (materia prima) 2X 1 + 2.5X 2 +2X 3 + 1.5X 4 230 (espacio) 1/15 X 1 + 1/30 X 2 +1/10 X 3 + 1/15 X 4 8 (tasa de producción) X i 0 i = 1,2,3,4 Donde X i representa el número de unidades a fabricar del producto i para i=1,2,3,4 Diana Cobos 12
Modelo general de la PL Del ejemplo anterior, puede inducirse el siguiente modelo matemático general de la PL Optimizar: X 0 = C 1 X 1 + C 2 X 2 +... + C n X n (0) Sujeta a a 11 X 1 + a 12 X 2 +... a 1n X n (, = ) b 1 (1) a 21 X 1 + a 22 X 2 +... a 2n X n (, = ) b 2 (2)............... a m11 X 1 + a m2 X 2 +... a mn X n (, = ) b m (m) X 1, X 2, X n 0 (*) Donde: X 0 = función objetivo, la cual pude maximizarse o minimizarse X j = variable de decisión (actividad) j = 1, 2,..., n C j = coeficiente de la variable X j en la función objetivo, o más brevemente, coeficiente objetivo de X j a ij = consumo del recurso i por la actividad j, o alternativamente, coeficiente tecnológico de Xj en la restricción i b i = constante del lado derecho (generalmente recurso disponible) en la restricción i llamada también coeficiente de recurso Diana Cobos 13
El modelo matemático general de la PL suele dividirse en: el objetivo (0), las restricciones tecnológicas o estructurales [de (1) a (m)] y las condiciones técnicas o de no-negatividad (*) EJEMPLO 1 Una fábrica de juguetes fabrica dos tipos de juguetes de madera: soldados y trenes. Se vende un soldado a 27 dólares y se usan 10 de dólares de materia prima. Cada soldado que se produce aumenta los costos variables de mano de obra y los costos generales en 14 dólares. Se vende un tren a 21 dólares y se usan 9 dólares de materia prima. Cada tren producido aumenta los costos variables de mano de obra y los costos generales en 10 dólares. La producción de soldados y trenes de madera necesita dos tipos de trabajo especializado: carpintería y acabado. Un soldado requiere 2 horas de acabado y 1 hora de carpintería. Un tren requiere 1 hora de acabado y 1 hora de carpintería. Cada semana, la fábrica puede conseguir toda la materia prima que se necesita, pero solamente dispone de 100 horas de acabado y 80 horas de carpintería. La demanda de los trenes no tiene límite, pero se pueden vender a lo más 40 soldados semanalmente. La fábrica quiere maximizar su ganancia semanal (ingresos costos). Formule un modelo matemático que se pueda utilizar para maximizar las ganancias de la fábrica. Tomado de: Investigación de Operaciones, Aplicaciones y algoritmos Wayne L. Winston Grupo Editorial Iberoamérica Diana Cobos 14
Solución (1) Resumen de datos Precio de Materia Otros Carpintería Acabado Demanda venta ($) prima ($) costos ($) (hr) (hr) Soldados 27 10 14 1 2 a lo más 40 Trenes 21 9 10 1 1 ilimitada Disponibilidad de recurso ilimitada 80 100 (2) Variables de decisión X 1 = el número de soldados producidos cada semana X 2 = el número de trenes producidos cada semana (3) Función objetivo Se deben expresar las ganancias y los costos semanales de la fábrica en función de las variables de decisión X 1 y X 2. Entonces Ingresos semanales = 27X 1 + 21X 2 Costos semanales de materia prima = 10X 1 + 9X 2 Costos semanales variables = 14X 1 + 10X 2 Entonces la fábrica quiere maximizar: (27X 1 + 21X 2 ) (10X 1 + 9X 2 ) (14X 1 + 10X 2 ) = 3X 1 + 2X 2 De modo que el objetivo de la fábrica es elegir X 1 y X 2 para maximizar 3X 1 + 2X 2. Si representamos el valor de la función objetivo por X 0 la función objetivo de la fábrica es: Maximizar X 0 = 3X 1 + 2X 2 Diana Cobos 15
(4) Restricciones Restricción 1. No se pueden usar más de 100 horas de acabado por semana Restricción 2. No se pueden usar más de 80 horas de carpintería por semana. Restricción 3. No se deben producir más de 40 soldados por semana La restricción 1 se puede expresar como: La restricción 2 es: La restricción 3 debe expresarse como: 2X 1 + X 2 100 X 1 + X 2 80 X 1 40 Así el modelo completo es: Maximizar X 0 = 3X 1 + 2X 2 Sujeto a 2X 1 + X 2 100 X 1 + X 2 80 X 1 40 X 1, X 2 0 Diana Cobos 16
EJEMPLO 2 Una compañía que fabrica automóviles de lujo y camiones lanzó una campaña ambiciosa de publicidad por televisión y decidió comprar comerciales de 1 minuto en dos tipos de programas: series cómicas y juegos de fútbol. 7 millones de mujeres y 2 millones de hombres ven cada comercial en series cómicas. 2 millones de mujeres y 12 millones de hombres ven cada comercial en juegos de fútbol. Un comercial de 1 minuto en una serie cómica, cuesta 50 000 dólares, y un comercial de 1 minuto en un juego de fútbol cuesta 100 000 dólares. La compañía que por lo menos 20 millones de mujeres y 24 millones de hombres vieran los comerciales. Utilice la PL para determinar cómo la fábrica puede alcanzar sus requerimientos publicitarios a un costo mínimo. Tomado de: Investigación de Operaciones, Aplicaciones y algoritmos Wayne L. Winston Grupo Editorial Iberoamérica Solución (1) Resumen de datos Mujeres (millones) Hombres (millones) Costo del comercial (miles de $/min) Series cómicas 7 2 50 Juegos de futbol 2 12 100 Audiencia esperada (millones de personas) Por lo menos 28 Por lo menos 24 (2) Variables de decisión (3) Función objetivo X 1 = Número de comerciales de un minuto en series cómicas X 2 = Número de comerciales de un minuto en juegos de fútbol La fábrica quiere minimizar el costo total de la publicidad (en miles de dólares) Costo total de publicidad = costo de anuncios en series cómicas + costo de los anuncios en juegos de fútbol. Diana Cobos 17
Así la función objetivo de la fábrica es: (4) Restricciones Minimizar X 0 = 50X 1 + 100X 2 Restricción 1. Los anuncios tienen que llegar a por lo menos 28 millones de mujeres Restricción 2. Los anuncios tienen que llegar a por lo menos 24 millones de hombres La restricción 1 se puede expresar como: La restricción 2 es: Así el modelo completo es: 7X 1 + 2X 2 28 2X 1 + 12X 2 24 Minimizar X 0 = 50X 1 + 100X 2 Sujeta a 7X 1 + 2X 2 28 2X 1 + 12X 2 24 X 1, X 2 0 Diana Cobos 18