Polígonos En esta sección vamos a utlizar las fórmulas que a conocemos para calcular perímetros áreas de polígonos. Para esto es una buena idea recordar las fórmulas de áreas de los polígonos. alcula el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos: (, ), (, ) (, ). Ejemplo Empezamos ubicando los puntos dibujando el triángulo: 4 O Para encontar el área del triángulo utilizaremos la fórmula de Herón: p (p a)(p b)(p c) donde a, b, c son las longitudes de los lados del triángulo p es su semiperímetro. Entonces, debemos primero calcular las longitudes de los lados del triángulo. Empezamos calculando las longitudes de cada uno de los lados del triángulo: hora calculamos el valor de p: ( ) + ( ) 9 + 4.6055 ( ( )) + ( ) + 6 7 4. ( ) + ( ) 6 + 4 0 4.47 p.6055 + 4. + 4.47 6.005 www.aprendematematicas.org.m /9
hora sustitumos los valores en la fórmula de Herón: p (p a)(p b)(p c) (6.005)(6.005.6055)(6.005 4.)(6.005 4.47) (6.005)(.498)(.9804)(.64 49.589 7.0846 Debido a que utilizamos aproimaciones de las raíces, hemos obtenido una aproimación al verdadero valor del área. El área del triángulo es eactamente 7 unidades cuadradas. El siguiente reto pide calcular el área del triángulo a partir de sus coordenadas de manera eacta. Reto alcular el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos: (, ), (, ) (, ) dibujando otros triángulos alrededor de éste para formar un cuadrilátero. Para calcular el área de un polígono de varios lados no eiste una fórmula como la de Herón para calcular el área a partir de las longitudes de sus lados. Sin embargo, siempre que tengamos un polígono, podemos formar triángulos dentro de este polígono calcular las áreas de cada uno de los triángulos internos al polígono. El área del polígono será igual a la suma de las áreas de todos los triángulos internos. El problema consiste en que cada vez tenemos que calcular más longitudes, porque ahora no solamente debemos calcular las longitudes de los lados, sino también de las diagonales que se requieran para cubrir todo el polígono con triángulos. Dado que nosotros solamente tenemos fórmulas para calcular el área del triángulo, solamente podemos utilizar ese artificio. Igual, podemos calcular el área utilizando el procedimiento utilizado para resolver el reto anterior. Ejemplo alcula el área del cuadrilátero que tiene sus vértices en los puntos (5, ), (, ), (, ) D(, ). Vamos a dibujar el cuadrilátero también vamos a trazar una de sus diagonales para formar dos triángulos internos. O 4 5 D www.aprendematematicas.org.m /9
l sumar el área de los dos triángulos internos obtenemos el área del cuadrilátero. Vamos a calcular las longitudes de los lados del cuadrilátero de su diagonal: ( 5) + ( ) 64 + 65 8.0657 ( ( )) + ( ) + 6 7 4. D ( ( )) + ( ( )) 5 5 D ( 5) + ( ) 4 + 9.60555 ( 5) + ( ) 49 + 9 58 7.6577 Encontramos el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos: (5, ), (, ) (, ). Primero calculamos el semiperímetro del triángulo: p 8.0657 + 4. + 7.6577 9.900565 Sustituimos las longitudes de los lados en la fórmula de Herón: p (p a)(p b)(p c) (9.900565)(.88)(5.77746)(.8479) 40.47865 5.4999 hora debemos calcular el área del otro triángulo. Empezamos calculando su semiperímetro: p 7.6577 + 5 +.60555 8.066 Sustituimos en la fórmula de Herón: p (p a)(p b)(p c) (8.066)(0.49488)(.066)(4.505) 56.494 7.49995 Y la suma de las áreas de los dos triángulos es: 5.4999 + 7.49995.99988 unidades cuadradas, aproimadamente. Verifica que el área eacta del cuadrilátero es unidades dibujando triángulos alrededor del cuadrilátero para formar un rectángulo. www.aprendematematicas.org.m /9
Ejemplo Las fórmulas que hemos encontrado en secciones anteriores nos audarán a describir todavía mejor los polígonos. Por ejemplo, podemos encontrar los ángulos internos de un polígono o indicar la inclinación de sus lados. alcula la medida de los ángulos internos del triángulo que tiene sus vértices en los puntos: (, ), (, ) (, ). Ya encontramos el área de este triángulo en el primer ejemplo de esta sección. hora vamos a encontrar sus ángulos internos. Para eso, vamos a utilizar las fórmulas de: Pendiente: m Ángulo entre dos rectas: tan φ m m + m m Empezamos calculando las pendientes de los lados del triángulo. 4 O Para el lado, tenemos: m m Para el lado, tenemos: Para el lado, tenemos: m ( ) 4 4 m 4 www.aprendematematicas.org.m 4/9
