TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

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TEMA 5. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 1. Representación de funciones 1.1. Dominio 1.. Puntos de corte con los ejes 1..1. Con el eje 1... Con el eje y 1.. Signo de la función 1.4. Periodicidad y simetría 1.4.1. Periodicidad 1.4.. Simetría 1.5. Asíntotas 1.6. Primera derivada, crecimiento y puntos relativos 1.7. Segunda derivada, curvatura y puntos de infleión 1.8. Representación de la función. Aneo: representación funciones circulares José Luis Lorente Aragón 95

Conteto con la P.A.U. En este tema aplicaremos lo visto en los temas anteriores para la representación gráfica de las funciones. En el eamen de la PAU no se suelen pedir todos los pasos que estudiaremos para la representación de la función, por lo general tendremos que esbozar la gráfica a partir de: Monotonía o Crecimiento Curvatura Asíntotas Por lo general es suficiente con estas tres pautas el esbozo de la gráfica, si bien se recomienda, aunque no lo pida el eamen calcular el dominio. Las funciones que suelen representarse son: Funciones fraccionales, la mayor dificultad es en la segunda derivada, la cual hay que factorizar para calcular los valores que la anulan (puntos de infleión). Funciones eponenciales, la mayor dificultad es resolver las distintas ecuaciones eponenciales que aparecen al igualar las derivadas. Cuando estudiemos las asíntotas horizontales y oblicuas hay que estudiar los límites tanto cuando tiende a o a -, ya que no siempre dan el mismo resultado, como ocurre en las funciones fraccionales. Nota: recordemos que e f() siempre es mayor que cero, con independencia de f(). Funciones logarítmicas, cuyas complicaciones con el cálculo de las asíntotas son las mismas que las eponenciales. También es importante el cálculo del dominio; recordemos que los puntos del dominio son aquellos en los que el argumento del logaritmo es positivo. Funciones trigonométricas: donde lo más complicado es resolver las ecuaciones trigonométricas. Se recomienda ver el tema de ecuaciones trigonométricas del curso anterior en cualquier libro de primero. También es importante calcular el periodo de la función, ya que a partir del mismo la función se repite. 96 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

ANEXO I: Resolución de ecuaciones logarítmicas y eponenciales a) Eponenciales: para quitar la incógnita del eponente tomamos logaritmos a ambos lados de la igualdad b) Logaritmos: agrupamos todos los logaritmos en uno a partir de las propiedades de los logaritmos. Para quitar la incógnita del logaritmo tomamos eponente a ambos lados de la igualdad. Ejemplos: e + 1 = 15 e + 1 = ln( + 1) ln( ) = 4 15 + 1 = + 1 ln = 4 ln(15 / ) + 1 = e ANEXO II: Resolución de ecuaciones trigonométricas 4 = ± ln(15 / ) 1 = 1 e Para resolver ecuaciones trigonométricas lo más importante es epresar todas las razones trigonométricas en función de una sola de ellas aplicando las igualdades: a) sen ()+cos ()=1 b) tg()=sen()/cos() c) 1+tg ()=1/cos () Cuando los argumentos de las razones son diferentes (es decir, ) hay que aplicar las transformaciones de las suma de razones trigonométricas en productos, ángulos dobles, etc. No trataremos al corresponder al curso anterior. Generalmente en los problemas de selectividad estas ecuaciones con distinto argumento no aparecen. Ejemplo: sen()+cos()=1 Pongamos sen() en función de cos() (o al revés) 1 1 cos 1 cambio variable cos()=y 1 1 1 1 (elevando al cuadrado) 1-y =1-y+y y -y=0 y= 0 1, 1) cos()=0 = 90 60 70 60 ) cos()=1 =0+60k Tenemos que comprobar que solución es válida (al elevar al cuadrado surgen a veces soluciones no válidad): - =90 sen(90)+cos(90)=1 válida - =70 sen(70)+cos(70)=-1, no válida - =0 sen(0)+cos(0)=1, válida ANEXO II: periodo de funciones trigonométricas 1. El periodo de una suma o multiplicación de funciones trigonométricas es el mayor de los periodos. El periodo de sen(k), cos(k), tg(k) es T=π/k Ejemplo: y=f()=sen() cos(4)+cos() T 1 =π, T =π/, T =π f() periodo T=π. 4 1 José Luis Lorente Aragón 97

