D o de Economía Aplicada Cuaniaiva I Basilio Sanz Carnero
PROCESOS ESTOCÁSTICOS Un proceso esocásico «Z» considera «n» variables aleaorias, Z n, en momenos de iempo sucesivos, cada una de esas «n» variables se compara como una variable aleaoria usual. Se puede expresar analíicamene como, Z = {Z 1, Z 2,, Z n } ; Z = {Z(s, ); s Є S, Є T} Para cada, «Z» presena una variable aleaoria ordinaria, es en ese conexo en el que cabe la posibilidad de inerprear las series de iempo como realizaciones de un proceso esocásico. Su función de disribución conjuna es, F(Z) = F(Z 1, Z 2,, Z n ) = P(Z 1 Z 1, Z 2 Z 2,, Z n Z n ) Usualmene en un proceso esocásico sólo conocemos un valor de cada una de las «n» variables (puno muesra del proceso), y en consecuencia no conocemos su función de disribución conjuna.
PROCESOS ESTOCÁSTICOS Kolgomorov demuesra que si se cumplen las condiciones de simería (si la permuación de subíndices no afeca a la disribución conjuna) y compaibilidad (si el proceso se puede reducir mediane marginalización al análisis de un conjuno finio de elemenos), enonces no es necesario conocer la función de disribución conjuna para aplicar la inferencia esadísica. En un proceso esocásico, los momenos dependen del iempo hisórico, E Z Z var Z 2 2 E Z Z Función de Auocovarianza: cov Z, Z C, E Z Z Z Z Función de Auocorrelación: R Z 1 2 1 2 1 2 C, E Z1Z Z 2 Z, Z 1 2 1 2 2 2
PROCESOS ESTOCÁSTICOS ESTACIONARIOS Para poder aplicar la inferencia esocásica los procesos esocásicos ienen que ser esacionarios, en el senido de que las funciones de disribución de las «n» variables aleaorias de que consa el proceso sean semejanes. Un proceso esocásico es esacionario, en senido esrico, si las funciones de disribución de las disinas variables aleaorias de que consa el proceso son iguales, F(Z ) = F(Z +u ) y, en consecuencia, se puede considerar de hecho, como si fuera una única variable aleaoria, con «n» repeiciones. Pero el conocimieno de las disinas funciones de disribución del proceso esocásico es imposible si sólo conocemos una realización, como es habiual en las variables económicas, de manera que no podemos comprobar el cumplimieno de la igualdad anerior.
PROCESOS ESTOCÁSTICOS ESTACIONARIOS Alernaivamene, y de forma menos rigurosa, podemos verificar si los momenos del proceso se manienen esables en el iempo. Un proceso esocásico se define como esacionario en senido amplio si, E Z Z 2 2 var Z E Z Z Es decir si su media y varianza se manienen consanes a lo largo del iempo. El problema es que las variables económicas en general no presenan esas caracerísicas, es decir no son esacionarias, de manara que para poder uilizar la inferencia esocásica en ese conexo debemos primero converirlas en esacionarias.
Las mariculaciones ordinarias de vehículos es un buen indicador de la coyunura económica de un país. Al raarse de bienes de consumo duraderos sus movimienos son sensibles a las modificaciones de rena disponible y riqueza. Se observa un fuere componene esacional que dificula visualizar con claridad el movimieno de la variable, por ello calculamos su media móvil cenrada de doce meses que elimina el componene esacional. Se aprecia no obsane que la serie no es esacionaria ni en media ni en varianza, de manera que hay que ransformar la serie hasa que sean aproximadamene consane en media y en varianza. v Crisis del peróleo (1977-1985) Crisis 1992-93 Crisis acual
La gráfica de la serie ransformada (aplicando primeras diferencias esacionales de la serie en logarimos), muesra un comporamieno mucho más irregular, si bien parece que la media va disminuyendo con el iempo, de manera que realizaremos además una diferencia regular.
Realizada la ransformación en diferencias regulares y esacionales se observa un comporamieno muy similar al que endría una variable aleaoria. La media y la varianza son aproximadamene consanes, es decir la serie es esacionaria y en consecuencia adecuada para aplicar la inferencia esadísica denro del conexo de los procesos esocásicos univarianes.
CÁLCULO DE DIFERENCIAS Y LOGARITMOS Se ransforma la variable en su logarimo neperiano [Ln(ma )] La diferencia de orden doce (o primera diferencia en el orden esacional) de la serie en logarimos es: D 12 [Ln(ma )]=Ln(ma ) Ln(ma -12 ) es aproximadamene la asa de variación anual en ano por uno, es decir: D 12 [Ln(ma )] (ma ma -12 )/ma -12 La primera diferencia (o primera diferencia en el orden regular) de la serie en logarimos es: D[Ln(ma )]=Ln(ma ) Ln(ma -1 ), es aproximadamene la asa de variación mensual en ano por uno, es decir: D[Ln(ma )] (ma ma -1 )/ma -1 La primera diferencia regular y esacional de la serie en logarimos es: DD 12 [Ln(ma )]=D[Ln(ma )] D[Ln(ma -12 )]=D 12 [Ln(ma )] D 12 [Ln(ma -1 )]
PIB EN TÉRMINOS REALES: DATO TRIMESTRAL Que presena una endencia creciene y por ano la serie no se compora como un proceso esocásico esacionario.