hora calculamos los ángulos internos del triángulo. Empezamos con el ángulo que se forma con los lados. Recuerda que debemos medir el ángulo en contra de las manecillas del reloj. En este caso, m m / m m /. tan φ m m + m m ( ) ( + ) + ( ) 7 6 ( ) 7 4 hora podemos calcular el ángulo, utilizando la función arctan: tan φ 7 4 φ 60 5 8.4 Enseguida calculamos el ángulo formado por los lados. En este caso, m m 4 m m /. hora sustituimos en la fórmula: tan φ m m + m m ( ) 4 4 + 4 8 ( ) ( ) 4 4 ( ) ( ) 4 5 5 5 Y el ángulo interno mide: tan φ 4 5 φ 70 0 46. El último ángulo podemos calcularlo recordando que la suma de los tres ángulos internos del triángulo es igual a 80 : 80 60 5 8.4 + 70 0 46. + φ 80 0 6 4.66 + φ φ 80 0 6 4.66 49 55.4 Verifica que el ángulo φ mide 5 5 57. aplicando la fórmula: tan φ m m + m m www.aprendematematicas.org.m 5/9
Ejemplo 4 alcula la inclinación de cada uno de los lados del cuadrilátero que tiene sus vértices en los puntos (5, ), (, ), (, ) D(, ). En el segundo ejemplo de esta sección calculamos el área de este cuadrilátero. hora vamos a calcular el ángulo que forma cada lado con el eje. O 4 5 D Para eso, utilizaremos la fórmula de pendiente el hecho de que, si α es el menor ángulo que se forma entre una recta con pendiente m el eje, se cumple que: m tan α. Iniciamos calculando las pendientes de todos los lados: m 5 7 ( α arctan ) 7 5.6 7 m ( ) 4 4 α arctan ( 4) 04 0.48 m D ( ) ( ) 0 0 α D arctan (0) 0 m D 5 ( ) α D arctan 4 4.4 Observa que el segmento D que es paralelo al eje tiene pendiente igual a cero. Esto es así porque independientemente del incremento que demos a, siempre será igual a cero. Es decir, ni subimos ni bajamos conforme nos movemos sobre la recta que tiene una pendiente m 0. www.aprendematematicas.org.m 6/9
Del pentágono con vértices en los puntos (, ), (, ), (, 4), D(, ) E(, ), calcula: Su perímetro. Las pendientes de todos sus lados. Ejemplo 5 Sus ángulos internos. Empezamos dibujando el pentágono: 4 D O 4 E Empezamos calculando las longitudes de todos sus lados para calcular el perímetro: D DE D ( ) + ( ( )) + 4 5 ( ) + (4 ) 4 + 9 ( ) + ( 4) 9 + 4 ( ( )) + ( ) + 9 0 ( ) + ( ( )) 9 + 0 El perímetro P del polígono es igual a la suma de las longitudes de sus lados: P 5 + + + 0 + 0 5.777 hora calcularemos las pendientes de sus lados. Pero vamos a intentar hacer uso de la interpretación geométrica de la pendiente: Escribiremos el incremento en dividido por el incremento en esa fracción será la www.aprendematematicas.org.m 7/9
pendiente: m m m D m DE m E hora identifica qué lados del pentágono son perpendiculares entre sí a partir de los valores de sus pendientes de la condición algebraica de perpendicularidad. Finalmente, vamos a calcular los ángulos internos del pentágono. Profesor: Los lados: E, D. tan φ m E m + m m E / + ( /) 4/ 0 Dado que tan φ no está definida, concluimos que φ 90 o. ontinuamos calculando el siguiente ángulo: tan φ El ángulo φ se te queda como ejercicio. ontinuamos con el ángulo φ D : m m + m m ( /) + ( /)() 9/ 7/ 9/7 φ arctan( 9 7 ) 7 5 9.94 tan φ D Finalmente, calculamos el ángulo φ E : tan φ D m D m DE + m DE m D / ( ) + ( )(/) 8/ 8/ φ D arctan( 8 ) 0.76 m DE m E + m E m DE / ( ) + ( )( /) 0/ 5/ φ D arctan( 5 ) 0 57 49.5 www.aprendematematicas.org.m 8/9
Se te queda como ejercicio calcular, para este pentágono: Las longitudes de todas sus diagonales. Su área. réditos Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más. lbert Einstein Este material se etrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto polinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor. utor: Efraín Soto polinar. Edición: Efraín Soto polinar. omposición tipográfica: Efraín Soto polinar. Diseño de figuras: Efraín Soto polinar. Productor general: Efraín Soto polinar. ño de edición: 00 ño de publicación: Pendiente. Última revisión: de julio de 00. Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto polinar. Méico. 00. Espero que estos trucos se distribuan entre profesores de matemáticas de todos los niveles sean divulgados entre otros profesores sus alumnos. Este material es de distribución gratuita. Profesor, agradezco sus comentarios sugerencias a la cuenta de correo electrónico: efrain@aprendematematicas.org.m www.aprendematematicas.org.m 9/9