1. Representación de funciones Mediante el ordenador o algunas calculadoras representar una función es sencillo, pero sin estas herramientas debemos estudiar características previas de la función antes de representarla. Los pasos son: El dominio Puntos de corte con los ejes Signo de la función Simetría y periodicidad Asíntotas Monotonía y puntos relativos Curvatura y puntos de infleión 1.1. Dominio El primer paso es ver donde está definida la función, es decir los posibles valores que puede tomar la variable independiente (). Recordemos que el domino de los polinomios son todos los reales. Los casos en los que algún punto no pertenece al dominio son: (ver tema 1) a) Se anulan denominadores asíntota vertical en el punto b) No eisten logaritmo de números negativos c) No eiste el logaritmo del cero asíntota vertical, cuando el logaritmo en el denominador cuando el argumento tiende a 0 por la derecha (log(0 + = - ) d) No eisten raíces cuadradas o de orden par para números negativos 1.. Punto de corte con los ejes 1..1. Con el eje OX Corta al el eje OX cuando y=0. Obtendremos los puntos de corte con este eje igualando la función a cero, viendo los puntos 1,, Dom(f()) que anulan la función. Los puntos ( 1,0), (,0) son los puntos de corte con el eje OX 1... Con el eje OY Corta al el eje OY cuando =0, siempre que 0 Dom(f()). Sólo puede cortarse una vez con el eje OY. El punto de corte con el eje OY es (0,f(0)) Ejemplo: f()=ln( -) Con eje OX (y=0) 0=ln( -) -=e 0 =1 =4 =± P 1 (,0) y P (-,0) Con eje OY(=0) 0 Dom(f()), luego no corta con el eje OY 1.. Signo de la función Estudiar el signo de la función es ver los valores de en los cuales f()>0 o f()<0. Para obtener estos intervalos basta con estudiar el signo entre los intervalos de los valores de que anulan la función (corte eje OX) y los puntos que no pertenecen al dominio. En el caso que la función definida a trozos, también se toman los puntos donde cambia de epresión analítica. 98 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

1.4. Periodicidad y simetría 1.4.1 Periodicidad: Las funciones son periódicas cuando se repiten cada cierto intervalo, T, llamado periodo de la función (f()=f(+nt)). Los ejemplos clásicos son las funciones trigonométricas. Ejemplo: sen() su periodo es T=π, pues sen((+nπ))=sen(+πn)=sen() 1.4. Simetría La simetría puede ser de dos tipos: a) Simetría par o respecto al eje OY, la función es igual a la izquierda y derecha del eje OY. Es como si este eje hiciera de espejo. Ocurre cuando se cumple: f()=f(-) b) Simetría impar o respecto al origen, la función a la derecha del eje OY es igual que a la izquierda pero con distinto signo. Ocurre cuando se cumple: -f()=f(-) Ejemplo: estudiar simetría de las siguientes funciones: f()= 4 - +6, g()= 5 - -, 1 h()=, i()= 5, j()= - ++1 + 5 + a) f(-)=(-) 4 -(-) +6= 4 - +6=f() Par b) g(-)= (-) 5 -(-) -(-)= - 5 + +=-( 5 - -)=-g() Impar ( ) ( ) ( ) c) h(-)= = = = h( ) Par 5 5 5 ( ) + 5( ) ( + 5) + 5 d) i(-)= ( ) 1 =- ( ) + ( ) 1 =-i() Impar + e) j(-)=(-) -(-) +(-)+1=- - -+1 j() y de -j() No simetría Nota: si no hay denominadores será par cuando sólo tenemos epresiones n con n par (recordar que 5=5 0, luego es par). Será impar cuando sólo tenemos epresiones n con n impar; si están mezclados términos impares y pares la función no tendrá simetría. Si tenemos denominadores, para que sea simétrica tanto el denominador como el numerador han de ser simétricos. Así: - si numerador y denominador tienen la misma simetría (los dos par o los dos impar) la función simetría par (ver h()) - si numerador y denominador tienen distinta simetría (uno par y otro impar) entonces la función simetría impar (ver i()) José Luis Lorente Aragón 99

