Centenas Decenas Unidades Punto decimal Décimas Centésimas Milésimas Diezmilésima s Cienmilésima s Millonésimas Diezmillonési mas Cienmillonési mas Milmillonésim as Diezmilmillon ésimas Escribiendo números usando la notación científica Realiza las siguientes actividades, revisa el video micro - macro dispuesto en internet http://youtu.be/r1r- Tl5JXb0. Se trata de imaginar un viaje por nuestro MUNDO, en el que comienza desde lo más cercano y termina hasta lo más lejano, con distancias apenas posibles de ser entendidas, desde el tamaño hasta de distancia a la tierra El primer sitio es a 100 atómetros ( ) donde podemos observar las partículas QUARK que son constituyentes fundamentales de la materia, en segundo lugar tenemos a 1 fermi o bien un milbillonésimo. Aquí será necesaria una breve pausa para repasar la terminología y nomenclatura de los números decimales, recuerda estos constan de dos partes bien diferenciadas separadas por un PUNTO, así tenemos el número Parte entera 123.456 Parte decimal Su parte entera indica el número de unidades que tenemos, la parte decimal indica el número de partes en que se divide la unidad perteneciendo así a un tipo, al dividir por 10, 100, 1 000, 10 000, etc. partes iguales, se escriben como.etc. y equivalen a 0.1, 0.01, 0.001, 0.000 1 etc. que denominaremos décimas, centésimas, milésimas, diezmilésimas etc. Se sigue para nombrarlos el mismo sistema posicional que con los enteros, así: 1 2 3. 4 5 6 5 1 3 7 2 3 8 Valor posicional de las cifras: (Recuerda: cifra o dígito son los números del 0 al 9) 2 decenas = 20 unidades = 200 décimas = 2000 centésimas = etc. 20 unidades de 10 decimas cada una= 200 décimas. 20 unidades de 100 centésimas=200 centésimas. 2 décimas = 0.2 unidades = 20 centésimas = 200 milésimas = etc. 2 décimas de 1/10 cada una entonces son 2/10 de unidad =0.2 unidades 3 unidades = 30 décimas = 300 centésimas = 0,3 decenas = etc. 3 millonésimas = 0.000003 unidades = 30 diezmillonésimas = etc. 1 centena = 100 unidades = 1000 décimas = 10000 centésimas = etc. 1 cienmilésima = 0.00001 unidades = 0,1 diezmilésimas = 10 millonésimas = etc.
Volviendo al video a 1 femtómetro, un fermi o bien un milbillonésimo, estaremos cara a cara con un protón que se escribe (Para mas unidades revisa la tabla del anexo 1). Prefijo Símbolo Escala larga Equivalencia decimal en los Prefijos del Sistema Internacional femto f Milbillonésimo 0,000 000 000 000 001 Luego a 10 fermis podemos observar un NUCLEO de átomo de CARBONO, alejándonos desde 1 picómetro conocido también como billonésimo hasta 1 Angstrom se percibir las nubes del átomo de carbono, continuando el viaje a un nanómetro o bien un milmillonésimo se distinguen los BLOQUES CROMOSOMICOS, si avanzamos a 100 Angstrom apreciaremos la CADENA DE ADN, separándonos a los 1000 Angstrom aparecen los cromosomas que son diminutas estructuras de material genético presentes en todas las células. Si pasamos a lo micro, es decir a un micrón distinguiremos el NUCLEO de la CELULA, a 10 micras e distancia o bien constan las células, a 100 micras identificamos la entidad formada por las células, a un milímetro es fácil observarlo sin necesidad de algún instrumento óptico de apoyo, a un centímetro vemos la ESTRUCTURA de una HOJA, a 10 centímetros vemos la hoja completa. Repasemos 1. Que indican el signo negativo del exponete? 2. El valor del exponente que entre mas grande es la distancia es 3. Cuando divides un número por una potencia de 10, al escribirlo en su forma estándar mueves el punto decimal a la izquierda tantas posiciones decimales como. 4. Dividir por 100 significa que mueves el punto decimal posiciones a la. Hasta ahora solo hemos tratado distancias muy pequeñas, pasaremos a los exponentes positivos, a un metro podemos ver que la hoja es parte del tronco de un árbol, a 10 metros imagina, a 100 metros hasta podemos ver el terreno donde está situado el tronco del árbol, a un kilómetro tendemos de las primeras nubes bajas y observarás la población a la que pertenece el terreno, incluso la ciudad. Cambiamos nuestro viaje a 10 kilómetros podemos ir pensando en observarlo desde un avión, a 100 kilómetros en una nave espacial, conseguimos ver los límites geográficos, a 1000 km 5. Cuántos metros son en la escala larga (miles, millones )? 6. Pausemos para no perdernos reescribe a) Con factores múltiples de 10 (10 X 10...) b) En forma estándar (equivalencia decimal) _ Nuestro país y el continente, a 10,000 km (satélites 36,000 km) estando a 100,000 km lo increíble EL PLANETA TIERRA observamos que rodea a la tierra 7. Sabiendo que la distancia media de la tierra a la luna son unos 384,352 km, esta se escribe 3.84 x km. A un millón de kilómetros confrontamos la ORBITA LUNAR, a 10 millones de km algunos planetas, a 100 millones de km otros cuerpos celestes más (la distancia al sol se aproxima a 149.6 millones de kilómetros, checa los datos http://www.tutiempo.net/luna/luna.htm), saliendo a 10 billones de km el SISTEMA SOLAR. 8. Cómo se escriben 10 billones de km? que equivalen a.