PIB EN TÉRMINOS REALES: DATO TRIMESTRAL
PIB EN TÉRMINOS REALES: DATO TRIMESTRAL
obs PIBc Ln(PIBc) D 4 [Ln(PIBc)] DD 4 [Ln(PIBc)] % 2007Q1 19705,70 5,283493 2007Q2 19861,70 5,291378 2007Q3 20020,70 5,299352 2007Q4 20148,60 5,305720 2008Q1 20246,80 5,310582 0,027089 0,027459 2008Q2 20238,40 5,310167 0,018789-0,008300 0,018966 2008Q3 20076,30 5,302125 0,002773-0,016015 0,002777 2008Q4 19860,80 5,291333-0,014387-0,017160-0,014284 2009Q1 19544,00 5,275253-0,035328-0,020942-0,034712 2009Q2 19338,50 5,264683-0,045484-0,010155-0,044465 2009Q3 19288,80 5,262110-0,040015 0,005468-0,039225 2009Q4 19257,30 5,260475-0,030858 0,009158-0,030386 2010Q1 19276,10 5,261451-0,013802 0,017055-0,013708 2010Q2 19330,00 5,264243-0,000440 0,013363-0,000440 2010Q3 19333,00 5,264399 0,002289 0,002728 0,002291 D 4 [Ln(PIBc 2008Q1 )] = Ln(PIBc 2008Q1 ) Ln(PIBc 2007Q1 ) = = 5,310582 5,283493 = 0,027089 DD 4 [Ln(PIBc 2008Q2 )] = D 4 Ln(PIBc 2008Q2 ) D 4 Ln(PIBc 2008Q1 ) = = 0,018789 0,027089 = 0,0083
PROCESOS ESTOCÁSTICOS ESTACIONARIOS Las funciones de auocorrelación y auovarianza son de la siguiene forma, F. de Auocovarianza: F. Auocorrelación: 1,, C C C C 1 2 2 1 1,, R R R R 1 2 2 1 u ( Z Z )( Z Z ) n 2 Z Z n Que sólo dependen del desfase emporal «u» al que u = 1 2. La función de auocorrelación de un proceso esocásico esacionario presena las siguienes caracerísicas: R 0 = 1 R u 1 R u = R -u, es una función par del amaño de desfase emporal. Un proceso esocásico iene una única función de auocorrelación pero no a la inversa, es decir, es posible enconrar una misma función de auocorrelación para más de un proceso esocásico (no unicidad). u u u u u ( Z Z )( Z Z ) 1 n u u ( )
CALCULAR LA FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN Z =DD 4 [Ln(PIBc)] (n=11) obs Z (Z - med) 2 (Z - med) Z +1 (Z +1 - m) Z +2 (Z +2 - m) (Z -m)(z +1 -m) (Z -m)(z +2 -m) 2008Q1-0,004058 0,000002-0,001435-0,008300-0,005677-0,016015-0,013392 0,000008 0,000019 2008Q2-0,008300 0,000032-0,005677-0,016015-0,013392-0,017160-0,014537 0,000076 0,000083 2008Q3-0,016015 0,000179-0,013392-0,017160-0,014537-0,020942-0,018319 0,000195 0,000245 2008Q4-0,017160 0,000211-0,014537-0,020942-0,018319-0,010155-0,007532 0,000266 0,000109 2009Q1-0,020942 0,000336-0,018319-0,010155-0,007532 0,005468 0,008091 0,000138-0,000148 2009Q2-0,010155 0,000057-0,007532 0,005468 0,008091 0,009158 0,011781-0,000061-0,000089 2009Q3 0,005468 0,000065 0,008091 0,009158 0,011781 0,017055 0,019678 0,000095 0,000159 2009Q4 0,009158 0,000139 0,011781 0,017055 0,019678 0,013363 0,015986 0,000232 0,000188 2010Q1 0,017055 0,000387 0,019678 0,013363 0,015986 0,002728 0,005351 0,000315 0,000105 2010Q2 0,013363 0,000256 0,015986 0,002728 0,005351 0,000086 2010Q3 0,002728 0,000029 0,005351 Suma 0,001693 11 C u 0,001349 0,000672 Media -0,002623 0,000154 R u 0,797105 0,397207 C u u 1 ( Z Z )( Z Z ) n u R u u 1 ( Z Z )( Z Z ) 1 u ( Z Z) 2 n n
FUNCIÓN DE AUTOCORRELACIÓN u R u = Función de Auocorrelación 1 0.797 2 0.397 3-0.038 4-0.383 5-0.480 6-0.397 7-0.248 8-0.113 9-0.031 10-0.005 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0-0,2-0,4-0,6 Ru 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 R u u 1 ( Z Z )( Z Z ) 1 u ( Z Z) 2 n n
D o de Economía Aplicada Cuaniaiva I Basilio Sanz Carnero