1.5 Asíntotas Vertical La función f() tiene asíntota vertical en 0 cuando alguno de los límites laterales o los dos son infinitos: lim f ( ) = +, lim f ( ) = +, lim f ( ) =, lim f ( ) =, 0 + 0 0 + 0 La asíntota vertical tiene de epresión analítica = 0. La función f() se aproima infinitamente a la recta = 0. En la práctica las asíntotas son los puntos en los que se anula el denominador o se anula un logaritmo (cuando está en el numerador). Una función puede tener varias asíntotas verticales y nunca se cortan por la gráfica. Horizontal Una función f() tiene una asíntota horizontal en y=y 0 si se cumple una de las siguientes condiciones (o las dos): a) lim f ( ) = y0 (tiende a la recta y=y 0 cuando ) b) lim f ( ) = y0 (tiende a la recta y=y 0 cuando - ) Cuando la función tiene una asíntota horizontal se aproima infinitamente a la recta y=y 0 cuando tiende a +, - o los dos. Una función tiene como máimo asíntotas horizontales, una cuando y otra cuando -, aunque por lo general coinciden (funciones de fracciones algebraicas). Las funciones que son fracciones algebraicas ( p ( ) ) tienen asíntotas horizontales q ( ) cuando el grado del numerador es menor al del denominador (asíntota =0) o igual (asíntota =a n /b n,con a n y b n coeficientes de mayor grado de p() y q() respectivamente). Oblicua Una función f() tiene una asíntota oblicua cuando se aproima infinitamente a una recta de la forma y=m+n (m 0). Eiste si se el límite f ( ) eiste y es distinto de ± y de 0. Si esto ocurre: m= f ( ) lim lim n= lim f ( ) m por lo general, si m 0 y m entonces n es un número real. Pero hay algún caso donde n es ; si esto ocurre f() no tiene asíntota oblicua (PAU Septiembre 008) Si una función tiene asíntota horizontal no tiene asíntota oblicua, por lo que no sería necesario su estudio. En la práctica las asíntotas oblicuas en las funciones fraccionarias ocurren cuando el grado del denominador es un grado inferior al del numerador Nota: las asíntotas horizontales y oblicuas pueden ser cortadas por la gráfica de la función 100 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

Ejemplo: calcular las asíntotas de las siguientes funciones 1 a) f()= + 4 + - Asíntota Vertical: +4+=0 =-1, =-. - Asíntota Horizontal: lim f ( ) =, lim f ( ) =. No asíntota horizontal 1 f ( ) - Asíntota Oblicua: lim = + + 1 lim 4 = lim = = m + 4 + n= lim 1 8 6 1 f ( ) m = lim = lim = 8. + 4 + + 4 + Luego la asíntota oblicua es y=-8 b) g()= 4 - Asíntota Vertical: -4=0 = -, = + - Asíntota horizontal: lim = 1, lim 1 4 = y=1 4 - No puede tener asíntota oblicua al tener horizontal José Luis Lorente Aragón 101

ln( ) c) h()= - Asíntota Vertical: ln( ) =0 (se anula el logaritmo) lim = = + 0 1 = (se anula el denominador) ln( ) lim = ln() 0 ln( ) ln() lim = + + = 0 ln( ) ln() lim = 0 ln( ) 1/ - Asíntota Horizontal lim = = lim = 0 y=0 (cuando ) L' H 1 ln( ) lim no eisten logaritmos negativos Luego la asíntota horizontal es y=0, pero sólo eiste cuando + - No asíntota oblicua cuando + al tener horizontal. Veamos cuando - lim f ( ) = ln( ) lim no tiene = + = 1.6. Primera derivada. Crecimiento y puntos relativos Para estudiar el crecimiento y decrecimiento y los puntos relativos de una función f() tendremos que estudiar el signo de la primera derivada, f (). Como vimos en el tema anterior: a) si f ()>0 creciente b) si f ()<0 decreciente c) si f ()=0 punto relativo (si f () 0) En la práctica igualamos f ()=0 y estudiamos el signo de f () entre los puntos donde se anula la derivada y los valores que no pertenecen al dominio. Si la función está definida a trozos también tendremos que añadir, entre estos puntos, aquellos donde f() cambia de epresión analítica 10 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