Prefijo Símbolo Escala larga Equivalencia decimal en los Prefijos del Sistema Internacional exa E Trillón 1 000 000 000 000 000 000 peta P Mil billones 1 000 000 000 000 000 tera T Billón 1 000 000 000 000 Nos alejamos a distancias imposibles de imaginar, un trillón de kilómetros, 9. Se escribe _ o bien 10. Esto equivale en metros a m Son tan enormes las distancias que es necesario tomar otra escala de medición, supón viajar a la velocidad de la luz a durante un año, se logran recorrer 9 460 728 000 000 000 m, 11. En notación científica es Mas fácil 1 año luz aproximadamente son o bien 12. Se escriben _ m 13. Su equivalencia en la escala decimal es de metros 14. Estos equivalen a o bien es decir 10 billones de kilómetros A la distancia de 100,000 años luz nuestra GALAXIA, a un millón de años luz LA ESPIRAL, 10 millones de años luz, imaginas el UNIVERSO?... Repasemos 15. Cuando multiplicas un número por una potencia de 10, al escribirlo en su forma estándar mueves el punto decimal a la derecha tantas posiciones decimales como. 16. Multiplicar por 10,000 significa que mueves el punto decimal posiciones a la derecha. 17. El en la potencia de 10 y el número de lugares que se mueve el punto decimal a la derecha es el mismo. 18. Un número en notación científica se escribe como el producto de dos números: un número que es mayor que o igual a pero menor que y una potencia de. Escribiendo números usando la notación científica El Sol está a millas de la Tierra. 19. Escribe en forma estándar: 20. Para escribir en forma estándar, cuántas posiciones a la derecha mueves el punto decimal en 9.3? 21. En el número aquí mostrado, coloca un punto decimal de manera que el número sea igual a 9.3 x 9 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 22. Escribe 9.3 X millas en forma estándar: 23. Marca con una paloma la expresión que está escrita correctamente en notación científica: a) b) c) d) e) Completa esta tabla. Si un número está escrito en notación científica, escribe éste en forma estándar. Si un número está escrito en forma estándar, escribe éste en notación científica. 24. Notación Científica Forma Estándar 25. 7.5 x 26.
27. 4.3 x 28. 9,200 29. 2.8 x 30. 1,600,000,000 Comparando números en notación científica 31. Con potencias positivas para cambiar un número de forma estándar a notación científica, mueves el punto decimal a la hasta que de preferencia sólo queden dígitos que no sean cero frente al punto decimal. 32. La distancia de 1 kilómetro = metros. 33. Para cambiar metros a kilómetros, divides por. 34. Explica por qué divides en lugar de multiplicar cuando cambias de metros a kilómetros: 35. Indica la distancia del sol a la tierra en notación científica. 36. Indica la misma distancia en forma estándar. 37. Cuando comparas dos números en notación científica, por qué deberías comparar primero los exponentes? 38. Cuál número es mayor, 2.3 x ó 9.3 x? Explica. 39. Mercurio está a 36 millones de millas del sol, escribe en su forma estándar: 40. Escribe 36 millones en notación científica: 41. Se sabe que Marte está a millas del Sol. Cuál está más cerca del Sol, Mercurio o Marte? 42. Explica tu respuesta a la pregunta. 43. Una gota de agua tiene 3.3 X moléculas. Escribe este número en forma estándar: 44. Escribe dos ventajas de escribir un número como éste en notación científica. 45. Nuestra galaxia contiene sobre 350 mil millones de estrellas (350,000,000,000), Escribe este número en notación científica. 46. Expresa el diámetro de un átomo de carbón en forma estándar. 47. Expresa el diámetro de un átomo de carbón en notación científica.