1.7. Segunda derivada. Curvatura y Puntos de Infleión Para estudiar la curvatura y los puntos de infleión de una función f() tendremos que estudiar el signo de la segunda derivada, f (). Como vimos en el tema anterior: a) si f ()>0 cóncava hacia arriba b) si f ()<0 cóncava hacia abajo a) si f ()=0 punto de infleión (si f () 0) En la práctica igualamos f ()=0 y estudiamos el signo de f () entre los puntos donde se anula la ª derivada y los valores que no pertenecen al dominio. Si la función está definida a trozos también tendremos que añadir, entre estos puntos, aquellos donde cambia de epresión analítica 1.8. Representación de la función A partir del estudio realizado en los anteriores apartados no debería ser difícil representar un boceto de la función. Ejemplos: 1) f()= 1 + 1 I) Dominio=R-{-1} II) Puntos de cortes: a) Con el eje OY: =0 Dom(f()) f(0)=-1 P c (0,-1) b) Con eje OX: y=0 f()=0 =1. P c (1,0) III) Signo de la función: se estudia el signo entre los puntos de corte con el eje OY y los puntos que no pertenecen al dominio: (-,-1) -1 (-1,1) 1 (1, ) Signo f() + - 0 + P c (1,0) IV) Simetría y Periodicidad No periódica Simetría f(-)= 1 f() y -f() No simétrica + 1 V) Asíntotas a) Asíntota Vertical: =-1 José Luis Lorente Aragón 10

1 1 b) Asíntota Horizontal: lim f ( ) = lim = 1, lim f ( ) = lim = 1 + 1 + 1 y=1 (cuando y - ) c) Asíntota oblicua: no tiene al tener horizontal VI) Primera derivada, crecimiento y puntos relativos + 1 ( 1) f ()= = ( + 1) ( + 1) Vemos que siempre es positiva para todo valor de (-,-1) -1 (-1, ) Signo f () + No eiste -1 Dom(f) + Crecimiento No Punto relativo VII) Segunda derivada, curvatura y puntos de infleión ( + 1) f ()= = 4 ( + 1) ( + 1) El signo de la segunda derivada es: Intevalo (-,-1) -1 (-1, ) Signo f () + No eiste -1 Dom(f) - Cocavidad No P.I. 104 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

VIII) Representación: ) y=f()= 4 I) Dominio -4=0 Dom(f())=R-{-,} II) Puntos de corte con los ejes: a) Eje OY (=0), como 0 Dom(f()) P c (0,f(0)) P c (0,0) b) Eje OX (y=0). =0 P c (0,0) III) Signo de la función: Puntos representativos =-,0, Intervalo (-,-) - (-,0) 0 (0,) (, ) Signo f() - + 0 - + P c (0,0) José Luis Lorente Aragón 105

IV) Simetría y Periodicidad. No periódica Simetría: f(-)= = f ( ) 4 simetría impar, respecto del origen V) Asíntotas a) Asíntotas Vertical: =-, = b) Asíntota Horizontal: lim f ( ) = lim = ± No asíntota Horizontal ± ± 4 f ( ) 4 c) Asíntota Oblicua: m = lim = lim = 1,n= lim f ( ) = lim = 0 4 4 y= VI) Primera derivada Crecimiento y Puntos relativos: 4 1 y=f ()= ( 4), f ()=0 4 1 =0 =0 (doble, será PI), = ± 1 (-, 1 ) 1 ( 1,- ) - (-,0) 0 (0,) (, 1 ) 1 ( 1, ) f () + 0 - - 0 - - 0 + crec M( 1, 1 ) PI m( 1, 1 ) M(- 1,-1.5 1), m( 1,1.5 1) VII) Segunda derivada, curvatura y Puntos de Infleión: 5 8 + 64 84 8( + 1) y=f ()= =, f ()=0 =0 4 ( 4) ( 4) El signo de la segunda derivada es: Intervalo (-,-) - (-,0) 0 (0,) (, ) Signo f () - + 0 - + PI(0,0) 106 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

VIII: Representación m PI M ) y=f()= ln( ) I) Dominio: ->0 (-)(+)>0 Intervalo (-,- ) - (-,0) 0 (0, ) (, ) Signo -4-0 + 0-0 + No Dom No Dom Dom No Dom No Dom No dom Dom Dom(f())=(-,0) (, ) II) Corte con los ejes: a) Corte con el eje OY (=0 Dom(f())) No corte eje OX b) Corte con el eje OX (y=0) f()= ln( ) =0 1± -=1, =-1,= tres puntos pertenecen al dominio (comprobar con la calculadora) 5 los 1 + P c (-1,0), P c ( 5 1,0), P c ( 5,0) III) Signo de la función: 1 =-, 5 1+,-1,0,, 5 José Luis Lorente Aragón 107

(-, 1 5 ) 1 5 ( 1 5, -1) -1 (-1,0) 0 (0, ) (, 1+ 5 ) 1+ 5 ( 1+ 5, ) - 0 + 0 - - 0 + P c ( 1 5,0) P c (-1,0) P c ( 1+ 5,0) IV) Simetría y periodicidad a) No periódica b) f(-)=ln(- +) f() y -f() No simétrica V) Asíntotas a) Vertical (donde se anula el logaritmo) =-, =, =0 b) Horizontal lim f ( ) =, lim f ( ) = no eiste No horizontal f ( ) c) Oblicua lim = = lim = 0 L' H 1 No oblicua VI) Primera derivada, crecimiento, puntos relativos f ()= f ()=0, 6 6 -=0 = ± = ± - Dom(f()), pero 6 Dom(f()) (-,- 6 ) - 6 (- 6,0) 0 (, ) Signo f () + 0 - + Crecimiento 6 ln(7 / ) M(-, VI) Segunda derivada, curvatura y puntos de infleión 4 + 4 f ()= 4 +4=0 No solución, no puntos de infleión ( ) 108 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

(-,0) 0 (, ) Signo f () - - Curvatura VII) Representación: M José Luis Lorente Aragón 109

Ejercicios PAU Septiembre 006, Prueba A PR-.- a) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f()=e -, sus máimos y mínimos relativos, asíntotas y puntos de infleión. Demuéstrese que para todo se tiene que f() 1/e ( puntos). b) Pruébese que la ecuación e = tiene sólo una solución en (,1]. (1 punto) a) Dom(f())=R 1) Asíntotas: No verticales 1 Horizontales: lim e = lim = = lim = 0 ; L' H e e lim e Oblicua: no oblicua = y=0 (sólo si tiende a + ) ) Crecimiento, puntos relativos f ()=e - - e - e - - e - =0 e - (1-)=0 =1 (-,1) 1 (1, ) Signo f () + 0 - Crecimiento M(1,e -1 ) ) Curvatura y Puntos de Infleión f ()=-e - -e - +e - =e - (-+) e - (-+)=0 = (-,) (, ) Signo f () - 0 + Crecimiento PI(,e - ) 110 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

4) Representación gráfica: M PI Vemos que el máimo absoluto es el máimo relativo (1,e -1 ), luego f() e -1 b) Decir si la ecuación e - = alguna solución en solución (,1] g()= e -=0 Aplicamos Bolzano: g() continua en (-,1] g(1)=e-<0, g(0)=1>0 Aplicando Bolzano c (,1) : g( c) = 0 Veamos que sólo hay una: g ()=e - e = =ln()=1,1 (-,ln) ln (ln, ) Signo g () - 0 + Crecimiento m(ln,-0,) Luego entre (-,1) la función decrece cortando en un único punto c en el eje OX. José Luis Lorente Aragón 111

Septiembre 006. Prueba B PR-. Sea f()= a) Determínese el dominio de f, sus asíntotas, simetrías y máimos y mínimos relativos. Esbócese su gráfica. (1,75 puntos) 1) Dom(f())=R-{0} ) Asíntotas: Vertical =0 Horizontal: 4 4 lim = lim = 4 4 4 Oblicua: m= lim = n= lim + = lim = 0 y=- 4 ) Simetrías: f(-)= = f ( ) Simetría Impar (respecto al origen) 4) Monotonía y puntos reltaivos ( + ) f ()= <0 Siempre decreciente. No puntos relativos 5) Representación 11 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

Junio 006. Prueba B PR-.- Dada la función, se pide: a) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y conveidad, los puntos de infleión y las asíntotas de f. Esbócese su gráfica. ( puntos) 1) Dominio Dom(f())=R-{-1}. ) Asíntotas AV: =-1 1 1 AH: lim = 1, lim = 1 y=1 + 1 + 1 AO: No al tener horizontal ) Crecimiento y puntos relativos: f ()= >0 Siempre crece no puntos relativos ( + 1) Intervalo (-,-1) -1 (-1, ) Signo f () + + Crecimiento 4) Curvatura y P.I.: ( + 1) 4 f ()= 4 = 4 ( + 1) ( + 1) f () 0 (No P.I.) (-,-1) -1 (-1, ) Signo f () + - Curvatura No P.I. José Luis Lorente Aragón 11

5) Representación Septiembre 005. Prueba A PR-.- a) Estúdiese la derivabilidad de 0, sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus puntos de infleión. Esbócese su gráfica. a) Continuidad: ln(1+ ), es continua en R. Veamos en =0 lim f ( ) = ln(1) = 0 + 0 f(0)=0 Continua. Luego podemos hacer la derivada de la lim f ( ) = 0 = 0 0 función: Derivabilidad: 0 f ( ) = 1+, ', > 0 < 0 + f '(0 ) = lim f '( ) = 0 + 0 Derivable f f '(0 ) = lim f '( ) = 0 ( ) = 1+, ', > 0 0 I) Crecimiento: igualamos la derivada a cero (cada uno de sus trozos) 1+ =0 =0 (0, ) =0 =0 (-,0]. Luego el único punto donde f ()=0 es =0. Este punto, además, habría que introducirlo igualmente al cambiar f() de epresión en =0 114 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