Completa la tabla. Potencias de10 Forma estándar Exponente Números de Ceros 48. 49. 50. 51. 52. -1 1 53. Si el exponente disminuye por 1, qué pasa con el valor del número? 54. Explica por qué 10 = 1. 55. El número en un exponente negativo te dice el número de ceros que deber hacia la Escribiendo números entre 0 y 1 en notación científica En la tabla, los números dados están escritos en forma estándar. Si la notación científica de un número en forma estándar está correcta, escribe correcto en la columna que le sigue al número. Si la notación científica de un número estándar no está correcta, escribe en la tabla la notación científica que está correcta. Forma estándar Notación científica 56. 0.23 2.3x 57. 0.0006 6x 58. 0.0081 8.1x 59. 0.9 0.1x 60. 0.00000007 7x En la tabla, los números dados están escritos en notación científica. Si la forma estándar de un número en notación científica está correcta, escribe correcto en la columna que le sigue al número. Si la forma estándar de un número en notación científica no está correcta, escribe en la tabla la forma estándar que está correcta. Notación científica Forma estándar 61. 4.3 x 43 62. 7 x 0.0007 63. 3.9x 0.0000039 64. 6.65 x 0.0665 65. 1.2 x
Repaso de la actividad, escribiendo números usando la notación científica. En su punto más cercano, Marte está a 55 millones, 700 mil kilómetros de la Tierra. 1. Escribe esta distancia en forma estándar: 2. Escribe esta distancia en notación científica: En su punto más lejano, Marte está a 399 millones de kilómetros de la Tierra. 3. Escribe esta distancia en forma estándar: 4. Escribe esta distancia en notación científica: Comparando números en notación científica 5. En su punto más cercano, cuán lejos, en metros, está Marte de la Tierra? Expresa tu respuesta en notación científica: 6. En su punto más lejano, cuán lejos, en metros, está Marte de la Tierra? Expresa tu respuesta en notación científica: 7. En su punto más cercano, Venus está a 4.14 x metros de la Tierra. Qué planeta está más cerca de la Tierra, Venus o Marte? Escribiendo números entre 0 y 1 en notación científica El largo, en metros, de un cromosoma humano es 0.000001. 8. Escribe este largo, en notación científica: 9. Escribe este largo, en centímetros, en notación científica: Un niño de 9 años de edad inventó la palabra googol para describir un número bien grande. Un googol es el número 1 seguido de cien ceros. 10. Puedes escribir un googol en forma estándar? (agrupa los ceros) 11. Escribe un googol con notación científica: 12. Utiliza un googol como ejemplo para escribir una oración que le explique a un amigo cómo puede, de manera eficiente, expresar valores grandes y pequeños utilizando notación científica. Escribe cada número en notación científica: 13. 0.02 14. 1.453.000 15. 10.58 16. 0.000006 17. 767,000,000,000 18. Doce millones
Escribe cada número en forma estándar: 19. 1.36 x 20. 9.3 x 21. 2 x 22. 1.7 x 23. 8.09 x 24. 5.602 x Reescribe cada número, en metros, usando notación científica: 25. 1 x cm 26. 8 x mm 27. 6.3 x km 28. 9.045 x km Reescribe las siguientes medidas en orden de menor a mayor: 6.023 x km 6,023 m 60.23 mm 6,023,000 cm 6.023 x km 6 mm 29. 30. 31. 32. 33. 34.