(-,0) 0 (0, ) Signo f () - 0 + Crecimiento m(0,0) ) Curvatura: como f() es derivable en R podemos calcular la segundad derivada (1 ), f ''( ) = (1 + ) > 0 < 0 Veamos si eiste la segunda derivada en =0: f (0 + )= f (0 - )=: (1 ), f ''( ) = (1 + ) > 0 0 f ()=0, miremos los dos trozos de definición (1 ) =0 =±1 solo válido =1, ya que =-1 (0, ) (1 + ) 0 En los intervalos tenemos que considerar =0 (donde cambia la epresión analítica): Intervalo (-,0) 0 (0,1) 1 (1, ) Signo f () + + 0 - Curvatura PI(1,ln) PI m José Luis Lorente Aragón 115

Junio 005. Prueba A PR-.- a) Calcúlense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, sus etremos relativos, puntos de infleión y asíntotas. b) Esbócese la gráfica de f a) 1) Dom(f())=R ) Asíntotas: Verticales: no 1 Horizontales: lim e = e 1 = 0, lim e = e = 0 y=0 (cuando y - ) No oblicuas ya que si tiene horizontales. ) Crecimiento y puntos relativos f '( ) 1 = e =0 =0 Intervalos (-,0) 0 (0, ) Signo f () + 0 - Crecimiento M(0,e) 4) Curvatura: f ''( ) = e 1 + 4 e 1 = e 1 (4 ) = 0 = ± Intervalo (-, ) (, ) (, ) Signo f () + 0-0 + Curvatura PI(, e ) PI(, e ) 116 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

b) Representación gráfica PI M PI Septiembre 004-Prueba A PR- Sea f la función dada por a) f a) Estúdiese la derivabilidad de f en = 0 mediante la definición de derivada. b) Determínense los intervalos de monotonía de f y sus etremos relativos. c) Esbócese la gráfica de f. ) = ( + + + si si > 0 0 Continuidad Sólo tenemos que estudiar la continuidad en =0 ya que en los demás puntos es continua al ser los dos trozos polinomios lim f ( ) = + 0 lim f ( ) = f(0)=. Continua 0 lim f ( ) = 0 Derivabilidad al ser continua podemos definir la función f ()= si > 0 + si < 0 Donde tenemos que estudiar la derivabilidad en =0: f (0 + )=- ; f (0 - )= No derivable en =0(como ocurre en las funciones valor absoluto) Luego al representar la gráfica en =0 tendrá un pico José Luis Lorente Aragón 117

= 0 = > 0 b) Crecimiento de la función f ()=0: + = 0 = < 0 solución. solución A estos dos puntos, / y -/, tenemos que añadir =0 donde f() cambia de epresión analítica. Intervalo (-,-/) -/ (-/,0) 0 (0,/) / (/, ) Signo f () - 0 + No derivable - 0 + Crecimiento m(-/,-1/4) M(0,) m(/,-1/4) El punto (0,) es un punto donde hay un cambio de pendiente, por eso no es derivable. El cambio de pendiente es tal que pasa de ser una función decreciente a creciente. Luego es un máimo relativo. c) Podemos representarlo viendo que son dos parábolas ( -+ cuando >0 y ++ si <0) o partir de las informaciones anteriores. M -/ / m m 118 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

Junio 004- Prueba A PR-1.- Sea la función y= -. a) Estúdiese su monotonía, etremos relativos y asíntotas. e y = f ) = e = e ( si < 0 si 0 Veamos primero si es continua para poder derivar la función a trozos: 0 lim f ( ) = e = + 0 lim f ( ) = 0 0 lim f ( ) = = + e : f(0)= continua 0 4e si < 0 f '( ) =. Veamos si derivable f (0 + )=4 f (0 - )=-4. No derivable en 4e si > 0 =0, luego en =0 habrá un pico. Estudiemos donde se anula la derivada: f ()=0 4e 4e. = 0 = 0 no no solución solución Es decir, el único punto característico a la hora de estudiar monotonía es =0, que es donde la función cambia de epresión analítica Intervalo (-,0) 0 (0, ) Signo f () + No derivable - Crecimiento M(0,) El punto (0,) es un punto donde hay un cambio de pendiente, por eso no es derivable. El cambio de pendiente es tal que pasa de ser una función creciente a decreciente. Luego es un máimo relativo. Asíntotas: 1) Verticales no tiene ) Horizontales: lim f ( ) = e = 0 = 0 asíntota horizontal y=0 (cuando y - ) ; lim f ( ) = e = 0 = 0. Luego tiene José Luis Lorente Aragón 119

Gráfica: Junio 007- Prueba A PR-. Sea la función a) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, curvatura, puntos de infleión y asíntotas. Esbozar la gráfica 1) Dominio=R-{-1,1} ) Asíntotas: AV: =1, =-1 AH: lim f ( ) = lim f ( ) = 0 AO: No tiene y=0 (cuando y - ) ) Crecimiento y puntos relativos 1 + 1 f '( ) = = f ()=0 No solución. Los únicos puntos ( 1) ( 1) representativos para estudiar la monotonía son =1, =-1 (asíntotas verticales) Intervalos (-,-1) -1 (-1,1) 1 (1, ) Signo(f ()) - Dom(f()) - Dom(f()) - Monotonía 4) Curvatura y puntos de infleión ( 1) 4 ( 1) ( f ''( ) = 4 ( 1) f ()=0 =0. + 1) ( = 1)( ( 1 1) 4 ) ( = 1) ( ( 1) 4 ) ( + ) = ( 1) 10 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

Intervalo (-,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1, ) Signo(f ()) - Dom(f()) + 0 - Dom(f()) + Curvatura PI(0,0) 5) Representación gráfica Junio 006- Prueba B PR-. f()=+e - Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los etremos relativos, los intervalos de concavidad y conveidad y las asíntotas. Esbozar su gráfica 1) Dom(f())=R ) Asíntotas: Vertical: no tiene Horizontal: lim f ( ) = + e = + 0 = lim f ( ) = + e No asíntota horizontal = + = ( ya que f ( ) e 0 Oblicua: m= lim = lim1+ = 1+ = 1 n= lim f ( ) = lime = e = 0 el eponentecrece más rápido) José Luis Lorente Aragón 11

Veamos si - f ( ) e lim = lim1+ e = 1+ = 1+ lim L' H 1 Luego la asíntota es y= (solo si ) ) Crecimiento y puntos relativos: f '( ) = 1 e '( ) = 0 = 1 e f 1-e - =0; e - =1 -=ln(1)=0 =0 = 1 = Intervalo (-,-0) 0 (0, ) Signo(f ()) - 0 + Monotonía m(0,1) 4) Curvatura y puntos de infleión f ''( ) = e ''( ) = 0 f no solución pues e siempre positivo Intervalo (-, ) Signo(f ()) + Curvatura m 1 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

Junio 005- Prueba B PR-.- Sea f()=e +ln(), (0, ).a) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y sus asíntotas. (1,5pto) b) Pruébese que f tiene un punto de infleión en el intervalo, y esbócese la gráfica de f. (1,5 puntos) a) Veamos primero el Dominio, que es necesario para el resto de cálculos 1) Dom(f())=(0, ), el logaritmo sólo eiste cuando el argumento es positivo. ) Monotonía : f ()=e +1/=0 e =-1/, que en el dominio no tiene solución pues para >0 el eponente es positivo y 1/ negativo. En el domino f ()>0, y por tanto la función creciente en todos los puntos del dominio es decir en (0, ). ) Asíntotas: Verticales en =0 (se anula el logaritmo) Horizontales lim f ( ) = + =. No horizontales f ( ) e ln e 1/ Oblicuas m= lim = lim + = lim + = + 0. L' H 1 1 No oblicuas b) f ()=e -1/. Veamos que en el intervalo [1/,1] se anula f (), para eso aplicamos Bolzano a la función f (): f () es continua en [1/,1], ya que 0 no pertenece a este intervalo f (1/)<0; f (1)>0 Luego al cumplir Bolzano eiste un punto c (1/,1) tal que f (c)=0. PI José Luis Lorente Aragón 1