ANEXO 1 Ejemplos de notación científica http://youtu.be/ozbuvoay4jc Prefijo Símbolo Escala larga Equivalencia decimal en los Prefijos del Sistema Internacional yotta Y Cuatrillón 1 000 000 000 000 000 000 000 000 zetta Z Mil trillones 1 000 000 000 000 000 000 000 exa E Trillón 1 000 000 000 000 000 000 peta P Mil billones 1 000 000 000 000 000 tera T Billón 1 000 000 000 000 giga G Mil millones / 1 000 000 000 Millardo mega M Millón 1 000 000 kilo k Mil / Millar 1 000 hecto h Cien / Centena 100 deca da Diez / Decena 10 Ninguno Uno / Unidad 1 deci d Décimo 0,1 centi c Centésimo 0,01 mili m Milésimo 0,001 micro μ Millonésimo 0,000 001 nano n Milmillonésimo 0,000 000 001 pico p Billonésimo 0,000 000 000 001 femto f Milbillonésimo 0,000 000 000 000 001 atto a Trillonésimo 0,000 000 000 000 000 001 zepto z Miltrillonésimo 0,000 000 000 000 000 000 001 yocto y Cuatrillonésimo 0,000 000 000 000 000 000 000 001
Notación de suma con sigma (sumatoria) Revisa el video de apoyo http://youtu.be/k5w_okmzwfa Antes de comenzar la siguiente sección, se introducirá un tipo de notación matemática que sirve para expresar muchas de las fórmulas que se utilizan en los procedimientos estadísticos y de cálculo que se estudiaran más adelante. En muchas ocasiones será necesario obtener la suma de un conjunto de números. Supongamos que la variable x que representa la edad de 5 pacientes de un consultorio, entonces x toma el siguiente conjunto de valores: 9, 4, 3, 1, 6 Considera así 9 como el primer valor de la edad x, 4 como el segundo valor de x, 3 como el tercer valor de x, 1 como el cuarto valor de x, y 6 como el quinto valor de x. Una manera sencilla de expresar esto consiste en utilizar subíndices que representen la posición del valor en la lista. De este modo, el 9 que es el primer valor de X será representado por ; de manera similar, debido a que 4 es el segundo valor de X, estará representado por. Es decir: Cuando se desee referir a un valor de x de forma general sin hacer especificaciones, se utilizará el subíndice i y al valor se le llamará (léase "equis subíndice i"). La letra griega Σ (sigma mayúscula) se utiliza para denotar una suma. Entonces la suma de las 5 edades de los pacientes es Ultimo elemento de la serie que se suma, en este caso termina en el 5 to. Primer elemento de la serie a sumar en este caso es el 1 ero. El símbolo Σ en la expresión anterior indica que se deben sumar los valores de x. Además, la expresión "i = 1" que se encuentra debajo de sigma comienza con el valor de x que tiene el subíndice i = 1 ( ). De esta manera, se suman sucesivamente los valores de x, uno cada vez, y la operación es finalizada cuando se alcanza el valor de x cuyo subíndice es igual al número entero que se encuentra encima de sigma, 5 ( ). Por consiguiente en la suma anterior en su forma extendida es: 1. Sustituyendo (completa) Si sólo se desea sumar algunos valores, se utilizan los subíndices anotados por debajo y por encima de Σ. Por ejemplo desde el paciente 2 al 4:
2. Completa los subíndices ó Al invertir este proceso, se puede utilizar este método para abreviar la expresión de los datos que se quiere sumar, por ejemplo: La expresión Significa que n observaciones (todas) han de ser sumadas, y a menudo esto se abrevia con los símbolos ó La notación sigma puede también utilizarse con expresiones más complicadas, como se demuestra en los siguientes ejemplos: Sumatoria de los primeros 3 números naturales Continuando con el ejemplo de las 5 edades, sumatoria del cuadrado de las edades 3. Completa los términos de la notación extendida
4. Realiza lo mismo con la sustitución: Sumatoria de los inversos de las potencias del dos empezando por cero Propiedades de Σ Teorema 1 Si a es una constante y cada uno de los n valores diferentes de i es igual a a, entonces Prueba, como cada una de las x es igual a la cantidad constante a, sumada n veces resulta Ejemplo: sumatoria de 4 veces el 7 Teorema 2 Sea a una constante cualquiera de todos los valores individuales que intervienen en la suma, Prueba Factorizamos la a
Resulta 5. Completa ejemplo: sumatoria del triple de las 5 edades de los pacientes Aplicando teorema 2 queda Teorema 3 La notación sigma se puede distribuir respecto de la suma (o de la diferencia): 6. Completa la prueba
Se cumple que Teniendo el vector i 1 3 2 5 3 4 4 2 5 1 Encontrar: En este caso solo son 5 elementos quedando en notación extendida como: 7. Sustituyendo
Resuelve las siguientes sumatorias teniendo los siguientes valores, las x corresponden a la cantidad de niños que asisten a un campamento en vacaciones: i 1 3 5 2 5 6 3 4 7 4 2 8 5 1 9 8. Expresión Notación extendida Sustitución Resultado 9. 10. 11. 12. Resuelve actividades de aprendizaje Pag 30 (Ev 32e) impresas del archivo Actividades U1 1234 excepto del 9 al 15