Junio 008. Prueba A PR- Sea f()=ln()/ siendo (0, ). Se pide a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los etremos relativos y las asíntotas. Esbozar la gráfica. 1) Dominio: nos lo da el problema: Dom(f())=(0, ) ) Asíntotas: Verticales: en =0, pues se anula el denominador y el logaritmo. ln( ) 1/ Horizontales lim f ( ) = lim = = lim = 0 Asíntota y=0 (sólo si ) L' H Oblicuas: no al tener horizontales ) Crecimiento y etremos relativos: 1 ln( ) f ()= = 0 ln()=1/ =e 1/ Intervalo (0,e 1/ ) e 1/ (e 1/, ) Signo(f ()) + 0 - Monotonía M(e 1/, ) Luego f() crece en (e 1/, ) y decrece en (0,e 1/ ). En el punto M(e 1/, ) hay un máimo relativo. Veamos la gráfica: M 14 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

Septiembre 008. Prueba B PR-.- Sea f () = + ln con (0,+ + ). a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los etremos relativos, los intervalos de concavidad y conveidad y las asíntotas de f. Esbozar la gráfica de f. b) Probar que eiste un punto c (1/e,1) tal que f (c) = 0. a) Primero veamos el dominio: 1) Dominio: Dom(f())=(0, ) ) Asíntotas: Verticales: en =0 (se anula el logaritmo) Horizontales lim f ( ) = lim + ln( ) = + =. No tiene 1 1+ f ( ) + ln( ) Oblicua m= lim = lim = = lim = 1 L' H 1 n= lim f ( ) + = lim + ln( ) =. No oblicua ) Etremos relativos: f ()=-1+1/=0 =1. Intervalo (0,1) 1 (1, ) Signo(f ()) + 0 - Monotonía M(1,1) Crece en (0,1) y decrece en (1, ). En el punto M(1,1) hay un máimo relativo 4) Curvatura: f ()=-1/ =0 Nunca se anula f ()<0 luego siempre es cóncava hacia abajo M José Luis Lorente Aragón 15

. Representación de funciones circulares. No es normal que en la PAU haya funciones circulares, pero algún año si han salido. Por ejemplo en año009 en septiembre (prueba B). Veamos los pasos a seguir con algún ejemplo, el del citado eamen y otro: PAU Septiembre 009. Prueba B PR. f()=sen()+cos() en [0,π] Dom(f())=[0,π] No asíntotas No simetría (sen() es impar y cos() par): f(-)=sen(-)+cos(-)=-sen()+cos() f() y f() Monotonía f ()=cos()-sen()=0 cos()=sen() cos()= 1. Elevamos al cuadrado, recordando que entonces hay que comprobar las soluciones. cos =1-cos cos =1/ cos()=. La comprobación se hace cuando se obtengan las soluciones de (los ángulos) cos()= rad 45 15 Comprobación de las soluciones: cos()= rad 15 rad 5 rad = cos( )=sen( Si = cos( )=sen( No = cos( )=sen( Si = cos( )=sen( No Intervalo [0, ) 4 (, ) 4 (, π] Sig(f ()) + 0-0 + Monotonia M(, ) m(, ) Curvatura: f ()=-sen()-cos()=0 -cos()=sen() -cos()= 1 cos =1-cos cos =1/ cos()=. cos()= rad 45 15 cos()= rad 15 rad 5 rad Comprobación de las soluciones (al elevar al cuadrado puede haber soluciones no válidas): = -cos( )=sen( No = -cos( )=sen( si 16 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

= -cos( )=sen( no = -cos( )=sen( si Intervalo [0, ) 5 4 (, ) 7 4 (, π] Sig(f ()) - 0 + 0 - Curvatura PI(, 0) PI(, 0) Para representar veamos los valores de algún punto representativo: =0 y=1 =π/ y=1 =π y=-1 =π/ y=-1 =π y=1 M PI PI π/4 π/ π 5π/4 π/ π/4 7π/4 π m José Luis Lorente Aragón 17

) f()=cos()+cos() en [0,π] Dom(f())=[0,π] No asíntotas Simetría par (cos() es par): f(-)=cos(-)+cos(-)=cos()+cos()=f() Par Monotonía f ()=-sen()-sen()=0 (angulo doble) -sen()-4sen() cos()=0 -sen()[1+4cos()]=0 0 0 rad sen()= 0 180 π rad cos()= 104 1.8 rad 56 4.5rad Intervalo 0 (0, 1.8) 1.8 (1.8, ) (, 4.5) 4.5 4.5, Sig(f ()) 0-0 + 0-0 + Monotonia M(0,) m(1.8, 1.1) M(, 0) m(4.5,-1.1 18 Apuntes de Matemáticas II para preparar el eamen de la PAU

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